专题10 整式的加减（计算题专项训练）数学北师大版新教材七年级上册

专题10 整式的加减（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材】 训练1 不含某项的整式加减 在整式加减中遇到“不含某项”的问题，核心思路是通过合并同类项后，让指定项的系数为0。具体解题步骤如下：1. 先将整式中的同类项进行合并（同类项指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）；2. 确定题目要求“不含”的项，找到其合并后的系数；3.若要求不含某一项，则该项目的系数必须为0，由此列方程求解未知数. 确定题目要求“不含”的项，找到其合并后的系数 先将整式中的同类项进行合并（同类项指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项） 方法指导 1．已知整式A＝3x2﹣2x﹣1，整式B＝﹣2x2+kx﹣5，且2A+5B的结果中不含x的一次项，求k的值． 【解答】解：∵A＝3x2﹣2x﹣1，B＝﹣2x2+kx﹣5， ∴2A+5B ＝2（3x2﹣2x﹣1）+5（﹣2x2+kx﹣5） ＝6x2﹣4x﹣2﹣10x2+5kx﹣25 ＝﹣4x2+（5k﹣4）x﹣27， ∵2A+5B的结果中不含x的一次项， ∴5k﹣4＝0， ∴． 2．已知关于x、y的代数式A＝3x2﹣axy+y2，B＝x2+4xy﹣2y2． （1）当a＝2时，计算2A﹣B； （2）若2A﹣B不含xy项，求a2+1的值． 【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣axy+y2，B＝x2+4xy﹣2y2， ∴2A﹣B ＝2（3x2﹣axy+y2）﹣（x2+4xy﹣2y2） ＝6x2﹣2axy+2y2﹣x2﹣4xy+2y2 ＝5x2﹣（2a+4）xy+4y2， 当a＝2时， 2A﹣B＝5x2﹣8xy+4y2； （2）由（1）得2A﹣B＝5x2﹣（2a+4）xy+4y2， ∵2A﹣B不含xy项， ∴2a+4＝0， 解得：a＝﹣2， 则a2+1＝（﹣2）2+1＝4+1＝5． 3．已知关于x的多项式ax3﹣9+2x2﹣bx2﹣8x3中不含x3与x2项，求代数式3（a2﹣3b2+3）﹣2（a2﹣4b2+ab﹣4）的值． 【解答】解：原式＝（a﹣8）x3+（2﹣b）x2﹣9， 由题意，得a﹣8＝0，2﹣b＝0， 所以a＝8，b＝2． 原式＝3a2﹣9b2+9﹣2a2+8b2﹣2ab+8＝a2﹣b2﹣2ab+17． 当a＝8，b＝2时，原式＝82﹣22﹣2×8×2+17＝64﹣4﹣32+17＝45． 4．我们定义一种新运算，其规则为A*B＝﹣A﹣3B． （1）计算6※（﹣3）的值； （2）多项式A＝m2﹣3mn+2n，B＝﹣2amn+3n，若A*B的合并结果中不含mn项，求a的值． 【解答】解：（1）6※（﹣3）＝﹣6﹣3×（﹣3）＝﹣6+9＝3． （2）A*B＝﹣（m2﹣3mn+2n）﹣3（﹣2amn+3n） ＝﹣m2+3mn﹣2n+6amn﹣9n ＝﹣m2+（3+6a）mn﹣11n， 由条件可知3+6a＝0， 解得：． 5．已知A＝2x3+3ax﹣y，B＝bx3﹣3x+2y﹣1（其中a，b为常数）． （1）计算A﹣2B； （2）若A﹣2B不含三次项，求b的值． 【解答】解：（1）列出算式去括号，合并同类项可得： A﹣2B＝（2x3+3ax﹣y）﹣2（bx3﹣3x+2y﹣1） ＝2x3+3ax﹣y﹣2bx3+6x﹣4y+2 ＝（2﹣2b）x3+（3a+6）x﹣5y+2． （2）由条件可知2﹣2b＝0， ∴b＝1． 6．已知关于x，y的多项式2（mx2﹣2y2）﹣（x﹣2y）与x﹣ny2﹣2x2的差不含x2和y2项． （Ⅰ）求m，n的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，化简求值（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）． 【解答】解：（Ⅰ）2（mx2﹣2y2）﹣（x﹣2y）﹣（x﹣ny2﹣2x2） ＝2mx2﹣4y2﹣x+2y﹣x+ny2+2x2 ＝（2m+2）x2+（n﹣4）y2﹣2x+2y， ∵多项式2（mx2﹣2y2）﹣（x﹣2y）与x﹣ny2﹣2x2的差不含x2和y2项， ∴2m+2＝0，n﹣4＝0， 解得m＝﹣1，n＝4． （Ⅱ）（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2） ＝4m2n﹣3mn2﹣2m2n﹣2mn2 ＝2m2n﹣5mn2， ∵m＝﹣1，n＝4， ∴原式＝8+80＝88． 7．已知A＝2x2﹣3ax+2x﹣1，B＝﹣x2+2ax﹣3，且C＝3A﹣2B， （1）求多项式C； （2）若C中不含x的一次项，求﹣12﹣26a的值． 【解答】解：（1）因为A＝2x2﹣3ax+2x﹣1，B＝﹣x2+2ax﹣3， 所以C＝3A﹣2B ＝3（2x2﹣3ax+2x﹣1）﹣2（﹣x2+2ax﹣3） ＝6x2﹣9ax+6x﹣3+2x2﹣4ax+6 ＝8x2﹣13ax+6x+3 ＝8x2+（6﹣13a）x+3； （2）C＝8x2+（6﹣13a）x+3， 因为C中不含x的一次项，所以6﹣13a＝0， 所以， 所以． 8．多项式与多项式A的和为．式子A+t（5x﹣1）不含一次项（t为常数）． （1）求多项式A； （2）求t的值． 【解答】解：（1）∵多项式与多项式A的和为， ∴A＝（）﹣（x2+3x） x2+4xx2﹣3x ＝﹣3x2+x， 即A＝﹣3x2+x； （2）A+t（5x﹣1） ＝﹣3x2+x+t（5x+1） ＝﹣3x2+x+5tx+t ＝﹣3x2+（5t+1）x+t， ∵式子A+t（5x﹣1）不含一次项（t为常数）， ∴5t+1＝0， ∴t． 9．已知关于x的整式A，B，其中A＝3x2+（a﹣1）x+1，B＝bx2+3x+2a﹣1． （1）当2B﹣A中不含x的二次项和一次项时，求a﹣b的值； （2）当b＝3，a为正整数时，A＝B﹣2a+8，求此时使x为正整数的a的值． 【解答】解：（1）2B﹣A ＝2（bx2+3x+2a﹣1）﹣[3x2+（a﹣1）x+1] ＝2bx2+6x+4a﹣2﹣3x2﹣（a﹣1）x﹣1 ＝（2b﹣3）x2+（6﹣a+1）x+4a﹣3 ＝（2b﹣3）x2+（7﹣a）x+4a﹣3； 因为2B﹣A中不含x的二次项和一次项， 所以2b﹣3＝0，7﹣a＝0， 得，a＝7， ． （2）因为A＝B﹣2a+8， 所以A＝bx2+3x+2a﹣1﹣2a+8， 因为A＝3x2+（a﹣1）x+1，b＝3， 所以3x2+（a﹣1）x+1＝bx2+3x+2a﹣1﹣2a+8， 即（3﹣b）x2+（a﹣4）x﹣6＝0， 因为b＝3， 所以（a﹣4）x﹣6＝0， 得， 因为a为正整数，x为正整数， 所以a﹣4＝1，2，3，6， 得a＝5，6，7，10． 10．已知多项式6x2﹣2mxy﹣2y2+4xy﹣5x+2化简后的结果中不含xy项． （1）求m的值； （2）在（1）的条件下，若代数式﹣m3﹣2ab2﹣m+1﹣m2+3mb2+5（a为常数，b≠0）的值恒等于﹣8，求a的值． 【解答】解：（1）由题意得﹣2m+4＝0，解得m＝2； （2）﹣m3﹣2ab2﹣m+1﹣m2+3mb2+5＝﹣8， 把m＝2代入得：﹣8﹣2ab2﹣2+1﹣4+6b2+13＝0， ﹣2ab2+6b2＝0， ∵b≠0， ∴﹣2a+6＝0， ∴a＝3． 训练2 与字母取值无关的整式加减 在整式加减中遇到“与字母取值无关”的问题，解题思路与“不含某项”类似，核心是让所有含该字母的项的系数之和为0，这样无论字母取何值，式子的结果都不受影响。具体步骤如下：1. 将整式中含目标字母的同类项合并，整理成关于该字母的表达式；2. 若结果与某字母取值无关，则所有含该字母的项的系数必须为0，由此列方程求解未知数. 方法指导 1．已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5，若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 【解答】解：由题意可得： 3B﹣A ＝3（x2﹣nx+5）﹣（2mx2+7x﹣3） ＝3x2﹣3nx+15﹣2mx2﹣7x+3 ＝（3﹣2m）x2﹣（3n+7）x+18， 由题意可得：3﹣2m＝0，﹣（3n+7）＝0， ∴3＝2m，3n＝﹣7， ∴． 2．已知整式A和B满足：A+2B＝5a+3ab，B＝4a+3ab﹣2． （1）求整式A（用所含a、b的代数式表示）； （2）若B﹣A的值与a的取值无关，求b的值． 【解答】解：（1）已知整式A和B满足：A+2B＝5a+3ab，B＝4a+3ab﹣2． ∴A＝5a+3ab﹣2B ＝5a+3ab﹣2（4a+3ab﹣2） ＝5a+3ab﹣8a﹣6ab+4 ＝﹣3a﹣3ab+4； （2）B﹣A＝4a+3ab﹣2﹣（﹣3a﹣3ab+4） ＝4a+3ab﹣2+3a+3ab﹣4 ＝7a+6ab﹣6 ＝a（7+6b）﹣6， 由题意可得：7+6b＝0， ∴． 3．已知A和B是关于x，y的两个多项式，A＝x2﹣xy+1，B＝2x2﹣3xy﹣2x+1． （1），求3A﹣（A+B）的值； （2）若3A﹣（A+B）的值与x无关，求y的值． 【解答】解：（1）根据题意可知，，|y﹣2|≥0， ∴，|y﹣2|＝0， ∴，y﹣2＝0， 解得：，y＝2， ∴3A﹣（A+B） ＝3A﹣A﹣B ＝2A﹣B ＝2（x2﹣xy+1）﹣（2x2﹣3xy﹣2x+1） ＝2x2﹣2xy+2﹣2x2+3xy+2x﹣1 ＝xy+2x+1， 当，y＝2时， ∴； （2）由（1）知，3A﹣（A+B）＝xy+2x+1＝（y+2）x+1， ∵3A﹣（A+B）的值与x的取值无关， ∴y+2＝0， 解得：y＝﹣2． 4．已知A＝﹣3x2﹣2mx+3x+1，B＝2x2+2mx﹣1． （1）求：2A+3B． （2）若2A+3B的值与x的取值无关，求m的值． 【解答】解：（1）∵A＝﹣3x2﹣2mx+3x+1，B＝2x2+2mx﹣1． ∴2A+3B＝2（﹣3x2﹣2mx+3x+1）+3（2x2+2mx﹣1） ＝﹣6x2﹣4mx+6x+2+6x2+6mx﹣3 ＝2mx+6x﹣1； （2）2A+3B＝（2m+6）x﹣1， 由题意得：2m+6＝0， 则m＝﹣3． 5．已知A＝3a2+5ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1． （1）若﹣A﹣3B+C＝0，求C．（用含a，b的式子表示C） （2）若A+3B的值与a的取值无关，求b的值． 【解答】解：（1）由条件可知C＝A+3B， ＝3a2+5ab﹣2a﹣1+3（﹣a2+ab﹣1） ＝3a2+5ab﹣2a﹣1﹣3a2+3ab﹣3 ＝8ab﹣2a﹣4； （2）A+3B＝8ab﹣2a﹣4＝a（8b﹣2）﹣4， 由条件可知8b﹣2＝0， 解得． 6．已知P＝﹣4x2+3x﹣2，Q＝x2﹣2kx+1． （1）当x＝2，时，求P+4Q的值； （2）若P+4Q的值与x的值无关，求k的值． 【解答】解：（1）由条件可得： P+4Q＝﹣4x2+3x﹣2+4（x2﹣2kx+1） ＝﹣4x2+3x﹣2+4x2﹣8kx+4 ＝（3﹣8k）x+2， 当x＝2，时， ； （2）∵P+4Q＝（3﹣8k）x+2的值与x的值无关， ∴3﹣8k＝0，解得． 7．设P＝x2﹣2xy+1，Q＝﹣2x2+xy． （1）当xy＝3时，求2P+Q的值； （2）当x≠0时，若代数式aP+bQ的值与y的取值无关，求实数a，b满足的关系式． 【解答】解：（1）∵P＝x2﹣2xy+1，Q＝﹣2x2+xy， ∴2P+Q ＝2（x2﹣2xy+1）+（﹣2x2+xy） ＝2x2﹣4xy+2﹣2x2+xy ＝﹣3xy+2， 当xy＝3时， 原式＝﹣3×3+2＝﹣7； （2）aP+bQ ＝a（x2﹣2xy+1）+b（﹣2x2+xy） ＝ax2﹣2axy+a﹣2bx2+bxy ＝ax2+a﹣2bx2+y•（bx﹣2ax）， 又∵代数式aP+bQ的值与y的取值无关， ∴bx﹣2ax＝0， （b﹣2a）x＝0， ∵x≠0， ∴b﹣2a＝0， ∴b＝2a． 8．在（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣mxy2+y3）+（﹣x3+nx2y﹣y3）中，m、n为常数． （1）若m＝1、n＝1，化简原式； （2）若原式的值与x无关，求m、n． 【解答】解：（1）当m＝1、n＝1时， 原式＝（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣xy2+y3）+（﹣x3+x2y﹣y3） ＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+xy2﹣y3﹣x3+x2y﹣y3 ＝﹣2x2y﹣xy2﹣2y3； （2）（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣mxy2+y3）+（﹣x3+nx2y﹣y3） ＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+mxy2﹣y3﹣x3+nx2y﹣y3 ＝（﹣3+n）x2y+（﹣2+m）xy2﹣2y3， ∵原式的值与x无关， ∴﹣3+n＝0，﹣2+m＝0， 解得m＝2，n＝3． 9．已知A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝x2﹣xy﹣1． （1）化简：5A﹣2（B+2A），将结果用含有x、y的式子表示； （2）若（1）中式子的值与字母x的取值无关，求（﹣y）2+2A﹣4B的值． 【解答】解：（1）∵A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝x2﹣xy﹣1， ∴5A﹣2（B+2A） ＝5A﹣2B﹣4A ＝A﹣2B ＝2x2+3xy﹣2x﹣1﹣2（x2﹣xy﹣1） ＝2x2+3xy﹣2x﹣1﹣2x2+2xy+2 ＝5xy﹣2x+1； （2）由（1）可知： 4A﹣（2B+3A） ＝5xy﹣2x+1 ＝（5y﹣2）x+1， ∵（1）中式子的值与字母x的取值无关， ∴5y﹣2＝0， 解得， ∴A﹣2B＝1， ∴（﹣y）2+2A﹣4B ＝y2+2（A﹣2B） ． 10．已知：代数式A＝3x2﹣6xy+5x+1，代数式B＝2x2﹣3xy﹣3x﹣1，代数式C＝a（x2﹣2）﹣b（2x+3）． （1）化简A﹣2B所表示的代数式； （2）若代数式A﹣2B+C的值与x的取值无关，求出a+b的值． 【解答】解：（1）由条件可得A﹣2B＝（3x2﹣6xy+5x+1）﹣2（2x2﹣3xy﹣3x﹣1） ＝3x2﹣6xy+5x+1﹣4x2+6xy+6x+2 ＝（3﹣4）x2+（﹣6+6）xy+（5+6）x+（1+2） ＝﹣x2+11x+3； （2）由条件可得： A﹣2B+C ＝﹣x2+11x+3+a（x2﹣2）﹣b（2x+3） ＝﹣x2+11x+3+ax2﹣2a﹣2bx﹣3b ＝（﹣1+a）x2+（11﹣2b）x+（3﹣2a﹣3b）， ∵上式与x的取值无关， ∴﹣1+a＝0，11﹣2b＝0， 即：， ∴． 训练3 化简求值（1） 本专练直接化简，然后将其值代入即可. 方法指导 1．先化简，再求值：2（a3﹣2b2）﹣3（a﹣2b）﹣（a﹣4b2+3a3），其中a＝﹣2，． 【解答】解：2（a3﹣2b2）﹣3（a﹣2b）﹣（a﹣4b2+3a3） ＝2a3﹣4b2﹣3a+6b﹣a+4b2﹣3a3 ＝2a3﹣3a3﹣4b2+4b2﹣3a﹣a+6b ＝﹣a3﹣4a+6b， 当a＝﹣2，时，原式． 2．先化简，再求值：，其中，y＝2． 【解答】解：原式 ＝﹣x2+y2， 把代入﹣x2+y2，得． 3．先化简，再求值：，其中． 【解答】解：原式＝4x2y﹣[6xy﹣（2xy﹣1）﹣x2y﹣1] ＝4x2y﹣（6xy﹣2xy+1﹣x2y﹣1） ＝4x2y﹣（4xy﹣x2y） ＝4x2y﹣4xy+x2y ＝5x2y﹣4xy； 当时， 原式 ＝﹣4． 4．求的值，其中． 【解答】解：原式 ＝﹣3x+y2， 把代入得，原式． 5．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝﹣2． 【解答】解：原式＝2a2b+ab2﹣3a2b+3﹣2ab2﹣1 ＝﹣a2b﹣ab2+2 当a＝2，b＝﹣2时， 原式＝﹣22×（﹣2）﹣2×（﹣2）2+2 ＝8﹣8+2 ＝2． 6．先化简再求值：5x2﹣[2xy﹣3（xy﹣5）+6x2]．其中x＝﹣2，y． 【解答】解：5x2﹣[2xy﹣3（xy﹣5）+6x2] ＝5x2﹣2xy+3（xy﹣5）﹣6x2 ＝5x2﹣2xy+xy﹣15﹣6x2 ＝﹣x2﹣xy﹣15， 当x＝﹣2，y时，原式＝﹣（﹣2）2﹣（﹣2）15＝﹣18． 7．先化简，再求值：，其中． 【解答】解： ＝5a2﹣3ab+6b2﹣7a2+4ab﹣6b2 ＝﹣2a2+ab， 当时， 原式． 8．先化简，再求值：，其中． 【解答】解：原式＝6mn2﹣3m2n﹣2﹣mn2﹣m2n ＝5mn2﹣4m2n﹣2， 当m，n＝﹣2时， 原式＝5（﹣2）2﹣4×（）2×（﹣2）﹣2 ＝10+2﹣2 ＝10． 9．已知整式A，B，C满足A﹣B＝2C，且A＝x3y+xy﹣3，C＝2x3y+3xy﹣4． （1）求整式B． （2）若x＝﹣2，y＝3，求整式B的值． 【解答】解：（1）由条件可得B＝A﹣2C ＝x3y+xy﹣3﹣2（2x3y+3xy﹣4） ＝x3y+xy﹣3﹣4x3y﹣6xy+8 ＝﹣3x3y﹣5xy+5； （2）由条件可知B＝﹣3×（﹣2）3×3﹣5×（﹣2）×3+5 ＝﹣3×（﹣8）×3﹣5×（﹣2）×3+5 ＝72+30+5 ＝107． 10．先化简，再求值：已知P＝a2+4ab+b2，Q＝a2﹣2ab﹣b2，求2P﹣[（Q﹣2P）﹣3（﹣P+Q）]的值，其中． 【解答】解：2P﹣[（Q﹣2P）﹣3（﹣P+Q）] ＝2P﹣（Q﹣2P+3P﹣3Q） ＝2P﹣Q+2P﹣3P+3Q ＝P+2Q， ∵P＝a2+4ab+b2，Q＝a2﹣2ab﹣b2， ∴原式＝a2+4ab+b2+2（a2﹣2ab﹣b2） ＝a2+4ab+b2+2a2﹣4ab﹣2b2 ＝（a2+2a2）+（b2﹣2b2）+（4ab﹣4ab） ＝3a2﹣b2， 当时， 原式 ． 训练4 化简求值（2） 本专练难度提升，其中的题目，都是需要先找值，再代入，特别是遇到典型的“0十0”型时. 方法指导 1．化简求值：已知代数式A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy，若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣2B的值． 【解答】解：∵（x+1）2+|y﹣2|＝0， ∴x+1＝0，y﹣2＝0， 解得：x＝﹣1，y＝2， ∵A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy， ∴A﹣2B ＝2x2+3xy+2y﹣1﹣2x2+2xy ＝5xy+2y﹣1 ＝5×（﹣1）×2+2×2﹣1 ＝﹣10+4﹣1 ＝﹣7． 2．先化简，再求值：．其中|a+1|+（2b﹣2）2＝0． 【解答】解：∵|a+1|+（2b﹣2）2＝0， ∴a+1＝0，2b﹣2＝0， 解得a＝﹣1，b＝1， ＝3ab2﹣（5a2b+2ab2﹣1+ab2）+6a2b ＝3ab2﹣5a2b﹣2ab2+1﹣ab2+6a2b ＝（3ab2﹣2ab2﹣ab2）+（﹣5a2b+6a2b）+1 ＝a2b+1， 故当a＝﹣1，b＝1时， 原式＝（﹣1）2×1+1＝2． 3．化简求值：5a2b﹣[2a2b﹣3（2ab2﹣a2b）﹣5ab2﹣1]﹣4ab2，其中a，b满足（a﹣1）2+|b+2|＝0． 【解答】解：原式＝5a2b﹣（2a2b﹣6ab2+3a2b﹣5ab2﹣1）﹣4ab2 ＝5a2b﹣（5a2b﹣11ab2﹣1）﹣4ab2 ＝7ab2+1， 由题意可知：a﹣1＝0，b+2＝0， 即a＝1，b＝﹣2， ∴原式＝7×1×4+1 ＝29． 4．化简求值：．其中ab满足：（a+2）2+|b﹣1|＝0． 【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， 解得：a＝﹣2，b＝1， 原式＝3a2b﹣（2ab2﹣2ab+3a2b+ab）+3ab2 ＝3a2b﹣2ab2+2ab﹣3a2b﹣ab+3ab2 ＝3a2b﹣3a2b+3ab2﹣2ab2+2ab﹣ab ＝ab2+ab， 当a＝﹣2，b＝1时， 原式＝﹣2×12+（﹣2）×1 ＝﹣2×1+（﹣2）×1 ＝﹣2+（﹣2） ＝﹣4． 5．先化简，再求值：4（a2b+ab2）+[2ab2﹣2（1﹣a2b）]﹣6ab2，其中． 【解答】解：4（a2b+ab2）+[2ab2﹣2（1﹣a2b）]﹣6ab2 ＝4a2b+4ab2+2ab2﹣2+2a2b﹣6ab2 ＝（4+2）a2b+（4+2﹣6）ab2﹣2 ＝6a2b﹣2， ∵， ∴a+2＝0，b0， 解得a＝﹣2，b， ∴原式＝6×（﹣2）22 ＝6×42 ＝12﹣2 ＝10． 6．先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|＝2，y，且xy＜0． 【解答】解：原式＝3x2y﹣2x2+xy2﹣3x2y+4xy2＝5xy2﹣2x2， ∵|x|＝2，y，且xy＜0， ∴x＝﹣2，y， 则原式8． 7．已知A＝2x﹣4xy+7y，． （1）化简A﹣2B； （2）当，xy＝﹣2，求A﹣2B的值． 【解答】解：（1）∵A＝2x﹣4xy+7y，， ∴A﹣2B ＝2x﹣4xy+7y﹣2 ＝2x﹣4xy+7y﹣4y+2xy+x ＝3x﹣2xy+3y； （2）∵，xy＝﹣2， ∴A﹣2B ＝3x﹣2xy+3y ＝3x+3y﹣2xy ＝3（x+y）﹣2xy ＝1+4 ＝5． 8．先化简，再求值：，其中a，b的取值使得3xa+1y与﹣2x3y﹣2b是同类项． 【解答】解： ＝ab+ab2， 由条件可知a+1＝3，﹣2b＝1， ∴， ∴原式． 9．化简：，并计算当a，b满足，ab＝﹣1时该整式的值． 【解答】解：原式＝（6a2﹣a+4b﹣2ab）﹣（6a2﹣9a﹣4b+3ab） ＝6a2﹣a+4b﹣2ab﹣6a2+9a+4b﹣3ab ＝8a+8b﹣5ab， ∵， ∴8a+8b﹣5ab ＝8（a+b）﹣5ab ＝12+5 ＝17． 10．已知B＝﹣5x2+3xy﹣2y2，C＝5x2﹣6xy+2y2，且A﹣B﹣C＝0． （1）求多项式A； （2）若（x+2）2+|y﹣1|＝0，求（1）中多项式A的值． 【解答】解：（1）∵A﹣B﹣C＝0，B＝﹣5x2+3xy﹣2y2，C＝5x2﹣6xy+2y2， ∴A＝B+C＝﹣5x2+3xy﹣2y2+5x2﹣6xy+2y2＝﹣3xy； （2）由条件可知x+2＝0，y﹣1＝0， ∴x＝﹣2，y＝1， ∴A＝﹣3xy＝﹣3×（﹣2）×1＝6． 训练5 含文字叙述的整式加减 含文字叙述的整式加减题，关键是先将文字信息转化为数学表达式，再按整式加减规则运算. 方法指导 1．有这样一道计算题：“3x2y+[2x2y﹣（5x2y2﹣5y2）]﹣5（x2y+y2﹣x2y2﹣1）”，无论x，y取何值，该代数式的值都一样，你知道其中的道理吗？请加以说明． 【解答】解：原式＝3x2y+2x2y﹣5x2y2+5y2﹣5x2y﹣5y2+5x2y2+5 ＝5， ∵该代数式的值与x，y的取值无关， ∴无论x，y取何值，代数式的值都一样． 2．有这样一道题“求（2x3﹣3x2y﹣2xy）﹣（x3﹣2xy+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中，y＝﹣1”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事呢？请你说明理由． 【解答】解：原式＝2x3﹣3x2y﹣2xy﹣x3+2xy﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3 ＝（2x3﹣x3﹣x3）+（﹣3x2y+3x2y）+（﹣2xy+2xy）+（﹣y3﹣y3） ＝﹣2y3， ∵化简结果不含x， ∴结果与x的取值无关， ∴他的计算结果是正确的． 3．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知B＝2x2﹣3x+6，试求A﹣2B的值”．小马虎将A﹣2B看成A+2B，计算结果为5x2﹣2x+8． （1）求多项式A； （2）求出当x＝﹣1时，A﹣B的值． 【解答】解：（1）由题意得：A＝5x2﹣2x+8﹣2B ＝5x2﹣2x+8﹣2（2x2﹣3x+6） ＝x2+4x﹣4； （2）∵A﹣B＝x2+4x﹣4﹣（2x2﹣3x+6） ＝x2+4x﹣4﹣2x2+3x﹣6 ＝﹣x2+7x﹣10； ∴当x＝﹣1时，A﹣B＝﹣（﹣1）2+7×（﹣1）﹣10＝﹣18 4．数学课上老师出了这样一道题目：“当a＝﹣2026，b＝2时，求3a3﹣3a2b+2b2﹣（2a3﹣2a2b+b2）﹣a3+a2b﹣4的值．”小明同学把a＝﹣2026错抄成了a＝2026，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ （1）请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． （2）小聪据此又改编了一道题，请你试一试：无论x取何值，多项式6x3+mx﹣4x+nx3+2的值都不变，求2m﹣n的值． 【解答】解：（1）3a3﹣3a2b+2b2﹣（2a3﹣2a2b+b2）﹣a3+a2b﹣4 ＝3a3﹣3a2b+2b2﹣2a3+2a2b﹣b2﹣a3+a2b﹣4 ＝b2﹣4， 原式的值与a的取值无关， 故小明计算结果正确； （2）6x3+mx﹣4x+nx3+2＝（6+n）x3+（m﹣4）x+2， ∵无论x取何值，多项式6x3+mx﹣4x+nx3+2的值都不变， ∴6+n＝0，m﹣4＝0， 解得：n＝﹣6，m＝4， 则2m﹣n＝2×4+6＝14． 5．已知A＝ax2﹣3x+by﹣1，B＝3﹣yx+x2且无论x，y为何值时，A﹣2B的值始终不变． （1）分别求a、b的值； （2）求ba的值． 【解答】解：（1）A﹣2B ＝ax2﹣3x+by﹣1﹣2（3﹣yx+x2） ＝ax2﹣3x+by﹣1﹣6+2y+3x﹣2x2 ＝（a﹣2）x2+（b+2）y﹣7， ∵A﹣2B的值始终不变， ∴a﹣2＝0，b+2＝0， ∴a＝2，b＝﹣2； （2）ba＝（﹣2）2＝4． 6．已知含字母m，n的代数式是：． （1）化简这个代数式． （2）聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母n取一个固定的数，无论字母m取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母n的值是多少呢？ 【解答】解：（1）原式＝3（m2+2n2+mn﹣6）﹣3m2﹣6n2+3mn﹣3m﹣3 ＝3m2+6n2+3mn﹣18﹣3m2﹣6n2+3mn﹣3m﹣3 ＝6mn﹣3m﹣21； （2）原式＝6mn﹣3m﹣21 ＝m（6n﹣3）﹣21， 当n时，无论字母m取何数，代数式的值恒为一个不变的数﹣21． 7．已知多项式A＝3x2﹣x+1，B＝kx2﹣（2x2+x﹣2）． （1）当x＝﹣1时，求A的值； （2）小华认为无论k取何值，A﹣B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A﹣B的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 【解答】解：（1）∵A＝3x2﹣x+1，当x＝﹣1时， ∴原式＝3×（﹣1）2﹣（﹣1）+1 ＝3×1+1+1 ＝5； （2）小明说法对； A﹣B＝3x2﹣x+1﹣kx2+（2x2+x﹣2） ＝3x2﹣x+1﹣kx2+2x2+x﹣2 ＝（5﹣k）x2﹣1， 当5﹣k＝0，即k＝5时，A﹣B＝﹣1． 8．老师布置如下一道数学题：已知两个多项式A，B，其中B＝2x2y﹣5xy+x+7，试求A+B．小明把A+B误看成A﹣B，结果求出的答案为6x2y+12xy﹣2x﹣9． （1）请你替小明求出A+B的正确答案； （2）小明发现，当时，无论x取何值，A﹣4B的值都是一个定值．他的发现正确吗？请说明理由． 【解答】解：（1）A＝6x2y+12xy﹣2x﹣9+（2x2y﹣5xy+x+7） ＝6x2y+12xy﹣2x﹣9+2x2y﹣5xy+x+7 ＝8x2y+7xy﹣x﹣2， ∴A+B＝8x2y+7xy﹣x﹣2+2x2y﹣5xy+x+7 ＝10x2y+2xy+5； （2）小明的发现正确，理由如下： A﹣4B＝8x2y+7xy﹣x﹣2﹣4（2x2y﹣5xy+x+7） ＝8x2y+7xy﹣x﹣2﹣8x2y+20xy﹣4x﹣28 ＝27xy﹣5x﹣30， 当时， A﹣4B＝27xy﹣5x﹣30＝5x﹣5x﹣30＝﹣30， 答：小明的发现正确，定值为﹣30． 9．嘉嘉准备完成题目：化简，发现系数“⊕”印刷不清楚． （1）他把“⊕”猜成2，请你化简：； （2）妈妈对嘉嘉说：“你猜错了，我看到标准答案的结果是一个常数．”请你通过计算说明原题中的“⊕”是几． 【解答】解：（1） ＝2x2+3x+7﹣3xx2﹣1 x2+6； （2） ＝⊕x2+3x+7﹣3xx2﹣1 ＝（⊕）x2+6， ∵结果是一个常数， ∴⊕0， ∴⊕是． 10．老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式A的二次项系数．如图： 已知两个多项式A＝x2﹣4x，B＝3x2+3x﹣2，试求A+3B． 然后告知该题A+3B的正确答案是x2+5x﹣6． （1）请求出A中被遮挡的二次项系数． （2）老师又给出了一个多项式C，并要求求出A﹣C的结果．小马虎在求解时，误把“A﹣C”看成“A+C”，进而求出的答案为x2﹣7x﹣3．现请你修正小马虎的错误，求出“A﹣C”的正确答案． 【解答】解：（1）A＝x2+5x﹣6﹣3B ＝x2+5x﹣6﹣3（3x2+3x﹣2） ＝﹣8x2﹣4x， ∴A中被遮挡的二次项系数为﹣8； （2）C＝x2﹣7x﹣3﹣A ＝x2﹣7x﹣3﹣（﹣8x2﹣4x） ＝9x2﹣3x﹣3， ∴A﹣C ＝﹣8x2﹣4x﹣（9x2﹣3x﹣3） ＝﹣17x2﹣x+3． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 整式的加减（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材】 训练1 不含某项的整式加减 在整式加减中遇到“不含某项”的问题，核心思路是通过合并同类项后，让指定项的系数为0。具体解题步骤如下：1. 先将整式中的同类项进行合并（同类项指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项）；2. 确定题目要求“不含”的项，找到其合并后的系数；3.若要求不含某一项，则该项目的系数必须为0，由此列方程求解未知数. 确定题目要求“不含”的项，找到其合并后的系数 先将整式中的同类项进行合并（同类项指所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项） 方法指导 1．已知整式A＝3x2﹣2x﹣1，整式B＝﹣2x2+kx﹣5，且2A+5B的结果中不含x的一次项，求k的值． 2．已知关于x、y的代数式A＝3x2﹣axy+y2，B＝x2+4xy﹣2y2． （1）当a＝2时，计算2A﹣B； （2）若2A﹣B不含xy项，求a2+1的值． 3．已知关于x的多项式ax3﹣9+2x2﹣bx2﹣8x3中不含x3与x2项，求代数式3（a2﹣3b2+3）﹣2（a2﹣4b2+ab﹣4）的值． 4．我们定义一种新运算，其规则为A*B＝﹣A﹣3B． （1）计算6※（﹣3）的值； （2）多项式A＝m2﹣3mn+2n，B＝﹣2amn+3n，若A*B的合并结果中不含mn项，求a的值． 5．已知A＝2x3+3ax﹣y，B＝bx3﹣3x+2y﹣1（其中a，b为常数）． （1）计算A﹣2B； （2）若A﹣2B不含三次项，求b的值． 6．已知关于x，y的多项式2（mx2﹣2y2）﹣（x﹣2y）与x﹣ny2﹣2x2的差不含x2和y2项． （Ⅰ）求m，n的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，化简求值（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）． 7．已知A＝2x2﹣3ax+2x﹣1，B＝﹣x2+2ax﹣3，且C＝3A﹣2B， （1）求多项式C； （2）若C中不含x的一次项，求﹣12﹣26a的值． 8．多项式与多项式A的和为．式子A+t（5x﹣1）不含一次项（t为常数）． （1）求多项式A； （2）求t的值． 9．已知关于x的整式A，B，其中A＝3x2+（a﹣1）x+1，B＝bx2+3x+2a﹣1． （1）当2B﹣A中不含x的二次项和一次项时，求a﹣b的值； （2）当b＝3，a为正整数时，A＝B﹣2a+8，求此时使x为正整数的a的值． 10．已知多项式6x2﹣2mxy﹣2y2+4xy﹣5x+2化简后的结果中不含xy项． （1）求m的值； （2）在（1）的条件下，若代数式﹣m3﹣2ab2﹣m+1﹣m2+3mb2+5（a为常数，b≠0）的值恒等于﹣8，求a的值． 训练2 与字母取值无关的整式加减 在整式加减中遇到“与字母取值无关”的问题，解题思路与“不含某项”类似，核心是让所有含该字母的项的系数之和为0，这样无论字母取何值，式子的结果都不受影响。具体步骤如下：1. 将整式中含目标字母的同类项合并，整理成关于该字母的表达式；2. 若结果与某字母取值无关，则所有含该字母的项的系数必须为0，由此列方程求解未知数. 方法指导 1．已知关于x的多项式A、B，其中A＝2mx2+7x﹣3，B＝x2﹣nx+5，若3B﹣A的结果与x的取值无关，求m、n的值． 2．已知整式A和B满足：A+2B＝5a+3ab，B＝4a+3ab﹣2． （1）求整式A（用所含a、b的代数式表示）； （2）若B﹣A的值与a的取值无关，求b的值． 3．已知A和B是关于x，y的两个多项式，A＝x2﹣xy+1，B＝2x2﹣3xy﹣2x+1． （1），求3A﹣（A+B）的值； （2）若3A﹣（A+B）的值与x无关，求y的值． 4．已知A＝﹣3x2﹣2mx+3x+1，B＝2x2+2mx﹣1． （1）求：2A+3B． （2）若2A+3B的值与x的取值无关，求m的值． 5．已知A＝3a2+5ab﹣2a﹣1，B＝﹣a2+ab﹣1． （1）若﹣A﹣3B+C＝0，求C．（用含a，b的式子表示C） （2）若A+3B的值与a的取值无关，求b的值． 6．已知P＝﹣4x2+3x﹣2，Q＝x2﹣2kx+1． （1）当x＝2，时，求P+4Q的值； （2）若P+4Q的值与x的值无关，求k的值． 7．设P＝x2﹣2xy+1，Q＝﹣2x2+xy． （1）当xy＝3时，求2P+Q的值； （2）当x≠0时，若代数式aP+bQ的值与y的取值无关，求实数a，b满足的关系式． 8．在（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣mxy2+y3）+（﹣x3+nx2y﹣y3）中，m、n为常数． （1）若m＝1、n＝1，化简原式； （2）若原式的值与x无关，求m、n． 9．已知A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝x2﹣xy﹣1． （1）化简：5A﹣2（B+2A），将结果用含有x、y的式子表示； （2）若（1）中式子的值与字母x的取值无关，求（﹣y）2+2A﹣4B的值． 10．已知：代数式A＝3x2﹣6xy+5x+1，代数式B＝2x2﹣3xy﹣3x﹣1，代数式C＝a（x2﹣2）﹣b（2x+3）． （1）化简A﹣2B所表示的代数式； （2）若代数式A﹣2B+C的值与x的取值无关，求出a+b的值． 训练3 化简求值（1） 本专练直接化简，然后将其值代入即可. 方法指导 1．先化简，再求值：2（a3﹣2b2）﹣3（a﹣2b）﹣（a﹣4b2+3a3），其中a＝﹣2，． 2．先化简，再求值：，其中，y＝2． 3．先化简，再求值：，其中． 4．求的值，其中． 5．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝﹣2． 6．先化简再求值：5x2﹣[2xy﹣3（xy﹣5）+6x2]．其中x＝﹣2，y． 7．先化简，再求值：，其中． 8．先化简，再求值：，其中． 9．已知整式A，B，C满足A﹣B＝2C，且A＝x3y+xy﹣3，C＝2x3y+3xy﹣4． （1）求整式B． （2）若x＝﹣2，y＝3，求整式B的值． 10．先化简，再求值：已知P＝a2+4ab+b2，Q＝a2﹣2ab﹣b2，求2P﹣[（Q﹣2P）﹣3（﹣P+Q）]的值，其中． 训练4 化简求值（2） 本专练难度提升，其中的题目，都是需要先找值，再代入，特别是遇到典型的“0十0”型时. 方法指导 1．化简求值：已知代数式A＝2x2+3xy+2y﹣1，B＝x2﹣xy，若（x+1）2+|y﹣2|＝0，求A﹣2B的值． 2．先化简，再求值：．其中|a+1|+（2b﹣2）2＝0． 3．化简求值：5a2b﹣[2a2b﹣3（2ab2﹣a2b）﹣5ab2﹣1]﹣4ab2，其中a，b满足（a﹣1）2+|b+2|＝0． 4．化简求值：．其中ab满足：（a+2）2+|b﹣1|＝0． 5．先化简，再求值：4（a2b+ab2）+[2ab2﹣2（1﹣a2b）]﹣6ab2，其中． 6．先化简，再求值：3x2y﹣[2x2﹣（xy2﹣3x2y）﹣4xy2]，其中|x|＝2，y，且xy＜0． 7．已知A＝2x﹣4xy+7y，． （1）化简A﹣2B； （2）当，xy＝﹣2，求A﹣2B的值． 8．先化简，再求值：，其中a，b的取值使得3xa+1y与﹣2x3y﹣2b是同类项． 9．化简：，并计算当a，b满足，ab＝﹣1时该整式的值． 10．已知B＝﹣5x2+3xy﹣2y2，C＝5x2﹣6xy+2y2，且A﹣B﹣C＝0． （1）求多项式A； （2）若（x+2）2+|y﹣1|＝0，求（1）中多项式A的值． 训练5 含文字叙述的整式加减 含文字叙述的整式加减题，关键是先将文字信息转化为数学表达式，再按整式加减规则运算. 方法指导 1．有这样一道计算题：“3x2y+[2x2y﹣（5x2y2﹣5y2）]﹣5（x2y+y2﹣x2y2﹣1）”，无论x，y取何值，该代数式的值都一样，你知道其中的道理吗？请加以说明． 2．有这样一道题“求（2x3﹣3x2y﹣2xy）﹣（x3﹣2xy+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中，y＝﹣1”甲同学把“”错抄成“”，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事呢？请你说明理由． 3．小马虎做一道数学题“两个多项式A，B，已知B＝2x2﹣3x+6，试求A﹣2B的值”．小马虎将A﹣2B看成A+2B，计算结果为5x2﹣2x+8． （1）求多项式A； （2）求出当x＝﹣1时，A﹣B的值． 4．数学课上老师出了这样一道题目：“当a＝﹣2026，b＝2时，求3a3﹣3a2b+2b2﹣（2a3﹣2a2b+b2）﹣a3+a2b﹣4的值．”小明同学把a＝﹣2026错抄成了a＝2026，但他的计算结果却是正确的，这是怎么回事？ （1）请你通过化简，说明小明计算结果正确的原因． （2）小聪据此又改编了一道题，请你试一试：无论x取何值，多项式6x3+mx﹣4x+nx3+2的值都不变，求2m﹣n的值． 5．已知A＝ax2﹣3x+by﹣1，B＝3﹣yx+x2且无论x，y为何值时，A﹣2B的值始终不变． （1）分别求a、b的值； （2）求ba的值． 6．已知含字母m，n的代数式是：． （1）化简这个代数式． （2）聪明的小智从化简的代数式中发现，只要字母n取一个固定的数，无论字母m取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小智所取的字母n的值是多少呢？ 7．已知多项式A＝3x2﹣x+1，B＝kx2﹣（2x2+x﹣2）． （1）当x＝﹣1时，求A的值； （2）小华认为无论k取何值，A﹣B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A﹣B的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由． 8．老师布置如下一道数学题：已知两个多项式A，B，其中B＝2x2y﹣5xy+x+7，试求A+B．小明把A+B误看成A﹣B，结果求出的答案为6x2y+12xy﹣2x﹣9． （1）请你替小明求出A+B的正确答案； （2）小明发现，当时，无论x取何值，A﹣4B的值都是一个定值．他的发现正确吗？请说明理由． 9．嘉嘉准备完成题目：化简，发现系数“⊕”印刷不清楚． （1）他把“⊕”猜成2，请你化简：； （2）妈妈对嘉嘉说：“你猜错了，我看到标准答案的结果是一个常数．”请你通过计算说明原题中的“⊕”是几． 10．老师在黑板上书写了一个计算题目，并用左手遮挡了多项式A的二次项系数．如图： 已知两个多项式A＝x2﹣4x，B＝3x2+3x﹣2，试求A+3B． 然后告知该题A+3B的正确答案是x2+5x﹣6． （1）请求出A中被遮挡的二次项系数． （2）老师又给出了一个多项式C，并要求求出A﹣C的结果．小马虎在求解时，误把“A﹣C”看成“A+C”，进而求出的答案为x2﹣7x﹣3．现请你修正小马虎的错误，求出“A﹣C”的正确答案． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $