第一次阶段检测易错题汇总（易错点清单+典型题+分层变式）2026-2027学年八年级上册数学人教版

八年级上册 第十三章 三角形～第十四章 全等三角形 易错题汇总 第一次月考 易错题汇总（易错点清单+典型题+分层变式） 人教版数学八年级上册　第十三章 三角形　第十四章 全等三角形 （建议用时：100分钟　测试范围：第十三章 三角形、第十四章 全等三角形） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．六个易错簇依次训练：先读【典型易错题】的错解、错因与正解，再做变式练。 2．典型易错题中标有“错解”的过程是典型的错误做法，只用来对照，不要照抄。 3．解答题要写出分类讨论的依据和必要的推理、计算过程。 内容速览　六个易错点 · 典型易错题6道 · 变式练42题（选择23 · 填空13 · 解答6） 解析版25页，含易错点清单、错解—错因—正解对照、每题【易错提醒】与避坑口诀；题目配图16幅 易错点清单 下表按第十三章、第十四章列出这份汇总训练的27个易错点，最后一栏是对应的题号（每个易错簇的第1题为典型易错题）。做完后把出错的题号圈出来，对照这一栏找到自己的易错点，再回到该簇的典型易错题重看错因。 章 簇 易错点 题号 第十三章 01 判断能否组成三角形只验一组，没有先找出最长边 1，2，6 第十三章 01 把“两边的和等于第三边”当成能组成三角形 2，3，7 第十三章 01 三点不一定组成三角形，漏掉三点共线的情形 5 第十三章 01 等腰三角形分情况求出边长后不用三边关系检验 4，8 第十三章 02 没有图时默认高的垂足在边上，漏掉垂足在延长线上的情形 9，14，16 第十三章 02 钝角三角形的高画在形内，或不认形外的高 10，11，15 第十三章 02 把一般线段当成中线，误用“中线平分面积” 12 第十三章 02 等积法中底与高没有配对 13 第十三章 03 把外角当成与它相邻的内角的和 17，24 第十三章 03 外角与相邻内角互补、与不相邻两内角的和相等，两者混用 18，19，21，22 第十三章 03 列方程时漏掉相等的角或把“大”“小”弄反 20 第十三章 03 没有指明外角的位置时漏掉分类 23 第十四章 04 按字母表顺序而不是按对应位置找对应边、对应角 25，26，27，31 第十四章 04 对应边找错导致由面积求高算错 28 第十四章 04 以公共边构造全等时只想到一种位置 29 第十四章 04 由全等得到等角后没有减去公共部分 30 第十四章 04 没有指明对应顶点时不分类讨论 32 第十四章 05 用“两边和其中一边的对角”判定全等 33，36，38 第十四章 05 用“三个角分别相等”判定全等 34 第十四章 05 “边角边”中的角不是两边的夹角 35 第十四章 05 直角三角形中斜边与直角边没有对应就用“斜边、直角边” 37 第十四章 05 找全等三角形时只看小三角形，漏掉拼成的大三角形 39 第十四章 05 两边及第三边上的高分别相等时忽略两种位置 40 第十四章 06 把斜线段当成点到直线的距离 41，43，47 第十四章 06 说不清尺规作图每一步的作用与依据 42，44，46 第十四章 06 点到坐标轴的距离是正数，横坐标为负时列错等式 45 第十四章 06 把角平分线当成中线（误以为平分对边） 48 　易错点01　三角形的三边关系：只验一组、等于也算、漏掉检验 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 1．【典型易错题】三条线段的长分别为(x＋2)cm，2x cm，(11－x)cm，把它们首尾顺次相接能组成三角形，求x可取的整数值。 　易错点01　三角形的三边关系　变式练 2．手工课上，同学们用细木棒首尾顺次相接摆三角形。下列各组木棒的长度（单位：cm）中，能摆成三角形的是(____)。 A．5，8，13 B．11，4，6 C．6，9，13 D．2.5，9，6 3．学校要用三段围栏围成一个三角形花坛，已有两段长7m和16m，第三段只能从长9m，10m，16m，23m的四种成品中选一种，可以选择的有________种。 4．某等腰三角形的三条边中，有一条边比另一条边的2倍还长2cm，三条边的和是34cm，那么它的底边长为(____)。 A．6cm B．6cm或18cm C．18cm D．14cm 5．平面内有A，B，C三点，量得AB＝5.4cm，BC＝3.2cm，设A，C两点之间的距离为d cm，则d的取值范围是________。 6．三条线段的长分别为a，2a，9（a为正整数），若它们首尾顺次相接能组成三角形，则a可取的值共有(____)。 A．8个 B．7个 C．1个 D．5个 7．工具箱里有长3cm，4cm，6cm，7cm，10cm的五根小木条，从中任取三根首尾顺次相接，能钉成三角形的取法有(____)。 A．8种 B．5种 C．3种 D．10种 8．把一根26cm长的细铁丝弯折成等腰三角形框架（接头长度忽略不计），它的腰长记为x cm，底边长记为y cm。 (1)用含x的式子表示y； (2)求x的取值范围； (3)若三边长都是整数（单位：cm），这样的等腰三角形共有几种？写出其中底边最长的一种的三边长。 易错点01　避坑口诀 避坑口诀：三边先排序，短和胜长边，求完再回验。 　易错点02　三角形的高与中线：高在形外、垂足两处 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 9．【典型易错题】已知△ABC中∠B＝38°，过顶点A画直线BC的垂线，垂足记为D，这条垂线与边AC所成的∠CAD＝17°，求∠ACB的度数。 　易错点02　三角形的高与中线　变式练 10．在△ABC中，∠A＝104°。从A，B，C三个顶点分别向对边所在的直线画高，得到的三条高中，位于△ABC外部的有(____)。 A．3条 B．1条 C．0条 D．2条 11．如图，△ABC画在方格纸上，三个顶点A，B，C都是小正方形的顶点。从顶点A向直线BC作垂线段（即BC边上的高），这条高的垂足位于(____)。 A．线段BC上 B．CB的延长线上（点B的外侧） C．BC的延长线上（点C的外侧） D．点B处 12．如图，一块三角形菜地ABC的面积为35m²，从顶点A到对边上的点D修一条小路AD，量得BD＝4m，DC＝6m，则小路左侧△ABD部分的面积为________m²。 13．如图，在△ABC中，∠ABC是钝角，AB＝6，BC＝4，AD⊥CB，交CB的延长线于点D，AD＝4.5，CF⊥AB，交AB的延长线于点F，则CF的长为(____)。 A．3 B．6.75 C．1.5 D．9 14．△ABC的BC边上的高AD长为4，垂足D与点B相距3，与点C相距7，那么△ABC的面积为________。 15．如图，在△ABC中，∠ABC是钝角，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CE＝4，AB＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD的面积为________。 16．在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，AD＝4，BD＝9，△ABC的面积为12。 (1)求BC的长； (2)求CD的长； (3)求△ACD的面积。 易错点02　避坑口诀 避坑口诀：高落形外莫忽视，无图垂足两处找。 　易错点03　内角与外角：外角只加不相邻、列式别漏角 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 17．【典型易错题】如图是一个三角形屋架ABC的示意图，延长CB到点D，测得∠ABD＝128°，屋架顶角∠BAC比∠C大18°，求∠C的度数。 　易错点03　内角与外角　变式练 18．一个三角形的两个内角分别是47°和58°，那么它的三个外角（每个顶点处取一个）中最大的一个是(____)。 A．105° B．122° C．133° D．75° 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点B处的一个外角是152°，则∠A＝________°。 20．如图，把人字梯撑开后，两个梯脚B，C与梯顶A构成△ABC，两侧梯子与地面所成的角∠ABC与∠ACB相等，且都比梯顶的张角∠BAC大51°，则∠BAC的度数为(____)。 A．64.5° B．26° C．94° D．77° 21．在△ABC中，延长BC到点D，∠ACD比∠ACB大44°，∠A比∠B大6°，则∠A＝________°。 22．一个三角形的三个外角（每个顶点处取一个）中，是锐角的最多有(____)。 A．2个 B．3个 C．0个 D．1个 23．△ABC的内角∠BAC恰好是内角∠B的2倍，它的三个外角（每个顶点处取一个）中有一个是126°，那么∠B的度数为(____)。 A．42° B．27°或42° C．27°或42°或54° D．27° 24．如图，从一块三角形瓷砖ABC的顶点A切一刀，刀痕AD交BC于点D。已知∠B＝50°，∠DAC是∠BAD的2倍，∠ADB比∠C大34°。 (1)求∠BAD的度数； (2)求∠C与∠ADB的度数。 易错点03　避坑口诀 避坑口诀：外角只加不相邻，相邻内角要互补。 　易错点04　全等三角形的对应关系：看位置不看字母 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 25．【典型易错题】已知△ABC≌△FDE，AB＝8cm，BC＝11cm，∠A＝52°，∠B＝73°，求DE的长和∠E的度数。 　易错点04　全等三角形的对应关系　变式练 26．△MNP与△SQR全等，且顶点M，N，P的对应点依次是S，Q，R，下列等式中成立的是(____)。 A．MP＝SR B．MN＝SR C．∠N＝∠R D．NP＝QS 27．工人用同一块模板切出两块全等的三角形钢板△ABC与△NKM，其中点A与点N，点B与点K，点C与点M是对应顶点。量得∠A＝47°，∠K＝64°，则∠M＝________°。 28．已知△ABC≌△FED（点A，B，C的对应点依次是F，E，D），AB＝14，BC＝12，△ABC的面积为42，则△FED中EF边上的高为(____)。 A．7 B．3 C．3.5 D．6 29．如图，点A，B，C是方格纸上的三个格点。在这张方格纸中另取一个格点D（不与点A重合），使以D，B，C为顶点的三角形与△ABC全等，满足要求的格点D共有(____)。 A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 30．如图，△ABC与△DBE全等，顶点B重合，A的对应点是D，C的对应点是E，且点D在∠ABC的内部。已知∠ABC＝72°，∠DBC＝31°，求得∠ABE＝________°。 31．两个三角形零件满足△ABC≌△DFE，测得零件△DFE的∠E＝(3x＋5)°，∠F＝(2x＋15)°，零件△ABC的∠B＝(4x－7)°，那么∠B等于(____)。 A．37° B．41° C．38° D．105° 32．已知△ABC与△DEF全等，AB＝5，BC＝8，CA＝9，DE＝x＋5，EF＝3x－4。 (1)求x的所有可能的值； (2)对(1)中的每一个x，求DF的长； (3)若又知道∠E与∠B是对应角，求x的值。 易错点04　避坑口诀 避坑口诀：全等看位不看字，对应顶点排成行。 　易错点05　全等的判定条件：边边角与三个角都不行 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 33．【典型易错题】如图，点D在△ABC的边BC上，且AD与AC相等，过点A作AH⊥BC，垂足为H。已知BD＝4，DH＝3，求BC的长。 　易错点05　全等的判定条件　变式练 34．判断两个三角形是否全等时，下列各组对应相等的元素中，不能作为判定依据的一组是(____)。 A．三条边分别相等 B．两角和它们的夹边分别相等 C．三个角分别相等 D．两角和其中一角的对边分别相等 35．如图，点A是△ABC与△ADE的公共顶点，AB＝AD，AC＝AE。小刚想用“边角边”说明△ABC≌△ADE，他还需要知道的一组相等关系是(____)。 A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．BC＝DE D．∠BAC＝∠DAE 36．小明和同学用硬纸板各剪了一个三角形，量得两块纸板△ABC和△DEF中AB＝DE，∠B＝∠E。他们又分别量了下面的一组元素，量到的相等关系是：①BC＝EF；②AC＝DF；③∠A＝∠D；④∠C＝∠F。其中每一条单独加上后能保证两块纸板全等的有(____)。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 37．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中能判定这两个直角三角形全等的是(____)。 A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．AC＝DF C．AB＝DE，∠A＝∠D D．AB＝EF，AC＝DF 38．如图，△ABC的高AH的垂足H在边BC上，BH＝5，BC＝8。另有一个△DEF，满足DE＝AB，∠E＝∠B，DF＝AC，但△DEF与△ABC不全等，则EF＝________。 39．如图，线段AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA，则图中全等的三角形共有(____)。 A．4对 B．2对 C．3对 D．5对 40．如图，AH是△ABC的边BC上的高，垂足H落在边BC上，量得BH＝2，HC＝6。在△DEF中，DE＝AB，DF＝AC，EF边上的高DG＝AH（G为垂足）。 (1)求证：Rt△DGE≌Rt△AHB； (2)求EF的长； (3)当△DEF与△ABC不全等时，求△DEF与△ABC的面积之比。 易错点05　避坑口诀 避坑口诀：边边角不成立，夹角位置看仔细。 　易错点06　角的平分线与尺规作图：距离是垂线段 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 41．【典型易错题】如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D，PD＝3。点E在射线OB上，连接PE，量得PE＝5，OE＝8，求△POE的面积。 　易错点06　角的平分线与尺规作图　变式练 42．小颖用尺规作∠AOB的平分线：第一笔以角的顶点O为圆心作弧，弧与OA，OB的交点记为M，N；再分别以M，N为圆心、同样长的半径画两段弧，交于角内的点C；最后作射线OC。其中“两段弧的半径同样长”直接保证的相等关系是(____)。 A．OM＝ON B．OC＝OC C．CM＝CN D．∠MOC＝∠NOC 43．直角三角形ABC的直角顶点是C，AD平分∠BAC，点D在BC上，已知BC＝15，BD∶DC＝3∶2，那么点D到斜边AB的距离是________。 44．在△ABC中，∠A＝68°，∠C＝46°。按以下步骤作图：①以点B为圆心作弧，弧与边BA，BC各交于一点，记为M，N；②取一个比MN的一半更长的长度，分别以M，N为圆心画弧，两段弧在∠ABC内交于点P；③连接BP并延长，与AC交于点D。则∠BDC的度数为(____)。 A．101° B．134° C．90° D．79° 45．在平面直角坐标系中，点P(3a－5，a＋1)在第二象限，且点P到x轴、y轴的距离相等，则a＝________。 46．小亮要用尺规作∠A′O′B′，使它等于已知的∠AOB。他先以O为圆心画弧，与OA，OB交于点C，D，又在射线O′A′上用同样的半径画弧得到点C′。接下来他要以C′为圆心再画一段弧来确定点D′，这段弧的半径应取(____)。 A．OC B．OA C．CD的一半 D．CD 47．射线OP平分∠AOB，点M在边OA上，OM＝6，△OPM的面积为12。当点Q沿射线OB移动时，线段PQ长度的最小值为________。 48．如图，直角三角形AOB的两条直角边OA，OB分别在y轴和x轴的正半轴上，点A(0，6)，B(8，0)，斜边AB＝10。∠OAB的平分线交OB于点C。 (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的面积。 易错点06　避坑口诀 避坑口诀：距离必是垂线段，作图步步有依据。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 2 3 4 5 6 7 10 答案 C 2 A 2.2≤d≤8.6 D B D 题号 11 12 13 14 15 18 19 20 答案 B 14 A 20或8 5 C 62 B 题号 21 22 23 26 27 28 29 30 答案 59 D C A 69 D B 113 题号 31 34 35 36 37 38 39 42 答案 A C D B C 2 A C 题号 43 44 45 46 47 答案 6 A 1 D 4 　易错点01　三角形的三边关系：只验一组、等于也算、漏掉检验 1．【答案】x可取3，4，5，6 【解析】错解：认为2x cm是最长的一条，只列(x＋2)＋(11－x)＞2x，解得x＜，又x＞0，所以x可取1，2，3，4，5，6（这是错误示例） 错因：没有确定哪条线段最长就只验了一组“两边的和大于第三边”，漏掉了另外两组（x＝1时三边为3cm，2cm，10cm，3＋2＜10，组不成三角形）。 正解：三条线段能组成三角形，任意两条的和都要大于第三条，三个不等式都要列： ①(x＋2)＋2x＞11－x，得4x＞9，x＞； ②(x＋2)＋(11－x)＞2x，得2x＜13，x＜； ③2x＋(11－x)＞x＋2，整理得11＞2，对任意x都成立； 又各边长为正数，x＞0且x＜11。取公共部分得＜x＜，所以x可取的整数值是3，4，5，6。 检验：x＝3时三边为5cm，6cm，8cm，5＋6＞8；x＝6时三边为8cm，12cm，5cm，8＋5＞12，都能组成三角形。 避错要点：用字母表示边长时，三个“两边的和大于第三边”缺一不可，再加上每条边为正数，最后取公共部分。 　易错点01　三角形的三边关系　变式练 2．【答案】C 【解析】【分析】三条线段能组成三角形，只需较短两条的和大于最长的一条，所以先找出最长的一条。 【详解】6，9，13中最长的是13，较短两根的和6＋9＝15＞13，能摆成三角形。 所以选C。 A项“5，8，13”：较短两根的和5＋8＝13，恰好等于最长的一根，“等于”不满足两边的和大于第三边；B项“11，4，6”：只验了11＋4＞6，没有先找出最长的一根：较短两根4＋6＝10＜11；D项“2.5，9，6”：只验了2.5＋9＞6，较短两根2.5＋6＝8.5＜9。 【点评】“较短两边之和大于最长边”一步就能判断，前提是先把三条线段按长短排好。 【易错提醒】先把三根木棒按长短排好，再看较短两根的和是否大于最长的一根；“等于”也摆不成。 3．【答案】2 【解析】【分析】已知两段求第三段，第三段要大于两段的差、小于两段的和，端点都取不到。 【详解】设第三段长为c m，由两边的和大于第三边、两边的差小于第三边，16－7＜c＜16＋7，即9＜c＜23。 四种成品中满足条件的是10m和16m；9m与23m恰好等于范围的端点，围不成三角形，所以可以选择的有2种。 【点评】已知两边求第三边时，范围是“差＜第三边＜和”，两端都不能取等号。 【易错提醒】9m和23m正好等于两边的差与和，不能选；把它们算进去会得到4种。 4．【答案】A 【解析】【分析】“一条边”和“另一条边”可能是腰和底边，也可能是底边和腰，要分两种情况，求出三边后都要用三边关系检验。 【详解】等腰三角形的两腰相等，分两种情况： ①腰长比底边长的2倍多2cm：设底边长为x cm，则腰长为(2x＋2)cm，x＋2(2x＋2)＝34，解得x＝6，三边为14cm，14cm，6cm，14＋6＞14，能组成三角形； ②底边长比腰长的2倍多2cm：设腰长为x cm，则底边长为(2x＋2)cm，2x＋(2x＋2)＝34，解得x＝8，三边为8cm，8cm，18cm，8＋8＝16＜18，不能组成三角形，舍去。 所以底边长为6cm。 所以选A。 B项“6cm或18cm”：两种情况都保留，没有检验8cm，8cm，18cm能否组成三角形；C项：只考虑了“底边比腰长的2倍多2cm”，解得腰长8cm、底边长2×8＋2＝18（cm），没有用三边关系检验，按此错法真算得18cm；D项：求成了腰长2×6＋2，按此错法真算得14cm。 【点评】等腰三角形的边长问题，分类讨论与三边关系检验要成对出现：分几种情况，就检验几次。 【易错提醒】分情况求出三边后必须检验：8cm，8cm，18cm中8＋8＜18，组不成三角形。 5．【答案】2.2≤d≤8.6 【解析】【分析】三点不一定能组成三角形，要把三点共线的情形也考虑进去。 【详解】题目只说是平面内的三点，A，B，C的位置有两类： ①A，B，C不在同一条直线上时，它们组成三角形，由三边关系得5.4－3.2＜d＜5.4＋3.2，即2.2＜d＜8.6； ②A，B，C在同一条直线上时，点C在线段AB上，d＝5.4－3.2＝2.2；点C在线段AB的延长线上，d＝5.4＋3.2＝8.6。 综合两类，d的取值范围是2.2≤d≤8.6。 【点评】“三点”与“三角形”不是一回事，题目没说构成三角形时，要补上三点共线的两种极端位置。 【易错提醒】题目没说A，B，C组成三角形，三点共线时d能取到2.2和8.6，范围要带等号。 6．【答案】D 【解析】【分析】不知道哪条最长时，三个“两边的和大于第三边”都要列，再取公共部分。 【详解】三个不等式都要满足：a＋2a＞9，得a＞3；a＋9＞2a，得a＜9；2a＋9＞a对正数a恒成立。 所以3＜a＜9，正整数a可取4，5，6，7，8，共8－4＋1＝5（个）。 所以选D。 A项：只列了a＋9＞2a一个不等式，漏掉a＋2a＞9，得a＜9，a取1～8，按此错法真算得8个；B项：把“＞”写成“≥”，得3≤a≤9，按此错法真算得7个；C项：默认9最长，只验a＋2a＞9并要求2a＜9，只剩a＝4，按此错法真算得1个。 【点评】含字母的边长不知道谁最长，就把三个不等式全部列出，再在公共部分里数整数。 【易错提醒】a与2a、9谁最长不确定，只列一个不等式会多出或漏掉取值；端点3和9都取不到。 7．【答案】B 【解析】【分析】先按顺序列出全部取法，做到不重不漏，再对每一种只比较“较短两根的和”与“最长一根”。 【详解】五根中任取三根共10种取法，按从短到长逐一检验“较短两根的和是否大于最长一根”： 3，4，6：3＋4＝7＞6，能；3，4，7：3＋4＝7，等于最长一根，不能；3，4，10：3＋4＝7＜10，不能； 3，6，7：3＋6＝9＞7，能；3，6，10：3＋6＝9＜10，不能；3，7，10：3＋7＝10，不能； 4，6，7：4＋6＝10＞7，能；4，6，10：4＋6＝10，不能；4，7，10：4＋7＝11＞10，能；6，7，10：6＋7＝13＞10，能。 能钉成三角形的取法共5种。 所以选B。 A项：把较短两根的和恰好等于最长一根的3种取法也算了进去，按此错法真算得8种；C项：误以为10cm的木条太长不能用，只在不含10cm的4种取法里检验，能钉成的是3，4，6；3，6，7；4，6，7，按此错法真算得3种；D项：误以为任取三根都能钉成三角形，数了全部取法，按此错法真算得10种。 【点评】列举取法按“固定最短、再定次短”的顺序走，才能做到不重不漏。 【易错提醒】3，4，7与3，7，10、4，6，10三组都是“和等于最长一根”，不能钉成三角形。 8．【答案】（1）y＝26－2x；（2）＜x＜13；（3）共6种，底边最长的一种三边长为7cm，7cm，12cm 【解析】【分析】等腰三角形的三边关系只要验“两腰的和大于底边”，再加上底边长为正数，两个条件合起来得x的范围。 【解答】(1)周长为2x＋y＝26，所以y＝26－2x。 (2)底边长为正数：26－2x＞0，得x＜13； 两腰的和大于底边：x＋x＞26－2x，得4x＞26，x＞；（腰与底边的和大于另一腰，即y＞0，已包含在前面。） 所以x的取值范围是＜x＜13。 (3)x取整数7，8，9，10，11，12，对应的y依次是12，10，8，6，4，2，共6种； 底边最长时x最小，x＝7，y＝26－2×7＝12，三边长为7cm，7cm，12cm（7＋7＝14＞12，能围成）。 【点评】等腰三角形周长一定时，腰长的范围由“底边为正”和“两腰之和大于底边”共同确定。 【易错提醒】只写y＞0会得到0＜x＜13；x＝时三边为6.5cm，6.5cm，13cm，恰好围不成，端点取不到。 　易错点02　三角形的高与中线：高在形外、垂足两处 9．【答案】73°或107° 【解析】错解：在Rt△ADC中，∠ACB＝90°－∠CAD＝90°－17°＝73°（这是错误示例） 错因：题目没有给图，默认垂足D落在边BC上，漏掉了∠ACB是钝角、垂足D落在BC延长线上的情形。 正解：∠B＝38°是锐角，垂足D可能在边BC上，也可能在BC的延长线上（点C的外侧），分两种情况： ①点D在边BC上：在Rt△ADC中，∠ACB＝90°－17°＝73°，此时∠BAC＝180°－38°－73°＝69°，符合题意； ②点D在BC的延长线上：在Rt△ADC中，∠ACD＝90°－17°＝73°，∠ACB与∠ACD互补，∠ACB＝180°－73°＝107°，此时∠BAC＝180°－38°－107°＝35°，符合题意。 所以∠ACB的度数是73°或107°。 避错要点：无图题中出现“高”，先问一句“垂足在边上还是在延长线上”，两种情况都要检验。 　易错点02　三角形的高与中线　变式练 10．【答案】D 【解析】【分析】三角形的高是顶点与垂足之间的线段；钝角三角形中，钝角两边上的高落在形外，钝角所对边上的高在形内。 【详解】∠A＝104°是钝角，△ABC是钝角三角形。 从钝角顶点A向BC画的高在三角形内部；从B向CA画高、从C向AB画高时，垂足都落在边的延长线上，这两条高在三角形外部。 所以位于外部的高有3－1＝2（条）。 所以选D。 A项：误以为钝角三角形的三条高都在外部，按此错法真算得3条；B项：只想到一条高在外部，按此错法真算得1条；C项：误以为三条高都画在三角形内部，按此错法真算得0条。 【点评】钝角三角形的三条高中，只有钝角所对边上的高在形内。 【易错提醒】钝角三角形不是三条高都在外部，钝角所对的边上的高在形内。 11．【答案】B 【解析】【分析】钝角三角形中，钝角两边上的高都在三角形外部，垂足落在边的延长线上。 【详解】从点A向直线BC作垂线，垂足与A在同一条竖直的格线上，位于点B左边2格处。 由图可知∠ABC是钝角，所以BC边上的高在三角形外部，垂足落在CB的延长线上（点B的外侧）。 所以选B。 A项“线段BC上”：∠ABC是钝角，过A作BC的垂线，垂足不在线段BC上；C项“BC的延长线上（点C的外侧）”：垂足在点B的外侧，不在点C的外侧；D项“点B处”：AB与BC不垂直，垂足不是点B。 【点评】判断垂足位置看角：夹这条边的某个内角是钝角，垂足就落在边的延长线上。 【易错提醒】高要画到对边所在的直线上，钝角三角形要先延长边再作垂线。 12．【答案】14 【解析】【分析】同高的两个三角形，面积之比等于底之比。 【详解】△ABD与△ABC的边BD，BC上的高是同一条线段（都是点A到直线BC的距离），所以面积之比等于底之比。 BC＝BD＋DC＝10，S△ABD＝×35＝14（m²）。 【点评】同高三角形的面积比等于底的比，中线只是“底之比为1∶1”的特殊情形。 【易错提醒】BD≠DC，AD不是中线，不能把面积平分成35÷2＝17.5。 13．【答案】A 【解析】【分析】同一个三角形的面积用不同的底和高计算结果相等；每条高必须与它所在的那条边配对。 【详解】AD是BC边上的高，S△ABC＝½×BC×AD＝½×4×4.5＝9； CF是AB边上的高，S△ABC＝½×AB×CF，所以½×6×CF＝9，解得CF＝3。 所以选A。 B项：把AD当成了AB边上的高，由AB·AD＝BC·CF得CF＝6×4.5÷4，按此错法真算得6.75；C项：由面积列式时漏乘2，用½×4×4.5÷6，按此错法真算得1.5；D项：求成了△ABC的面积½×4×4.5，按此错法真算得9。 【点评】等积法的关键是配对：每条高只能与它垂直的那条边相乘。 【易错提醒】AD是BC边上的高（在形外），不是AB边上的高；等积式要写成BC·AD＝AB·CF。 14．【答案】20或8 【解析】【分析】没有图时，高的垂足可能在边上，也可能在边的延长线上，分两种情况求底。 【详解】AD是BC边上的高，只说明AD垂直于BC所在的直线，垂足D可能在边BC上，也可能在BC的延长线上： ①点D在边BC上：BC＝BD＋CD＝3＋7＝10，S△ABC＝10×4÷2＝20； ②点D在CB的延长线上（点B在C，D之间）：BC＝CD－BD＝7－3＝4，S△ABC＝4×4÷2＝8； 点D不可能在BC的延长线上点C的外侧（那样BD＞CD）。 所以△ABC的面积为20或8。 【点评】垂足位置不同，底的求法不同：在边上用两段的和，在延长线上用两段的差。 【易错提醒】只算BC＝3＋7＝10会漏掉钝角三角形的情形，此时BC＝7－3＝4。 15．【答案】5 【解析】【分析】高在形外时仍是那条边上的高，先求整个三角形的面积；再用中线把面积平分。 【详解】CE与AB所在的直线垂直，CE是△ABC的边AB上的高（在三角形外部），S△ABC＝AB×CE÷2＝5×4÷2＝10。 AD是中线，BD＝DC，△ABD与△ACD等底同高，面积相等，所以S△ABD＝½S△ABC＝10÷2＝5。 【点评】形外的高仍然是这条边上的高，求面积时底仍取这条边本身。 【易错提醒】CE在三角形外部，但它仍是AB边上的高；中线平分的是面积，求出10后还要除以2。 16．【答案】（1）BC＝6；（2）CD＝3或15；（3）△ACD的面积为6或30 【解析】【分析】先用面积求出BC，再比较BD与BC的大小判断垂足的位置；垂足在线段外时，点D可能在点B一侧，也可能在点C一侧。 【解答】(1)AD是BC边上的高，S△ABC＝½×BC×AD，所以½×BC×4＝12，解得BC＝6。 (2)BD＝9＞BC＝6，点D不在线段BC上，只能在线段BC的延长线上，分两种情况： ①点C在B，D之间：CD＝BD－BC＝9－6＝3； ②点B在C，D之间：CD＝BD＋BC＝9＋6＝15。 (3)△ACD的边CD上的高也是AD。①CD＝3时，S△ACD＝½×3×4＝6；②CD＝15时，S△ACD＝½×15×4＝30。 【点评】先由面积反求底，再比较已知线段与底的长短，判断垂足的位置。 【易错提醒】BD比BC长，说明垂足在三角形外部，要分“C在B，D之间”和“B在C，D之间”两种情况。 　易错点03　内角与外角：外角只加不相邻、列式别漏角 17．【答案】55° 【解析】错解：∠ABD＝∠BAC＋∠ABC＝128°，所以∠C＝180°－128°＝52°（这是错误示例） 错因：把外角∠ABD当成了∠BAC与相邻内角∠ABC的和，外角等于与它不相邻的两个内角的和。 正解：∠ABD是△ABC的外角，与它不相邻的内角是∠BAC和∠C，所以∠BAC＋∠C＝∠ABD＝128°。 设∠C＝x°，则∠BAC＝(x＋18)°，x＋(x＋18)＝128，解得x＝55， 所以∠C＝55°。 检验：∠BAC＝55°＋18°＝73°，∠ABC＝180°－128°＝52°，73°＋52°＋55°＝180°。 避错要点：用外角性质前先标出与外角相邻的内角，它不参与求和。 　易错点03　内角与外角　变式练 18．【答案】C 【解析】【分析】外角与相邻内角互补，最大的外角在最小的内角处。 【详解】第三个内角是180°－47°－58°＝75°，三个内角中最小的是47°。 外角与相邻的内角互补，内角越小，相邻的外角越大，所以最大的外角是180°－47°＝133°。 所以选C。 A项：把两个已知角的和当成最大外角，47°＋58°其实是第三个内角的外角，按此错法真算得105°；B项：误以为最大外角在最大的已知内角58°处，180°－58°，按此错法真算得122°；D项：求成了第三个内角180°－47°－58°，按此错法真算得75°。 【点评】外角的大小顺序与相邻内角相反：内角越小，相邻的外角越大。 【易错提醒】最大外角对应最小内角，不是最大内角；47°＋58°＝105°是第三个内角的外角。 19．【答案】62 【解析】【分析】外角与相邻的内角互补；直角三角形的两个锐角互余。 【详解】顶点B处的外角与∠ABC互补，∠ABC＝180°－152°＝28°， 直角三角形的两个锐角互余，∠A＝90°－28°＝62°。 （也可以用外角等于与它不相邻的两个内角的和：∠A＋∠C＝152°，∠A＝152°－90°＝62°。） 【点评】直角三角形中已知一个锐角处的外角，既可以先求内角再用互余，也可以直接用外角性质。 【易错提醒】152°是外角，∠ABC是28°；两个锐角的和是90°，不是180°。 20．【答案】B 【解析】【分析】设最小的角为x°，把三个角都用x表示，再由内角和列方程；两个相等的底角要算两次。 【详解】设∠BAC＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝(x＋51)°， 由三角形的内角和定理，x＋2(x＋51)＝180，解得x＝26， 所以∠BAC＝26°（两个底角都是77°）。 所以选B。 A项：只算了一个底角，列成x＋(x＋51)＝180，得x＝(180－51)÷2，按此错法真算得64.5°；C项：把“大51°”弄反成“小51°”，列成x＋2(x－51)＝180，得x＝(180＋102)÷3，按此错法真算得94°；D项：求成了底角∠ABC＝26°＋51°，按此错法真算得77°。 【点评】列方程时先数清有几个角与未知数有关，相等的角要分别写进方程。 【易错提醒】两个底角都比∠BAC大51°，列方程时要写2(x＋51)，不能只写一个。 21．【答案】59 【解析】【分析】外角与相邻的内角互补，外角等于与它不相邻的两个内角的和，两条关系分别用在两组“和差”条件上。 【详解】∠ACD与∠ACB互补：∠ACD＋∠ACB＝180°，又∠ACD－∠ACB＝44°，所以∠ACD＝(180°＋44°)÷2＝112°。 ∠ACD是△ABC的外角，∠A＋∠B＝∠ACD＝112°，又∠A－∠B＝6°，所以∠A＝(112°＋6°)÷2＝59°。 【点评】“外角与相邻内角”用互补，“外角与不相邻内角”用和，两种关系分别列式。 【易错提醒】∠ACD与相邻的∠ACB互补，等于不相邻的∠A与∠B的和，两种关系不能混用。 22．【答案】D 【解析】【分析】把“外角是锐角”翻译成“相邻内角是钝角”，再用“三角形最多有一个钝角”。 【详解】外角与相邻的内角互补，一个外角是锐角，当且仅当与它相邻的内角是钝角。 一个三角形中最多有一个钝角，所以三个外角中最多有1个是锐角（钝角三角形在钝角处的外角）。 所以选D。 A项：误以为两个外角可以同时是锐角；那样相邻的两个内角都是钝角，内角和超过180°，按此错法真算得2个；B项：误以为三个外角都可以是锐角，按此错法真算得3个；C项：误以为外角都不小于90°，漏掉了钝角三角形，按此错法真算得0个。 【点评】外角的锐钝由相邻内角决定，一个三角形的三个外角中至少有两个是钝角。 【易错提醒】外角是锐角对应的内角是钝角，三角形至多一个钝角，所以锐角外角至多一个。 23．【答案】C 【解析】【分析】“一个外角”没说在哪个顶点，要按A，B，C三处分别讨论，每种情况都检验三个内角是否为正。 【详解】没有指明外角在哪个顶点处，分三种情况： ①外角在顶点A处：∠BAC＝180°－126°＝54°，∠B＝27°，∠C＝180°－54°－27°＝99°； ②外角在顶点B处：∠B＝180°－126°＝54°，∠BAC＝108°，∠C＝180°－108°－54°＝18°； ③外角在顶点C处：∠BAC＋∠B＝126°，即3∠B＝126°，∠B＝42°，∠BAC＝84°。 三种情况都能组成三角形，所以∠B为27°或42°或54°。 所以选C。 A项：只考虑了外角在顶点C处：∠BAC＋∠B＝126°，3∠B＝126°，按此错法真算得42°；B项“27°或42°”：漏掉了外角在顶点B处的情形；D项：只考虑了外角在顶点A处：∠BAC＝180°－126°＝54°，∠B＝54°÷2，按此错法真算得27°。 【点评】“一个外角”没指明顶点时按三个顶点讨论，每种情况都要检验三个内角是否为正。 【易错提醒】三处的外角都可能是126°，求出后逐一检验，三种情况都成立，不能只写一个。 24．【答案】（1）∠BAD＝17°；（2）∠C＝79°，∠ADB＝113° 【解析】【分析】先找准∠ADB是哪个三角形的外角，用外角性质把“比∠C大34°”翻译成∠DAC，再用内角和求∠C。 【解答】(1)∠ADB是△ADC的外角，所以∠ADB＝∠C＋∠DAC， 又∠ADB比∠C大34°，即∠ADB－∠C＝34°，所以∠DAC＝34°， ∠DAC是∠BAD的2倍，所以∠BAD＝34°÷2＝17°。 (2)∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝17°＋34°＝51°， 由三角形的内角和定理，∠C＝180°－50°－51°＝79°，∠ADB＝79°＋34°＝113°。 检验：在△ABD中，50°＋17°＋113°＝180°，符合。 【点评】图中一个角同时是一个三角形的内角和另一个三角形的外角时，先确认用哪个三角形。 【易错提醒】∠ADB是△ADC的外角，等于∠C＋∠DAC；它是△ABD的内角，不能写成∠B＋∠BAD。 　易错点04　全等三角形的对应关系：看位置不看字母 25．【答案】DE＝11cm，∠E＝55° 【解析】错解：△FDE的三个顶点按字母顺序是D，E，F，与A，B，C依次对应，所以DE＝AB＝8cm，∠E＝∠B＝73°（这是错误示例） 错因：全等式中对应顶点写在对应的位置上，要按“△ABC≌△FDE”中字母的前后位置找对应，不能按字母表的顺序找。 正解：由△ABC≌△FDE，点A与点F，点B与点D，点C与点E是对应顶点， 所以DE的对应边是BC，DE＝BC＝11cm；∠E的对应角是∠C。 ∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－52°－73°＝55°，所以∠E＝∠C＝55°。 避错要点：写对应关系时把两个全等式上下对齐，同一竖列的字母就是对应顶点。 　易错点04　全等三角形的对应关系　变式练 26．【答案】A 【解析】【分析】先把对应顶点一对一对写出来，再由两对对应顶点组成对应边。 【详解】按对应顶点写出对应边：MN与SQ，NP与QR，MP与SR；对应角：∠M与∠S，∠N与∠Q，∠P与∠R。 所以MP＝SR成立。 所以选A。 B项“MN＝SR”：MN的对应边是SQ，不是SR；C项“∠N＝∠R”：∠N的对应角是∠Q，不是∠R；D项“NP＝QS”：NP的对应边是QR，不是QS。 【点评】对应边由两对对应顶点组成，按位置找，不按字母找。 【易错提醒】对应边由对应顶点决定，要看顶点的对应关系，不看字母在字母表中的先后。 27．【答案】69 【解析】【分析】两个已知角不在同一个三角形里时，先用对应角把它们搬到同一个三角形中。 【详解】∠K与∠B是对应角，∠B＝∠K＝64°， ∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－47°－64°＝69°， ∠M与∠C是对应角，所以∠M＝69°。 【点评】两个已知角分属两个三角形时，先用对应角把它们放进同一个三角形。 【易错提醒】∠K对应的是∠B，不是∠M；先求∠C，再由对应角得∠M。 28．【答案】D 【解析】【分析】先由对应顶点找出EF的对应边，再用“高＝2×面积÷底”。 【详解】对应顶点：A与F，B与E，C与D，所以EF的对应边是AB，EF＝AB＝14。 全等三角形的面积相等，S△FED＝42，所以EF边上的高为2×42÷14＝6。 所以选D。 A项：把EF对应成BC，用2×42÷12，按此错法真算得7；B项：对应边找对了，但由面积求高时漏乘2，用42÷14，按此错法真算得3；C项：既把EF对应成BC，又漏乘2，用42÷12，按此错法真算得3.5。 【点评】全等三角形的周长、面积都相等，但对应边上的高要按对应边来求。 【易错提醒】EF对应的是BA，不是BC；由面积求高要先乘2。 29．【答案】B 【解析】【分析】以BC为公共边时，对应方式有“DB对AB”和“DB对AC”两种，每种方式D又可能在BC的两侧。 【详解】BC是公共边，另一个顶点D到B，C的距离要与A到B，C的距离对应相等，有两种对应方式： ①DB＝AB，DC＝AC：D在BC下方，与A关于直线BC对称，有1个； ②DB＝AC，DC＝AB：D在BC上方有1个，在BC下方有1个，共2个。 所以格点D共有1＋2＝3（个）。 所以选B。 A项：只想到把△ABC沿BC翻折得到的一个位置，按此错法真算得1个；C项：漏掉了D在BC下方且DB＝AC，DC＝AB的位置，按此错法真算得2个；D项：把点A本身也算了进去，按此错法真算得4个。 【点评】以公共边构造全等，按“对应方式×所在一侧”分类：两种对应方式，每种方式两侧各有一个位置。 【易错提醒】除了沿BC翻折得到的位置，交换两条边的对应关系还能得到两个位置。 30．【答案】113 【解析】【分析】全等给出一对相等的角∠ABC＝∠DBE，它们有公共部分∠DBC，同时减去公共部分得∠ABD＝∠CBE。 【详解】由△ABC≌△DBE，∠DBE＝∠ABC＝72°， ∠CBE＝∠DBE－∠DBC＝72°－31°＝41°， ∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝72°＋41°＝113°。 【点评】两个相等的角有公共部分时，减去公共部分，剩下的两个角也相等。 【易错提醒】∠CBE不等于∠DBC；由对应角∠DBE＝∠ABC减去公共部分∠DBC，得∠CBE＝41°。 31．【答案】A 【解析】【分析】先按对应位置找出与∠B相等的角，再列方程。 【详解】由△ABC≌△DFE，点B与点F是对应顶点，∠B与∠F是对应角，∠B＝∠F， 所以4x－7＝2x＋15，解得x＝11，∠B＝4×11－7＝37°。 所以选A。 B项：按字母顺序把∠B与∠E对应，由4x－7＝3x＋5得x＝12，∠B＝4×12－7，按此错法真算得41°；C项：求出x＝11后算成了∠E＝3×11＋5，按此错法真算得38°；D项：求出x＝11后误求了∠A＝180°－37°－38°，按此错法真算得105°。 【点评】含字母的对应角问题，先确定对应角再列方程，求出后代回检验各角为正。 【易错提醒】△DFE中与∠B对应的是第二个字母F，不是字母表里第二个的E。 32．【答案】（1）x＝3或x＝4；（2）x＝3时DF＝9，x＝4时DF＝5；（3）x＝3 【解析】【分析】没有写出对应顶点，就不能默认DE＝AB，EF＝BC，要让DE，EF分别取三条边中的两条，逐一列方程并检验。 【解答】(1)题目没有指明对应顶点，DE，EF的长只能是5，8，9中不同的两个数。 由x＋5只能等于5，8或9，得x＝0，3或4： x＝0时EF＝3×0－4＝－4，不合题意； x＝3时DE＝8，EF＝3×3－4＝5，是两个不同的边长，符合； x＝4时DE＝9，EF＝3×4－4＝8，也符合。所以x＝3或x＝4。 (2)x＝3时，DE＝8，EF＝5，DF是剩下的一条边，DF＝9；x＝4时，DE＝9，EF＝8，DF＝5。 (3)∠E与∠B是对应角，夹∠E的两边DE，EF与夹∠B的两边AB，BC对应相等，即DE，EF的长是5和8，只有x＝3符合，所以x＝3。 【点评】未指明对应关系时，要让未知边分别取已知三角形的各条边，逐一列方程并检验。 【易错提醒】直接令x＋5＝5，3x－4＝8会得到两个不同的x，自相矛盾；未指明对应关系时必须分类讨论。 　易错点05　全等的判定条件：边边角与三个角都不行 33．【答案】BC＝10 【解析】错解：在△ABD和△ABC中，AB＝AB，∠B＝∠B，AD＝AC，所以△ABD≌△ABC，于是BC＝BD＝4（这是错误示例） 错因：AB，AD与∠B是“两边和其中一边的对角”，这样的两个三角形不一定全等，不能作为判定全等的依据。 正解：因为AH⊥BC，所以∠AHD＝∠AHC＝90°。 在Rt△AHD和Rt△AHC中，AD＝AC，AH＝AH， 所以Rt△AHD≌Rt△AHC（HL），HC＝HD＝3。 所以BC＝BD＋DH＋HC＝4＋3＋3＝10。 避错要点：“两边和其中一边的对角”不能判定全等，遇到这种条件要改用作高、斜边直角边等方法。 　易错点05　全等的判定条件　变式练 34．【答案】C 【解析】【分析】判定全等至少要有一组边相等；只有角相等只能保证形状相同。 【详解】三个角分别相等的两个三角形，形状相同，大小却可以不同（例如把一个三角形的各边都放大到原来的2倍）， 所以“三个角分别相等”不能判定两个三角形全等。 所以选C。 A项“三条边分别相等”：三条边分别相等是“边边边”，能判定全等；B项“两角和它们的夹边分别相等”：两角和它们的夹边分别相等是“角边角”，能判定全等；D项“两角和其中一角的对边分别相等”：两角和其中一个角的对边分别相等是“角角边”，能判定全等。 【点评】五种判定方法（边边边、边角边、角边角、角角边、斜边直角边）中都至少有一组边相等。 【易错提醒】判定全等的条件里必须有边，三个角分别相等的三角形大小可以不同。 35．【答案】D 【解析】【分析】先找出已知两边的夹角，“边角边”中的角必须夹在两条已知边之间。 【详解】“边角边”要求两边和它们的夹角分别相等。 AB，AC的夹角是∠BAC，AD，AE的夹角是∠DAE，所以还需要∠BAC＝∠DAE。 所以选D。 A项“∠B＝∠D”：∠B不是AB与AC的夹角，添加后是“两边和其中一边的对角”；B项“∠C＝∠E”：∠C也不是AB与AC的夹角；C项“BC＝DE”：BC＝DE用的是“边边边”，不是“边角边”。 【点评】用“边角边”时，先在图中描出两条已知边，再找它们所夹的角。 【易错提醒】∠B，∠C都不是AB与AC的夹角，用它们凑成的是“边边角”，不能判定全等。 36．【答案】B 【解析】【分析】每加一条，把三组相等的元素排一排，看属于哪种判定方法；角要看是不是夹角或对角。 【详解】①AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF：两边和它们的夹角，“边角边”，能判定； ②AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E：∠B不是AB与AC的夹角，是两边和其中一边的对角，不能判定； ③∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E：两角和它们的夹边，“角边角”，能判定； ④∠B＝∠E，∠C＝∠F，AB＝DE：两角和其中一角的对边，“角角边”，能判定。 能判定的有①③④，共1＋1＋1＝3（个）。 所以选B。 A项：把②也算了进去，②是“两边和其中一边的对角”，按此错法真算得4个；C项：误以为④“角角边”不能判定，只认①③，按此错法真算得2个；D项：只认“边角边”一种，只选了①，按此错法真算得1个。 【点评】判断添加的条件能否判定全等，把三组元素排成一列，看是否构成五种判定之一。 【易错提醒】②中∠B是AC的对角，不是AB与AC的夹角，属于“边边角”，不能判定全等。 37．【答案】C 【解析】【分析】直角三角形全等可以用“斜边、直角边”，也可以用一般三角形的四种判定方法；相等的边必须是对应边。 【详解】AB，DE分别是两个直角三角形的斜边，AB＝DE，∠A＝∠D，又∠C＝∠F＝90°， 两角和其中一角的对边分别相等，由“角角边”可以判定Rt△ABC≌Rt△DEF。 所以选C。 A项“∠A＝∠D，∠B＝∠E”：两个锐角分别相等，只能说明形状相同，大小不一定相同；B项“AC＝DF”：只有一条直角边相等，条件不够；D项“AB＝EF，AC＝DF”：AB是斜边而EF是直角边，不是对应边，不能用“斜边、直角边”。 【点评】直角三角形全等的判定中，相等的边必须是对应边：斜边对斜边，直角边对直角边。 【易错提醒】用“斜边、直角边”时，两个三角形都必须用斜边对斜边、直角边对直角边。 38．【答案】2 【解析】【分析】两边和其中一边的对角分别相等时，第三个顶点可能落在两个位置：作高后用两次全等找出这两个位置。 【详解】过点D作DG⊥EF所在直线，垂足为G。 在Rt△DGE和Rt△AHB中，∠E＝∠B，∠DGE＝∠AHB＝90°，DE＝AB，所以Rt△DGE≌Rt△AHB（AAS），EG＝BH＝5，DG＝AH。 在Rt△DGF和Rt△AHC中，DF＝AC，DG＝AH，所以Rt△DGF≌Rt△AHC（HL），GF＝HC＝BC－BH＝8－5＝3。 若点F在EG的延长线上，EF＝5＋3＝8＝BC，三边分别相等，两个三角形全等，不合题意； 所以点F在线段EG上，EF＝EG－GF＝5－3＝2。 【点评】“边边角”的两个三角形可能不全等，作出第三边上的高，就能看出第三个顶点的两种位置。 【易错提醒】“边边角”对应相等的两个三角形不一定全等，另一种位置的EF比BC短。 39．【答案】A 【解析】【分析】按“小三角形→由小三角形拼成的大三角形”的顺序找，先证小的全等，再用得到的等边证大的全等。 【详解】①由OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角），OB＝OD，得△AOB≌△COD（SAS）； ②同理△AOD≌△COB（SAS）；由①②得AB＝CD，AD＝CB。 ③由AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，得△ABD≌△CDB（SSS）； ④由AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，得△ABC≌△CDA（SSS）。 图中全等的三角形共有2＋2＝4（对）。 所以选A。 B项：只找了以点O为顶点的两对，按此错法真算得2对；C项：漏掉了由两个小三角形拼成的一对，如△ABC与△CDA，按此错法真算得3对；D项：误把△ABD与△BAC也当成全等（它们虽有AB＝BA，AD＝BC两组边相等，但第三边BD与AC不相等），按此错法真算得5对。 【点评】找全等三角形按“先小后大”的顺序，每证出一对，就用它得到的等边、等角去证下一对。 【易错提醒】只看以O为顶点的小三角形会漏掉两对大三角形；每一对都要写出判定依据。 40．【答案】（1）证明见解析；（2）EF＝8或4；（3）1∶2 【解析】【分析】两边分别相等再加上第三边上的高相等，用两次“斜边、直角边”得到EG，GF，再按E，F在G的同侧、异侧分类。 【解答】(1)因为AH⊥BC，DG⊥EF，所以∠AHB＝∠DGE＝90°。 在Rt△DGE和Rt△AHB中，DE＝AB，DG＝AH，所以Rt△DGE≌Rt△AHB（HL）。 (2)由(1)得EG＝BH＝2。同理，在Rt△DGF和Rt△AHC中，DF＝AC，DG＝AH，所以Rt△DGF≌Rt△AHC（HL），GF＝HC＝6。 垂足G的位置有两种情况：①点E，F在点G的两侧：EF＝EG＋GF＝2＋6＝8；②点E，F在点G的同侧：EF＝GF－EG＝6－2＝4。 所以EF的长为8或4。 (3)EF＝8时，DE＝AB，DF＝AC，EF＝BC，由“边边边”得△DEF≌△ABC；所以不全等时EF＝4。 两个三角形的高DG＝AH，面积之比等于底之比：S△DEF∶S△ABC＝4∶8＝1∶2。 【点评】两边及第三边上的高相等时，用两次“斜边、直角边”，再按垂足在第三边上或延长线上分类。 【易错提醒】“两边及第三边上的高分别相等”的两个三角形不一定全等，E，F在G的同侧时得到另一个三角形。 　易错点06　角的平分线与尺规作图：距离是垂线段 41．【答案】12 【解析】错解：S△POE＝OE×PE÷2＝8×5÷2＝20（这是错误示例） 错因：PE与OB不垂直，是斜线段，不是△POE的边OE上的高，点P到OB的距离要用垂线段。 正解：过点P作PF⊥OB，垂足为F。 因为OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PF⊥OB，所以PF＝PD＝3（角的平分线上的点到角两边的距离相等）。 PF是△POE的边OE上的高，S△POE＝OE×PF÷2＝8×3÷2＝12。 避错要点：角的平分线的性质说的是“距离”，使用前必须先作出（或找出）垂线段。 　易错点06　角的平分线与尺规作图　变式练 42．【答案】C 【解析】【分析】尺规作图的每一步都对应一个相等关系，最后用“边边边”证明全等。 【详解】第二步以M，N为圆心画的两段弧半径相同，交点C到M，N的距离都等于这个半径，所以CM＝CN。 再由OM＝ON，OC＝OC，可得△OMC≌△ONC（SSS），所以∠MOC＝∠NOC，射线OC平分∠AOB。 所以选C。 A项“OM＝ON”：OM＝ON是第一步画同一条弧得到的；B项“OC＝OC”：OC＝OC是两个三角形的公共边，不需要画弧保证；D项“∠MOC＝∠NOC”：∠MOC＝∠NOC是由三角形全等推出的结论，不是画弧直接得到的。 【点评】作角平分线的每一步都在为“边边边”准备条件：OM＝ON，CM＝CN，OC是公共边。 【易错提醒】作角平分线的依据是“边边边”，第二步保证的是CM＝CN。 43．【答案】6 【解析】【分析】点到直线的距离是垂线段的长；DC⊥AC，DC就是点D到角的一边AC的距离。 【详解】DC＝15×＝6。 过点D作DE⊥AB，垂足为E。AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，所以DE＝DC＝6，即点D到AB的距离为6。 【点评】直角三角形中，一条直角边上的点到另一条直角边的距离，就是这点到直角顶点的线段长。 【易错提醒】点D到AB的距离是垂线段DE的长，等于DC＝6，不是BD＝9。 44．【答案】A 【解析】【分析】先由作图步骤认出BP是角平分线，再找出∠BDC是哪个三角形的外角。 【详解】由作图可知，射线BP是∠ABC的平分线（作法的依据是“边边边”）。 ∠ABC＝180°－68°－46°＝66°，∠ABD＝½∠ABC＝33°。 ∠BDC是△ABD的外角，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝68°＋33°＝101°。 所以选A。 B项：把∠BDC当成∠A与整个∠ABC的和，用68°＋66°，按此错法真算得134°；C项：误以为射线BP是AC边上的高，按此错法真算得90°；D项：用错了三角形，用∠C与∠DBC相加：46°＋33°，按此错法真算得79°。 【点评】按作图步骤识别作出的是什么线，再按普通的角的计算求解。 【易错提醒】作出的是角平分线，不是高也不是中线；∠BDC是△ABD的外角，等于∠A＋∠ABD。 45．【答案】1 【解析】【分析】距离是正数，点在第二象限时，它到y轴的距离是横坐标的相反数。 【详解】点P在第二象限，横坐标为负数，纵坐标为正数：3a－5＜0，a＋1＞0。 点P到x轴的距离等于a＋1，到y轴的距离等于横坐标的相反数5－3a。 由a＋1＝5－3a，解得a＝1，此时P(－2，2)在第二象限，符合题意。 （点P在第二象限两坐标轴所成直角的平分线上。） 所以答案为1。 【点评】点到坐标轴的距离是正数，先由点所在的象限定出横、纵坐标的符号，再列等式。 【易错提醒】直接列3a－5＝a＋1会得a＝3，P(4，4)在第一象限，与条件不符。 46．【答案】D 【解析】【分析】作一个角等于已知角，是把△COD“复制”成△C′O′D′，依据是“边边边”，三条边都要复制。 【详解】要使△C′O′D′≌△COD（SSS），需O′C′＝OC，O′D′＝OD，C′D′＝CD。 用同样的半径画弧已保证了O′C′＝OC，O′D′＝OD，所以以C′为圆心画弧时半径要取CD的长，保证C′D′＝CD。 所以选D。 A项“OC”：OC是前面画弧用过的半径，用它画弧不能保证C′D′＝CD；B项“OA”：OA是射线，没有确定的长度；C项“CD的一半”：把画弧半径与作角平分线时的“大于½MN”弄混，只取了CD的一半；这里要复制的是CD的整段长度。 【点评】作一个角等于已知角，就是用尺规把三角形的三条边依次复制过去。 【易错提醒】第③步要截取的是CD的长，这样三边分别相等才能得到对应角相等。 47．【答案】4 【解析】【分析】先由面积求出P到OA的距离，再用角的平分线的性质得到P到OB的距离，最后用“垂线段最短”。 【详解】过点P作PD⊥OA，垂足为D，则PD是△OPM的边OM上的高，PD＝2×12÷6＝4。 过点P作PE⊥OB，垂足为E。OP平分∠AOB，由角的平分线的性质，PE＝PD＝4。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以当点Q与点E重合时PQ最短，最小值为4。 【点评】角的平分线的性质把一边上的垂线段长度“搬”到另一边，再用“垂线段最短”求最小值。 【易错提醒】PQ是斜线段时比垂线段长；最小值就是点P到OB的距离，不是OP的长。 48．【答案】（1）C(3，0)；（2）15 【解析】【分析】角平分线上的点到角两边的距离相等，C到AB的距离等于OC；把△AOB分成两块，用面积列方程。 【解答】(1)设点C的坐标为(c，0)（0＜c＜8），过点C作CE⊥AB，垂足为E。 OA在y轴上，OC在x轴上，CO⊥OA；AC平分∠OAB，CE⊥AB，所以CE＝CO＝c。 S△AOB＝½×OA×OB＝½×6×8＝24， 又S△AOB＝S△AOC＋S△ACB＝½×OA×OC＋½×AB×CE＝½×6c＋½×10c＝8c， 所以8c＝24，c＝3，点C的坐标为(3，0)。 (2)BC＝OB－OC＝8－3＝5，S△ABC＝½×BC×OA＝½×5×6＝15（也可用½×AB×CE＝½×10×3＝15检验）。 【点评】角平分线上的点到两边距离相等，常与分割求面积结合，列出关于距离的方程。 【易错提醒】角平分线不平分对边，点C不是OB的中点（4，0）；要用“到两边距离相等”加等积求OC。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $八年级上册 第十三章 三角形～第十四章 全等三角形 易错题汇总 第一次月考 易错题汇总（易错点清单+典型题+分层变式） 人教版数学八年级上册　第十三章 三角形　第十四章 全等三角形 （建议用时：100分钟　测试范围：第十三章 三角形、第十四章 全等三角形） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．六个易错簇依次训练：先读【典型易错题】的错解、错因与正解，再做变式练。 2．典型易错题中标有“错解”的过程是典型的错误做法，只用来对照，不要照抄。 3．解答题要写出分类讨论的依据和必要的推理、计算过程。 内容速览　六个易错点 · 典型易错题6道 · 变式练42题（选择23 · 填空13 · 解答6） 解析版25页，含易错点清单、错解—错因—正解对照、每题【易错提醒】与避坑口诀；题目配图16幅 易错点清单 下表按第十三章、第十四章列出这份汇总训练的27个易错点，最后一栏是对应的题号（每个易错簇的第1题为典型易错题）。做完后把出错的题号圈出来，对照这一栏找到自己的易错点，再回到该簇的典型易错题重看错因。 章 簇 易错点 题号 第十三章 01 判断能否组成三角形只验一组，没有先找出最长边 1，2，6 第十三章 01 把“两边的和等于第三边”当成能组成三角形 2，3，7 第十三章 01 三点不一定组成三角形，漏掉三点共线的情形 5 第十三章 01 等腰三角形分情况求出边长后不用三边关系检验 4，8 第十三章 02 没有图时默认高的垂足在边上，漏掉垂足在延长线上的情形 9，14，16 第十三章 02 钝角三角形的高画在形内，或不认形外的高 10，11，15 第十三章 02 把一般线段当成中线，误用“中线平分面积” 12 第十三章 02 等积法中底与高没有配对 13 第十三章 03 把外角当成与它相邻的内角的和 17，24 第十三章 03 外角与相邻内角互补、与不相邻两内角的和相等，两者混用 18，19，21，22 第十三章 03 列方程时漏掉相等的角或把“大”“小”弄反 20 第十三章 03 没有指明外角的位置时漏掉分类 23 第十四章 04 按字母表顺序而不是按对应位置找对应边、对应角 25，26，27，31 第十四章 04 对应边找错导致由面积求高算错 28 第十四章 04 以公共边构造全等时只想到一种位置 29 第十四章 04 由全等得到等角后没有减去公共部分 30 第十四章 04 没有指明对应顶点时不分类讨论 32 第十四章 05 用“两边和其中一边的对角”判定全等 33，36，38 第十四章 05 用“三个角分别相等”判定全等 34 第十四章 05 “边角边”中的角不是两边的夹角 35 第十四章 05 直角三角形中斜边与直角边没有对应就用“斜边、直角边” 37 第十四章 05 找全等三角形时只看小三角形，漏掉拼成的大三角形 39 第十四章 05 两边及第三边上的高分别相等时忽略两种位置 40 第十四章 06 把斜线段当成点到直线的距离 41，43，47 第十四章 06 说不清尺规作图每一步的作用与依据 42，44，46 第十四章 06 点到坐标轴的距离是正数，横坐标为负时列错等式 45 第十四章 06 把角平分线当成中线（误以为平分对边） 48 　易错点01　三角形的三边关系：只验一组、等于也算、漏掉检验 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 1．【典型易错题】三条线段的长分别为(x＋2)cm，2x cm，(11－x)cm，把它们首尾顺次相接能组成三角形，求x可取的整数值。 　易错点01　三角形的三边关系　变式练 2．手工课上，同学们用细木棒首尾顺次相接摆三角形。下列各组木棒的长度（单位：cm）中，能摆成三角形的是(____)。 A．5，8，13 B．11，4，6 C．6，9，13 D．2.5，9，6 3．学校要用三段围栏围成一个三角形花坛，已有两段长7m和16m，第三段只能从长9m，10m，16m，23m的四种成品中选一种，可以选择的有________种。 4．某等腰三角形的三条边中，有一条边比另一条边的2倍还长2cm，三条边的和是34cm，那么它的底边长为(____)。 A．6cm B．6cm或18cm C．18cm D．14cm 5．平面内有A，B，C三点，量得AB＝5.4cm，BC＝3.2cm，设A，C两点之间的距离为d cm，则d的取值范围是________。 6．三条线段的长分别为a，2a，9（a为正整数），若它们首尾顺次相接能组成三角形，则a可取的值共有(____)。 A．8个 B．7个 C．1个 D．5个 7．工具箱里有长3cm，4cm，6cm，7cm，10cm的五根小木条，从中任取三根首尾顺次相接，能钉成三角形的取法有(____)。 A．8种 B．5种 C．3种 D．10种 8．把一根26cm长的细铁丝弯折成等腰三角形框架（接头长度忽略不计），它的腰长记为x cm，底边长记为y cm。 (1)用含x的式子表示y； (2)求x的取值范围； (3)若三边长都是整数（单位：cm），这样的等腰三角形共有几种？写出其中底边最长的一种的三边长。 易错点01　避坑口诀 避坑口诀：三边先排序，短和胜长边，求完再回验。 　易错点02　三角形的高与中线：高在形外、垂足两处 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 9．【典型易错题】已知△ABC中∠B＝38°，过顶点A画直线BC的垂线，垂足记为D，这条垂线与边AC所成的∠CAD＝17°，求∠ACB的度数。 　易错点02　三角形的高与中线　变式练 10．在△ABC中，∠A＝104°。从A，B，C三个顶点分别向对边所在的直线画高，得到的三条高中，位于△ABC外部的有(____)。 A．3条 B．1条 C．0条 D．2条 11．如图，△ABC画在方格纸上，三个顶点A，B，C都是小正方形的顶点。从顶点A向直线BC作垂线段（即BC边上的高），这条高的垂足位于(____)。 A．线段BC上 B．CB的延长线上（点B的外侧） C．BC的延长线上（点C的外侧） D．点B处 12．如图，一块三角形菜地ABC的面积为35m²，从顶点A到对边上的点D修一条小路AD，量得BD＝4m，DC＝6m，则小路左侧△ABD部分的面积为________m²。 13．如图，在△ABC中，∠ABC是钝角，AB＝6，BC＝4，AD⊥CB，交CB的延长线于点D，AD＝4.5，CF⊥AB，交AB的延长线于点F，则CF的长为(____)。 A．3 B．6.75 C．1.5 D．9 14．△ABC的BC边上的高AD长为4，垂足D与点B相距3，与点C相距7，那么△ABC的面积为________。 15．如图，在△ABC中，∠ABC是钝角，CE⊥AB，交AB的延长线于点E，CE＝4，AB＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD的面积为________。 16．在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，AD＝4，BD＝9，△ABC的面积为12。 (1)求BC的长； (2)求CD的长； (3)求△ACD的面积。 易错点02　避坑口诀 避坑口诀：高落形外莫忽视，无图垂足两处找。 　易错点03　内角与外角：外角只加不相邻、列式别漏角 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 17．【典型易错题】如图是一个三角形屋架ABC的示意图，延长CB到点D，测得∠ABD＝128°，屋架顶角∠BAC比∠C大18°，求∠C的度数。 　易错点03　内角与外角　变式练 18．一个三角形的两个内角分别是47°和58°，那么它的三个外角（每个顶点处取一个）中最大的一个是(____)。 A．105° B．122° C．133° D．75° 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点B处的一个外角是152°，则∠A＝________°。 20．如图，把人字梯撑开后，两个梯脚B，C与梯顶A构成△ABC，两侧梯子与地面所成的角∠ABC与∠ACB相等，且都比梯顶的张角∠BAC大51°，则∠BAC的度数为(____)。 A．64.5° B．26° C．94° D．77° 21．在△ABC中，延长BC到点D，∠ACD比∠ACB大44°，∠A比∠B大6°，则∠A＝________°。 22．一个三角形的三个外角（每个顶点处取一个）中，是锐角的最多有(____)。 A．2个 B．3个 C．0个 D．1个 23．△ABC的内角∠BAC恰好是内角∠B的2倍，它的三个外角（每个顶点处取一个）中有一个是126°，那么∠B的度数为(____)。 A．42° B．27°或42° C．27°或42°或54° D．27° 24．如图，从一块三角形瓷砖ABC的顶点A切一刀，刀痕AD交BC于点D。已知∠B＝50°，∠DAC是∠BAD的2倍，∠ADB比∠C大34°。 (1)求∠BAD的度数； (2)求∠C与∠ADB的度数。 易错点03　避坑口诀 避坑口诀：外角只加不相邻，相邻内角要互补。 　易错点04　全等三角形的对应关系：看位置不看字母 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 25．【典型易错题】已知△ABC≌△FDE，AB＝8cm，BC＝11cm，∠A＝52°，∠B＝73°，求DE的长和∠E的度数。 　易错点04　全等三角形的对应关系　变式练 26．△MNP与△SQR全等，且顶点M，N，P的对应点依次是S，Q，R，下列等式中成立的是(____)。 A．MP＝SR B．MN＝SR C．∠N＝∠R D．NP＝QS 27．工人用同一块模板切出两块全等的三角形钢板△ABC与△NKM，其中点A与点N，点B与点K，点C与点M是对应顶点。量得∠A＝47°，∠K＝64°，则∠M＝________°。 28．已知△ABC≌△FED（点A，B，C的对应点依次是F，E，D），AB＝14，BC＝12，△ABC的面积为42，则△FED中EF边上的高为(____)。 A．7 B．3 C．3.5 D．6 29．如图，点A，B，C是方格纸上的三个格点。在这张方格纸中另取一个格点D（不与点A重合），使以D，B，C为顶点的三角形与△ABC全等，满足要求的格点D共有(____)。 A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 30．如图，△ABC与△DBE全等，顶点B重合，A的对应点是D，C的对应点是E，且点D在∠ABC的内部。已知∠ABC＝72°，∠DBC＝31°，求得∠ABE＝________°。 31．两个三角形零件满足△ABC≌△DFE，测得零件△DFE的∠E＝(3x＋5)°，∠F＝(2x＋15)°，零件△ABC的∠B＝(4x－7)°，那么∠B等于(____)。 A．37° B．41° C．38° D．105° 32．已知△ABC与△DEF全等，AB＝5，BC＝8，CA＝9，DE＝x＋5，EF＝3x－4。 (1)求x的所有可能的值； (2)对(1)中的每一个x，求DF的长； (3)若又知道∠E与∠B是对应角，求x的值。 易错点04　避坑口诀 避坑口诀：全等看位不看字，对应顶点排成行。 　易错点05　全等的判定条件：边边角与三个角都不行 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 33．【典型易错题】如图，点D在△ABC的边BC上，且AD与AC相等，过点A作AH⊥BC，垂足为H。已知BD＝4，DH＝3，求BC的长。 　易错点05　全等的判定条件　变式练 34．判断两个三角形是否全等时，下列各组对应相等的元素中，不能作为判定依据的一组是(____)。 A．三条边分别相等 B．两角和它们的夹边分别相等 C．三个角分别相等 D．两角和其中一角的对边分别相等 35．如图，点A是△ABC与△ADE的公共顶点，AB＝AD，AC＝AE。小刚想用“边角边”说明△ABC≌△ADE，他还需要知道的一组相等关系是(____)。 A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．BC＝DE D．∠BAC＝∠DAE 36．小明和同学用硬纸板各剪了一个三角形，量得两块纸板△ABC和△DEF中AB＝DE，∠B＝∠E。他们又分别量了下面的一组元素，量到的相等关系是：①BC＝EF；②AC＝DF；③∠A＝∠D；④∠C＝∠F。其中每一条单独加上后能保证两块纸板全等的有(____)。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 37．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中能判定这两个直角三角形全等的是(____)。 A．∠A＝∠D，∠B＝∠E B．AC＝DF C．AB＝DE，∠A＝∠D D．AB＝EF，AC＝DF 38．如图，△ABC的高AH的垂足H在边BC上，BH＝5，BC＝8。另有一个△DEF，满足DE＝AB，∠E＝∠B，DF＝AC，但△DEF与△ABC不全等，则EF＝________。 39．如图，线段AC与BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD，连接AB，BC，CD，DA，则图中全等的三角形共有(____)。 A．4对 B．2对 C．3对 D．5对 40．如图，AH是△ABC的边BC上的高，垂足H落在边BC上，量得BH＝2，HC＝6。在△DEF中，DE＝AB，DF＝AC，EF边上的高DG＝AH（G为垂足）。 (1)求证：Rt△DGE≌Rt△AHB； (2)求EF的长； (3)当△DEF与△ABC不全等时，求△DEF与△ABC的面积之比。 易错点05　避坑口诀 避坑口诀：边边角不成立，夹角位置看仔细。 　易错点06　角的平分线与尺规作图：距离是垂线段 先做典型易错题，再对照解析里的错解与正解；下面的变式练都针对同一个易错点。 41．【典型易错题】如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足为D，PD＝3。点E在射线OB上，连接PE，量得PE＝5，OE＝8，求△POE的面积。 　易错点06　角的平分线与尺规作图　变式练 42．小颖用尺规作∠AOB的平分线：第一笔以角的顶点O为圆心作弧，弧与OA，OB的交点记为M，N；再分别以M，N为圆心、同样长的半径画两段弧，交于角内的点C；最后作射线OC。其中“两段弧的半径同样长”直接保证的相等关系是(____)。 A．OM＝ON B．OC＝OC C．CM＝CN D．∠MOC＝∠NOC 43．直角三角形ABC的直角顶点是C，AD平分∠BAC，点D在BC上，已知BC＝15，BD∶DC＝3∶2，那么点D到斜边AB的距离是________。 44．在△ABC中，∠A＝68°，∠C＝46°。按以下步骤作图：①以点B为圆心作弧，弧与边BA，BC各交于一点，记为M，N；②取一个比MN的一半更长的长度，分别以M，N为圆心画弧，两段弧在∠ABC内交于点P；③连接BP并延长，与AC交于点D。则∠BDC的度数为(____)。 A．101° B．134° C．90° D．79° 45．在平面直角坐标系中，点P(3a－5，a＋1)在第二象限，且点P到x轴、y轴的距离相等，则a＝________。 46．小亮要用尺规作∠A′O′B′，使它等于已知的∠AOB。他先以O为圆心画弧，与OA，OB交于点C，D，又在射线O′A′上用同样的半径画弧得到点C′。接下来他要以C′为圆心再画一段弧来确定点D′，这段弧的半径应取(____)。 A．OC B．OA C．CD的一半 D．CD 47．射线OP平分∠AOB，点M在边OA上，OM＝6，△OPM的面积为12。当点Q沿射线OB移动时，线段PQ长度的最小值为________。 48．如图，直角三角形AOB的两条直角边OA，OB分别在y轴和x轴的正半轴上，点A(0，6)，B(8，0)，斜边AB＝10。∠OAB的平分线交OB于点C。 (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的面积。 易错点06　避坑口诀 避坑口诀：距离必是垂线段，作图步步有依据。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $