2026—2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考常考题型重难点训练卷

2026年9月份第一次月考常考题型重难点训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围:北师大版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟 试卷满分:120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，可以使平行四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 3．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 4．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ） A． B． C． D．2 6．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．必有实根 B．有两个不相等的实根 C．无实根 D．不能确定根的情况 8．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（     ） A．3 B．4 C．5 D．15 9．如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立 其中正确的有（   ） A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①②③ 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 12．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则___________． 13．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是一元二次方程的一个根，则三角形的周长为__________． 14．如图，在矩形中，对角线，相交于点，平分交于点，若，则的度数为_______． 15．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小明家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积为______． 16．在菱形中，，，点，分别是，的中点，点是菱形边上的动点，则当时，的长为________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） 18．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长）另三边用木栏围成，木栏长． (1)鸡场的面积能达到吗？ (2)鸡场的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 19．如图，在中，点，分别是边，上的中点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 20．已知关于的一元二次方程（m为常数）． (1)求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2)若某等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根，求的值． 21．如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：； (2)当四边形是矩形时，若，求的度数． 22．某电商在网上对一款汉服进行直播带货，这款汉服每件进价为元．经过市场调研发现：当这款汉服的售价为每件元时，每天可售出件；售价每降低元，日销售量增加件．为尽快减少库存，商家决定降价销售，设每件汉服降价元． (1)请写出日销售量（单位：件）与之间的函数关系式．（不要求写出的取值范围） (2)每件汉服降价多少元时，该商家平均每天可盈利元？ (3)该商家希望平均每天能盈利元，这个愿望能实现吗？请说明理由． 23．已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为正方形． (1)若正方形边长为6． ①如图1，E，F分别在边上，于H，且，请直接写出F点的坐标． ②如图2，若D为上一点，且，Q为y轴正半轴上一点，且，求点Q坐标． (2)若正方形边长为4，如图3，E、F分别在边上，当F为的中点，于H，在直线上E点的两侧有点D、G，能使线段，，且，求． 24．【问题提出】 如图，是菱形的对角线，且，是菱形的内部或边上一点，连接，以为边构造菱形，且． (1)如图①，当点都落在对角线上时，连接，则__________；（填“”“”或“”） (2)如图②，当三点在同一条直线上，且点在对角线上时，连接，若，求的长； 【问题解决】 (3) 如图③，学校劳动实践基地有一块菱形花圃，，，灌溉水管与交于点，划定为蔬菜种植区，后勤工人在花圃内部或边界上任意选取一个点，计划以为边搭建小型菱形花架，要求，花架顶点必须落在蔬菜种植区的内部或边界上．连接，沿与增设两条灌溉水管，为了节约成本，求增设的灌溉水管的最小值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C C A C A B D D 11．且 12． 13． 14． 15．96 16．或或 17．【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ，， ， 则， ∴，； （3）解： ​​​或 ∴，． 18．【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 依题意得：， 整理得：， ， 鸡场的面积能达到，且方程有两个不相等的实数根， 解得． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 当鸡场垂直于墙的一边长为米时，鸡场的面积能达到． (2) 不能， 根据题意可得， 整理得， ， 鸡场的面积不能达到． 19．(1)证明：四边形是平行四边形， ，，， 在中，点是的中点， 在中，点是的中点， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，连接，交于点， 在中，，，， 由（1）知四边形是菱形， ，，. 是的中点， 是的中位线， ， ， 菱形的面积为． 20．(1)证明：． ，即， 无论取任何实数，方程总有实数根． （2）解：等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得， 当时，方程为， 解得：，满足条件， 的值为3． 21．(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴的度数为． 22．【详解】（1）解：由题意得，， 即； （2）解：由题意得，， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件汉服降价元时，该商家平均每天可盈利元； (3)解：不能，理由如下： 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程无解， ∴不能平均每天盈利元． 23．【详解】（1）①， ， ， ， ， ， ， ， , ， ； ②如图2，过点作交轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， 连接， ， ， 又， ， ， ，， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ； （2）为的中点，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， 连接，， 是的中点，是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， 在中，． 24．【详解】（1）解：∵是菱形的对角线，且， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∵点都落在对角线上， ，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：如图②，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是菱形，且， ∴，与互相垂直平分，， ∴，是等边三角形， ∴． ∵三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴是直角三角形，． ∴． （3）解：如图③，取的中点，连接， ∴． ∵是菱形的对角线，且， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， ∴． 连接， 由（2）可知，是等边三角形， ∴，． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， 过点作于点，作点关于的对称点，此时点在射线上，且在点的上方（包含点），连接， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，最小值为，此时点在上， 设交于点，连接， ∵点在的内部或边上运动， ∴， ∴当点在的边上时，最小，即最小， ∵四边形是菱形， ∴点与点关于对角线对称， ∴此时点与点重合， 即的最小值为的长． ∵是等边三角形，为的中点，， ∴,， ∴． 即的最小值为． 答：增设的灌溉水管的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $