山东省牟平第一中学2026-2027学年高三上学期第二次限时练习数学试题

高三数学第二次限时练习（2026.9.19） 一．选择题（共8小题） 1．已知集合，则A∩B＝（　　） A．{1} B．{2} C．{1，2} D．{﹣1，2} 2．若无穷等差数列{an}的公差为d，则“d＞0”是“∃k∈N*，ak＞0”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在平行四边形ABCD中，，则（　　） A．2 B． C． D．4 4．已知函数，则f（2023）的值为（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 5．函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知，则a，b，c的大小关系为（　　） A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．b＞c＞a D．b＞a＞c 7．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2＝2，S4＝10，则a3＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 8．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），满足f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，f（1）＝e2﹣1，且当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，则不等式f（x﹣1）＞ex﹣1的解集为（　　） A．（0，2） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 二．多选题（共3小题） 9．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则（　　） A． B．函数f（x）的图象关于对称 C．函数f（x）的图象关于 对称 D．函数f（x）在上单调递增 10．已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的有（　　） A．a2＞b2 B． C． D．（a+1）b＞（b+1）a 11．已知函数f（x）的定义域为R，满足f（x﹣2）＝2f（x），且x∈[0，2]时，f（x）＝x（2﹣x），则（　　） A．x∈[﹣2，0]时，函数f（x）的最大值为 B．函数f（x）在区间[﹣3，﹣2]上单调递减 C．方程 f（x）＝ln（x+1）有两个实根 D．若f（t）≥3，则t的最大值为 三．填空题（共3小题） 12．设向量，若，则的值为 　 　 ． 13．若a＞0，b＞0，a+3b＝2，则的最小值为 　 　 ． 14．已知函数，则f（x）的最小值为 　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．（13分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，函数f（x）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为． （1）求f（x）的解析式和单调递增区间； （2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数h（x）＝（sinx+cosx）•g（x）在上的最大值． 16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b＝3（acosB+bcosA）． （1）若，求△ABC的面积； （2）求cosC的最小值． 17．（15分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）若b＝2，求△ABC周长的取值范围． 18．（17分）已知数列{an}为等差数列，a4＝7，a7＝13，数列{bn}的前n项和为Sn，且， （1）求{an}，{bn}的通项公式． （2）已知，求数列{cn}的前2n项和T2n． （3）求证：． 19．（17分）已知函数，且函数f（x）有两个极值点． （1）求a的范围； （2）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2）且3x1≥x2，求lnx1+lnx2+2a的最大值． 高三数学第二次限时练习答案（2026.9.19） 1．【解答】解：因为集合，令2x﹣1﹣1≥0，即2x﹣1≥20，则x﹣1≥0，解得x≥1，所以集合B＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{2}．故选：B． 2．【解答】解：等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，当d＞0时，∃k∈N*，ak＝a1+（k﹣1）d＞0为真命题，即由“d＞0”可以推出“∃k∈N*，ak＞0”，若an＝﹣2n+3，则a1＝1＞0，但是d＜0，所以由“∃k∈N*，ak＞0”推不出“d＞0”，所以“d＞0”是“∃k∈N*，ak＞0”的充分不必要条件．故选：A． 3．【解答】解：在平行四边形ABCD中，如图所示： ，所以E是AB的中点，即，，，因为，所以，．故选：A． 4．【解答】解：即x＞3时，f（x﹣2）＝﹣f（x﹣4），所以当x＞3时，f（x）＝﹣f（x﹣2）＝f（x﹣4），所以当x＞3时，f（x）的周期为4，所以f（2023）＝f（3），又因为当x＞1时，f（x）＝﹣f（x﹣2），所以f（3）＝﹣f（3﹣2）＝﹣cosπ＝1，即f（2023）＝1．故选：D． 5．【解答】f′（x）＝aex﹣cosx，所以f′（0）＝2⇒a﹣1＝2⇒a＝3．故选：B． 6．【解答】解：由函数y＝log3x是（0，+∞）上的增函数，得a＝log32＜log33＝1，且，由函数y＝ex是R上的增函数，得c＝e0.5＞e0＝1，由y＝sinx在单调递增，得，综上可得c＞a＞b．故选：A． 7．【解答】解：记Sn为等差数列{an}的前n项和，设公差为d，若a2＝2，S4＝10，可得a1+d＝2，4a1+6d＝10，即2a1+3d＝5，解得a1＝d＝1，则a3＝a1+2d＝1+2＝3．故选：A． 8．【解答】解：由f（x）+1﹣e2x（1+f（﹣x））＝0，得，x∈R，令，则g（﹣x）＝g（x），即g（x）是R上的偶函数，求导得，因为当x∈（0，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＞1，即f′（x）﹣f（x）﹣1＞0，则g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，，f（x﹣1）＞ex﹣1，即f（x﹣1）+1＞ex， 即，即，即g（x﹣1）＞g（1），即g（|x﹣1|）＞g（1）， 所以|x﹣1|＞1，解得x＞2或x＜0，则解集为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：C． 9．【解答】解：由图象可得A＝2，T＝4[（）]＝π，所以ω2，由五点作图法可得2×（）+φ，所以φ，所以f（x）＝2sin（2x），由诱导公式可得f（x）＝2sin（2x）＝2sin（2x）＝2cos（2x），故A正确；f（）＝2cos（2）＝2cos1，不是最值，故函数f（x）的图象不关于对称，故B错误；f（）＝2cos[2×（）]＝2cos（）＝0，故函数f（x）的图象关于 对称，故C正确；当x∈时，2x∈[，]⊆[π，2π]，故函数f（x）在上单调递增，故D正确．故选：ACD． 10．【解答】解：由log2a＞log2b，得a＞b＞0，则a2＞b2，故A正确；选项B，因为， ，由a≠b，等号取不到，则，故B正确；选项C，当时，则，此时，故C错误；选项D，当a＝2，b＝1时，（a+1）b＝3，（b+1）2＝22＝4，此时（a+1）b＜（b+1）a，故D错误．故选：AB． 11．【解答】解：因为f（x﹣2）＝2f（x），所以f（x）＝2f（x+2），当x∈[﹣2，0]时，x+2∈[0，2]，则f（x）＝2f（x+2）＝2（x+2）（2﹣x﹣2）＝﹣2（x2+2x）＝﹣2（x+1）2+2，当x∈[﹣4，﹣2]时，x+4∈[0，2]，则f（x）＝2f（x+2）＝4f（x+4）＝4（x+4）（2﹣x﹣4）＝﹣4（x+3）2+4，当x∈[2，4]时，x﹣2∈[0，2]，则， 作出图像，如图所示． 对于A，当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣2（x+1）2+2，当x＝﹣1时，f（x）max＝2，故A错误； 对于B，当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣4（x+3）2+4，因为二次函数对称轴为直线x＝﹣3，所以x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）单调递减，故B正确；对于C，方程f（x）＝ln（x+1）实数根的个数⇔函数y＝f（x）与y＝ln（x+1）交点的个数，在同一直角坐标系中做出y＝ln（x+1）图像，如图所示． 由图像，可得函数y＝f（x）与y＝ln（x+1）有2个交点，即方程f（x）＝ln（x+1）有两个实根，故C正确；对于D，当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）＝﹣4（x+3）2+4，令f（x）＝3，解得， 所以f（t）≥3，t的最大值为，故D错误．故选：BC． 12．【解答】解：由题得，因为，所以，解得m＝﹣5，即，所以，故答案为：． 13．【解答】解：a＞0，b＞0，a+3b＝2，则 ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8．故答案为：8． 14．【解答】解：函数f（x）1＝tan2x1，因为0＜x，设t＝tanx，则y＝t21，0＜t≤1，y′＝2t，令y′＝2t0，解得t，又0＜t≤1，所以t≤1时，y′＞0，函数y＝t21单调递增，所以0＜t时，y′＜0，函数y＝t21单调递减，所以当t时，函数y＝t21取得最小值， 15．【解答】解：（1）由题知，，所以，，所以，ω＝2．所以得：． 所以得：，即，故f（x）的单调递增区间为．（2）将函数f（x）图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，再向右平移个单位长度，得．所以可得：，因为，所以得：，所以当：时，即：时，h（x）取得最大值为． 16．【解答】解：（1）由a+b＝3（acosB+bcosA）及正弦定理得sinA+sinB＝3（sinAcosB+sinBcosA）， 在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，则sinA+sinB＝3sinC，由正弦定理得a+b＝3c，因为，所以由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc，所以（3c﹣b）2＝b2+c2﹣bc，所以8c＝5b，由，解得b＝8，c＝5，所以△ABC的面积为． （2）由（1）知，所以．， 当且仅当a＝b时，等号成立，故cosC的最小值为． 17．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，因为，所以由正弦定理得，故c2（a﹣c）＝c（a2﹣b2），即c（a﹣c）＝a2﹣b2，故得ac＝a2+c2﹣b2，由余弦定理得，因为，所以； （2）因为b＝2，由正弦定理得，所以，设△ABC周长为l，所以，在锐角△ABC中，有，所以，则，综上可得，所以，故，则，即，故△ABC周长的取值范围为． 18．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则， 所以an＝a4+（n﹣4）d＝2n﹣1，因为，当n＝1时S1＝2b1﹣2，解得b1＝2，当n≥2时Sn﹣1＝2bn﹣1﹣2，所以Sn﹣Sn﹣1＝2bn﹣2﹣（2bn﹣1﹣2），即bn＝2bn﹣2bn﹣1，所以bn＝2bn﹣1（n≥2），即{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）因为，当n是奇数时，，当n是偶数时，，则①，②， ①﹣②得： 即 ，化简得． ， 所以． （3）证明：因为，当n＝1时，当n≥2时，，所以，因为，所以，故． 19．【解答】解：（1）由题得，，令h（x）＝x﹣lnx﹣a，（x＞0），则函数f（x）有两个极值点，即方程h（x）＝0有两个正实数根．因为，所以当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以，h（x）min＝h（1）＝1﹣a，且当x→0时，h（x）→+∞，x→+∞时，h（x）→+∞．所以方程h（x）＝0有两个正实数根，只需h（1）＝1﹣a＜0，解得a＞1，即函数f（x）有两个极值点时，a的范围为（1，+∞）．（2）由0＜x1＜x2且3x1≥x2，令，则t∈（1，3]，由（1）知，h（x1）＝h（x2）＝0，即a＝x1﹣lnx1＝x2﹣lnx2，则，即tx1﹣x1＝lnt，解得，所以．则，令，则，令，则，所以函数P（t）在（1，3]上单调递增，又P（1）＝0，所以P（t）＞P（1），则P（t）＞0．当t∈（1，3]时，φ′（t）＞0，所以φ（t）在（1，3]上单调递增，则当t＝3时，φ（t）max＝φ（3）＝2ln3．即lnx1+lnx2+2a的最大值为2ln3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/16 16:21:24；用户：张海青；邮箱：mpyz34@xyh.com；学号：27488476 9.19数学限时练习第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $