专项突破03 全等三角形的解题模型（知识技巧点拨+15种高频考察题型 共45题）期中培优讲练-2025-2026学年苏科版2024数学八年级上册考前冲刺

专项突破03 全等三角形的解题模型 （知识技巧点拨+15种高频考察题型 共45题） 知识梳理 技巧点拨 2 【模型1】倍长中线模型 2 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 2 【模型3】手拉手模型 3 【模型4】截长补短模型 3 【模型5】半角模型 4 【模型6】胖瘦模型 4 【模型7】婆罗摩笈多模型 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 公共边模型 5 题型2 公共角模型 9 题型3 X模型 15 题型4 角平分銭模型 21 题型5 垂直模型 27 题型6 一线三等角模型 31 题型7 手拉手模型 36 题型8 半角模型 42 题型9 边边角模型(胖瘦模型) 49 题型10 旋转模型 52 题型11 作平行线法 56 题型12 作垂线法 63 题型13 倍长中线 71 题型14 截长补短 76 题型15 补全图形法 82 【模型1】倍长中线模型 【解题方法】 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。 倍长中线模型模型结论： 【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 【解题方法】 1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 图1 图2 一线三垂直模型一：如图1，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 一线三垂直模型二：如图2，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 2）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【模型3】手拉手模型 手拉手模型概述：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 文字说明：1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂 线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂 3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手 点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等。 常见模型： 【模型4】截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 【模型5】半角模型 半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 【模型6】胖瘦模型 模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。 根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。 结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ. 结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ. 结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM 方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。 【模型7】婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C 2）等线段：BC=DC CE=CG 3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90° 题型1 公共边模型 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题涉及三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质．通过构造全等三角形，将转化为与和有关的角，从而证明结论． 【规范解答】证明：如图，延长交于点． ， ． ∵是角平分线， ， 在和中， ， ， ． 又， ． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【思路引导】（1）延长CE交AB于点G，证明 ，得E为中点，通过中位线证明DEAB，结合BF=DE，证明BDEF是平行四边形 （2）通过BDEF为平行四边形，证得BF=DE=BG，再根据 ，得AC=AG，用AB-AG=BG，可证 【规范解答】（1）证明：延长CE交AB于点G ∵AECE ∴ 在和 ∴ ∴GE=EC ∵BD=CD ∴DE为的中位线 ∴DEAB ∵DE=BF ∴四边形BDEF是平行四边形 （2） 理由如下： ∵四边形BDEF是平行四边形 ∴BF=DE ∵D，E分别是BC，GC的中点 ∴BF=DE=BG ∵ ∴AG=AC BF=（AB-AG）=（AB-AC）． 【考点剖析】本题主要考查了平行四边形的证明，中位线的性质，全等三角形的证明等综合性内容，作好适当的辅助线，是解题的关键． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 【答案】见解析. 【思路引导】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可． 【规范解答】证明：如图， 延长交的延长线于， 平分 【考点剖析】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键． 题型2 公共角模型 4．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可． （2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE． 【规范解答】（1）解：如图所示，CE即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线， ∴，， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB＝AC，∠A＝∠A， ∴△ACE≌△ABD（ASA）， ∴AD＝AE． 【考点剖析】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 5．（21-22八年级上·吉林·期中）在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 【答案】（1）BC⊥CE，见解析；（2）成立，见解析；（3）成立 【思路引导】（1）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠4=∠5，求出∠4=∠6=45°，∠5=45°即可； （2）先证∠2=∠3，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，求出∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=135°即可； （3）先证∠BAD=∠CAE，再证△ABD≌△ACE（SAS），得出∠ABD=∠ACE，再求∠ABC=∠ACB=45°，得出∠ABD=∠ACE=45°． 【规范解答】解：（1）BC与CE的位置关系是BC⊥CE，理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠4=∠5， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠4=∠6=45°， ∴∠5=45°， ∴∠BCE=∠5+∠6=45°+45°=90°， 即BC⊥CE； （2）成立.理由是： ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC-∠1=∠DAE-∠1， 即∠2=∠3， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=135°， ∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=135°-45°=90°， 即BC⊥CE； （3）成立 ∵∠BAC=∠DAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=∠ACE=45°， ∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=45°+45°=90°． 【考点剖析】本题考查图形变换中结论问题，等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角的和差运用，直线位置关系垂直的证法是解题关键． 6．（21-22八年级上·福建福州·期中）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB． （1）证明：AHB≌AGC； （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q． ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°； ②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°． 【思路引导】（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC； （2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG=∠AEH=45°，从而根据两角的和可得结论； ②分两种情况：i）如图3，AQ=QG时，ii）如图4，当AG=QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论． 【规范解答】（1）证明：如图1， 由旋转得：AH=AG，∠HAG=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAH=∠CAG， ∵AB=AC， ∴△ABH≌△ACG（SAS）； （2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵点E，F分别为AB，AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，AE=AB，AF=AC， ∴AE=AF，∠AEF=∠ABC=45°，∠AFE=∠ACB=45°， ∵∠EAH=∠FAG，AH=AG， ∴△AEH≌△AFG（SAS）， ∴∠AFG=∠AEH=45°， ∴∠HFG=45°+45°=90°； ②分两种情况： i）如图3，AQ=QG时， ∵AQ=QG， ∴∠QAG=∠AGQ， ∵AG⊥AH且AG=AH， ∴∠AHG=∠AGH=45°， ∴∠AHG=∠AGH=∠HAQ=∠QAG=45°， ∴∠EAH=∠FAH=45°， ∵AE=AF，AH=AH， ∴△AEH≌△AFH（SAS）， ∴∠AHE=∠AHF， ∵∠AHE+∠AHF=180°， ∴∠AHE=∠AHF=90°； ii）如图4，当AG=QG时，∠GAQ=∠AQG， ∵∠AEH=∠AGQ=45°， ∴∠GAQ=∠AQG==67.5°， ∵∠EAQ=∠HAG=90°， ∴∠EAH=∠GAQ=67.5°， ∴∠AHE=∠AQG=67.5°； ∵H为线段EF上一动点（不与点E，F重合）， ∴不存在AG=AQ的情况． 综上，当△AQG为等腰三角形时，∠AHE的度数为67.5°或90°． 【考点剖析】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解． 题型3 X模型 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【规范解答】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 8．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）都是等边三角形．    (1)如图，求证：； (2)如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【思路引导】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）证明，可得结论； （2）①如图中，延长到，使得，连接．证明，推出，，，再证明，可得结论； ②根据得到，设，根据列出方程，求出，可得结论． 【规范解答】（1）证明：如图中， ∵都是等边三角形 ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）①证明：如图中，延长到，使得，连接，    ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同法可证， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ②结论：． 证明：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到≌的理由是______． （2）求得的取值范围是______． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【思路引导】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长至点，使，连接、，证明≌，得到，根据三角形三边关系解答即可． 【规范解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故答案为：SAS； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE=AC=6，AE=2AD， ∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故答案为：1＜AD＜7． （3）证明：延长至点，使，连接、， 如图所示： ∵点是的中点，∴． 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴． 【考点剖析】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 题型4 角平分銭模型 10．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【思路引导】在上截取，连接， 先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，由此即可得． 【规范解答】解：如图，在上截取，连接， ∵平分，平分， ，， ， ， ， ， ，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵周长为20， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ， 解得：， 故选：B． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，利用邻补角互补求角度，全等三角形的判定与性质，等式的性质，解一元一次方程等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 11．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质．过点作交延长线于点，连接，利用证明，推出，，再利用证明，推出，再根据，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【规范解答】解：过点作交延长线于点，连接， 则， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质及定义，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据全等三角形的性质与判定可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③正确． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ， ∴， ∴， 故①正确； 在上截取， ∵和是和的平分线， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于于，连接， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， 故③正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 题型5 垂直模型 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质和三角形全等的判定和性质，过A作于H，过E作于F，利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【规范解答】解：过A作于H，过E作于F，   ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，分别过点B、点C作过点A的直线的垂线、，垂足为点D、E．若，，求的长． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据等角的余角相等得到，然后利用证明，可以得到，即可解题． 【规范解答】解：解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，、是的高，与交于点，下列结论：；；；若于点，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【思路引导】先证出是等腰直角三角形，得出，证明，得出，，得出，②正确；由，得，①正确；由得，故③错误；作于，则，证明，得出，，由，即可得，④正确． 【规范解答】解：∵、是的高， ∴， ∴，； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，是的高， ∴，，①②正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故③错误； 作于，如图所示： 则四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵，K， ∴， ∴，④正确． 综上所述：正确的结论有①②④． 故答案为①②④． 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质和判定识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键 题型6 一线三等角模型 16．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角． （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 17．（2021九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 【答案】(1)；；小 (2)当时， (3)可以；的度数为或 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由已知平角的性质可得，再利用三角形内角和定理进而求得，即可判断点从向运动过程中，逐渐变小； （2）当时，由已知和三角形内角和定理可得，，等量代换得，又由，可得； （3）根据等腰三角形的判定定理，利用三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， 点D从B向C运动时，逐渐变小， 故答案为：；；小； （2）解：当时，， 理由：， ， 又， ∴， ， 又 ，， ； （3）解：当的度数为或时，的形状是等腰三角形； 理由：时， ， ， ，， ， 是等腰三角形； 时， ， ， ， ， 的形状是等腰三角形． 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)见解析，． 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【规范解答】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型7 手拉手模型 19．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【思路引导】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【规范解答】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】3.5/ 【思路引导】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图，以为边作等边三角形，过点作于，于，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【规范解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点与点重合时，， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 【答案】（1） （2）．理由见解析 （3）6 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质．本题的关键是在四边形中通过辅助线构造全等三角形． （1）通过延长构造，进而推出和，再由“”证得，即可得到，从而得出结论． （2）通过延长构造得出、，然后证得，再由即可得出结论． （3）在上取点，使．根据“”证得，得到、，推出，再由“”证得得出，最后由线段和差关系求出的长． 【规范解答】解：（1）如图，在延长线上取点，使，连接． 在和中，，， ∴． ，， ， ． 在和中，，，， ． ． 故答案为：． （2）结论：． 理由：在延长线上取点，使，连接 ． ． 在和中，，，， ． ，． 在和中，，，， ． ， ． （3）在上取点，使． 根据题意和都是直角三角形． ，， ． ，， 又， ， ． 在和中，，，， ， ． 题型8 半角模型 22．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【思路引导】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【规范解答】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 23．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【规范解答】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 24．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1) (2)当时，仍有；见解析 (3) 【思路引导】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【规范解答】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，仍有；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：．理由如下： 把绕点A顺时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【考点剖析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性比较强，能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． 题型9 边边角模型(胖瘦模型) 25．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 【答案】见解析. 【思路引导】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°． 【规范解答】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F． ∴CE＝CF， ∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°， ∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL）， ∴∠ACF＝∠ECB， ∴∠ACB＝∠ECF， ∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACB+∠AOB＝180°， ∴∠OAC+∠OBC＝180°． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题. 26．（24-25八年级上·黑龙江伊春·期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【思路引导】过点P作PK⊥AB，垂足为点K．证明Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【规范解答】解：过点P作PK⊥AB，垂足为点K．    ∵PK⊥AB，PD⊥BC，∠ABP＝∠CBP， ∴PK＝PD， 在Rt△BPK和Rt△BPD中， ， ∴Rt△BPK≌Rt△BPD（HL）， ∴BK＝BD， ∵∠APC+∠ABC＝180°，且∠ABC+∠KPD＝180°， ∴∠KPD＝∠APC， ∴∠APK＝∠CPD，故①正确， 在△PAK和△PCD中， ， ∴△PAK≌△PCD（ASA）， ∴AK＝CD，PA＝PC，故②正确， ∴BK﹣AB＝BC﹣BD， ∴BD﹣AB＝BC﹣BD， ∴AB+BC＝2BD，故③正确， ∵Rt△BPK≌Rt△BPD，△PAK≌△PCD（ASA）， ∴S△BPK＝S△BPD，S△APK＝S△PDC， ∴S四边形ABCP＝S四边形KBDP＝2S△PBD．故④正确． 故选A． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 27．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 【答案】见解析 【规范解答】试题分析：在边BC上截取BE=BA，连接DE，根据SAS证△ABD≌△EBD，推出AD=ED，∠A=∠BED，求出∠DEC=∠C即可． 试题解析：证明：在边BC上截取BE=BA，连接DE．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD （SAS），∴AD=ED，∠A=∠BED．∵∠A+∠C=180°，∠BED+∠CED=180°，∴∠C=∠CED，∴CD=ED，∴AD=CD． 点睛：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，解答此题的关键是正确作辅助线，又是难点，解题的思路是把AD和CD放到一个三角形中，根据等腰三角形的判定进行证明，题型较好，有一定的难度． 题型10 旋转模型 28．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查等边三角形，旋转的知识，解题的关键是掌握等边三角形的判定和性质，根据题意，则，根据旋转的性质，则，，，根据等边三角形的判定，则是等边三角形，则，再根据，进行解答，即可． 【规范解答】解：∵是等边三角形， ∴， ∵由逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 30．（21-22八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，． (1)的度数为_______________； (2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由； (3)连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)小明，理由见解析 (3)5 【思路引导】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，可证明△ADB≌△ADC，继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可； （2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可； （3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题． 【规范解答】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60° ， ∴△DBC是等边三角形 ， ∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°． 在△ADB和△ADC中，  ， ∴△ADB≌△ADC（SSS）， ∴∠ADB=∠ADC  ， ∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°． （2）解：小明的说法更准确，理由如下： ∵∠ABE=∠DBC=60°， ∴∠ABD=∠EBC ， 在△ABD和△EBC中， ∴△ABD≌△EBC（ASA）， ∴AB=BE ． ∵∠ABE=60° ， ∴△ABE是等边三角形． （3）解：连接DE，如图所示， ∵∠BCE=150°，∠DCB=60° ， ∴∠DCE=90°， ∵∠EDB=90°，∠BDC=60° ， ∴∠EDC=30° ， ∴ ． ∵△ABD≌△EBC， ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 题型11 作平行线法 31．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【思路引导】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【规范解答】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 32．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【思路引导】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【考点剖析】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 33．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路引导】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【规范解答】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【考点剖析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 题型12 作垂线法 34．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 【答案】(1)角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． (2)成立，证明见解析． 【思路引导】（1）根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，由此即可得出结论； （2）成立，过点A作，，构造全等三角形即可证明，从而得出结论成立． 【规范解答】（1）解：因为，，根据角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上，所以点A在的角平分线上 故答案为：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上． （2）结论：平分仍然成立； 证明：如解图3，过点A作，，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， 又∵，， ∴平分， 故（1）结论正确． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质及判定、角平分线判定定理是解题的关键． 35．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，进而可得； （2）过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，由角平分线的性质定理和判定定理可得，根据可得； （3）过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可． 【规范解答】（1）解： 是中的遥望角， 平分，平分， ，， ， ， 又 ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，    平分，，， ， 同理， ， ，， 平分，即， ， ； （3）证明：如图，过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，    ，，， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 平分， 平分， 是中的遥望角． 【考点剖析】本题考查角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，三角形外角的定义和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． 36．（21-22七年级上·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点，证明，，即可得结论；②延长至，使，连接证明，取的中点，连接并延长至，使得，可得，证明，，则可得 ，即，；③由①可知 ，故不一定等于；④，由②可知，，则，由可得即可得 【规范解答】解：①如图，过点分别作的垂线交及的延长线于点， AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC 同理可得 又 故①正确 ②如图，延长至，使，连接 ， 如图，取的中点，连接并延长至，使得， 是的中点， ， ， 又 ③如图，由①可知 ，故不一定等于 故③不正确 ④如图，由②可知， 故④正确 综上所述，故正确的有①②④ 故选B 【考点剖析】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 题型13 倍长中线 37．（21-22八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【规范解答】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 38．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上性质． 延长，使，连接，证明，得到，根据等角对等边得出，然后利用线段的和差进行求解即可． 【规范解答】解：如图，延长，使，连接， ∵为边的中线， ∴, 在和中， ， ， ，即， 又， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 39．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【思路引导】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【规范解答】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 题型14 截长补短 40．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题主要考查了角平分线的有关计算，全等三角形的判定与性质，两直线平行同旁内角互补，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，由平分可得，利用可证得，于是可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合，进而可得，由平分可得，利用可证得，于是可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【规范解答】证明：如图，在上截取，连接， 平分， ， 又， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 41．（24-25八年级上·云南保山·期末）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．    【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见详解（3）210海里 【思路引导】主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，实际问题的转化，本题中求证是解题的关键． （1）延长到点G，使，连结，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使，连结，即可证明可得 再证明可得即可解题； （3）连接，延长相交于点C，然后与（2）同理可证． 【规范解答】解：（1） 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵ （2）仍然成立 理由：如图，延长至点，使，连接   ， ， ， 即 ， （3）如图，连接，延长、相交与点，    在四边形中， ， ，符合（2）中的条件． 结论成立 即（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里 42．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）． 【答案】①②③ 【思路引导】设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；过作交于，截取，而，证明，可得③符合题意；作，连接，证明，可得，，再证明，可得④不符合题意；从而可得答案． 【规范解答】解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，又， ∴， ∴，故①符合题意； 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，又 ∴， ∴，故②符合题意； 过作交于，截取，而， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③符合题意； 作，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 故答案为：①②③． 【考点剖析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及外角性质的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型15 补全图形法 43．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 44．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【规范解答】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 45．（21-22八年级下·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求： (1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法； (2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段为所求作的线段； （2）已知：如图，是直角三角形，，． 求证：． 解法一：如图，在上截取一点，使得，连接． ∵，，∴． ∵，∴是等边三角形． ∴，． ∵，∴． ∴．∴． ∵，∴． 解法二：如图，延长至点，使，连接． ∵，， ∴，， ∵，，， ∴．∴． ∴是等边三角形． ∴． ∵，∴． 【考点剖析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破03 全等三角形的解题模型 （知识技巧点拨+15种高频考察题型 共45题） 知识梳理 技巧点拨 2 【模型1】倍长中线模型 2 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 2 【模型3】手拉手模型 3 【模型4】截长补短模型 3 【模型5】半角模型 4 【模型6】胖瘦模型 4 【模型7】婆罗摩笈多模型 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 公共边模型 5 题型2 公共角模型 6 题型3 X模型 8 题型4 角平分銭模型 11 题型5 垂直模型 12 题型6 一线三等角模型 13 题型7 手拉手模型 15 题型8 半角模型 16 题型9 边边角模型(胖瘦模型) 19 题型10 旋转模型 20 题型11 作平行线法 21 题型12 作垂线法 23 题型13 倍长中线 24 题型14 截长补短 25 题型15 补全图形法 27 【模型1】倍长中线模型 【解题方法】 倍长中线模型概述：当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，使得延长后的线段是原中线的二倍，从而构造一对全等三角形(SAS)，并将已知条件中的线段和角进行转移。 倍长中线模型模型结论： 【倍长中线】 已知点D为∆ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE 1）连接EC,则∆ABD≌∆ECD，AB∥CE 2）连接BE,则∆ADC≌∆EDB，AC∥BE 【模型2】一线三等角模型（或一线三垂直模型） 【解题方法】 1）一线三垂直模型：只要出现等腰直角三角形，可以过直角点作一条直线，然后过45°顶点作直线的垂线，构造三垂直，所得两个直角三角形全等。根据全等三角形倒边，得到线段之间的数量关系。 基础 图1 图2 一线三垂直模型一：如图1，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC 一线三垂直模型二：如图2，AB⊥BC，AB=BC，CE⊥DE，AD⊥DE，则∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC 2）一线三等角模型：三个等角的顶点在同一条直线，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。 一线三等角类型： （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【模型3】手拉手模型 手拉手模型概述：两个顶角相等的等腰三角形共用顶角顶点，分别连接对应的两底角顶点，从而可以得到一个经典的全等模型。因为顶点相连的四条边，形象可以看作两双手，通常称为“手拉手模型”。 文字说明：1）点A 为共用顶角顶点，看作头 2）线段AB、AC为等腰∆ABC的两腰，看作两条手臂 线段AM、AN为等腰∆AMN的两腰，看作两条手臂 3）点B与点M看作左手，线段BM看作左手拉左手 点C与点N看作右手，线段CN看作右手拉右手 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等。 常见模型： 【模型4】截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段AB、CD、EF，简述利用截长补短法证明AB=CD+EF的方法 截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等 补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等 【模型5】半角模型 半角模型的概述：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。解题方法为：1）过公共点作旋转，2）截长补短的方法构造全等解题。 【模型6】胖瘦模型 模型概述：在等腰三角形内部进行切割，利用其等腰等角的性质进行全等三角形的构造，常以等腰三角形的底边为底，在其内部再做一个等腰三角形。 模型：如图，∆ABC为等腰三角形，点P在线段BC上且点P不是BC的中点。 根据观察，S∆APC>S∆ABP，此时将∆APC看作是胖子，∆ABP看作是瘦子。 结论一：【变胖】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABQ≌∆ACP，AP=AQ. 结论二：【变瘦】如图，在BC上截取CQ=BP,连接AQ,则∆ABP≌∆ACQ，AP=AQ. 结论三：【找中间状态】如图，过点A作AM⊥BC，垂足于点M,则∆ABM≌∆ACM 方法：见胖瘦，变胖加等腰，变瘦减等腰，中间状态加、减直角三角形。 【模型7】婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多模型条件：1）公共顶点：顶点C 2）等线段：BC=DC CE=CG 3）顶角相等：∠DCB=∠GCE=90° 题型1 公共边模型 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是角平分线，，垂足为，求证：． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，点D为边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE点F在AB上，且BF=DE （1）求证：四边形BDEF是平行四边形 （2）线段AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论 3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 题型2 公共角模型 4．（2022·湖北襄阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线． (1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：AD＝AE． 5．（21-22八年级上·吉林·期中）在中，∠BAC＝90°，，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE（，），连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，猜想：BC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）题的结论是否仍然成立？说明理由； （3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，结论（1）题的结论是否仍然成立？不需要说明理由． 6．（21-22八年级上·福建福州·期中）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），过点A作AG⊥AH且AG＝AH，连接GC，HB． （1）证明：AHB≌AGC； （2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q． ①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°； ②当AQG为等腰三角形时，求∠AHE的度数． 题型3 X模型 7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 8．（21-22八年级上·湖北武汉·期末）都是等边三角形．    (1)如图，求证：； (2)如图，点在内，为的中点，连，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 9．（24-25八年级上·河南周口·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到≌的理由是______． （2）求得的取值范围是______． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：． 题型4 角平分銭模型 10．（22-23八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 11．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 12．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是 ．（填写正确的序号） 题型5 垂直模型 13．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰三角形中，，D为延长线上一点，，且，垂足为C，连接，若，则的面积为 ． 14．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在中，，，分别过点B、点C作过点A的直线的垂线、，垂足为点D、E．若，，求的长． 15．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，、是的高，与交于点，下列结论：；；；若于点，则．其中正确的是 （填序号）． 题型6 一线三等角模型 16．（24-25八年级上·云南玉溪·期末）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 17．（2024九年级·浙江·专题练习）如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作，交线段于E．    (1)当时，　　°，　　°；点D从B向C运动时，逐渐变　　（填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数．若不可以，请说明理由． 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2) 如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 题型7 手拉手模型 19．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 21．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）（1）如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，若则线段、、间的数量关系是 ． （2）如图2，在四边形中，，，点、分别在边、上，若，探究、、的之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，是线段上一点，，且，过点作交的延长线于，过作交于，连接．若，，求的长． 题型8 半角模型 22．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 23．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 24．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 题型9 边边角模型(胖瘦模型) 25．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°． 26．（24-25八年级上·黑龙江伊春·期末）如图，BN为∠MBC的平分线，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，∠APC+∠ABC＝180°，给出下列结论：①∠MAP＝∠BCP；②PA＝PC；③AB+BC＝2BD；④四边形BAPC的面积是△PBD面积的2倍，其中结论正确的个数有（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 27．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠BAD＋∠C＝180°，求证：AD＝CD． 题型10 旋转模型 28．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，在等边三角形中，是边上一点，连接．将绕点逆时针旋转得到，连接．若，则的周长是 ． 29．（19-20七年级下·重庆南岸·期末）在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 30．（21-22八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，． (1)的度数为_______________； (2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由； (3)连接，若，求的长． 题型11 作平行线法 31．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 32．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 33．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 题型12 作垂线法 34．（23-24八年级上·北京海淀·期中）小宇和小明一起进行数学游戏：已知，将等腰直角三角板摆放在平面内，使点A在的内部，且两个底角顶点B，C分别放在边上．    (1)如图1，小明摆放，恰好使得，又由于是等腰直角三角形，，从而直接可以判断出点A在的角平分线上．请回答：小明能够直接作出判断的数学依据是______． (2)如图2，小宇调整了的位置，请判断平分是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请举出反例． 35．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 36．（21-22七年级上·山东济宁·期中）如图，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正确的结论为（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 题型13 倍长中线 37．（21-22八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ． 38．（22-23八年级上·重庆合川·期末）如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，则的长为 39．（24-25七年级下·广东河源·期末）【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 题型14 截长补短 40．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，已知，的平分线与的平分线相交于点E，的连线交于点D，求证：． 41．（24-25八年级上·云南保山·期末）（1）【问题背景】如图1：在四边形中，，，．E、F分别是、上的点．且．探究图中线段之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）【探索延伸】如图2，若在四边形中，，．分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？并说明理由； （3）【实际应用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处，且两舰艇之间的夹角为 ，试求此时两舰艇之间的距离．    42．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图，是等边三角形，，分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点，是上一点，且，交于点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号）． 题型15 补全图形法 43．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 44．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 45．（21-22八年级下·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求： (1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法； (2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $