云南省部分校2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 阁 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：集合，不等式，函数，三角函数与解三角形，平面向量与复数，数列，立体 :如： 几何，解析几何，计数原理与概率统计。 中 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A=(x|-2<x≤1)，B=(-3,-1,0,1,2),则A∩B= A.{-1,0,1) B.(-1,0) C.(1} D.{0,1)》 2.已知a∈R,若复数x=4a2-3a-1+(a一1)i是纯虚数，则a的值为 A日 B.- c-4或1 D.或-1 3.若点P(xo,4√2)为抛物线y2=8x上一点，则点P到其焦点的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8 4.某兴趣小组的12位同学一起拍照留念，要求排成前5位、后7位的两排，且组长甲站在前排 正中间，两位组员乙、丙站前排，则所有的排法有 A.A4A?种 B.AA3种 C.AAA种 D.CA1A3种 5.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正 方形的边长为1，则(c-a)·(b+2a)= A.24 B.-24 C.-18 D.18 【高三第一次月考·数学第1页（共4页）】 27-T-034C 6.已知a∈(0，)，且2cos2a-cosa=1,则sin(a+牙)= A.②-6 B.2+/6 4 C,35-7 D.7-35 4 8 P 7.已知圆锥的体积为24π，其母线与底面所成的角是60°，则该圆锥的侧面积为 A.12π B.16π C.24元 D.28π 1oga(x+1),x>0, 8.已知a>0,且a≠1，若函数f(x)= 在R上单调递减，则实数a的取 x2-2ax+1-2a,x≤0 值范围是 A.(0,1) B.(2,十∞) c(o,2] D[合) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知随机变量X服从正态分布N(4,d2),且P(X≤7)=0.64，则下列说法正确的是 A.P(X≤4)=0.5 B.P(X<1)=0.36 C.E(2X-1)=8 D.P(X一4<σ)随。的变化而变化 10.已知函数f(x)=cos(2x十p)(0<p<π)为奇函数，则 A.(x)的最小正周期为π B.将f(x)的图象向右平移5个单位可得到函数y=sin(2x+)的图象 C.f(x)在区间(0，牙)上单调递增 D,直线x=及是曲线y=f(x+石)的一条对称轴 11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,前n项积为Tm.若a?=一3，a1o=3,则 A.an=2n-15 B.nan的最小值为一35 C,Sn的最小值为S8 D.Tn的最小值为T, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在(x2-) 的展开式中，x3的系数是 13.已知数据，…，2的平均数为m,数据0，…，0的平均数为，其中正数m,n满足2 十3=1，则样本数据1，x2,…,x20的平均数的最小值为 14.甲、乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制（当一人赢得四局比赛时，该人获胜，比赛 结束).若甲在每局比赛中获胜的概率均为号，且各局比赛结果相互独立，则在甲获胜的条件 下，比赛进行了七局的概率为 【高三第一次月考·数学第2页（共4页）】 27-T-034C 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且√2 asin C-csin2A=0. (1)求角A; (2)若△ABC的面积为4，b=2,求边BC上的高. 16.(本小题满分15分) 随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多.商家销售商品， 既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系，为较好地达到这个 目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格.某商店以每件 2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x(元/件) 3 5 6 7 日销量y(件) 69 57 54 40 30 (1)由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程y=x十ā的斜率和截距的最小二乘法估计分别为= 含红-到6-列 =-6z.参考数据：空（x-刀)0-)=-95， 17.(本小题满分15分) 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各 100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节 目的男性观众数的2倍 (1)根据题中信息，完成下面列联表（单位：人）； 喜爱情况 性别 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 【高三第一次月考·数学第3页（共4页）】 27-T-034C (2)根据(1)中的列联表，依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为观众对该档节目的 喜爱情况与性别有关？ n (ad-bc)2 附：X2=(a+b(c+0aFc6+dn=a+b+c+d 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，DC=CC1=2, DC=√6，BC⊥DC1,点E是棱CC1的中点 (1)求证：平面ABCD⊥平面BCCB1; (2)求二面角E-DB-A,的正弦值. D 19.(本小题满分17分) 某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清 香”而闻名.已知脐橙分类标准：果径80mm~85mm为一级果，果径75mm~80mm为二 级果，果径70~75mm或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地 脐橙中随机抽取1000个，测量这些脐橙的果径（单位：mm),得到如图所示的频率分布直 方图 个频率/组距 0.06 0.045 0.030 0.018 0.013 0.004 可65707580859095100果径/mm (1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数； (2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70~85mm中抽出9个脐橙，为进一步 测量其他指标，在抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数X的分布列和数 学期望； (3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中 一级果的个数为Y,记一级果的个数为k的概率为P(Y=),写出P(Y=)的表达式，并 求出当k为何值时，P(Y=)最大， 【高三第一次月考·数学第4页（共4页）】 27-T-034C2026~2027学年秋季学期第一次月考·高三数学 参考答案、提示及评分细则 1.AA={x|-2<x≤1)，A∩B={-1,0,1).故选A. 14a2-3a-1=0 2.B因为复数之=4a2一3a一1十(a一1)i是纯虚数，所以 a-1≠0， 0解得a=一子故选B 3.C因为点P(xo,4V2)为抛物线y2=8.x上一点，所以(4V2)2=8xo,解得xo=4,且抛物线的准线为x= 一2，则点P到其焦点的距离为4十2=6.故选C. 4.D首先从排除甲、乙、丙的9人中选择2人，有C号种选法；其次这两人与乙、丙排在前排除了中间位置的 4个位置中，有A种排法；最后将剩余7人排在后排，有A?种排法.综上所述，所有的排法有C号AA好种.故 选D. 5.B建立如图所示的平面直角坐标系， 可知a=(-1,-2),b=(-2,1),c=(2,2),所以c-a=(2,2)-(-1,-2)=(3,4),b+2a= (-2,1)+2(-1,-2)=(-4,-3),所以(c-a)·(b十2a)=(3,4)·(-4,-3)=-24.故选B. 6.D由2cs2a-cosa=1得4cos'a-csa-3=0,又a∈(0，x),所以csa=-是，sna=牙，所以 如(e+号)=2血+停osa-7.35,故送D 7.C设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h,由母线与底面所成角是60°知l=2r,h=√3r,所以体积V= h=24,r=25,h=6,l=43,侧面积为元rl=24元.故选C. 3 8.C由y=log(x十1)是减函数，得0<a<1,又0<a<1时，y=x2-2a.x十1一2a在x≤0上单调递减，所以 log(x+1),x>0, 要函数f(x)= x2-2a.x+1-2a,x≤ 在R上单调递减，有0<a<1且1-2a≥0，所以0<a≤7.故选C 9.AB由题意知P(X≤4)=0.5，故A正确；因为随机变量X服从正态分布N(4,2),且P(X≤7)=0.64， 所以P(X<1)=P(X>7)=1-P(X≤7)=1-0.64=0.36，故B正确；E(2X-1)=2E(X)-1=7,故C 错误；根据正态分布的性质可得P(|X一4|<)不随。的变化而变化，故D错误.故选AB. 10.ABD 由题意，f(0)=cosp=0,因0<p<元，则p=,故f(x)=-sin2x,对于A,f(x)的最小正周期为 =元，故A正确：对于B,将x)的图象向右平移号个单位可以得到函数y=一sn[2(x一晋)门 -sin(2x-牙)=sin(2x+于)，故B正确；对于C,当x∈(0，年)时，4=2x∈(0，受)，而函数y=-sin1 【高三第一次月考·数学参考答案第1页（共4页）】 27一T一034C 在(0，受)上单调递减，故C错误；对于D,y=∫(x+晋)=一sin(2x+号)，x=变是其对称轴，故D正 确.故选ABD. 11.CD设{an}的公差为d,由a1o=a十3d,a=一3，a1o=3得d=2,an=一3十2(n一7)=2n-17,A错误；因 为an=n(21一17)，所以n=4时，nam取得最小值一36，B错误；由an=2n一17知，a1,a2,…,as都小于0， ag,a1o,…,都大于0，所以S,的最小值为S8,C正确；由an=2n一17知，Tm中，T1,T3,T5,T7都小于0，其他 的都大于0，显然T?最小，D正确.故选CD. 12.-540(x2-是)”展开式的通项公式为T+1=C(x2)-·(-）广厂=(-3)Cx2-,令12-3r=3, 解得r=3,所以x3的系数为(-3)3C=一540. 13.5因为数据1，x2,…,xg的平均数为m,数据x9,x10,…,x2o的平均数为n,所以x1十x2十…十x8=8m,2g 十xo十…十20=121，所以样本数据，2，…，x20的平均数元=西十十十28十2西十x0十…十x0= 20 8m2-号(2m+3m)=号(2m+3m)(层+号)=吉(13+0+0)≥5(13+2√俨·票)-=5，当 20 且仅当6m=60,即m=n=5时等号成立，故样本数据1,2，，20的平均数的最小值为5. 14.113 0 比四局，甲赢的概率为号×号×号×号-品：比五局，甲第五局赢，甲赢的概率为C(号）)广×子×号 =慕：比六局，甲第六局赢，甲羸的概率为C(号)'×（号）°×号一器：比七局，甲第七局赢，甲藏的概率为 C(号)×（分）广×号一所以甲熹的概率为品+第+捌+-，所以甲获胜的条件下，比 320 赛进行了七局的概率为28 20 1808 113 2187 15.解：(1)由正弦定理a sin A-sim B-sin asin C-esin 2A0,/sin Asin C-2sin Csin Acos A=0, b …2分 因为A,C∈(0，元)，所以sinA≠0，sinC≠0，所以cosA= 21 …4分 又A∈(0，π，所以A=平… 6分 (2)因为△ABC的面积为4，b=2,所以号X2csin平=4，解得c=4厄. …8分 由余弦定理a2=b十2-2 bccos A,.得a2=4+32-2X2X4V2×号=20，所以a=25. 2 …11分 设边BC上的高为A,则号×25A=4,解得人=5，即边BC上的高为 5 ，…13分 16.解，(1)由表知，x=号×(3+4+5+6+7)=5，=号×(69+57+54+40+30)=50，…2分 2(x,-)(0%-) (-)2=10,又= 2 -95 10 =-9.5,…5分 【高三第一次月考·数学参考答案第2页（共4页）】 27-T-034C 所以a=y-b元=50+9.5×5=97.5，… 7分 所以y关于x的经验回归方程为=一9.5x十97.5；…8分 (2)设商家的日利润为之元， 则之=y·(x-2)=(-9.5.x+97.5)(x-2)=-9.5x2+116.5.x-195,…12分 该二次函数的对称轴方程为x=116.5∈(6,6.5)， 19 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大. …… 15分 17.解：(1)设喜爱该档节目的男性观众数为x,则喜爱该档节目的女性观众数为70一x,不喜爱该档节目的女性 观众数为2x,则70一x十2x=100,得x=30.…2分 故列联表完成如下（单位：人）： 喜爱情况 性别 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 …7分 (2)零假设为H。:观众对该档节目的喜爱情况与性别无关， 据)中列联表的数据，计算得到Y=200×(30×6040X70=200≈2,198<2,706= 100×100×70×130 …12分 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H不成立，因此可以认为H。成立，即认为观众对 该档节目的喜爱情况与性别无关.…15分 18.(1)证明：取BC的中点O,连接DO,CO,如图所示 因为四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，故△BCD是等边三角形，所以DO=√3，DO⊥BC,·1分 又BC⊥DC,DC∩DO=D,DC1,DOC平面DC1O,故BC⊥平面DCO, ≈ …3分 又CO℃平面DCO,… …4分 B 故BC⊥CO,CO=√CC-OC=√3，故CO+DO=DC,故C1O⊥DO, 又DO∩BC=O,DO,BCC平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD,·6分 又COC平面BCCB,所以平面ABCD⊥平面BCCB.…8分 y B (2)解：以O为坐标原点，OD,OB,OC所在的直线分别为x,y,之轴建立空间 直角坐标系，如图所示.所以D(3,0,0),B(0,1,0),B(0,2,√3)，C(0,一1,0)，C（0,0,3), E(0,-是，号)，做Di=(-3,10),成=(0，-是，号)，D-瓜=(03w5), 设平面EDB的法向量为m=(x,y,2),所以m·D=-3x十y=0,m·B配=一多y =0，令y=5, 2y+③ 解得x=1,之=3，所以m=（1,3,3). 11分 【高三第一次月考·数学参考答案第3页（共4页）】 27-T-034C 设平面DBA1的法向量为n=(a,b,c),所以n·DB=一√3a十b=0,n·DA1=3b十V3c=0,令b=3,解得 Q=1,c=-3,所以n=(1,√5，-3).…13分 m·n 5 5 所以|cos(m,n川=Tmm=/1+3+9XV/1+3+亏-3' 15分 所以sinm,)=√一cosm,m-号，即二面角E-DB-A,的正弦值为号， 17分 19.解：(1)果径[65,80)的频率为(0.013十0.030+0.045)×5=0.44<0.5， 果径[65,85)的频率为(0.013+0.030+0.045+0.060)×5=0.74>0.5， 故果径的中位数在[80,85)，不妨设为a,则(a一80)×0.060=0.5-0.44=0.06， 解得中位数Q=81.…4分 (2)果径[70,75)，[75,80)，[80,85)的频率之比为(0.03×5)：(0.045×5)：(0.06×5)=2：3：4， 所以分层抽样过程中，一级果、二级果、三级果个数分别为4,3,2个，…5分 故随机变量X=0,1,2,3, PX=0)-g=0 6分 P(X=1)=C3C=10 Cg-21' ……7分 P(X=2)=cC=5 C☒-14' …………8分 PX=8)-8=, …9分 所以X的分布列为 0 1 2 3 5 21 期塑EX0=0×最+1×9+2×是+3×分-号 10分 (3)这批果实中-级果的概率P=哥每个果实相互独立，则Y~B(10,品)， 11分 则PY=)=C·(员广.（名）》0-，题目即求k为何值时，PY=6最大，…12分 令P(Y=+1业 C·().（品）” P(Y=k) c·()·(0) 3100-2>1,解得k<29.3,…15分 7(k+1) 故当k≤29时，P(Y=k+1)>P(Y=k),即P(Y=30)>P(Y=29)>P(Y=28)>P(Y=27)>…,当k≥30 时，P(Y=k+1)<P(Y=k),即P(Y=30)>P(Y=31)>P(Y=32)>P(Y=33)>…,所以P(Y=k)mx= P(Y=30), 即一级果的个数k为30时，P(Y=k)最大. 17分 【高三第一次月考·数学参考答案第4页（共4页）】 27-T-034C