重庆市南开中学校2026-2027学年高三上学期数学周测试题（9.20）

重庆南开中学高2027级高三（上)数学周练试题 2026.9.20 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1.设集合A={0,-a},B={,a-2,2a-2},若AsB,则a=(). A.2 B.1 c号 D-1 2.某时钟现在的时间为10：10，若校难时发现该时钟比标准时间快了5分钟，则至少需手动旋转分针（) A.15度 B.5度 c.君瓢度 D. 弧皮 co28+7（) B已知sin9=},且8是第二象限的角，则一sin20 A寻 B c D分 4.在△ABC中，角A,B,C的对边a,b,c成公差为2的等差数列，若7sinA=3sinC,则△ABC的面积 为() A.35 B.35 c.15v5 D.15V5 4 2 4 5.设A,B是同一概率空间中的随机事件，满是P(A)-写P@10=宁P8列=子，则P4趴= () A B c. 1 3 D. 4 6.已知抛物线y=2x的焦点F与双曲线亡_上=1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K, 79 点A在抛物线上且|AK=V2AFI,则△AFK的面积为（) A.4 B.8 C.16 D.32 7.图1是古书《天工开物》中记载的筒车图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到 广泛应用.在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心0距水面的高度 为√Bm.设筒车上的某个盛水桶P(看作点)到水面的距离为d(单位：m)(若在水面下则d为负数)， 若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t(单位：s)之间的关系为 d=4snlm+p+xA>0,@>0,-<p<,则p=（） 水面 图1 图2 A骨 B.君 c.君 D号 8.设函数f()=(x+a)血(x+b),若f(x)20,则a2+b的最小值为() A B. C. D.1 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 C若A=60°，a=2,则△ABC面积的最大值为2v3 D.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2 10. 已知函数f()=-25sin气x-用) -cos(π-2x)+V5,则下列结论正确的有（) A.函数f(x)在区间0 2 上的最小值为-2 B.若函数f(:)在区间[a,b](a<)上的取值范围为[-1,2]，则b-a的最大值是 3 C.若tana= 9r@-号 D.若@-a) 则cos2a= 3-45 10 11.已知函数f(x)=x-nx的图象与直线y=a的交点分别为4(x,f(x》,B(x,/(3》,且x<x,点P(1,), 设直线PA,PB的倾斜角分别为，B,则() A.实数a的取值范围是(1，+∞) B.x+x2>2 C.tanB的取值范围是(O,) D.tan(a-P)的取值范围是(l,+oo) 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上） 试羚笛？币（北4而） 12.已知角α顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(12,-5),则 sin(+a)+sin π 2-a 13.定义域在[-5,5]上的函数f(x),满足f(-x)+f(x)=0,若当x∈[0，S]时，f(x)的 图象如图所示，则不等式(x2+7x+6)f(x+)<0的解集为 14.如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个 分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件现用四种不同的颜色 给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有 的涂色方法种数为一· 四、解答题：（本大题共77分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 15.某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查100人购买情况，得到如下列联表： (1)求×y: (2)根据小概率值x=0.05的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？ (3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款 新能源汽车 新能源汽车 总计 式情况相互独立若从购买者中随机抽取3人，设被抽取的3人中 A款 B款 购买了B款车的人数为X,求X的数学期望 男 50 10 n(ad-be)2 性 附：X= (a+b(c+d(a+c(b+d可' n=a+b+c+d 女 25 15 40 性 P(rzk) 0.10 0.05 0.010 0.005 总 25 100 k 2.706 3.841 6.635 7.879 计 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90°，E为BC的中点. (I)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG1I平面PAB: (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 试卷第3页（共4页） 17刻图，在平面四边形ABCD中，MBC-子Dc-受BC=4, (I)若△ABC的面积为6√5，求AC的长： ②若AD=25,∠ACB=∠ACD+牙求∠ACD的大小. 18,已知双面线C:号卡a>06>0的离心率为5，P%)是C上一点，直线/的率为-，且与C 2 交于A,B两点 (1)求C的方程：(2)若PA·PB=36,求1的方程；(3)证明：△PAB的外接圆的圆心2在定直线上. 19.已知)=-号nx (1)求曲线y=f(x)在点(0，∫(0)处的切线方程： Q当xe+m时，正明/21+ (3)求实数a的最大可能值，使得f)f(匀))…f白)2(n+)对任意的neN都成立 试卷绵4页（共4页） 重庆南开中学高2027级高三（上)数学周练试题2026.9.20参考答案 题号 1 9 6 9 10 答案 B C 0 D AB BCD 趣号 11 12 13 14 答案 ABC 17 5 (-6,-3)u(1,4] 264 8.C由题意可知：f(x)的定义城为(-b,o),令x+a=0解得x=-a;令lh(x+b)=0解得x=1-b: 则当x∈(-b,1-b)时，n(x+b)<0,故x+a≤0，所以1-b+a≤0：x∈(1-b,o)时，n(x+b)>0,故x+a20, 所以1-b+a20:故1-b+a=0, =4a+-e+当且收当=时 1 +222 2 等号成立，所以a2+b2的最小值为， 11.ABC当0<x<]时，∫'(x)<0,f(x)单调递减：当x>1时，(x)>0,f(x)单调递增： 所以函数的极小值（也是最小值）为f()=1,当x→0和x→o时，(x)-→+0选项A:因为函数∫(x) 与y=a有两个不同交点，等价于a>∫(x)n=1,即a∈(l,+o),A正确： 选项B:要证+x2>2只需证为>2-.因为f(x)=∫()=1，且名<为，所以0<x<1<名，得2->1. 又因为函数∫(x)在(1，+∞)上单调递增，所以只需证明f(x)>∫(2-x),且f(x)=∫(x),因此只需证明 (x)>f(2-x).令g(x)=f(x)-f(2-x)(0<x<1). g(x)=x-Inx-(2-x-In(2-x))=2x-2-Inx+In(2-x), 所因-24伦号5-2张=0，所问在0上果减，且 x(2-x) x(2-x) g()=f()-f()=0,所以当0<x<1时，g(x)>0,因为0<x<1,所以g()=f()-f(2-x)>0, 即f()>(2-x)白(3)>∫(2-)→名>2-x曰x+为>2，B正确： 选项C:直线PB的斜率m0=儿s)上-」，其中分1：令=n-(x>)。 2-12-1 x-1 g-06-a-0.之，◆内-r4片-ieo0. (x- (x-12 (==号>0， 所以函数p(x)在(L)上单调递增，且p()=0,所以p(x)>p()=0.所以(x)>0 答案第页 函数h(x)在(L,∞)上单调递增，由洛必达法则：当x→广时， 人 职网=熙子=0当x→0时， h)=-血x-11血x1 =三正→=0-0=l所以0<h(<1,即0<imB<1,C正确：选项D:因为直线PM, x-1 人 1-0 P阳的倾斜角分别为2，B,且0<x<1<名，所以k,@n0,因此经<a<元0<B<受 当a→时，x→，为→1，AB无限靠近P点，kM→0，km→0，a→元，B-→0， 所以(a-月-→五如(e-川→0，因此m(a-月可以无限接近0，当a-→时，ka→0=a一周， 由c选项分析知，0af<1,所以当a-→+o时，如→户B-→受，因此当a→时，a-A→受-景-异 an(a-)→l,综上所述，0<tan(a-)<1,故D错误， 14,264按分步计数原理，依次涂色：涂中心主挂件：共4种颜色可选，因此有4种涂色方法： 涂第一层分挂件（共3个）：要求：每个第一层都与中心相邻，故不能与中心同色： 且同一层分挂件颜色不同中心已经用掉1种颜色，剿余3种颜色，给3个不同的第一层分挂件涂色， 是全排列问题，方法数为A)=3×2×1=6: 涂第二层分挂件（共3个）：要求：每个第二层只和同方向第一层相邻，故不能等于对应第一层的颜色： 且同一层分挂件颜色不同此时已有4种不同颜色：中心颜色，三个第一层颜色9，C2,S(互不相同，且 都不等于c),需要选3个不同颜色分配给3个第二层，满足位置不选C,用容斥原理计算：总排列数 A=24,减去至少一个位置选自身对应颜色的情况，得总方法数： 24-CA3+CA2-C=24-18+6-1=11: 总方法数：根据分步乘法计数原理，总涂色方法数为：4×6×11=264. 15.(1)由题意得x=50+10=60,y=100-25=75. (2)零假设为H。:选购新能源汽车的款式与性别无关联。 根据列联表中的数据，可得产=10(50×15-25×10 ≈5.556>3.841， 75×25×60×40 根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断H。不成立， 可以认为选购车的款式与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05： 《③)随机抽取1人购买B款车的概率为刀品-日 答案第2页 X的可能取值有0,1,23， 由愿意得X-号) 由=项分布的期鲤公式得8(X)印=3}-号 16.(1)取PA的中点N,PB的中点M,连接FN、MN,△ACD与△ABC为等腰直角三角形且 ∠ADC=90°，∠BAC=90°，不妨设AD=CD=2,AC=AB=2√2..BC=4」 E、F分别为BC、PD的中点，PN=号AD=l,GM=)BE=L,且FNIIAD,GM1IBC. 2 ∠DAC=45,∠ACB=45°，AD∥BC,FN∥GM,∴.四边形FGMN为平行四边形， FG∥MN,FGa平面PAB,MNc平面PAB,∴FG∥平面PAB: (2)PA⊥平面ABCD,∴以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 3 设AD=CD=2,则4(0,0,0)，B(0,22,0,C(25,0,0,D(V5,5,0,P0,0,22), 4ǖ=(0,22.0，Dc=(5,5.0,c=(-22,0,2), 设平面PCD的一个法向量为i=(3,yz), [Dc.方=0，[V2x+2y=0 C乎.i=0 1-2w5x+222=0'取x=1,y=-z=1,方=-1). 设AB与平面PCD所成角为0，则sin0=cos 4B,= |i月l0x1+22x(-)+0x刘2W反5 4同2互×P+-+12 “22x5=3, 即AB与平面PCD所成角的正弦值为 3 7.(ID在aMBC中，因为BC=4,ABC=号，所以△MBC的面积为 S-1B,BCin0C=0x4x5=6N5,解得AB=6,在AMBC中，由余弦定理得 2 2 4Ac=B+Bc2-24B-nCoa0C-6+-2x6x428,所以4C-27. (2)设∠ACD=a,则∠AC0=∠4CD+浮=a+牙，在4c0中，因为AD=2V5,所以4C=0=25 sina sina 在A1C中，∠BMC=-∠4CB-∠4BC-沿a,由正弦定理，可得8GC AC Tsin∠BAC-sinZABC,即 4 =25 m 。所以如任。上血a,因为a为悦角，所以晋a=a, 2 解得a=0 ，即ACD的大小为务。 啓案第3页 8,(D因X曲线C。-发的离心率为，且4，)是C上-一点 2 c v7 a2 可得 尔=1，解得a2=4,=3, 169 c2=a2+b2 所以双曲线C的方程为上-1。 43 (2)设直线I的方程为y=-x+m,且A(x,y),B(x2,y2), y=-x+m 联立方程组 整理得x2-8mx+4m2+12=0, -=1 4.3 则△=(-8m)2-4(4m2+12)>0,解得m2>1,所以m>1或m<-1, 且x+x2=8m,xx2=4m2+12, 因为P(4,3),可得PA=(x-4y-3),PB=(x2-4,y2-3), 又因为y=-x+my2=-x2+m, 可得PA=(x-4,-x+m-3),PB=(x2-4,-x2+m-3), 所以PA.PB=xx2-4x-4x2+16+xx2-(m-3)x-(m-3)x2+(m-3) =2xx2-(m+1)(x+x2)+(m-3)2+16, 将x1+x2=8m,xx2=4m2+12代入上式得， PA·PB=2·(4m2+12)-(m+1)-8m+(m-3)2+16=m2-14m+49, 因为PA.PB=36,可得m2-14m+49=36,即m2-14m+13=0, 解得m=1或m=13, 又因为m>1或m<-1,所以m=13, 所以直线1的方程为y=-x+13 (3)油(2)知x+x=8m,可得AB的中点M的横坐标为+戈=4m, 2 则点M的纵坐标为上+业=_+之+m=-4m+m=-3m,即M(4m,-3m）, 2 2 所以线段AB的垂直平分线的方程为y+3m=x-4m,即y=x-7m, 设点2的坐标为(x,y), 因为2A=|QP,可得(x-x)2+y-)2=(x。-4)2+(。-3)2, 又因为y=-x+m,y。=x-7m, 代入得(x-x)2+(x。+x-8m)2=(x。-4)2+(x。-7m-3)2, 整理得2x2-16mx+[x+(x。-8m)2-(x。-4)2-(。-7m-3)2]=0, 又由x2-8mx+4m2+12=0,可得x2=8mx-4m2-12, 则2(8mx-4m2-12）-16x+D=0,可得-8m2-24+D=0, 其中D=x号+(x。-8m)}-(x。-4)}-(x。-7m-3=(-2m+14)x+15m2-42m-25, 则8m2+24=（-2m+14)x。+15m2-42m-25, 整理得(14-2m)x,=-7m2+42m+49=-7(m-7)(m+1), ①当m-7≠0时，两边同除以m-7,可符m-子1， 2 代入%=-7m,可得%=。-7x(气。-)=-+7，即+%=7， 所以△PAB的外接圆的圆心Q在定直线x+y-7=0上： ②当m-7=0时，即m=7时，可得直线AB的方程为y=-x+7, 此时点P(4,3)满足直线AB的方程，此时P,A,B三点共线，不能构成三角形，舍去， 综上可得，△PAB的外接圆的圆心Q在定直线x+y-7=0上 y-x-7m 19.(1)由于f)=e-2 COS, 所以0=1，f0=1-子 则曲线y=)在点0f0)处的切线方程为：y-1x-0, 即x-3y+3=0: (a方法一：令g6=e-2sinx 3-l,则g)=e-2。 1 1 cosx- 3 3 3 当≥0时2，子号w号则g国=e-号w 1-2-}-0， 1、 COSx- 3 3 33 所以g(x)在[0，+∞)上单调递增，则g(x)≥g(0)=1-0-0-1=0, 所以g20在D+o)上恒废立，即e一子nx≥写+1在p+o)上面废立： 3 当-写x<0时，令m)=g=e-号awx子房以m)=e+号nx。 2 3 因为y=g和y-子[0上单调莲猫，则m0=心+号x[兮可】 上单调递增， 因为3>2e,肩以)，所以e>号由于01， 3 所以m()-e+号is≥e-子s时>0，则g=e-号sx[号0 上单调递增， 3 ox-0,即g国<0在号0小恒成立. 2 则g'(x)=e- 所以g()在行0上单调造减。 所以因>80=100-10，甲g国>0在[号0成立 故e-号1在小 综上，e- 1 上恒成立， 方法二：要证倒≥1+了即证心-号nx≥1 ,可得+2sin+3≤3， 3 3 e 令y-+3,子树则g2m2a-2 e e 设-=2-2mx-2=25m+引x-2,（ _π 4 当之时，则4(s2(@s-)-x+翠0-(2+ /23 <0, 4 4 当子<x<平时，则()=-2sinx-2cosx-1=-22sm+星1， 因为<x子，则0<x+<x,可得m+星}0，则(k0, 可如（✉）在（子）内单调避减，且0）=0， 则当xe(0时.A>0,即g0:当xe0时.水0，即g<0 综上所远：当x(0时，8小0，当eQ时，g(<0: 可知g()在（0内单调递增，在(Q+)内单词递减，则g(5g0)=3, 所以g(s3在（ 内恒成立， 号树（子切树即es3在（号内恒成立 1 (3)①当a>时，设a=+e(e>0) 3 构造两数h=c-子imr写-12，xe(Q小 1 3 则)-=e号omr4r子reo小. 令s-i-e-子or-eo. 所以)=6+4xe@, 由于s'()=e+sinx-4在(0，上单调递增， 所以s)5e+号nl-4<e+号4<0，则)在(a上单调送或。 放国<0=1-号0-写0，则)在(Q上单洞道藏。 3 则A<h0=0在Q,1上恒成立，即e-号snr<兮x1+2x在(Q上恒成立： 3 令p)=x-1n(x+0.(c≥0，所以p)=1-L=x≥0，(x≥0， x+11+x 所以p(x)在[0，+oo)上单调递增，则p(x)≥p(0)=0,当且仅当x=0时取等， 即x≥ln(x+l)在[0，+o)上恒成立 故we=ne-号mn+2x}+2 对于2h+0,令x=0,期-水 变形得<hk-1hk-D, 裂项求和得，】 2<1+2s-ak--1+bn 装1宫女： 对题设不等式左边取对数放缩： 0)】-2) 3 对思设不等式右边取对数放缩：ohm+)-（G+6a+)>nn+slna 当n>心时，Gnm>5,此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以a>写不满足条件， 5 ②当as时，老meN.0-f付)-日a+r但限立， 3 此时限不等式右侧a+r≤a+.只腾证明：2y(上兮nn+), 由2)问结论1+5≤e可得：+)s 两边取对数，1 +小+ 又na+)=a(&+)-a]-艺n1+2 因t·含n隙含nd+>+ga+2o咖a+) 所以原不等式成立，则a的最大值为}