北京师范大学附属实验中学2027届高三上学期数学练习（四）

北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（四） 2026.9.23 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知集合，，那么 A． B． C． D． 2．已知函数，则不等式的解集是 A． B． C． D． 3．函数在区间上的零点之和是 A． B． C． D． 4．“”是“”的 A．充分而不必要条件； B．必要而不充分条件； C．充分必要条件； D．既不充分也不必要条件． 5．已知函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知函数，若对任意都有（为常数），则常数的一个取值为 A． B． C． D． 7．在中，，，，则 A． B． C． D． 8．已知函数，如果关于的方程有两个不同的实根，那么实数的取值范围是 A． B． C． D． 9．设函数，曲线在点处的切线方程为．则的值为 A． B． C． D． 10．已知函数，若同时满足条件 ①，为的一个极大值点； ②，． 则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知函数．若正数，满足，则____________． 12．设函数，，则的最大值为______，最小值为______． 13．用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 0 0 2 0 0 则______，______． 14．已知函数的图象在和处的切线互相平行，则实数______． 15．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系且该食品在的保鲜时间是16小时． 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论： ①该食品在的保鲜时间是8小时； ②当时，该食品的保鲜时间随着增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题10分） 已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件． （I）确定的解析式； （II）若图象的对称轴只有一条落在区间上，求的取值范围． 条件①：的最小值为； 条件②：图象的一个对称中心为； 条件③：的图象经过点． 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（本小题15分） 已知函数． （I）若，求曲线在点处的切线方程； （II）若，求证：函数存在极小值； （III）若对任意的实数，恒成立，直接写出实数的取值范围． 四、附加题（本小题15分） 18．已知抛物线经过点． （I）求抛物线的方程及其准线方程； （II）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点，，直线分别交直线，于点和点．求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点． 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师范大学附属实验中学2027届高三数学练习（四）答案 2026.9.23 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D C A B B B B D A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11 12 13 14 15 ， （前3后2） ； ①④ （按0，3，5给分） 三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．解：（I）由于函数图象上两相邻对称轴之间的距离为， 所以的最小正周期，． 2分 此时． 选条件①②： 因为的最小值为，所以． 因为图象的一个对称中心为， 所以，所以， 因为，所以，此时． 所以． 6分 选条件①③： 因为的最小值为，所以． 因为函数的图象过点， 则，即，． 因为，所以，所以，． 所以． 6分 选条件②③： 因为函数的一个对称中心为， 所以，所以． 因为，所以，此时，所以． 因为函数的图象过点， 所以，即，，所以． 所以． 6分 （II）因为，所以， 因为图象的对称轴只有一条落在区间上，所以，得， 所以的取值范围为． 10分 17．解：（I）当时，， 所以． 所以，． 3分 曲线在点处的切线方程为． 4分 （II）由，得， 令，则． 6分 当时，，当时，， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数． 所以的最小值为． 7分 当时，，， 9分 又在单调递增， 故存在，使得，在区间上，在区间上． 10分 所以，在区间上，在区间上， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故函数存在极小值． 11分 （III）答案： 【答案详解】 对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于． ①当时，，由（II）得，所以． 所以在上单调递增，所以的最小值为． 由，得，满足题意． 13分 ②当时，由（II）知，在上单调递减， 所以在上，不满足题意． 综上所述，实数的取值范围是． 15分 四、附加题 18．解析：（I）抛物线经过点．可得，即， 可得抛物线的方程为， 4分 准线方程为； 5分 （II）证明：抛物线的焦点为， 设直线方程为，联立抛物线方程，可得， 设，， 可得，， 7分 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 可得，， 9分 可得的中点的横坐标为， 10分 即有为直径的圆心为， 半径为， 可得圆的方程为， 13分 化为， 由，可得或． 15分 学科网（北京）股份有限公司 $