专题04 基本不等式及其应用导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

基本不等式及其应用 专题04 基本不等式及其应用 知识点分析 新课标对知识的考查要求：掌握基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。高考中基本不等式很少单独出一道大题，更多作为求最值、范围的工具，属于高频工具型考点，中档为主.高一阶段小题为主，大题一般是一道基础解答，不跨模块综合，全部是代数式子或简单实际应用。 题型一、基本不等式及其应用 题型二、基本不等式的几何意义 题型三、配凑法求最值 题型四、基本不等式与对勾函数 题型五、“1”的代换 题型六、双变量整体代换求最值 题型七、双变量消元求最值 题型八、多次使用均值不等式 题型九、基本不等式中的恒成立、存在问题 题型十、基本不等式实际问题的应用 一、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）设，则的算术平均数为，几何平均数为， （4）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值. （5）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值. 二、其他常用的重要的不等式 （1）重要不等式：,（当且仅当时等号成立）. （2）变形公式： （3）基本不等式变形公式： ； （4）基本不等式特例：（同号）. （5）重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 三、函数图象 四、分离常数化简成对勾函数模型 ① 换元分离常数模型 ② 同时除以分子①的模型 ③分离常数①的模型 五、应用问题做题步骤 ①读懂题意，设置变量； ②根据题意列出函数关系式； ③写出变量的实际取值范围； ④利用基本不等式求最大、最小值； ⑤检验等号取得的变量是否符合实际意义，写出答案。 常见陷阱：忘记变量实际范围，算出来等号取的数值不符合现实条件，此时不能取等，改用单调性求最值。 题型一：基本不等式及其应用 题型分析：本题型考查基本不等式的基础概念，重点考察使用基本不等式的三大前提条件：一正、二定、三相等。很多错误选项就是忽略正数条件或者等号取不到。做题时先检查变量正负，再看是否有定值，最后验证等号能否取到。 1.下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 2.已知，，则的最大值为（ ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】B 【解析】因为，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 3.若实数满足，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】,当且仅当，即时取到等号. 4.（多选）已知均为正实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A选项：，所以，当且仅当，即，时取等号，故A错误；B选项：，由A知，则，故B正确； C选项：，当且仅当，即，时取等号，故C正确； D选项：由，得，即，当且仅当，即，时取等号，故D错误. 故选：BC 5.（多选）若，且，则下列不等式恒成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，，当且仅当时等号成立， 则或，当且仅当时等号成立， 则，当且仅当时等号成立， 对于C选项，，当且仅当时等号成立 故AC错误，D正确. 对于B选项，， 当且仅当时等号成立，故B正确. 故选：BD 6.当时，的最大值为_________. 【答案】 【解析】因为，则，，所以，， 因为， 所以2,即 当且仅当时，即当时，等号成立，因此，当时，的最大值为. 7.函数的最小值是（    ） A．7 B．9 C．12 D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以， 故选：C. 8．当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【解析】，，，当且仅当时等号成立， 故选：A 9.已知为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 10.（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．无最小值 C．的最大值为 D．无最大值 【答案】BC 【解析】对于AB，当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）， A错误，B正确； 对于CD，， 当时，取得最大值，最大值为，C正确，D错误. 故选：BC. 题型二：基本不等式的几何意义 题型分析：本题型为 “无字证明”，借助半圆、直角三角形、梯形等几何图形的线段长度，分别对应调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。利用几何线段长短关系，形象展示四个均值的大小关系。 解题关键在于读懂图形中每条线段分别代表哪一个均值，利用射影定理、勾股定理、三角形斜边大于直角边、梯形割线长度等几何关系，比较线段长短，完成不等式证明。 1.（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（    ）    A. B. C.     D. 【答案】BD 【解析】在给定的图中没有表示的几何量，即AC不能根据给定图形完成无字证明； 对于B，，，由直角三角形射影定理得， 则，由于圆上任意弦的长度不大于直径，即，于是得，即，B能完成无字证明； 对于D，因，，由直角三角形射影定理得，，又，那么， D能完成无字证明. 故选：BD 2.如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，在中，，又，所以， 在中，，故，得到， 所以，所以，即， 故选：D 3.已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么，，，的大小关系为(　 　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，①，②，k3③，④， 且，由基本不等式的关系可知，，当且仅当时等号成立， 由①②得，，所以⑤.因为， 所以，当且仅当时等号成立， 由②③得，，所以⑥. 又，当且仅当时等号成立，由①④得，，所以⑦ 综合⑤⑥⑦可得， 故选：D 4.数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为等腰直角三角形,且，， ，四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 5.在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设交于点，如图所示： 因为，所以，即. 又因为，即，解得. 又因为，，所以. 故选：B 题型三：配凑法求最值 题型分析：题目不会直接给出 “和定” 或者 “积定”，需要我们通过添项、拆项、变号人为构造出定值。①凑和定求积最大；②凑积定求和最小；③遇到负数，先提取负号，把变量变成正数，再用基本不等式；④部分分式函数，通过配凑，把式子改写成两部分乘积为定值的形式。易错点：配凑完成后，一定要检验等号成立条件. 1.已知，求的最大值 . 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立，当时，的最大值为. 2.已知，则的最大值为________. 【答案】 【解析】，，当且仅当，即时等号成立. 3.若，则的最小值为______，此时______. 【答案】 【解析】因为，，当且仅当时取到等号. 故的最小值为，此时. 4.已知，求函数的最大值为________. 【答案】 【解析】因为，所以，则有，当且仅当，即时取等号， 故函数的最大值为 1. 5.已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解析】因为，所以，，当且仅的，即时等号成立. 故选：A. 6．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4. 故选：B 7. 已知函数的的取值范围，则函数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，当，当且仅当，即时，等号成立，所以。当，.所以函数的值域为. 故选：C 8.函数的最大值为________. 【答案】 【解析】令，则，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最大值为. 9.函数的最大值为________. 【答案】 【解析】设，则，，且， 当且仅当，即时取等号，此时，所以函数的最大值为. 10.函数的最小值为________. 【答案】 【解析】由题意，， 令，则，， 且， 当且仅当，即时取等号，此时，从而函数的最小值为. 题型四：基本不等式与对勾函数 题型分析：对勾函数，结合图像理解最值，直接套基本不等式，忽略 的取值范围，等号取不到。很多分式函数，换元之后转化成对勾函数模型，结合单调性解题。 1.函数的最大值为________. 【答案】 【解析】设，则，，且， 易得函数在上单调递增，所以，故函数的最大值为. 2.函数的最小值为________. 【答案】 【解析】设，则，， 所以， 当且仅当，即时取等号，从而函数的最小值为. 3.当时，求函数的的取值范围。 【答案】≤ 【解析】 令 ∴原函数变为 函数在上单调递增，所以，所以，即≤. 4.下列命题中正确的是（ ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【解析】如图，的函数图像， 选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到， 所以，故A错误； 选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C，，，等号成立的条件是， 等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误. 5.下列函数中最小值为4的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】选项A，，所以函数的最小值为3，故选项错误； 选项B，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项B错误； 选项C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确； 选项D，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到所以函数的最小值不是4，故选项D错误． 题型五：“1”的代换 题型分析：要求的式子整体乘以条件等于1的代数式，展开之后就可以构造出积为定值的两组式子，再使用基本不等式。 拓展变形：条件不一定直接等于 1，可以是，可以两边同除以构造出等于 1 的式子；也可以是含括号的复合式，整体看成单元进行 “1 的代换”。 1.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．17 C．20 D．25 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 2.已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为，且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：B 3.已知正数满足，求的最小值为_________. 【答案】 【解析】， 当且仅当，即时取等号，的最小值为. 4.设且，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】因为，所以，，因为，所以，所以，当且仅当，即，时取得最小值． 5.已知正数x，y满足，则的最小值（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，，则，即， ∴， 当且仅当，即，时，等号成立 故选：A． 6.若实数，，满足，以下选项中正确的有（  ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】实数，，，整理得，当且仅当时取，故选项A错误； (，当且仅当时取，故选项B错误； ，， ，当且仅当时取，但已知,故不等式中的等号取不到，，故选项C错误； ，， ，当且仅当时取，故选项D正确， 故选：D 7.已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】， 由于，,所以， 当且仅当 时，取等号，故最小值为5， 8.（多选）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A： ，当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B：， 当且仅当 ，即时取得等号，故B正确； 对于C：， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取得等号，故D正确. 故选：BCD. 9.若正数，满足，则的最小值是　　 A． B． C．5 D．6 【答案】C 【解析】正数，满足， 当且仅当时取等号，，即的最小值是5． 故选：C． 10.（多选）已知正实数满足，则（  ） A． B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 【答案】AC 【解析】因为，则，即， 又为正实数，则，所以，，故A项正确； 因为，所以， 又，所以，故B项错误； 因为，且为正实数，即，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C项正确； 因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误. 故选：AC. 题型六：双变量整体代换求最值 题型分析：题干两个变量，不方便分离，不单独解，而是把某一个代数式看成一个整体，设新元。利用整体换元，将复杂双变量条件简化，转化为单变量或者可以用基本不等式的模型。 1.设，，，则的最小值为　　． 【答案】 【解析】解：，，，则； ，，，由基本不等式有：， ，，故：；当且仅当时，即：，时，等号成立，故的最小值为. 2.已知，，且，则的最小值为　　． 【答案】4 【解析】，，且，则， 当且仅当，即，或， 取等号. 3.若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】因，且，则，即有，同理， 由得：， 于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以的最小值为. 故选：D 4.已知，，且，则的最小值为___________. 【答案】4 【解析】由题得， 所以.当且仅当时取等 因为，所以的最小值为4. 5.已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】因为，所以，所以， 所以，令，则， 当且仅当即时取等号，所以的最小值为. 题型七：双变量消元求最值 题型分析：利用题干给出的等式条件，把其中一个变量用另外一个变量表示实现消元，把二元问题直接转化为一元函数，之后再用配凑、基本不等式、对勾函数求解。重点：消元完成之后，一定要根据原始等式，写出新变量的取值范围，易忽略算出错误结果。 1.已知，且，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 2.已知，则的最小值是　　． 【答案】 【解析】法一：由，可得，由，可得， 则，当且仅当，， 可得的最小值为 法二：， 故，当且仅当，即，时取得等号， 可得的最小值为． 3.已知，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】因为，所以，又，所以， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 4.已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号. 故选：B. 5.已知，且，则最大值为______． 【答案】 【解析】由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 题型八：多次使用均值不等式 题型分析：同一个题目当中，需要连续两次及以上使用基本不等式。多次用均值，所有不等式的等号成立条件必须可以同时满足。如果等号条件互相矛盾，则不能多次使用，需要换方法。 考题分为两类：①分步连续放缩；②多个不等式相乘得到结果。做完务必联立所有取等条件，检验是否存在可行解。 1.若，，，则的最小值为　　． 【答案】4 【解析】，，，，当且仅当，即，即，或，时取“”； 上式的最小值为4． 2.已知，当取到最小值时，___________． 【答案】 【解析】知，当取到最小值时， 由题意知：， 当且仅当，即时取等， 故当取到最小值时，. 3.已知正实数满足，则的最大值为___________. 【答案】   【解析】由，得，当且仅当，即时取等； ，当且仅当，即时取等， 又由上知，故，当且仅当时取等，所以，当且仅当时取等. 4.已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由可知 ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立； ，当且仅当时等号成立.以上三个不等式两边同时相乘，可得 ,当且仅当时等号成立. 故选：D 5.已知都是正数. (1)证明：； (2)若，证明：. 【答案】证明见解析 【解析】(1)因为已知a，b，c都是正数，所以，左边，当且仅当时取“=”.即成立. (2)因为已知都是正数，，所以， 则左边 . 当且仅当时取“=”.即成立. 题型九：基本不等式中的恒成立、存在问题 题型分析：恒成立与存在性结合基本不等式求参数范围。①恒成立：恒成立恒成立 ②存在：有解有解.解题流程：先用基本不等式求出函数的最值，再转化参数不等式；还会结合充分必要条件命题判断。 1.（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AB 【解析】要使不等式恒成立，只需要即可. 由，得，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为，即， 故的最大值为. 故选：AB. 2.已知实数满足，若对于，恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】由得：， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为27， 又恒成立，故. 3.若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当原命题为真时，恒成立，即，由命题为假命题，则． 故选：A. 4.“a＝2”是“∀x>0，x＋≥a成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】∵∀x>0时，x＋≥2，∴ “∀x>0，x＋≥a”等价于a≤2， 而a＝2可推出a≤2，a≤2不能推出a＝2，所以“a＝2”是“∀x>0，x＋≥a”成立的充分不必要条件． 故选A. 5.已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ，当且仅当时“”成立， 又不等式恒成立， ，的取值范围是． 故选：B． 题型十：基本不等式实际问题的应用 题型分析：应用题，背景包括造价、利润、面积、平均费用、销售收益等。 1.综上在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ） A．大于克 B．小于克 C．大于等于克 D．小于等于克 【答案】C 【解析】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，， 则由杠杆原理得：，于是，故，当且仅当时取等号. 所述，实数m的取值范围是m>3或m≤－. 故选：C. 2.某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】由题意可得：该设备年平均费用，∵，则，当且仅当，即时，等号成立，所以该设备年平均费用最少时的年限为9. 故选：C. 3.（多选）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ） A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多 【答案】BC 【解析】方案甲：两次涨幅后的价格为：； 方案乙：两次涨幅后的价格为：； 方案丙：两次涨幅后的价格为：； 因为，由均值不等式，当且仅当时等号成立， 故，因为，所以，， 所以方案采用方案乙工资涨得比方案甲多，采用方案甲工资涨得比方案丙多， 故选：BC. 4.某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 【答案】C 【解析】设米,，则种植花卉区域的面积．因为，所以，当且仅当时，等号成立，则，即当米，米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米 故选：C. 5.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2026年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2026年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)． (1)将该厂家2026年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家2026年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【答案】（1）；（2）2026年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大 【解析】（1）由题意有，得 故 ∴ （2）由（1）知：21.5 当且仅当即时，有最大值. 综上所述，2026年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大. 6.某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价． 【答案】改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件 【解析】由题得当时：有解， 即：有解．又， 当且仅当时取等号， 即改革后销售量至少达到万件，才满足条件，此时定价为元件 7.在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求，在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2.设矩形的一边长为x m，总造价为y元． (1)求y关于x的函数解析式． (2)当x取何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1）y＝400x＋＋18 400(4<x<50)；（2）x＝10，(8 000＋18 400)元 【解析】（1）因为矩形区域的面积为200 m2，故矩形的邻边长为 m， 绿化的面积为2×2×x＋2×2×＝4x＋－16， 中间区域硬化地面的面积为(x－4)＝216－4x－， 故y＝×200＋×100，整理得y＝400x＋＋18 400. 由可得4<x<50，故y＝400x＋＋18 400(4<x<50). （2）由基本不等式可得400x＋＋18 400≥400×2＋18 400＝8 000＋18 400，当且仅当x＝10时等号成立，故当x＝10时，总造价最低且最低为(8 000＋18 400)元． 8.为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． (1)若车流速度千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值，并指出车流量最大时的车流密度辆/千米． 【答案】（1）；（2）的最大值为2600辆/小时，此时车流密度为80辆/千米. 【解析】（1）由题意知，当（辆/千米）时，（千米/小时），代入得， 所以 当时，，易知符合题意； 当时，，解得，所以． 综上，车流密度的取值范围是． （2）由（1）知 所以当时，为增函数，所以，当且仅当等号成立； 当时， ， 即，当且仅当，即等号成立． 综上所述，的最大值为2600（辆/小时），此时（辆/千米）． 即隧道内车流量的最大值为2600辆/小时，此时车流密度为80辆/千米． 9.随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为多少？ 【答案】2200万元 【解析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元），由题意可知，，即，当时，的对称轴，则；当时，，当且仅当时，取得最大值2200. 综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元 10.浙江某物流公司准备建造一个仓库，打算利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为16平方米，且背面靠墙的长方体形状的物流仓库.由于其后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米150元，左右两面新建墙体的报价为每平方米75元，屋顶和地面以及共他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为4米时，求甲工程队的报价； （2）现有另一工程队乙工程队也参与此仓库建造竞标，其给出的整体报价为元.若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功（价低者为成功），求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）剩余一面墙的长度为（米），则报价为（元） （2）由题意可知，， ，，， 即，设，所以， 由对勾函数的性质得函数在单调递增，所以当时，.又，所以. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $基本不等式及其应用 专题04 基本不等式及其应用 知识点分析 新课标对知识的考查要求：掌握基本不等式。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。高考中基本不等式很少单独出一道大题，更多作为求最值、范围的工具，属于高频工具型考点，中档为主.高一阶段小题为主，大题一般是一道基础解答，不跨模块综合，全部是代数式子或简单实际应用。 题型一、基本不等式及其应用 题型二、基本不等式的几何意义 题型三、配凑法求最值 题型四、基本不等式与对勾函数 题型五、“1”的代换 题型六、双变量整体代换求最值 题型七、双变量消元求最值 题型八、多次使用均值不等式 题型九、基本不等式中的恒成立、存在问题 题型十、基本不等式实际问题的应用 一、基本不等式： （1）基本不等式成立的条件： （2）等号成立的条件：当且仅当时取等号． （3）设，则的算术平均数为，几何平均数为， （4）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值. （5）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值. 二、其他常用的重要的不等式 （1）重要不等式：,（当且仅当时等号成立）. （2）变形公式： （3）基本不等式变形公式： ； （4）基本不等式特例：（同号）. （5）重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 三、函数图象 四、分离常数化简成对勾函数模型 ① 换元分离常数模型 ② 同时除以分子①的模型 ③分离常数①的模型 五、应用问题做题步骤 ①读懂题意，设置变量； ②根据题意列出函数关系式； ③写出变量的实际取值范围； ④利用基本不等式求最大、最小值； ⑤检验等号取得的变量是否符合实际意义，写出答案。 常见陷阱：忘记变量实际范围，算出来等号取的数值不符合现实条件，此时不能取等，改用单调性求最值。 题型一：基本不等式及其应用 题型分析：本题型考查基本不等式的基础概念，重点考察使用基本不等式的三大前提条件：一正、二定、三相等。很多错误选项就是忽略正数条件或者等号取不到。做题时先检查变量正负，再看是否有定值，最后验证等号能否取到。 1.下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 2.已知，，则的最大值为（ ） A．6 B．9 C．12 D．36 3.若实数满足，则的最小值为_________． 4.（多选）已知均为正实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）若，且，则下列不等式恒成立的是（  ） A． B． C． D． 6.当时，的最大值为_________. 7.函数的最小值是（    ） A．7 B．9 C．12 D． 8．当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 9.已知为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 10.（多选）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．无最小值 C．的最大值为 D．无最大值 题型二：基本不等式的几何意义 题型分析：本题型为 “无字证明”，借助半圆、直角三角形、梯形等几何图形的线段长度，分别对应调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。利用几何线段长短关系，形象展示四个均值的大小关系。 解题关键在于读懂图形中每条线段分别代表哪一个均值，利用射影定理、勾股定理、三角形斜边大于直角边、梯形割线长度等几何关系，比较线段长短，完成不等式证明。 1.（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字证明”．如图，是圆的直径，点为圆心，点是线段上的一点，且．过点作垂直于的半弦，连接，过点作垂直于点，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（    ）    A. B. C.     D. 2.如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 3.已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么，，，的大小关系为(　 　) A． B． C． D． 4.数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 5.在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 题型三：配凑法求最值 题型分析：题目不会直接给出 “和定” 或者 “积定”，需要我们通过添项、拆项、变号人为构造出定值。①凑和定求积最大；②凑积定求和最小；③遇到负数，先提取负号，把变量变成正数，再用基本不等式；④部分分式函数，通过配凑，把式子改写成两部分乘积为定值的形式。易错点：配凑完成后，一定要检验等号成立条件. 1.已知，求的最大值 . 2.已知，则的最大值为________. 3.若，则的最小值为______，此时______. 4.已知，求函数的最大值为________. 5.已知，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 7. 已知函数的的取值范围，则函数的取值范围（    ） A． B． C． D． 8.函数的最大值为________. 9.函数的最大值为________. 10.函数的最小值为________. 题型四：基本不等式与对勾函数 题型分析：对勾函数，结合图像理解最值，直接套基本不等式，忽略 的取值范围，等号取不到。很多分式函数，换元之后转化成对勾函数模型，结合单调性解题。 1.函数的最大值为________. 2.函数的最小值为________. 3.当时，求函数的的取值范围。 4.下列命题中正确的是（ ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 5.下列函数中最小值为4的是　　 A． B． C． D． 题型五：“1”的代换 题型分析：要求的式子整体乘以条件等于1的代数式，展开之后就可以构造出积为定值的两组式子，再使用基本不等式。 拓展变形：条件不一定直接等于 1，可以是，可以两边同除以构造出等于 1 的式子；也可以是含括号的复合式，整体看成单元进行 “1 的代换”。 1.已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．17 C．20 D．25 2.已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 3.已知正数满足，求的最小值为_________. 4.设且，则的最小值为_________． 5.已知正数x，y满足，则的最小值（       ） A． B． C． D． 6.若实数，，满足，以下选项中正确的有（  ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 7.已知正数满足，则的最小值为 . 8.（多选）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 9.若正数，满足，则的最小值是　　 A． B． C．5 D．6 10.（多选）已知正实数满足，则（  ） A． B．的最小值为 C．的最小值为9 D．的最小值为 题型六：双变量整体代换求最值 题型分析：题干两个变量，不方便分离，不单独解，而是把某一个代数式看成一个整体，设新元。利用整体换元，将复杂双变量条件简化，转化为单变量或者可以用基本不等式的模型。 1.设，，，则的最小值为　　． 2.已知，，且，则的最小值为　　． 3.若，且，则的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 4.已知，，且，则的最小值为___________. 5.已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________． 题型七：双变量消元求最值 题型分析：利用题干给出的等式条件，把其中一个变量用另外一个变量表示实现消元，把二元问题直接转化为一元函数，之后再用配凑、基本不等式、对勾函数求解。重点：消元完成之后，一定要根据原始等式，写出新变量的取值范围，易忽略算出错误结果。 1.已知，且，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2.已知，则的最小值是　　． 3.已知，且，则的最小值为__________. 4.已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　） A．2 B． C． D．6 5.已知，且，则最大值为______． 题型八：多次使用均值不等式 题型分析：同一个题目当中，需要连续两次及以上使用基本不等式。多次用均值，所有不等式的等号成立条件必须可以同时满足。如果等号条件互相矛盾，则不能多次使用，需要换方法。 考题分为两类：①分步连续放缩；②多个不等式相乘得到结果。做完务必联立所有取等条件，检验是否存在可行解。 1.若，，，则的最小值为　　． 2.已知，当取到最小值时，___________． 3.已知正实数满足，则的最大值为___________. 4.已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 5.已知都是正数. (1)证明：； (2)若，证明：. 题型九：基本不等式中的恒成立、存在问题 题型分析：恒成立与存在性结合基本不等式求参数范围。①恒成立：恒成立恒成立 ②存在：有解有解.解题流程：先用基本不等式求出函数的最值，再转化参数不等式；还会结合充分必要条件命题判断。 1.（多选）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.已知实数满足，若对于，恒成立，则实数的取值范围是______． 3.若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4.“a＝2”是“∀x>0，x＋≥a成立”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型十：基本不等式实际问题的应用 题型分析：应用题，背景包括造价、利润、面积、平均费用、销售收益等。 1.综上在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ） A．大于克 B．小于克 C．大于等于克 D．小于等于克 2.某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 3.（多选）某单位为了激励员工努力工作，决定提高员工待遇，给员工分两次涨工资，现拟定了三种涨工资方案，甲：第一次涨幅，第二次涨幅； 乙：第一次涨幅，第二次涨幅； 丙：第一次涨幅，第二次涨幅. 其中，小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论，其中正确的有（    ） A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多 4.某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ） A．1208平方米 B．1448平方米 C．1568平方米 D．1698平方米 5.为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2026年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2026年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)． (1)将该厂家2026年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (2)该厂家2026年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 6.某种商品原来毎件售价为元，年销售万件．为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高价格到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，试问：该商品明年的销售量至少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和并求出此时每件商品的定价． 7.在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示)，按规划要求，在矩形内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2.设矩形的一边长为x m，总造价为y元． (1)求y关于x的函数解析式． (2)当x取何值时，总造价最低？最低总造价是多少？ 8.为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． (1)若车流速度千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值，并指出车流量最大时的车流密度辆/千米． 9.随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产辆该汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为多少？ 10.浙江某物流公司准备建造一个仓库，打算利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为16平方米，且背面靠墙的长方体形状的物流仓库.由于其后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下:屋子前面新建墙体的报价为每平方米150元，左右两面新建墙体的报价为每平方米75元，屋顶和地面以及共他报价共计4800元，设屋子的左右两面墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为4米时，求甲工程队的报价； （2）现有另一工程队乙工程队也参与此仓库建造竞标，其给出的整体报价为元.若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功（价低者为成功），求的取值范围. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $