第5章 培优进阶10 数列中的奇、偶项问题(高考超重点)(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

该高中数学高考复习讲义聚焦数列中的奇、偶项问题，整合分段函数型、含(-1)^n型及连续项和积型三大高考热点题型，以等差等比数列运算和求和为核心，通过考点梳理、方法指导（如构造新数列）、真题精讲（2023新课标Ⅱ卷）及分层练习，帮助学生构建系统解题框架，突破逻辑推理与数学运算难点。 资料采用题型分类突破策略，每种题型配套“例题解析+一题多解+对点练习”模式，如证明Tn>Sn时通过奇偶项分组求和培养数学思维。设置基础对点练与综合测评题，精准匹配高考难度，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏、落实核心素养提供实用教学资源。

培优进阶10　数列中的奇、偶项问题(高考超重点) 　　数列中的奇偶项、分段数列问题，是近几年高考的重点和热点，重点考查等差、等比数列的基本运算及性质、数列求和，常以解答题的形式出现，难度中等，考查逻辑推理、数学运算的核心素养.一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列. 题型一　分段函数型 (2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列，bn=记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4=32，T3=16. (1)求{an}的通项公式； (2) (一题多解)证明：当n>5时，Tn>Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d ，而bn=k∈N+， 则b1=a1－6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3－6=a1+2d－6， 于是解得a1=5，d=2，an=a1+(n－1)d=2n+3， 所以数列{an}的通项公式是an=2n+3. (2)证明：法一：由(1)知，Sn==n2+4n，bn=k∈N+， 当n为偶数时，bn－1+bn=2(n－1)－3+4n+6=6n+1， Tn=·=n2+n， 当n>5时，Tn－Sn=－(n2+4n)=n(n－1)>0，因此Tn>Sn； 当n为奇数时，Tn=Tn+1－bn+1=(n+1)2+(n+1)－[4(n+1)+6]=n2+n－5， 当n>5时，Tn－Sn=－(n2+4n)=(n+2)(n－5)>0，因此Tn>Sn. 综上所述，当n>5时，Tn>Sn. 法二：由(1)知，Sn==n2+4n，bn=k∈N+， 当n为偶数时，Tn=(b1+b3+…+bn－1)+(b2+b4+…+bn)=·+·=n2+n， 当n>5时，Tn－Sn=－(n2+4n)=n(n－1)>0，因此Tn>Sn； 当n为奇数时，若n≥3，则Tn=(b1+b3+…+bn)+(b2+b4+…+bn－1)=·+·=n2+n－5，显然T1=b1=－1满足上式， 因此当n为奇数时，Tn=n2+n－5， 当n>5时，Tn－Sn=－(n2+4n)=(n+2)(n－5)>0，因此Tn>Sn. 综上所述，所以当n>5时，Tn>Sn. 　　对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k－1=S2k－a2k，求S2k－1. 对点练1.(2026·江西上饶模拟)设Sn为正项数列{an}的前n项和，若2an，2Sn，成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn=求数列{bn}的前2 025项和T2 025. 解：(1)由已知得，4Sn=2an+，an>0， 当n=1时，4S1=4a1=2a1+，所以a1=2. 当n≥2时，由得4an=2an－2an－1+， 所以2(an+an－1)=(an+an－1)(an－an－1)， 因为an+an－1>0，所以an－an－1=2， 所以数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以an=2n(n∈N+). (2)由已知得，b2n－1===， 所以b1+b3+b5+…+b2 025=××1 013=1 013. 因为b2n==， 所以b2+b4+b6+…+b2 024==×=253. 所以T2 025=b1+b2+b3+b4+…+b2 024+b2 025 =(b1+b3+b5+…+b2 025)+(b2+b4+…+b2 024)=1 013+253=1 266. 学生用书⬇第145页 题型二　通项含(－1)n的类型 已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn=3an－9. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)当n=1时，2S1=3a1－9， 因为S1=a1，所以2a1=3a1－9，所以a1=9. 因为2Sn=3an－9，所以2Sn+1=3an+1－9，两式相减，得2an+1=3an+1－3an，即an+1=3an. 又因为a1=9，所以an>0，所以数列{an}是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以an=9×3n－1=3n+1. (2)由(1)可知bn=log3an=，当n为偶数时，Tn=++…+[－n+]=. 当n为奇数时，Tn=++…+[－+n]－==－. 所以Tn= 　　含有(－1)n的数列求和问题一般采用分组(并项)法求和. 对点练2.(2026·河北唐山模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，an>0，+2an+1=4Sn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. 解：(1)已知+2an+1=4Sn， ① 当n=1时，a1=1. 当n≥2时，+2an－1+1=4Sn－1， ② ①－②得，+2an－－2an－1=4an， 即=0. 又an>0，所以an+an－1≠0，an－an－1=2. 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an=2n－1. (2)设bn= =(－1)n =， 则Tn=b1+b2+…+bn=－++…+ =－1+. 学生用书⬇第146页 题型三　数列中连续两项和(或积)的问题(an+an+1=f(n))或(an·an+1=f(n)) 已知数列{an}满足a1=1，an+1+an=4n. (1)求数列{an}的前100项和S100； (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)因为a1=1，an+1+an=4n， 所以S100=++…+=4×1+4×3+…+4×99=4×=4×502=10 000. (2)由题意，an+1+an=4n　①， an+2+an+1=4　②， 由②－①得，an+2－an=4.因为a1=1，a1+a2=4，所以a2=3，所以数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为4的等差数列. 当n为奇数时，an=a1+×4=2n－1； 当n为偶数时，an=a2+×4=2n－1.综上所述，an=2n－1. 1.当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an，其中奇数项、偶数项各为项，可直接利用分组求和Sn=(a1+a3+…+an－3+an－1)+(a2+a4+…+an－2+an). 2.当n为奇数时，Sn=a1+a2+a3+…+an－1+an⇒Sn=Sn－1+an，其中Sn－1可利用上述结论代入，然后再快速求解Sn=Sn－1+an. 对点练3.已知数列{an}满足a1=1，an·an+1=4n，n∈N+. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=求数列{bn}的前2n项和S2n. 解：(1)由题意，当n=1时，a2=4. 因为an·an+1=4n， ① 则an+1·an+2=4n+1， ② 由可得=4， 所以数列{an}的奇数项和偶数项都是公比为4的等比数列. 因为a1=1，a2=4，所以当n为奇数时，an=a1×=2n－1； 当n为偶数时，an=a2×=2n. 综上，an= (2)由(1)得bn= 所以S2n=(b1+b3+…+b2n－1)+(b2+b4+…+b2n)=+=n2+. 课时测评44　数列中的奇、偶项问题 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.(20分)(2026·广东广州模拟)已知等差数列{an}的公差d>0，且满足a1=1，a1，a2，a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；(8分) (2)若数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前2n项的和T2n.(12分) 解：(1)因为a1，a2，a4成等比数列，所以=a1a4， 即(1+d)2=1×(1+3d)，解得d=0或d=1. 因为d>0，所以d=1， 所以an=1+1×=n. (2)由(1)得bn= 所以bn= 所以T2n=b1+b2+b3+…+b2n－1+b2n=(b1+b3+…+b2n－1)+(b2+b4+…+b2n) =(21+23+…+22n－1)+ =+=， 所以数列{bn}的前2n项的和T2n=. 2.(20分)(2026·湖南永州模拟)记正项数列{an}的前n项积为Tn，且=1－. (1)证明：数列{Tn}是等差数列；(8分) (2)记bn=·，求数列{bn}的前2n项和S2n.(12分) 解：(1)证明：由题意得Tn=a1a2…an， 当n≥2时，可得Tn－1=a1a2…an－1，可得=an， 因为=1－，所以=1－， 即Tn－1=Tn－4，即Tn－Tn－1=4， 当n=1时，可得T1=a1，所以=1－，解得T1=5，所以数列{Tn}是以5为首项，4为公差的等差数列. (2)由(1)可得Tn=5+×4=4n+1， 所以bn=·=·=·， 所以S2n=－++…－+=－+=－. 3.(30分)在数列{an}中，a3=3，数列{an}的前n项和Sn满足=. (1)求数列{an}的通项公式；(10分) (2)若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.(20分) 解：(1)因为=， 所以Sn=， 所以当n≥2时，Sn－1=， 两式相减，得2an=nan+n－an－1－， 即an=an－1－1， 所以an+1=nan－1， 两式相减得an+1－an=nan－an－1，即2an=an－1+an+1， 所以数列{an}是等差数列.当n=1时，a1=(a1+1)，解得a1=1，所以公差d==1， 所以an=1+=n. (2)bn==×n2. 当n为奇数时，Tn=－12+22－32+…+×n2=[1+2+…+]－n2 =－； 当n为偶数时，Tn=－12+22－32+…+n2=1+2+…+n=. 综上所述，Tn= 4.(30分)已知数列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=kan(k≠1)，n∈N+，a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列. (1)求k的值和{an}的通项公式；(10分) (2)设bn=求数列{bn}的前n项和Sn.(20分) 解：(1)因为a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列， 所以2(a3+a4)=a2+a3+a4+a5，得a5－a3=a4－a2，即(k－1)a3=(k－1)a2. 因为k≠1，所以a2=a3=2，所以k==2， 当n为奇数时，an=1×=；当n为偶数时，an=2×=，则an= (2)由(1)知，bn= 当n为偶数时，设n=2k，可得Sn=S2k=(b1+b3+…+b2k－1)+ (b2+b4+…+b2k)=(20+22+…+22k－2)+(2+4+…+2k)= +×=+， 即Sn=+； 当n为奇数时，设n=2k－1，可得Sn=S2k－1=(b1+b3+…+b2k－1)+(b2+b4+…+b2k－2) =(20+22+…+22k－2)+(2+4+…+2k－2)=+×=+， 即Sn=+. 综上所述，Sn= 学生用书⬇第147页 学科网（北京）股份有限公司 $