湖北省沙市中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

2026—2027学年度上学期2025级 9月月考数学试卷 命题人：镇祥平 审题人：冷劲松 考试时间：2026年9月23日 一、单选题 1．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 2．设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．某数据样本的频率分布直方图如下图所示，则该组数据的众数、平均数、中位数的大小关系为（    ） A．众数<平均数<中位数 B．众数<中位数<平均数 C．中位数<平均数<众数 D．众数=平均数=中位数 4．已知向量，满足，，且满足，若正实数m，n，满足，最小值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，，若，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（   ） A．0 B． C． D． 8．如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，，则（     ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与互相独立 D． 10．在中，内角，，的对边分别是，，，点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若为边长为4的等边三角形，则的最小值为-6 C．若点为的垂心，且，则 D．若，则点的轨迹经过的外心 11．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（   ） A．不存在点，使得直线与所成的角为 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点，使得直线平面 三、填空题 12．已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 13．某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的单次闯关的成功率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一名选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为____. 14．如图所示的容器由两个共底面的圆锥组成，已知两个圆锥的高分别为8和2，底面半径均为4．在该容器内放置一个球，则这个球的表面积的最大值为________． 四、解答题 15．某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图． (1)田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？ (2)若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生．现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率． 16．在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求周长的取值范围． 17．南宁市举行“高一年级趣味数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了名学生，现从已抽取的名学生中随机抽取名，求有名或名学生的成绩在内的概率； (3)已知本次竞赛最终由甲、乙两人进行冠军争夺战，比赛采用“三局两胜制”（即先赢得两局者获得冠军，比赛随即结束）．已知每一局比赛中 甲胜乙的概率均为，且每局比赛结果互不影响．求甲获得冠军的概率． 18．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 19．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）. (1)设函数，求的“相伴向量”； (2)若函数，求其“相伴向量”的模的取值范围； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级9月月考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B A D D B A CD ABD 题号 11 答案 BCD 10．ABD【详解】对于A，由正弦定理和，得，由余弦定理，可得，因为，所以，则为钝角三角形，A正确；对于B，如图1，构建以中点为原点的直角坐标系，则，设，所以，，由，则，当，时，的最小值为，B正确；对于C，如图2，因为为垂心，故，故，即，所以，同理可得，因为，所以，所以，同理，故，所以， C错误；对于D，如图3所示，设中点为，则，所以，则，所以，即，所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D正确. 11．BCD【详解】对于A：当点为线段上靠近的四等分点时，如图，连接,过点作，交于，则,又正方体中，，所以，则直线与所成角为，又，，所以为等边三角形，所以，故A错误；对于B，当点为中点时，有，平面，平面，所以 平面，同理，平面，且，平面，所以平面 平面，故B正确；对于C：三棱锥的体积， 故C正确；对于D：当点为中点时，有，又，所以平面即平面，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，故D正确. 12． 13． /0.1575 14．/【详解】几何体内最大的球为几何体的内切球，如图，点分别是切点，连接交圆锥底面于点，连结，，，，因为，所以，又，，且，所以四边形是正方形，且，则，即，解得：，所以内切球的表面积为，即这个球的表面积的最大值为. 15．(1) (2) 【详解】（1）因为（件），所以田老师抽查的四个班级共征集到作品15件． （2）恰好抽中一名男生、两名女生的概率，也即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率，不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下： 共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，所以恰好抽中一名男生、两名女生的概率为． 16．(1) (2) 【详解】（1）在中，由题意得：，即， 得，因为，解得．  又，故． （2）由于该三角形为锐角三角形，，有，即，解得．    由正弦定理得：，解得，，    则的周长 ，又因为，所以，的周长的取值范围为． 17．(1)， (2) (3) 【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得，估计高一年级初赛成绩的平均数为. （2）组与组的频率比为，因此抽样人数分别为人与人，设五名学生为、、、、，其中、在组，、、在组，因此样本空间，，记“有名或名学生成绩在”为事件，，，因此根据古典概型的计算公式． （3）设事件为甲在第一局中获得胜利，事件为甲在第二局中获得胜利，事件为甲在第三局中获得胜利，因此为乙在第一局中获得胜利，为乙在第二局中获得胜利，为乙在第三局中获得胜利，故，，甲获得冠军的情况分为甲赢、甲输、甲赢：甲赢、甲赢；甲输、甲赢、甲赢．即为事件， 因此 故． 18．(2) (3) 【详解】（1）略. （2）因为平面，，所以平面，则点到平面的距离即为长.而，所以点到平面的距离为． （3）因为平面，，平面，所以，，则即为二面角的平面角，即．   因为，由余弦定理得，即，解得，所以．如图，过点作于点，连接．因为平面，平面，所以．而，，平面，所以平面．在中，，因为是边的中点，所以点到平面的距离是点到平面，距离的一半，即．  因为平面，平面，所以，即四边形是直角梯形，由（1）知，．在等腰三角形中，．所以在直角梯形中，，所以直线与平面所成角的正弦值为． 19．(1) (2) (3) 【详解】（1）函数，所以函数的“相伴向量”. （2）依题意，，则函数的“相伴向量”，因此. （3）向量的相伴函数，其中由确定，当时，函数取到最大值，则， ， 由定点且，得，设且， 因此， 当时，，当且仅当时取等号； 当时，，当且仅当时取等号，则，令，于是， 函数在内单调递减，当时，； 当时，，；所以的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $