第14章全等三角形分层作业-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第14章全等三角形分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础达标 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•遵义月考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝10，BC＝9，∠A＝60° B．AB＝6，BC＝5，∠A＝40° C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 2．（2026秋•南宁校级月考）如图，已知△AOC≌△BOD，点C与点D是对应点，下列结论中错误的是（　　） A．AC＝BD B．∠AOC＝∠BOD C．AO＝DO D．∠A＝∠B 3．（2026秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于点D，且OD＝2，则△ABC的面积是（　　） A．12 B．16 C．24 D．30 4．（2025秋•潮州期末）如图，AB与CD交于点O，已知△AOD≌△COB，∠A＝40°，∠D＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 5．（2026春•高新区期末）如图，点E，F在AC上，AD＝BC，AD∥BC，下列条件中不能使△ADF≌△CBE是（　　） A．DF＝BE B．AE＝CF C．BE∥DF D．∠D＝∠B 6．（2026秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．点D为AB的中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 7．（2026•青秀区校级开学）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　） A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB过线段OP的中点 8．（2026春•龙岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•平江县期末）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了∠CO′D＝∠AOB，则△OEF≌△O′NM的理由是　 　 ． 10．（2025秋•嘉荫县期末）如图，B是AD中点，∠C＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DBE，可以添加的条件是 　 　 .（写出一个即可） 11．（2026春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　 　 ． 12．（2025秋•桂林期末）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上．若AC＝6，则CE＝　 　 ． 13．（2025秋•南湖区校级期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则的值为　 　 ． 14．（2025秋•邵东市期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC 于点D，DE⊥AB于点E，已知AB＝5，BC＝4，则△AED的周长　 　 ． 三．解答题（共8小题） 15．（2026•镇江）如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AB的延长线上，AE＝AC，连接DE． （1）求证：△ACD≌△AED． （2）已知AC＝3，AB＝2，则BE的长为　 　 ． 16．（2025秋•庆阳期末）如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 17．（2025秋•密云区月考）已知：如图，等边三角形DEF的顶点分别在等边三角形ABC的边上．求证：AD＝BE＝CF． 18．（2026春•兴宁市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DF＝BD． （1）若AC＝8，AB＝10．且△ABC的面积等于24，则DE的长为　 　 ． （2）求证：CF＝BE． 19．（2025秋•遵义月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 思维达标 20．（2026秋•同步）将两个全等的直角△ABC和△DBE（顶点A、B的对应点分别为D、B）按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在边AB上，DE所在的直线交AC所在的直线于点F． （1）求证：AF+EF＝DE； （2）若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，其中0°＜α＜60°，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？直接写出结论． （3）若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由． 21．（2025秋•原阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝12厘米．过点C作直线l⊥BC，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线l上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒． （1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP＝ 　 　 厘米，CQ＝ 　 　 厘米； （2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米2，求t的值； （3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABP与△ACQ全等？ 22．（2025秋•龙泉市期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连结DF，DF＝DB． （1）求证：△BDE≌△FDC． （2）若AB＝m，AF＝n，用含m，n的代数式表示AC的长． （3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC，AD平分∠BAC且满足DB＝DC．探究AD，AB，AC之间的数量关系，并说明理由． 第14章全等三角形分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•遵义月考）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（　　） A．AB＝10，BC＝9，∠A＝60° B．AB＝6，BC＝5，∠A＝40° C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90° 【解答】解：选项A：∵已知∠A＝60°，AB＝10，BC＝9，为两边和其中一边的对角（SSA）， ∴不能保证唯一三角形． 选项B：∵已知AB＝6，BC＝5，∠A＝40°，同样为SSA， ∴不能保证唯一三角形． 选项C：∵已知∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8，为两角和夹边（ASA）， ∴能画出唯一△ABC． 选项D：∵已知∠C＝90°，∠A＝40°，∠B＝50°，为三个角（AAA）， ∴只能确定形状，不能确定大小，不能画出唯一三角形． 故选：C． 2．（2026秋•南宁校级月考）如图，已知△AOC≌△BOD，点C与点D是对应点，下列结论中错误的是（　　） A．AC＝BD B．∠AOC＝∠BOD C．AO＝DO D．∠A＝∠B 【解答】解：∵△AOC≌△BOD，点C与点D是对应点， ∴AC＝BD，∠AOC＝∠BOD，∠A＝∠B，AO＝BO，CO＝DO， ∴A、B、D正确，不符合题意；C结论错误，符合题意． 故选：C． 3．（2026秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC＝12，过O作OD⊥BC于点D，且OD＝2，则△ABC的面积是（　　） A．12 B．16 C．24 D．30 【解答】解：如图，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，连接AO， ∵点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D，且OD＝2， ∴OD＝OE＝2，OD＝OF＝2， ∵AB+BC+AC＝12， ∴S△AOB+S△BOC+S△AOC ＝AB+BC+AC ＝12， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴S△ABC＝12． 故选：A． 4．（2025秋•潮州期末）如图，AB与CD交于点O，已知△AOD≌△COB，∠A＝40°，∠D＝25°，则∠B的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 【解答】解：∵△AOD≌△COB，∠A＝40°，∠D＝25°， ∴∠B＝∠D＝25°（全等三角形对应角相等）； 故选：A． 5．（2026春•高新区期末）如图，点E，F在AC上，AD＝BC，AD∥BC，下列条件中不能使△ADF≌△CBE是（　　） A．DF＝BE B．AE＝CF C．BE∥DF D．∠D＝∠B 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C， ∵AD＝BC， ∴当添加DF＝BE，不能判断△ADF≌△CBE，所以A选项符合题意； 当添加AE＝CF，则AF＝CE，△ADF≌△CBE（SAS），所以B选项不符合题意； 当添加BE∥DF，则∠AFD＝∠CEB，△ADF≌△CBE（AAS），所以C选项不符合题意； 当添加∠D＝∠B时，△ADF≌△CBE（ASA），所以D选项不符合题意． 故选：A． 6．（2026秋•西安校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B＝∠C，BC＝8cm．点D为AB的中点，点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为vcm/s，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 【解答】解：设运动时间为ts， ∵AB＝AC＝12cm，D是AB中点， ∴∠B＝∠C，， 由题意得：CQ＝vtcm，BP＝2tcm， ∵BC＝8cm， ∴CP＝（8﹣2t）cm， ∵∠B＝∠C， ∴分两种情况： 当△BPD≌△CPQ时， ∴BD＝CQ，BP＝CP， ∴2t＝8﹣2t，6＝vt， 解得：t＝2，v＝3； 当△BPD≌△CQP时， ∴BP＝CQ，BD＝CP， ∴2t＝vt，6＝8﹣2t， 解得：v＝2，t＝1； 综上所述：为使△BPD与△CQP在两点运动过程中全等，点Q的速度应为2cm/s或3cm/s． 故选：C． 7．（2026•青秀区校级开学）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（　　） A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB过线段OP的中点 【解答】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB， ∴PA＝PB， 在Rt△APO和Rt△BPO中， ， ∴Rt△APO≌Rt△BPO（HL）， ∴OA＝OB，∠APO＝∠BPO， ∴PO平分∠APB， 由已知无法确定AB过线段OP的中点， 故选项A、B、C正确，选项D错误， 故选：D． 8．（2026春•龙岗区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•平江县期末）如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了∠CO′D＝∠AOB，则△OEF≌△O′NM的理由是SSS ． 【解答】解：从作图可知，OE＝O′N，OF＝O′M，EF＝NM， ∴△OEF≌△O′NM（SSS）， ∴△OEF≌△O′NM的理由是SSS， 故答案为：SSS． 10．（2025秋•嘉荫县期末）如图，B是AD中点，∠C＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DBE，可以添加的条件是 　∠A＝∠D（答案不唯一）　 .（写出一个即可） 【解答】解：∵AB＝DB，∠CBE＝∠ABD， ∴可添加∠A＝∠D， 在△ABC和△DBE中， ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， 故答案为：∠A＝∠D答案不唯一）． 11．（2026春•浦东新区校级期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的两点，连接BE，CF，且BE∥CF，AE＝13，AF＝7，则DE的长为　3　 ． 【解答】解：∵△ABC中，AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∵点F在线段AE上，AE＝13，AF＝7， ∴EF＝AE﹣AF＝6， ∵BE∥CF， ∴∠E＝∠CFD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DFEF＝3， 故答案为：3． 12．（2025秋•桂林期末）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上．若AC＝6，则CE＝　6　 ． 【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE， ∴AC＝AE，∠CAE＝60°， ∴△AEC是等边三角形， ∴CE＝AC， ∵AC＝6， ∴CE＝6． 故答案为：6． 13．（2025秋•南湖区校级期末）如图，在△ABC中，S△ABC＝21，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E为AD的中点．连接BE，点F为BE上一点，且BF＝2EF．若S△DEF＝2，则的值为　　 ． 【解答】解：∵BF＝2EF，S△DEF＝2， ∴S△BDE＝3S△DEF＝3×2＝6， ∵点E为AD的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝2×6＝12， ∵S△ABC＝21， ∴S△ACD＝21﹣12＝9， 过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴DM＝DN（三角形中线定理）， ∴， 则的值为． 故答案为：． 14．（2025秋•邵东市期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC 于点D，DE⊥AB于点E，已知AB＝5，BC＝4，则△AED的周长　4　 ． 【解答】解：由勾股定理可知， ∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴∠CBD＝∠EBD，∠C＝∠DEB＝90°， ∵BD＝BD， ∴△BDE≌△BDC（AAS）， ∴BE＝BC＝4，CD＝DE， ∴AE＝AB﹣BE＝1， ∴△AED的周长＝AD+DE+AE ＝AD+CD+AE ＝AC+AE ＝3+1 ＝4． 故答案为：4． 三．解答题（共8小题） 15．（2026•镇江）如图，AD为△ABC的角平分线，点E在AB的延长线上，AE＝AC，连接DE． （1）求证：△ACD≌△AED． （2）已知AC＝3，AB＝2，则BE的长为　1　 ． 【解答】（1）证明：∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）； （2）解：∵AE＝AC＝3，AB＝2， ∴BE＝AE﹣AB＝3﹣2＝1， 故答案为：1． 16．（2025秋•庆阳期末）如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴BC＝DE； （2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°， ∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°， ∴∠CAE＝40°， ∵△BAC≌△DAE， ∴AC＝AE， ∴∠ACE＝∠E70°． 17．（2025秋•密云区月考）已知：如图，等边三角形DEF的顶点分别在等边三角形ABC的边上．求证：AD＝BE＝CF． 【解答】证明：∵△ABC和△DEF均为等边三角形， ∴∠C＝∠A＝60°，∠DFE＝60°，EF＝DF， ∴∠AFD+∠EFC＝180°﹣∠DFE＝120°， 又∵∠AFD+∠ADF＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠EFC＝∠ADF， 在△EFC和△FAD中， ， ∴△EFC≌△FAD（AAS）， ∴CF＝AD， 同理可证：△DBE≌△EFC（AAS）， ∴BE＝CF， ∴AD＝BE＝CF． 18．（2026春•兴宁市期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且DF＝BD． （1）若AC＝8，AB＝10．且△ABC的面积等于24，则DE的长为　　 ． （2）求证：CF＝BE． 【解答】（1）解：∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC＝24， ∴AC•DCAB•DE＝24， ∵AC＝8，AB＝10，DC＝DE， ∴8DE10DE＝24， 解得DE， ∴DE的长是， 故答案为：． （2）证明：∵∠C＝90°，ED⊥AB于点E， ∴DC⊥AC于点C，∠DEB＝90°， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC于点C，ED⊥AB于点E， ∴DC＝DE， 在Rt△DCF和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF＝BE． 19．（2025秋•遵义月考）如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝9，AD＝8，CD＝10，且S△ACD＝18，求△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB， ∴∠F＝90°（垂直的定义）， ∵∠AEF＝50°， ∴∠BAE＝∠F+∠AEF＝90°+50°＝140°， ∵∠BAE＝∠BAD+∠CAD，∠BAD＝100°， ∴∠CAD＝∠BAE﹣∠BAD＝140°﹣100°＝40°， 则∠CAD的度数为40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD交AD于点G，EH⊥BC交BC于点H， ∵∠AEF＝50°， ∴由（1）可知，∠EAF＝∠CAD＝90°﹣50°＝40°， ∴AE平分∠FAD， ∵EF⊥AF，EG⊥AD， ∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC， ∴EF＝EH， ∴EG＝EH（等量代换）， ∵EG⊥AD，EH⊥BC， ∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝18， ∴S△ADE+S△CDE＝18， ∴， ∵AD＝4，CD＝8，EG＝EH， ∴， ∴EH＝3， ∴EF＝3， ∵AB＝6， ∴， 所以△ABE的面积为9． 20．（2026秋•同步）将两个全等的直角△ABC和△DBE（顶点A、B的对应点分别为D、B）按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在边AB上，DE所在的直线交AC所在的直线于点F． （1）求证：AF+EF＝DE； （2）若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，其中0°＜α＜60°，其他条件不变，那么（1）中的结论是否仍然成立？直接写出结论． （3）若将图中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵△DBE≌△ABC， ∴BE＝BC，DE＝AC． 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF， ∴AF+EF＝AC＝DE． （2）解：结论依然成立：AF+EF＝DE． 如图所示，延长DE交AC与点F，连接BF， ∵△DBE≌△ABC， ∴BE＝BC，DE＝AC． 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴EF＝CF， ∴AF+EF＝AC＝DE； （3）解：结论：DE+EF＝AF． 理由：如图， ∵△DBE≌△ABC， ∴BE＝BC，DE＝AC． 在Rt△BCF和Rt△BEF中， ∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL）， ∴CF＝EF． ∴AF＝AC+CF＝DE+EF． 21．（2025秋•原阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝12厘米．过点C作直线l⊥BC，动点P从点C开始沿射线CB方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线l上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接AP、AQ，设运动时间为t秒． （1）请写出CP、CQ的长度（用含t的代数式表示）：CP＝ 　2t 厘米，CQ＝ t 厘米； （2）当点P在边BC上时，若△ABP的面积为24厘米2，求t的值； （3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABP与△ACQ全等？ 【解答】解：（1）由题意可得：CP＝2tcm，CQ＝tcm， 故答案为：2t，t； （2）如图1，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝12cm，AD⊥BC， ∴AD＝BD＝CD＝6cm， ∵△ABP的面积为24cm2， ∴BP×6＝24， ∴BP＝8， ∴12﹣2t＝8， ∴t＝2； （3）如图2，当点Q向上运动时， ∵AB＝AC，∠ACQ＝∠ABP＝45°， ∴点P在线段CB上， ∴当BP＝CQ时，△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴12﹣2t＝t， ∴t＝4； 如图3，当点Q向下运动时， ∵AB＝AC，∠ACQ＝∠ABP＝135°， ∴点P在线段CB的延长线上， ∴当BP＝CQ时，△ABP≌△ACQ（SAS）， ∴2t﹣12＝t， ∴t＝12； 综上所述：当t＝4或12时，△ABP与△ACQ全等． 22．（2025秋•龙泉市期末）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在边AC上，连结DF，DF＝DB． （1）求证：△BDE≌△FDC． （2）若AB＝m，AF＝n，用含m，n的代数式表示AC的长． （3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC，AD平分∠BAC且满足DB＝DC．探究AD，AB，AC之间的数量关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴DC＝DE，∠DEB＝90°， 在Rt△BDE和Rt△FDC中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）； （2）解：由（1）知，Rt△BDE≌Rt△FDC ∴CF＝BE， 在Rt△ACD和Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE； ∵AB＝AE+BE ∴AB＝AC+BE， ∵AC＝AF+CF， ∴AB＝AF+2BE， ∵AB＝m，AF＝n， ∴BE（m﹣n）， ∴AC＝AE＝AB﹣BE＝m（m﹣n）（m+n）； （3）AD（AB+AC）；理由如下： 如图，过D作DH⊥AB于点H，过D作DG⊥AC于点G， 由（2）可得AH＝AG（AB+AC）， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴△AHD为等腰直角三角形， ∴AH＝DH， ∴ADAH（AB+AC）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $