第13章 三角形 分层作业 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第13章三角形分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础达标 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•大兴安岭期末）以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　　） A．6，4，2 B．6，3，3 C．7，3，2 D．5，5，2 2．（2025秋•勃利县期末）等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个内角的度数分别是（　　） A．65°，65° B．50°，80° C．80°，80° D．65°，65°或50°，80° 3．（2026秋•扶绥县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，若∠DCE＝39°，则∠ECB的度数为（　　） A．21° B．22° C．23° D．24° 4．（2026•锦江区校级模拟）下列说法中，正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 5．（2026•宁夏模拟）一副三角板拼成如图所示的图形，那么∠DAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 6．（2026春•盐湖区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E，点F是AB上一点，连接DF，且DF⊥BC，下列说法中不正确的是（　　） A．线段DE是△ABD中AB边上的高 B．线段DE是△ADF中AF边上的高 C．线段DF是△ABD中BD边上的高 D．线段AC是△ABD中BD边上的高 7．（2026•扶绥县校级开学）如图，BD是△ABC的中线，AB＝10，若△ABD的周长比△CBD的周长多2，则BC的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．12 8．（2025秋•金安区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•营山县期末）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 　 　 ． 10．（2026春•萍乡期末）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，满足|a﹣6|+（b﹣8）2＝0，则△ABC的周长是　 　 ． 11．（2026春•玄武区期中）如图，某工人加工一个机器零件，∠E＝40°，∠F＝145°，∠D＝35°，∠A＝60°，则∠B＝　 　 °． 12．（2026•江门校级开学）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝　 　 ． 13．（2026春•沙坪坝区校级期中）如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE是△ACD的高，∠ABC＝42°，∠ADC＝∠ACD，则∠DCE＝　 　 °． 14．（2025秋•邵阳校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，若∠ACE＝36°，∠ADC＝80°，则∠B的度数为　 　 ． 三．解答题（共8小题） 15．（2026秋•南山区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c是奇数，试判断△ABC的形状； （2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|． 16．（2025秋•临沂月考）某木材零件如图所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 17．（2025秋•固镇县期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝58°，∠C＝65°，求∠ADE和∠EDC的度数． 18．（2025秋•上城区校级期末）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 19．（2026春•玄武区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，AE平分∠BAC分别交BC，CD于点E，F．求证∠CEF＝∠CFE． 思维达标 20．（2025春•浦东新区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 21．（2025春•张店区期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　 　 个，以点O为交点的“8字型”有　 　 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 22．（2025秋•花垣县期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”． 【理解】（1）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝132°，则这个三角形中最小的内角度数为　 　 ． （2）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝60°，则这个三角形中最小的内角度数为　 　 ． 【应用】（3）如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，分别延长BA和DC，交于点P．已知∠P＝30°，若在“开心三角形”ABE中，∠B与另一个角互为“开心角”，设∠B＝α，求α的值． 第13章三角形分层作业-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2025秋•大兴安岭期末）以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　　） A．6，4，2 B．6，3，3 C．7，3，2 D．5，5，2 【解答】解：A．∵4+2＝6，等于第三边6，∴不能构成三角形，不符合题意； B．∵3+3＝6，等于第三边6，∴不能构成三角形，不符合题意； C．∵3+2＝5＜7，∴不能构成三角形，不符合题意； D．∵5+2＞5，∴能构成三角形，符合题意． 故选：D． 2．（2025秋•勃利县期末）等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个内角的度数分别是（　　） A．65°，65° B．50°，80° C．80°，80° D．65°，65°或50°，80° 【解答】解：根据等腰三角形的性质， 当50°为顶角时，设底角为x， 则50+2x＝180， 解得：x＝65， 所以另外两个角为65°，65°． 当50°为底角时，另一个底角也为50°， 则顶角为180°﹣50°﹣50°＝80°， 所以另外两个角为50°，80°． 综上所述，另外两个内角的度数分别为65°，65°或50°，80°． 故选：D． 3．（2026秋•扶绥县校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，若∠DCE＝39°，则∠ECB的度数为（　　） A．21° B．22° C．23° D．24° 【解答】解：∵CD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高， ∴∠ACD＝∠BCD∠ACB，CE⊥AB交AB的延长线于点E， ∴∠E＝90°， ∵∠DCE＝39°， ∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣39°＝51°， ∵∠A＝∠ACB， ∴∠ACD∠A， ∵∠CDE＝∠A+∠ACD＝∠A∠A∠A， ∴∠A＝51°， ∴∠A＝34°， ∴∠ACD＝∠BCD∠A34°＝17°， ∴∠ECB＝∠DCE﹣∠BCD＝39°﹣17°＝22°， 故选：B． 4．（2026•锦江区校级模拟）下列说法中，正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．三角形的三条高交于一点 C．过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离 【解答】解：A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意； B．三角形的三条高不一定交于一点，故本选项错误，不符合题意； C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意； D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到该直线的距离，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 5．（2026•宁夏模拟）一副三角板拼成如图所示的图形，那么∠DAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【解答】解：由题意得：∠ABC＝45°，∠ACB＝60°， ∵∠DAC是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝105°． 故选：D． 6．（2026春•盐湖区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E，点F是AB上一点，连接DF，且DF⊥BC，下列说法中不正确的是（　　） A．线段DE是△ABD中AB边上的高 B．线段DE是△ADF中AF边上的高 C．线段DF是△ABD中BD边上的高 D．线段AC是△ABD中BD边上的高 【解答】解：A．因为DE⊥AB，点D是△ABD的顶点，所以线段DE是△ABD中AB边上的高，说法正确，不符合题意； B．因为DE⊥AB，AF是AB上的线段，垂足E在AF其延长线上点，D是△ADF的顶点，所以线段DE是△ADF中AF边上的高，说法正确，不符合题意； C．因为DF⊥BC，即DF⊥BD，但DF是从点D出发的线段，△ABD中BD边对应的顶点是A，所以线段DF是△ABD中BD边上的高，说法错误，符合题意； D．因为∠C＝90°，即AC⊥BC，BD在BC边上，点A是△ABD的顶点，所以线段AC是△ABD中BD边上的高，说法正确，不符合题意． 故选：C． 7．（2026•扶绥县校级开学）如图，BD是△ABC的中线，AB＝10，若△ABD的周长比△CBD的周长多2，则BC的长为（　　） A．5 B．7 C．8 D．12 【解答】解：∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∴C△ABD﹣C△CBD ＝（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD） ＝AB﹣BC ＝10﹣BC， ∵△ABD的周长比△CBD的周长多2， ∴10﹣BC＝2， 解得BC＝8． 故选：C． 8．（2025秋•金安区校级期末）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在点F处，∠1+∠2＝100°，则∠A的度数是（　　） A．55° B．50° C．70° D．65° 【解答】解：根据折叠的性质，可知：∠ADE＝∠FDE，∠AED＝∠FED， ∵∠1+∠FDE+∠ADE＝180°，∠2+∠FED+∠AED＝180°， ∴∠ADE+∠AED（180°﹣∠1+180°﹣∠2）[360°﹣（∠1+∠2）]（360°﹣100°）＝130°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣130°＝50°． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 9．（2025秋•营山县期末）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 　三角形具有稳定性　 ． 【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 10．（2026春•萍乡期末）已知a，b，c是等腰△ABC的三边长，满足|a﹣6|+（b﹣8）2＝0，则△ABC的周长是　20或22　 ． 【解答】解：根据绝对值和平方的非负性可知：a﹣6＝0，b﹣8＝0， ∴a＝6，b＝8． ∵△ABC为等腰三角形，且三边为a，b，c， ∴①若a、c为腰，则c＝a＝6，则底边b＝8，此时三边为6、6、8，满足三角形三边关系，周长为6+6+8＝20． ②若b、c为腰，则b＝c＝8，底边a＝6，三边为6、8、8，满足三角形三边关系，周长为6+8+8＝22． ∴△ABC的周长为20或22． 故答案为：20或22． 11．（2026春•玄武区期中）如图，某工人加工一个机器零件，∠E＝40°，∠F＝145°，∠D＝35°，∠A＝60°，则∠B＝　50　 °． 【解答】解：延长DF交CE于点H， ∵∠DFE＝∠E+∠FHE，∠E＝40°，∠DFE＝145°， ∴∠FHE＝∠DFE﹣∠E＝105°， ∴∠CHD＝180°﹣∠FHE＝75°， ∵∠A+∠B＝∠BCD＝∠D+∠CHD，且∠D＝35°，∠A＝60°， ∴∠B＝∠D+∠CHD﹣∠A＝35°+75°﹣60°＝50°， 故答案为：50． 12．（2026•江门校级开学）如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，若∠ABO+∠ACO＝65°，则∠E＝　25°　 ． 【解答】解：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×65°＝130°， ∴∠A＝180°﹣130°＝50°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE∠ACD， ∵∠DCE＝∠E+∠CBE， ∴∠ACD＝∠E+∠CBE， ∵∠ACD＝∠A+∠ABC， ∴（∠A+∠ABC）＝∠E+∠CBE， ∵∠ABC＝2∠CBE， ∴（∠A+2∠CBE）＝∠E+∠CBE， ∴∠E∠A50°＝25°． 故答案为：25°． 13．（2026春•沙坪坝区校级期中）如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，CE是△ACD的高，∠ABC＝42°，∠ADC＝∠ACD，则∠DCE＝　16　 °． 【解答】解：∵∠ADC＝∠BAD+∠ABC，且∠ABC＝42°， ∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝∠ADC﹣42°， ∵∠ADC＝∠ACD， ∴∠CAD＝180°﹣（∠ADC﹣∠ACD）＝180°﹣2∠ADC， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC﹣42°＝180°﹣2∠ADC， ∴∠ADC＝74°， ∵CE是△ACD的高， ∴CE⊥AD于点E， ∴∠CED＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣∠ADC＝90°﹣74°＝16°， 故答案为：16． 14．（2025秋•邵阳校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，若∠ACE＝36°，∠ADC＝80°，则∠B的度数为　53°　 ． 【解答】解：∵CE⊥AB于点E， ∴∠AEC＝90°， ∴∠BAC＝180°﹣∠AEC﹣∠ACE＝180°﹣90°﹣36°＝54°， ∵AD平分∠BAC， ∴（角平分线的性质）， ∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣27°＝53°， 则∠B的度数为53°， 故答案为：53°． 三．解答题（共8小题） 15．（2026秋•南山区校级月考）已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c是奇数，试判断△ABC的形状； （2）化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长，a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2，即3＜c＜7， ∵c是奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边长 ∴a﹣b＜c，b﹣c＜a，c﹣a＜b， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b| ＝﹣a+b+c+（﹣b）+c+a+（﹣c）+a+b ＝a+b+c． 16．（2025秋•临沂月考）某木材零件如图所示，图纸要求∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°，零件样品生产出来后，经测量得到∠C＝90°，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【解答】解：该零件不符合要求，理由如下： 延长AE交BC于D， ∵∠ADB是△ADC的外角， ∴∠ADB＝∠A+∠C， 同理，∠AEB是△BED的外角， ∴∠AEB＝∠B+∠BDE， ∴∠AEB＝∠A+∠B+∠C， ∴∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）， ∵符合标准的零件∠A＝∠B＝15°，∠AEB＝125°， ∴符合标准的零件∠C＝∠AEB﹣（∠A+∠B）＝125°﹣（15°+15°）＝85°， ∵∠C＝90°≠85°， ∴该零件不符合规格． 17．（2025秋•固镇县期末）如图，AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于点E，若∠BAC＝58°，∠C＝65°，求∠ADE和∠EDC的度数． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝58°，∠C＝65°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝57°， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC＝29°， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD＝29°，∠EDC＝∠ABC＝57°． 18．（2025秋•上城区校级期末）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，∠ABC＝54°，∠C＝76°． （1）求∠ABE的度数； （2）若AD是△ABC的角平分线，AD交BE于点F，求∠EFD的度数． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC＝54°，∠C＝76°， ∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠C）＝180°﹣（54°+76°）＝50°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAC+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝90°﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°； （2）∵∠BAC＝50°，AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝1/2∠BAC＝25°， ∵∠EFD是△AEF的一个外角， ∴∠EFD＝∠DAC+∠AEB＝25°+90°＝115°． 19．（2026春•玄武区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，AE平分∠BAC分别交BC，CD于点E，F．求证∠CEF＝∠CFE． 【解答】证明：∵AE平分∠BAC，分别交BC，CD于点E， ∴∠CAE＝∠BAE， ∵∠CEF是△ABE的外角，∠CFE是△ACF的外角， ∴∠CEF＝∠B+∠BAE，∠CFE＝∠CAE+∠ACD， ∵∠ACD＝∠B，∠CAE＝∠BAE， ∴∠CEF＝∠CFE． 20．（2025春•浦东新区校级期末）在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD． （1）如图1，求∠BAC的度数； （2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC． 【解答】（1）解：设∠ABD＝x°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝x°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2x°， 又∵BD＝AD， ∴∠A＝x°， 又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°， ∴∠BDC＝∠C＝2x°， ∴BD＝BC， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠A＝36°， ∴∠BAC的度数为36°； （2）∵E是AB的中点，BD＝AD， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FBA＝∠FAB＝72°， ∴∠AFB＝∠FAC＝36°， ∴CA＝CF， ∴AB＝AC＝CF， ∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC． 21．（2025春•张店区期中）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N． ①以线段AC为边的“8字型”有　3　 个，以点O为交点的“8字型”有　4　 个； ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③若角平分线中角的关系改为“∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由． 【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD， ∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）解：①3；4； 故答案为：3，4； ②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P（∠B+∠C）（100°+120°）＝110°； ③3∠P＝∠B+2∠C，其理由是： ∵∠CAB＝3∠CAP，∠CDB＝3∠CDP， ∴∠BAP∠CAB，∠BDP∠CDB， 以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP（∠CDB﹣∠CAB）， ∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP（∠CDB﹣∠CAB）． ∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B． ∴3∠P＝∠B+2∠C． 22．（2025秋•花垣县期中）【定义】在一个三角形中，如果有一个内角是另一个内角的2倍，那么我们称这两个内角互为“开心角”，这个三角形叫作“开心三角形”．例如，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”． 【理解】（1）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝132°，则这个三角形中最小的内角度数为　16°　 ． （2）若△ABC为“开心三角形”，∠A＝60°，则这个三角形中最小的内角度数为　30°或40°　 ． 【应用】（3）如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，分别延长BA和DC，交于点P．已知∠P＝30°，若在“开心三角形”ABE中，∠B与另一个角互为“开心角”，设∠B＝α，求α的值． 【解答】解：（1）设最小角为α， ∵△ABC为开心三角形，∠A＝132°， ∴α+2α＝180°﹣132°＝48°， ∴α＝16°． 故答案为：16°； （2）当∠A是“开心角”，则最小角为30°； 当∠A不是“开心角”，设最小角为α， ∴α+2α＝180°﹣60°＝120°， ∴α＝40°， 故答案为：30°或40°； （3）分两种情况讨论：①当∠BAE与∠B互为“开心角”时，或∠BAE＝2∠B． ∵AD平分△ABC的内角∠BAC，CD平分△ABC的外角∠DCF， ∴∠CAD∠CAB，∠FCD∠FCB， ∵∠B+∠BAC＝∠BCF，∠BCD＝∠B+∠P， ∴∠B+2∠BAE＝2（∠B+∠P），即或α+2×2α＝2（α+30°）， 解得α＝20°（第一个方程无解，即不成立）； ②当∠AEB与∠B互为“开心角”时，或∠AEB＝2∠B， 即或∠BAE＝180°﹣3∠B， 同①可得，或α+2×（180°﹣3α）＝2（α+30°）， 解得α＝75°（舍去）或． 综上所述，α的值为20°或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $