精品解析：山东聊城第二中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

聊城二中2023级高三上学期第三次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的实部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的概念求解. 【详解】因为， 所以, 所以的实部为2. 故选：C 2. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出对数型复合函数的定义域，化简集合B，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】由有意义，得，解得或， 则或，，而， 所以. 故选：A 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据，判断出四边形的形状，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在四边形中，若，则四边形为平行四边形， 若，则平行四边形为菱形，但不一定为正方形， 四边形是正方形时，必有，即有， 故“”是“四边形是正方形”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 设数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. －63 B. －31 C. 31 D. 63 【答案】D 【解析】 【分析】本题首先根据可判断出数列是公比为的等比数列，然后根据计算得出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果． 【详解】因为，所以， 所以，，其中, 而，结合可得，此时， 故数列是公比为的等比数列， 所以. 故选：D 5. 已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 850 B. 1250 C. 400 D. 450 【答案】D 【解析】 【分析】先求出新数列的公差，再结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】在等差数列2，6，10，…，98中，公差； 在等差数列2，8，14，…，98中，公差，而和的最小公倍数为， 得到新数列的公差，首项，所以， 令，解得，故新数列共有项， 所以新数列的各项之和为. 故选：D 6. 已知圆的圆心为，直线与圆交于，两点，记，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆方程化为标准式，利用余弦定理求、，再通过二倍角公式和两角和的正弦公式求解目标式. 【详解】将圆的方程化为标准式，则圆心，半径. 在中，， 由余弦定理得， 代入，， 得：， 化简得，则，进而， ， . 故选：C 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析函数的奇偶性，并通过导数分析函数的单调性，再将转化为，进而得到求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为， 所以为偶函数， ，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，故在上单调递增， 又， 所以时，，即，所以在上单调递增； 所以不等式， 所以，或. 解得. 即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知正实数满足和．则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定的关联，最后结合题给条件求解． 【详解】， ，即， ， ，即， 令，则在上单调递增， 方程有唯一解， ， ． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆O：，则（ ） A. ，直线l均与圆O有两个公共点 B. ，使直线l是圆O的一条对称轴 C. 直线l被圆O截得的弦长可能为2 D. 圆O上至少存在三个点到直线l的距离为1 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，通过分析直线l恒过的定点A与圆的位置关系即可判断；对于B，分析直线l是否过圆心O即可判断；对于C，根据圆的弦长公式，列出等式求解是否存在实数解即可判断；对于D，分析圆O到直线l的距离即可判断． 【详解】对于A分析，直线恒过定点，定点到圆心O的距离为， 即定点在圆内，所以无论a取何值，直线都与圆O相交，即有两个公共点，故A正确； 对于B，若直线是圆O的对称轴，则直线必须过圆心，也即直线方程满足，即直线不过圆心，因此，不存在这样的a，使直线l是圆O的一条对称轴，故B错误； 对于C，设圆心O到直线的距离为d，， 直线被圆截得的弦长公式为，若弦长， 则，解得，所以，推得， 显然无实数解，因此直线被圆O截得的弦长不可能为2，故C错误； 对于D，圆O的半径，若圆上至少存在三个点到直线的距离为1，则圆心到直线的距离对于d需满足： ，也即，当时，圆上恰好存在三个点到直线的距离为1，如图所示 又，满足，故圆上到直线距离为1的点至少有三个，故D正确． 故选：AD． 10. 已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，通过正切型函数的周期公式直接求解即可； 对于B选项，计算出函数的周期，然后直接代入求解即可； 对于C选项，通过整体代入法求解函数的对称中心即可； 对于D选项，利用正切的和差角及二倍角公式进行求解即可. 【详解】对于A选项，由，得：，故A选项正确； 对于B选项，已知函数周期，则，故B选项正确； 对于C选项，由（），得：（），即：（）， 当时，取得最小值，的最小值为，故C选项错误； 对于D选项，已知，则， .故D选项正确. 故选：ABD 11. 已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 当时，三棱锥的体积最大 C. 直线与直线夹角的取值范围是 D. 若二面角的大小为，则的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用圆锥的侧面积公式可判断A；B选项，的面积最大时，三棱锥的体积最大；C选项，设点关于圆心的对称点为，得到 为所求角，在 中用表示出，结合的取值范围可判断；D选项，取的中点，得，利用勾股定理计算出与的长度，可得的面积. 【详解】对于A，由已知可得，， 所以， 则圆锥的侧面积，A正确. 对于B，当时，，此时的面积最大，即三棱锥的体积最大，故B正确. 对于C，设点关于圆心的对称点为，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即， 在等腰三角形中， 所以，则，C错误. 对于D，可知和都是等腰三角形，取的中点，连接，，可知，， 则是二面角的平面角，，可以求得， 所以，，， 故的面积为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，计算即可得. 【详解】由题意可得，则有， 解得，则的最小值为. 故答案为：. 13. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两圆外切可得，即可根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求解. 【详解】：的圆心和半径分别为，， ：圆心和半径分别为，， 由于两圆外切，故，解得， 故直线的距离为， 故弦长为， 故答案为： 14. 写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出时的切线方程，利用对称性可得时的切线方程. 【详解】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称， 所以它的另一条切线方程为. 故答案为：（或）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆心为，且圆经过点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）求出半径后可得圆标准方程； （2）确定切线斜率存在，设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径求得得切线方程． 【小问1详解】 由题意半径为， 所以圆方程； 【小问2详解】 易知直线与圆不相切， 设切线方程为，即， 由，解得或， 所以切线方程为或．即或． 16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． （1）求A； （2）求△ABC面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得，化简后再利用正弦定理可解出A； （2）由正弦定理得，代入三角形的面积公式后，通过B的范围可求出求△ABC面积的最大值． 【小问1详解】 由余弦定理得， 所以，因为△ABC为锐角三角形，所以， 所以，设△ABC的外接圆半径为r， 由正弦定理得，所以，， 所以， 因为， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，则， 由正弦定理得，所以， 所以△ABC的面积为 ， 由，得， 从而得，故当，即时， △ABC的面积取得最大值． 17. 数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据时，，验证，从而得到的通项；（2）由，得到，通过作差得到的通项公式；（3）根据错位相减法得结果. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 当时， 又也满足上式，所以. 又. 【小问2详解】 ∵① ∴② ②－①得：，，故． 【小问3详解】 ， ∴， 令，① 则② ①－②得： ， ∴ ∴． ∴数列的前项和. 18. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图所示，取中点，连接，， 则由题意且，故四边形是平行四边形， 所以且，故且， 所以四边形是平行四边形，则. 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据线面平行的判定证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则由题意. 又， ， ， 即，， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 所以，则，取，则. 设与平面所成角， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 【答案】（1）； （2） 当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. （3）证明：， 要使由两个极值点，则至少有两个零点. 当时，只有1个零点，不符合题意； 当时，， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 则极大值 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 由图像可得，当且仅当时，与有两个交点，设其横坐标从左到右分别为，则有两个零点， 且当时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 则极大值点为，极小值点为，符合题意. 由题意，令， 则，则，， ， 设，则， 则单调递增，则，即，所以， 所以， 即成立. 【解析】 【分析】（1）代入，求导，求出，由导数的几何意义得到切线方程； （2）先讨论与，再讨论时，设，转化为与图像交点个数，对求导研究其单调性、图像，数形结合讨论零点个数； （3）函数的极值点个数，转化为与交点个数，方法同（2），注意验证；利用差值代换，由表示出再构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，， ， 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 令，即， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当当时，，单调递减， 则极大值，极小值， 且由指数函数与幂函数增长速度可得，当趋于时，趋于， 当趋于时，趋于， 则作出图像如下： 则当时，没有零点； 当时，有1个零点； 当时，有3个零点； 当时，有2个零点； 当时，有1个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高三上学期第三次月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则的实部为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在四边形中，若，则“”是“四边形是正方形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设数列的前n项和为，若，则＝（ ） A. －63 B. －31 C. 31 D. 63 5. 已知两个等差数列2，6，10，…，98和2，8，14，…，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ） A. 850 B. 1250 C. 400 D. 450 6. 已知圆的圆心为，直线与圆交于，两点，记，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足和．则的值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆O：，则（ ） A. ，直线l均与圆O有两个公共点 B. ，使直线l是圆O的一条对称轴 C. 直线l被圆O截得的弦长可能为2 D. 圆O上至少存在三个点到直线l的距离为1 10. 已知函数的最小正周期为，点是曲线的一个对称中心，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 当时， 11. 已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，，是底面圆周上异于，的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 当时，三棱锥的体积最大 C. 直线与直线夹角的取值范围是 D. 若二面角的大小为，则的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为______． 13. 已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截的弦长为_______. 14. 写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆心为，且圆经过点. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且． （1）求A； （2）求△ABC面积的最大值． 17. 数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和. 18. 由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面. （1）求证：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，，是自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的零点的个数； （3）若函数恰有两个极值点，，证明：且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $