专题7.7 空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题7.7 空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 空间向量的概念与运算 上海卷（秋考）：第15题，5分 上海卷（秋考）：第10题，5分 命题规律分析 1、空间向量的概念与运算 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，其中空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础。从近三年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，主要以选择题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等内容，难度较易，复习时要熟练掌握空间向量的概念与运算相关内容。 考点1 空间向量的概念与运算 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 知识点3 空间向量的数量积 1．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 2．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点4 空间向量基本定理及其应用 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点5 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【方法技巧与总结】 1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型1 空间向量的线性运算】 【例1】（25-26高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）如图，在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式1-3】（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 空间向量数量积及其应用】 【例2】（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【变式2-1】（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·四川巴中·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【题型3 空间向量共线、共面问题】 【例3】（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【变式3-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026高三·上海·专题练习）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 空间向量基本定理】 【例4】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 空间向量的坐标运算】 【例5】（2026·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【变式5-2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】（25-26高二上·山东济南·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（   ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·二模）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10．（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（   ） A． B． C．与是共线向量 D． 三、填空题 12．（2026·上海嘉定·一模）已知空间向量，，，且，则 ____________. 13．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于____________. 14．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则____________. 四、解答题 15．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 16．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 17．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 18．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 19．（25-26高一下·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.7 空间向量的概念与运算（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示 (2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 空间向量的概念与运算 上海卷（秋考）：第15题，5分 上海卷（秋考）：第10题，5分 命题规律分析 1、空间向量的概念与运算 空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，其中空间向量的概念与运算是空间向量与立体几何的基础。从近三年的高考情况来看，空间向量的概念与运算考查相对较少，主要以选择题的形式考查，主要涉及空间向量的线性运算、数量积运算与空间向量基本定理等内容，难度较易，复习时要熟练掌握空间向量的概念与运算相关内容。 考点1 空间向量的概念与运算 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 知识点2 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 2．共线向量定理 (1)共线向量定理 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行； ②证明三点共线. 知识点3 空间向量的数量积 1．空间向量夹角的计算 求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定． 2．空间向量数量积的计算 求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入求解． 知识点4 空间向量基本定理及其应用 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤: (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 3．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 4．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 5．求距离(长度)问题 ． 6．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 知识点5 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【方法技巧与总结】 1．三点共线：在平面中A,B,C三点共线(其中x+y=1)，O为平面内任意一点. 2．四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 【题型1 空间向量的线性运算】 【例1】（25-26高一下·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用向量的线性运算即可求解. 【解答过程】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 【变式1-1】（25-26高三上·安徽·阶段检测）如图，在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量线性运算法则以为基底先表示出，再由化简得到. 【解答过程】因为， 又，所以， 所以 ． 故选：C． 【变式1-2】（2026·新疆喀什·模拟预测）在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】根据向量加法法则，将分别用表示，再结合题意即可得解. 【解答过程】如图，， ， ，. 故选：C. 【变式1-3】（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用中线向量公式，再结合向量的减法，即可求解. 【解答过程】    由是的中点，可知， 故选：B. 【题型2 空间向量数量积及其应用】 【例2】（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解题思路】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【解答过程】依题意可知, . 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【解答过程】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 故选：B. 【变式2-2】（2026·四川巴中·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线AB与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设向量及相关量并表示出，计算数量积与模长，最后求异面直线所成角余弦值. 【解答过程】设三棱柱棱长为， 所以，，， ， ，则， 设异面直线与所成角为，. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【解题思路】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【解答过程】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B. 【题型3 空间向量共线、共面问题】 【例3】（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【解题思路】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【解答过程】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 【变式3-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【解答过程】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【解答过程】因为 . 因为、、三点共线，所以. 所以 . 故选：D. 【变式3-3】（2026高三·上海·专题练习）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【解答过程】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 【题型4 空间向量基本定理】 【例4】（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用多边形法则即可求解. 【解答过程】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点、分别为、的中点，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由空间向量的线性运算以及空间向量的基本定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值. 【解答过程】因为，所以，可得， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为点、分别为、的中点，所以，， 所以 ， 因为、、不共面，所以，所以，故. 故选：D. 【变式4-2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【解答过程】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B. 【变式4-3】（25-26高一下·广东广州·期末）在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【解答过程】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以， 则，故C正确. 故选：C. 【题型5 空间向量的坐标运算】 【例5】（2026·江苏·模拟预测）已知空间向量，，若，则（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【解题思路】求得，进而可得，求解即可. 【解答过程】因为， 因为，所以，解得. 故选：C. 【变式5-1】（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【解题思路】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【解答过程】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【解答过程】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：C． 【变式5-3】（25-26高二上·山东济南·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（   ） A．-5 B．-2 C．2 D．5 【答案】D 【解题思路】根据对称得出，再根据坐标运算得出数量积. 【解答过程】因，则点M关于平面xOy的对称点坐标为， 因点M关于平面xOy的对称点坐标为，则， 则，，故. 故选：D. 一、单选题 1．（2026·四川绵阳·二模）已知，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据求出，再求即可. 【解答过程】，，若，则， 解得，则. 故选：A. 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基本定理求解即可. 【解答过程】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 故选：D. 3．（2026·辽宁鞍山·一模）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量运算的坐标表示，列式计算即得. 【解答过程】向量，，则， 所以. 故选：A. 4．（2026·湖北·二模）如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【解答过程】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 5．（2026·山东泰安·二模）已知三棱柱所有棱长均为为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题设可得，然后以作为基底表示，最后由向量模长公式可得答案. 【解答过程】因三棱柱所有棱长均为1，， 则， ， 则 ， 又，， 则 . 故选：A. 6．（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】根据空间向量的基底向量的定义，及共面向量的定义逐项分析判断即可． 【解答过程】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立， 所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确； 对于选项B，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误； 对于选项C，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误； 对于选项D，假设存在实数，，使得， 则，解得，即存在实数，使得上式成立， 所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． 故选：A. 7．（2026·辽宁大连·模拟预测）在棱长为3的正四面体中，点是三角形的重心，若空间内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的线性运算可得，，即可根据数量积的运算律求解. 【解答过程】由可得，， 故， ， 又，， 故 ， 故选：C. 8．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【解答过程】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 故选：D. 二、多选题 9．（2026·湖南长沙·一模）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 故选：ACD. 10．（26-27高二上·湖南衡阳·阶段检测）已知向量，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】ACD 【解题思路】利用空间向量，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由，可得，解得 ，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 故选：ACD. 11．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在正三棱锥中，，D是中点，E是中点，点F，G满足，，直线DF，GE相交于H，下列说法正确的是（   ） A． B． C．与是共线向量 D． 【答案】AC 【解题思路】以为一组基底，结合数量积的运算法则可判断A；B利用数量积的定义得出判断B；利用平面平面以及判断三点共线可判断C；利用向量的加减运算判断D. 【解答过程】对于A，设，， 则， 于是，故A正确； 对于B，因为，，所以，则夹角等于， 因为，则为锐角，由数量积的定义可知，故B错误； 对于C，因为，平面，则平面， 同理，平面，则平面， 又平面平面，故，即三点共线，故C正确； 对于D，因 ，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2026·上海嘉定·一模）已知空间向量，，，且，则 ____________. 【答案】 【解题思路】首先利用向量的垂直得出，，，再将平方即可求解. 【解答过程】，，，，，， ， ， . 故答案为：. 13．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于____________. 【答案】/ 【解题思路】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【解答过程】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 故答案为：. 14．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则____________. 【答案】0 【解题思路】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【解答过程】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（26-27高三上·江苏镇江·开学考试）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设点的坐标为，利用向量共线定理，结合的距离条件列方程求解； （2）求出向量 与 的坐标，利用空间向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【解答过程】（1）设点的坐标为； ，，，. 点在棱上，，即； ，即. ，，，； ，，即，整理得，解得或. ，； ，即点的坐标为. （2）设异面直线与所成角为； 由，，，，得，. ； 异面直线与所成角的余弦值为. 16．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【解答过程】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）证明：由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得，即， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 17．（25-26高一下·黑龙江·期末）如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【解题思路】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【解答过程】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 18．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知向量，. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若与垂直，求实数的值. 【答案】(1)3 (2) (3)1 【解题思路】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【解答过程】（1）因为，， 所以， . （2）， ， ， 所以与的夹角为； （3）， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 19．（25-26高一下·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，. (1)以，，为基底向量，表示向量，； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用空间向量的加减法，将目标向量分解为基底向量的线性组合； （2）将两向量表达式代入数量积，利用已知边长和夹角展开计算，由点积为零证明垂直； （3）计算目标向量模的平方，展开后代入已知数据，开方得长度． 【解答过程】（1）在中，由空间向量的减法运算，得.    ． （2）证明：因为，，， 所以，. 由（1）得 ， 所以，即． （3）由（1）知， 所以 ，         所以． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $