数列中的奇偶项问题：符号交替型讲义-2027届高考数学一轮复习

数列中的奇偶项问题：符号交替型（含有(）型) 数列的递推公式和通项公式中会含有(-1)°，都需要讨论n的奇偶，使(-1)”转化为1或1 1递推公式中有”：寻找间隔两项之间的关系 ant-an =2n 如“+(-少a,=2n今n为奇数时， (a2+am1=2n+2→a2+a,=2 ；n为偶数 anti +an 2n 时，a2-a1=2n+2→02+a.=4n+2 →得到相邻两个奇数项或偶数项的关系： 若求数列前n项的和，本质上是考查分组求和 2通项公式中含有一)少”： ①等差数列的通项公式乘以()"，用并项求和法求数列前”项的和； 如4，=（1少八(2n-l1),前20项的和4+a++a0=(-1+3)+(-5+7)++(-37+39) ②等比数列的通项公式中含有少”，其前”项和可写成分段的形式，可求最值 如等比数列{a,}的通项公式为 2,则其前顶和 T=S,- 1 m的取值范围：n分奇偶，讨论求n的最值 ③裂项相消法求和 4n 如 求和时通过()实现正负交 替 【例题】已知数列a,}的前n项和为S,a=4且01=S+4(n∈N) (1)求数列a的通项公式 6=(←1)12n+1 (2)若 nlog2a,求数列b,}的前n项和Tn 【解析】(1)当”=1时，4=S+4=8 时，=9+4 当n≥2 因为81=9，+4 所以”-0.=0，即：a=2a, 42_8-2 又因为44，满足上式 所以0，=4×20-1=21 -r=ra-w+司】 nlogz a n(n+1) 当n为奇数时， -》传+日1中 当n为偶数时， z-传41 n+7n为奇数 1 1+ 综上所述： T= n+n为偶数7=1+)： 1 或 n+1 【专项练习】 1.在数列a,}中，若4=l,且42+(-少a,=1(eN),则数列a,的前20项和为（） A.60 B.45 C.35 D.20 【答案】A 【解析】在数列a,中，若a=↓，且2+(l少'a,=(∈N) 所以=1时，4-41，解得2=2，月=2时，8+4=1。 时，44=1 n=3 解得=3n=4时，8+a,n=5时，4-81，解得9=41=6时 as +a=1 n=7 -a,=1 a,=6n=10 时， 解得 ,=5n=8时tao+a=1,n=9时 时， 时01-0=1 ,解得 时， a2+a10=1 同理2：=7，，+a:=1.a,=8,06+a:=1.4,=9.as+46=1。=104+a。=1 所以数列a,的前20顶和3=a+a+a++a,)+(a,+a,)+(a,+a)+(a+a)+(a:+a。)+(ag+a) =(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)+5=60 2.已知数列{a}满足a1=(（-l(2n-a),则子 A.720 B.746 C.760 D.780 【答案】D 【解折1当”=2-1eN时，=（(4-2-aa)=-(4秋-2-0）】 即有24=41-4h+2 当=2(keN）时，a=(-l(4-)=4-a 则a=4秋-(a4t+2）即0+a=8-2, 42=4+4,+4++40=8×1=2+8x3-2+…+8x19-2 故司 (8+8×19)×10 -2×10=780 2 3,数列《-l少，nneN) 的前2025项和为() A.1012 B.-1012 C.1013 D.-1013 【答案】C 【解析】设数列-)川 的前”项和为，则 S2025=1-2+3-4+5-6+…+2023-2024+2025 可以将相邻两项看作一组，即1-2)，(6-4)，(6-6，…，(2023-2024)，一共有2024÷2=1012组， 还剩下最后一项2025.每一组的值都为-1，例如1-2=-1,3-4=-1,5-6=-1，以此类推， 因为一共有1012组，每组的值为-1，所以前2024项分组后的和为1012×(-)=-1012 S202 2025=-1012+2025=1013 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即 ，故选C 4已知等差数列a,}的首项为1，且4，a+1,2a成等比数列，则数列《-少a,的前2026项和为《) A.-1013 B.-505 C.1013 D.505 【答案】C 【解析】设公差为，因为”，4+1.20 °成等比数列， 所以(a+4d+)=2(a+2d)(4+5d) 又4=1，所以(4d+2八=2(01+2u1+5),整理得2d2-d-1=0, 解得d= 2或d=1 1 当d= 2时，a=a+2d=0,此时a’a,+1,2a,不构成等比数列，舍去 当d=时，经检验满足愿意，故，=4+(m-)d=n 所以数列《-1少a,的前2026项和为： S2026=-1+2-3+4-5+-2025+2026 =（-1+2)+(-3+4)+…+(-2025+2026) =1×1013=1013 故选：C 5.已知数列a,满足4=1,0+(-1ya,=2n+1,则4+a, 【答案】5 【解析】由0+（←少a,=2n+1 2n,2n-1 ,用 分别替换”， 得+a。=4n+14,-an1=4n-1 a2m+1+a2m=4n+1 联立a2n-a2n-1=4n-1,解得an1+a1=2, a2n+3+a2n1=2 所以an43+a1=2,联立a21+a2n=2,得an43=a- 由4+a=2g=1 3=1 ,得 所以0=ag=41==4,=4=1 又因为=l时，代入a+-)广a=2n1.相44=3 所以4 ,故 32+ag=5 6记5为数列包，}的前n项和，已知4=2，及-a2。 3 (1)求数列a,} 的通项公式： （2)记I为数列《-1少a的前n项和，求7。 【解】(1)因为{a}中，4=2且 ,=(n+2) a 3 当n≥2时，所以a.=5.-1+2。-u+1) 30n 30-1 n+la 所以3a,=(n+2)a,-(n+)a-,化简得（n+)a=(-l)a,即得n-1a, 所以2受4品2 3 41 1 所以8，=n(n+ ,当1=1时，所以4=1×2=2 综上，a=n(n+1) (2由4可每ヅa,=（-)nxn+) 即得-八a,+()”"a=(l少nx(+)+(-"(u+2)xn+)=(←2xa+1). T0=(-1×2+2×3)+(-3×4+4×5)+(-5×6+6×7)+…+(-19×20+20×21) =2×(3-1)+4×(5-3)+6×(7-5)-+20×(21-19) T0=2×2+4×2+6×2-…+20×2 所以 =22+4+6++20)=2x102+20）-=20 2 dm-1=dn 7.已知正项数列{a,}满足a=1,且a。a1+1. (1)证明： {a}为等差数列： (-1)” (2)求数列a1-an的前n项和T a-1=an 【解】(1)证明：由a,a+1得，a-1=a2, 所以a=1 故口}是首项为1，公差为1的等差数列： (2)因为1，所以由（4)可知，=1+-1=”，则”，= =((n+1+ 所以al-a 当n为偶数时， Tn=-（W2++(3+2)+(n+1+m=m+1-1 当n为奇数时， I,=-(2+1+(5+2)--(n+1+m)=-n+1-1 综上所述， Tn=-1+(-1n+1 8已知等差数列a的公差为d。 ①考9=d=,求数列2a+2}的前”项和5 ②考数列a+(-川}为递减数列，求d的取值范国。 【解】山因为8=d-,所以品，=4+(a-1a=n an+2.=2n+2" 所以 所以，-=2+2)+(4+2)++2n+2） =20+2++川+(2+2++2）=2xnn+,21-2） 1-2 =21+n2+n-2 (2)设么=a,+(-y,则-6=a-a+(-0--=d+(-r(1-)=d-2x←1y 当”为奇数时， (-l)”=-1,bn-bn=d+2 因为数列，为递被数列，所以d+2<0,相4<-2。 当”为偶数时， （-1)”=1,bn1-bn=d-2 因为数列，为递减数列，所以d-2<0,得d<2: 故4的取值范围是0,2) 9已知数列a,}. 满足4，且0，a是关于x的方程-2x-6=0的 的两个根， an (1)求"： (2)设 +(-)a,求数列的前2m项和S 【解】（山）因为0，a是关于x的方程 2-2x-bn=0 的两个根 所以由韦达定理得0，+a1=2 即 ntl-an=2 所以数列a是以1为首项，2为公若的等差数列，所以8=1+-)水2=2加-1 2)由1得0-2n-1,所以0=2(u+1)-1=2+1 所以根据韦达定理得Q,a=-,所以么=a,0=(2n-2m+) 所ua2可ye-小-(a小-(ja- 2 11 所以S2m=G+G3+C++cn=1 11111 33557++ -1+3-5+7-…-(4n-3)+(4n-1) 4n-14n+1 1、1 8n2+6n +2n= 4n+1 4n+1. 10已知数列4：a,aa,加≥2》的各项均为正整数，设类合T=x=0a1≤1<5，记T的元素个 数为P) (1)若数列A:1,2,3,5,求集合T: (②已知a}为正项等比数列，4=4，“是6a与80的等差中项。 ①尖P( (spd-(2)6 im令么=2P 【解】(1)由题意可知数列4：山2,35，得 2-1=3-2=1,3-1=5-3=2,5-2=3,5-1=4 ={1,2,3,4} 则 (2)①设等比数列a,的公比为9(g>0), 1=46a2+8a1=2a3→6q+8=2q2 由题意可知 解得9=4或9=-1（不符合题意舍去）， 所以0=49=4 A:4,42,43,,4" 此时数列 因为1si<j≤n. 所以集合7中元是多为c-白个，即P行 2 对于数列4：44,4,4，此时，0=-4 若存在-4=0。-0，则4-4=4-4，其中>方> 放4(4-刂小=4(46-) 若≠，不妨设>，则 4(4-=4-1,而>>。 故44-少为偶数，4-1为奇数，矛后，故=，=方， 故由4：44,4华4得到98彼此互异。 所yPT)="a-) 2: m。-6a-44$+ (n≥2) 2P(T）(n-1)nn-1'n ya=ty0--y告) 信(r智） =16+(←少4 1.己知数列a}的前”项和为5，2，=30，-9 求数列a}的通项公式 ②若，=（”1oga,求数列也，}的前n项和T 【详解】(4)当”=l时， 2S,=3a1-9 因为8=4，所以24 ,2a=3a1-9 所以4=9 因为 2S,=3a,-9 ,所以 SnH1=3a1-9 两式相减， 2a=30.-30,即=30. 又因为？=9 所世%>0 所以数列a}是以9为首项，3为公比的等比数列 所以0，=9x3=301 (2)由1)可知b,=（少”1ga,=(-°(n+) 故当n为偶数时，工=(-2+3)+(-4+5)++[n++明-号 当n为奇数时，7=(2+3列+(4+列++[-a-+川小-(+)=”2-a+)=-”3 2 n 2’n为偶数 所以T,= n+3n为奇数 2 12.已知数列 a. 的各项均为正数，记5为a,}的前n项和，且29，=a+a (山)求数列a的通项公式 （2)记9，=（-a,a,求数列c的前n项和T。 【解析10油25，=0+a得”≥2时， 28-1=a-+an 两式相减得2a,=d-a+a,-a1,整理得4，+a=(a,+aa,-a,) 因为0 0,所过”-a,=1(≥2)，所以数列a,}是以为公差的等差数列 在25，=a+0,中今”=1解得8= 所以a,-1+(a-)=n (2)当n=2k时 T =-a az aza;-ajas asas -asa+... +ak-301-a2k-4s+a42k1=2(a3+a4+…+ak） 4“是首项为2，公差为2的等差数列， 所以马+a+…+a4-2,20=+友， 2 放石=2+24.所2- 2 当n=2k+1时 Tn=-a,42+a2a3-4a4+a4a3-a5a6+… +0-34-a-42+a4H-a2k14k2=2(a,+a+…+at)-ak41a2k2 又4,0，，4是首项为2公差为2的等差数列，-aa:=-(2k+10(2k+2) 所以2(a+a+…+a)-4442=k2+2)-(2k+12k+2) 蔽Z=-2k+明.所以7=a*少 2 n2+2n 当n为偶数时， T=- 2； 当n为奇数时， 7=n+1 2； 1 2S,=a+ 13.已知{a}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn,且满足 an. S2 (1)求证数列{"}为等差数列；‘ 2设。-少 。,求{b的前4项和T 【答案】0证明见解析；②么}的前64项和=8 1 28=an (1). an,所以2Snan-a=1 当n≥2时，有a.=S,-S1,代入上式得2S,(9,-S)-(Sn-S/=1 整理得-S%=1n≥2) 又当n=1时， 2S a-a=1 解得=1 :数列5}是首项为1，公差为1的等差数列 ②油()可得52=1+n-1=n :a}是各项都为正数，：5=万， a,=S-S1=Vh-vn-1n≥2) 又%9=1 片a,=n-vn-i 则4--一少 4.Vn-n-i=(-(Vn+n-i) ∴T4=-1+(W2+1)-(W3+V2)+-(W64-1+V64-2)+(N64+√64-1) =-1+1+√2-√2-√5+.-√62-√63+√63+√64 =V64=8 T4=8 即： :,的前64项和2=8。 14已知5为等差数列a的前n项和，4+4，=2，S,=ma,-2n+2) ①求a}的通项公式： (2)设 。=(10.8n+2 aa1,求数列{亿，}的前2n+1项和Tn+1. 8n+10 【答案】(1)a,=4n-1②)- 24n+21 ④解；设等差数列a,}的公差为d 由9+4=2 4=11 ,得 由5=na-2m+2).得5=2a-2) 2=a1+a2=2a2-d 又 解得d=4, 所以a,=a+(n-3)d=4n-1 8n+2 (2)由(1)得 -(旷2-旷at-n ddnt 所以乃=么+6+6++6.+n, 居引后++-g, 8n+10 24n+21 15数列a满足0,0=16,4=2 (①求a,}的通项公式 (2)若6=a,im n'π 2,求数列b.}的前20项和S0. 【容1wa=2⊙22”-刂 am+2=16 (①)a,a1=16”.a1+2=161,两式相除得：a。, 4×&x4×…xL=16 当n=2k-1时，aa3a5a2k-3 ak-1=2×16-an=2- a4xa6x4x…xak=16 当n=2k时，a2a4a6ak-2 a4=8x16a,=22-1 综上所述， a的通项公式为。=2 (②h(1)知：a,=21b,=2 sin 2 数列，的前20项和： S20=b+b2+b3+b+…+bg+b20 =2.sing+2sin4红+2.sin9r+27.sin16r+…+2”.sin361r+2”.sn400z 2 2 2 2 2simt2sim9+…+2”m62in+2sn62t+2”sn402 2 2 2 2 =2+25+29+…+23+237= 21-(2 1-24 ge0 数列中的奇偶项问题：符号交替型（含有型） 数列的递推公式和通项公式中会含有，都需要讨论的奇偶，使转化为1或-1. 1.递推公式中有：寻找间隔两项之间的关系 如为奇数时，；为偶数时，得到相邻两个奇数项或偶数项的关系； 若求数列前项的和，本质上是考查分组求和. 2.通项公式中含有： ①等差数列的通项公式乘以，用并项求和法求数列前项的和； 如，前20项的和 ②等比数列的通项公式中含有，其前项和可写成分段的形式，可求最值 如等比数列的通项公式为，则其前项和，求的取值范围：分奇偶，讨论求的最值. ③裂项相消法求和 如，求和时通过实现正负交替. 【例题】已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式; （2）若，求数列的前项和. 【专项练习】 1.在数列中，若，且，则数列的前20项和为（    ） A．60 B．45 C．35 D．20 2.已知数列满足，则（   ） A．720 B．746 C．760 D．780 3.数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 4.已知等差数列的首项为1，且，，成等比数列，则数列的前2026项和为（   ） A． B． C．1013 D．505 5.已知数列满足，，则__________. 6.记为数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记为数列的前项和，求. 7.已知正项数列满足，且. (1)证明：为等差数列； (2)求数列的前n项和. 8.已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 9.已知数列，满足，且，是关于x的方程的两个根. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 10.已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 11.已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 12.已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 13.已知{}是各项都为正数的数列，其前n项和为，且满足. (1)求证:数列{}为等差数列； (2)设，求{}的前64项和. 14.已知为等差数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15.数列满足，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前20项和． 学科网（北京）股份有限公司 $