湖北省武汉市2026−2027学年高二上学期数学第一次月考模拟试卷2

高二数学月考模拟试卷（2） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（     ） A． B． C． D． 2．若一个圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四棱柱中，底面是正方形，，，且，则下列结论错误的是（     ）    A． B． C． D．直线与平面所成的角为 4．如图所示，已知四棱锥，，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则向量可用基底表示为（     ） A． B． C． D． 6．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形是正方形，，点O是与的交点，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D． 7．在四面体中，点满足，在上，若，则（     ） A． B． C． D． 8．在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题中，正确的是（     ） A．若事件，互斥，则 B．若事件，相互独立，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，，两两独立，则 10．在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力.当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力､数据､安全与可解释性等核心难题.某公司成立了甲､乙､丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（    ） A．若甲､乙两个小组各自独立攻克该技术难题为事件，则 B．该技术难题被攻克的概率为 C．只有一个小组受到奖励的概率等于 D．甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 11．某区四所高中各自组建了排球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时（    ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．甲队胜3场且乙队胜1场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．篮球队的名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他人的概率相等，由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的概率为______． 13．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为，则该圆锥母线的长为______． 14．已知正四棱锥的外接球的表面积为，点在底面上的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025年月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数（保留两位小数）． (2)现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为，求第四组面试者的面试成绩的方差． 16．（15分）为激发学生的创新思维，学校举办了校园科技节活动，该活动由三个游戏组成，每个游戏各挑战一次且结果互不影响．连续通过两个游戏可以获得一枚科技徽章，连续通过三个游戏可以获得两枚科技徽章，闯关规则如下：箱子里装有大小质地完全相同的红球3个，白球2个，其中红球编号为1，2，3，白球编号为4，5． 游戏一：从箱子里随机地取出一个球，取出白球则获胜． 游戏二：从箱子里有放回地依次取出两个球，取到两个白球则获胜． 游戏三：从箱子里不放回地依次取出两个球，取出编号之和为则获胜． (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)当时，求游戏三的获胜概率； (3)一名同学先玩了游戏一，试问时，接下来选择先玩游戏二还是先玩游戏三获得徽章的概率更大，说明理由． 17．（15分）在平行六面体中，，，，M为的中点，N为的三等分点且靠近点C．记，，． (1)用，，表示向量，并求的长度； (2)求平面的法向量（用，，表示）． 18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，为中点. (1)证明：直线平面； (2)若直线平面，异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值. 19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由. 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B A D C C D ABC BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 2．D 3．B 【详解】由题可知，A正确； ，B错误； 因为底面是正方形，所以，同B可得. 所以 ，所以，即，C正确； 如图，连接，则即为直线与平面所成的角. 所以，所以，D正确.    4．A 【详解】由，得， 所以 5．D 【详解】依题意，设， 整理得， 因是空间的一个单位正交基底，且， 则有，解得， 故有. 6．C 【详解】由题意得，， 所以，，. 又因为， 所以 ，故， 7．C 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 8．D 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 9．ABC 【详解】由互斥事件加法公式，若事件，互斥，，故A正确； 若事件，相互独立，则也互相独立，故，故B正确； 若事件，，两两互斥，任意两个事件不可能同时发生，三个事件不可能同时发生， 则，故C正确； 若事件，，两两独立，则, 无法推出，故D错误． 10．BCD 【分析】利用独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式及对立事件概率公式，逐一计算各选项对应概率判断正误即可． 【详解】设事件分别表示甲、乙、丙小组攻克技术难题，由题意得，且相互独立， 对于选项A：根据和事件概率公式， 因相互独立，所以， 所以，所以A错误； 对于选项B：技术难题被攻克的概率等于三个小组至少有一个攻克，即其对立事件为三个小组都未攻克， 故所求概率为，所以B正确； 对于选项C：只有一个小组受奖励包含三种互斥情况：仅甲攻克、仅乙攻克、仅丙攻克， 其概率为， 所以C正确； 对于选项D：三个小组均受奖励即三个小组都攻克，概率为，所以D正确． 11．ABD 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断CD． 【详解】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A正确； 对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 所以四支球队的积分总和可能为15分，故B正确； 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 则甲队胜3场且乙队胜1场的概率为，故C错误； 对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况， 乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D正确． 故选：ABD． 12． 【详解】由题意知每位队员把球传给其他人的概率均为， 由甲开始传球，则前次传球中，乙恰好有次接到球的情况可分为： 只在第一次接到球，只在第二次接到球，只在第三次接到球. 则概率为. 13． 【详解】设，因为圆锥的侧面展开图的弧长为，则该圆锥的底面圆的周长为， 所以，解得，所以， 又，在中，由勾股定理得． 14． 和 ． 【详解】设正四棱锥外接球的半径为 ，则有 ，所以 ． 因为 为点 在平面 上的投影，则有 平面 ． 因为 是正四棱锥，则点 ,三点共线， 如图1所示，连接 ，因为 ，所以 ． 设 ，则 ，所以 ． 则 ． 当且仅当 ，即 时等号成立，即 ． 当点 在正四棱锥的内部时，即点 在线段 上时， 正四棱锥的高为 ． 则正四棱锥的体积 ． 当点 在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点 在线段 的延长线上时， 正四棱锥的高为 ． 则正四棱锥的体积 ． 15．(1)，平均数为，第60百分位数为 (2) 【详解】（1）可知频率分布直方图组距为，所以，解得， 平均数为， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 则第百分位数为. （2）这名面试者中第四组和第五组面试者有人， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 由题意可得，解得. 16．(1)游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为 (2) (3)选择先玩游戏二获得徽章的概率更大， 设事件“先玩游戏二获得徽章”，“先玩游戏三获得徽章”； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 则，且两两互斥，且两两独立， 故 ； 故；则接下来选择先玩游戏二获得徽章的概率更大． 【详解】（1）设事件“游戏一获胜”；“游戏二获胜”；“游戏三获胜”； 游戏一取出一个球的样本空间为；； 因为，则；则； 游戏二有放回地取出两个球的样本空间为；； 因为，则，则； 故游戏一获胜概率为，游戏二获胜概率为； （2）不放回地依次取出两个球共有样本数为，其中样本点为 ； 时，游戏三包含样本点为，样本个数为， 故游戏三的获胜概率为； （3）略 17．(1)， (2) 【详解】（1）由题意知：， ，； （2），，设平面的法向量，， 由，得 ①； 由，得 ②； 令，由①②得，，． 18．(1)如图所示，连接BD，交AC于O， 因为ABCD为平行四边形，所以O是BD的中点， 在中，E、O分别为PB、BD的中点，故， 又平面，平面，所以平面ACE. (2) （2）如图所示，过做于，再以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 设， 由，可取，，，，，， 直线AE、PD的方向向量可分别取，， 由两直线所成角为45°，得， 平方整理得，所以，. 可知，， 设平面的法向量为， 可得，即， 令，解得，即平面的一个法向量为 设直线PD与平面PAC所成角为，则. 19．(1) (2) (3)存在，或 【详解】（1）因为是的中点，所以， 又因为底面为矩形，所以，所以， 又因为底面，， 所以，所以； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，   ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 答案第8页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $