专题01 有理数（期中真题汇编，河南专用）七年级数学上学期

专题01 有理数 6大高频考点概览 考点01 正数和负数 考点02 有理数的概念 考点03 数轴 考点04 相反数 考点05 绝对值 考点06 有理数的大小比较 考点01 正数和负数 1．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）2025年10月以来，黄金价格持续走高，截至10月9日，已突破900元/克．以900元为标准，如果价格上涨记为正，下降记为负，则每克下降5元可以记为（       ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）下列不是具有相反意义的量的是（     ） A. 前进9米和后退9米 B. 收入30元和支出10元 C. 向东走10米和向北走10米 D. 超过5千克和不足3千克 3．（25-26学年七上·河南新乡·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果水位升高5米记为+5米，那么水位下降3米应记为（   ） A. -5米 B. +5米 C. -2米 D. -3米 5．（25-26学年七上·河南郑州九校联考·期中）中国是世界上最早使用负数的国家，若把身高超出全班平均值记为正数，小明身高超出全班平均值记作，则小华身高低于全班平均值记作（　　） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·河南南阳·期中）节约水吨记作吨，则浪费水吨记作（     ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 7．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）锂电池是电动汽车的关键部件，我国的锂电池正突破重围，势不可挡．规定充电时长为正，耗电时长为负，若新能源汽车快充充电小时记作小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作（       ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 8．（25-26学年七上·河南漯河实验中学·期中）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动5，记作（    ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年七上·河南新乡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（       ） A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食 C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食 10．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）在一条东西走向的跑道上，设向东的方向为正方向，如果小芳向东走了，记作“”，那么她向西走了，应该记作　　　　　　　　　　　　　 11．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）如果规定汽车向东行驶3千米记作千米，那么向西行驶4千米记作　　　　　　　　千米． 12．（25-26学年七上·河南新乡·期中）某路公交车从起点经过A，B，C，D站到达终点，各站上、下乘客人数如下表所示（记上车为正，下车为负） 起点A站 中途B站 中途C站 中途D站 终点E站 上车的人数 15 12 9 7 0 下车的人数 0 ▲ （1）请完成表格； （2）公交车行驶在哪两站之间车上的乘客最多，请列式说明理由； （3）若此公交车采用一票制，即每位上车乘客无论哪站下车，车票都是2元，问该车这次出车能收入多少钱？请列式说明． 考点02 有理数的概念 1．（25-26学年七上·河南新乡第十中学·期中）在，，0，，（每隔一个1增加一个0）中，有理数有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（　　） A. 8 B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）下列各数：，，，，，，，其中整数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）把下列各数对应的标号填在相应的横线上： ①，②，③，④0，⑤2025，⑥，⑦，⑧，⑨ （1）负分数：___________________________； （2）整数：_____________________________； （3）有理数：_____________________________； 5．（25-26学年七上·河南新乡·期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，，． （1）整数集合：______； （2）分数集合：______； （3）非负整数集合：______； （4）负有理数集合：______． 考点03 数轴 1．（25-26学年七上·河南新乡·期中）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（     ） A. 2 B. 1.8 C.  D. 5.4 2．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(     ) A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4．（25-26学年七上·河南郑州·期中）在数轴上，点A，B在原点的两侧，点A表示数，点B表示数a，将点B沿数轴向右移动4个单位长度，得到点C，则A，C两点间的距离为　　　　　　． 5．（25-26学年七上·河南漯河实验中学·期中）如图，我们学过的数可以在数轴上表示出来．若点m表示，那么点n表示　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·河南许昌第一中学·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． （1）在数轴上标出原点； （2）先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，0，，，6 7．（25-26学年七上·河南新乡·期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，其中点A，B表示的有理数分别是，12，点C位于A，B之间，将以为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次．此时点A的对应点落在数轴上，并且，B两点之间的距离为4，则点C表示的有理数是　　　　　　　　． 8．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）在数轴上，点表示的数是，从点出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是　　　　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年七上·河南郑州七中·期中）已知点A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且，点P是数轴上的一个动点．    （1）                    ，                    ，并求出点A、点B之间的距离． （2）已知线段上有点C且，当点P满足时，求点P对应的数． （3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与点A重合的位置吗？若不能，请直接回答．若能，请直接指出第几次移动与点A重合． 10．（25-26学年七上·河南郑州外国语中学·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是　　　　　　　　　． 11．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位到达A点，再向左移动3个单位到达B点，然后向右移动9个单位到达C点． （1）则点A，B，C在数轴上表示的数为分别为_______，________，________． （2）若点B以每秒2个单位的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动．设移动时间为t秒，请用式子表示移动t秒时，A、B、C三点在数轴上所表示的数． （3）把A、C两点在数轴上的距离记为，A、B两点在数轴上的距离记为．在（2）的条件下，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 12．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，数是多项式的一次项系数，数是最大的负整数，数是单项式的次数． （1）填空：_______，_______，________； （2）数轴上若点，表示的数分别是，，则，间的距离．点，，在数轴上同时开始运动，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，则秒后，点与点之间的距离_______．点与点之间的距离________． （3）当时，试比较与的大小． 13．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 考点04 相反数 1．（25-26学年七上·河南郑州外国语中学·期中）2025的相反数是（     ） A.  B.  C. 2025 D.  2．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）有理数2024的相反数是（       ） A. 2024 B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·河南平顶山·期中）的相反数是（       ） A.  B.  C.  D. 2 4．（25-26学年七上·河南许昌第一中学·期中）的相反数是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年七上·河南新乡·期中）　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）的相反数是　　　　　　． 考点05 绝对值 1．（25-26学年七上·河南郑州5校联考·期中）下列说法中正确的个数为（       ） ①符号不同的两个数互为相反数； ②倒数等于它本身的数是±1，任何有理数都有倒数； ③绝对值等于它本身的数是正数和0； ④所有的有理数都能用数轴上的点表示． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）对于，下列说法错误的是（       ） A. 等于的相反数 B. 表示的绝对值 C. 等于 D. 等于 3．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）下列各组数中，互为相反数的是（       ） A. 与 B. 与2 C. 与 D. 与 4．（25-26学年七上·河南省实验中学·期中）下列各组数中互为相反数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 5与 5．（25-26学年七上·河南郑州第十九初级中学·期中）的绝对值是（     ） A. 2025 B.  C.  D.  6．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）如图，数轴上的三点所表示的数分别为．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ） A. 点A的左边 B. 点A与点B之间 C. 点B与点C之间 D. 点C的右边 7．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）若数轴上分别表示m和的两点之间的距离是24，则m的值为（　　） A. 22 B. 26 C. -26或22 D. -22或26 8．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（       ） A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 9．（25-26学年七上·河南许昌第一中学·期中）如果，则的值为　　　　　　　　　　． 考点06 有理数的大小比较 1．（25-26学年七上·河南郑州七中·期中）在，，0，2四个有理数中，最小的数是（       ） A.  B.  C. 0 D. 2 2．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）若，则在数轴上表示数的点可能是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（       ） A. 3 B. 1 C.  D.  4．（25-26学年七上·河南郑州·期中）下列各数中，最小的数是（       ） A. 1 B.  C.  D. 0 5．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　3．(填“”或“”)． 6．（25-26学年七上·河南新乡·期中）写一个比大的数　　　　　　． 7．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）写一个数，使，　　　　　　　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）比较大小：﹣2　　　　　　﹣3． 9．（25-26学年七上·河南南阳·期中）写出一个小于1的整数：　　　　　　． 10．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）善于反思的小文在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小文的探究过程． 【典例再现】 （1）填空：__________，__________；__________，__________； 【总结归纳】 （2）观察上述题目，发现结论：互为相反数的两个数的绝对值__________，平方__________； 【知识应用】 （3）已知，，则__________，__________；若，则__________，__________． 11．（25-26学年七上·河南漯河实验中学·期中）比较大小：　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年七上·河南郑州5校联考·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　 13．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）（1）在数轴上画出，，，； （2）用“<”号将它们连接起来． 14．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）在数轴上表示下列各数，，，，并用“”将它们连接起来． 15．（25-26学年七上·河南郑州第十九初级中学·期中）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“”将它们连接起来． ． 16．（25-26学年七上·河南郑州九校联考·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　（填“”或“”） 17．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）把数在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来． 18．（25-26学年七上·河南新乡第十中学·期中）请在数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“>”号连接起来． ，，，， 19．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）已知四个数满足，则之间的大小关系是　　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 考点01 正数和负数 考点02 有理数的概念 考点03 数轴 考点04 相反数 考点05 绝对值 考点06 有理数的大小比较 考点01 正数和负数 1．D 2．C 3．A 4．D 5．A 6．C 7．D 8．B 9．A 10．【答案】 【分析】 本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据正负数的意义，即可得到答案． 【详解】 解：小芳向东走了，记作“”，那么她向西走了，应该记作． 故答案为： 11．【答案】 【分析】 结合题意，根据正数和负数的实际含义分析，即可得到答案． 【详解】 解：∵汽车向东行驶3千米记作千米， ∴汽车向西行驶4千米记作：千米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正负数的实际应用及相反意义的量，解题的关键是熟练掌握正数和负数的含义，从而完成求解． 12．【答案】（1）－26；（2）在C站与D站之间车上的乘客最多；（3）86元 【分析】 （1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出终点E站的人数，即可得解； （2）根据表格计算在每相邻两站之间的车上乘客数，解答即可； （3）根据各站之间的上车人数，再乘以票价2元，计算即可得解． 【详解】 解：（1）根据题意可得：到终点E站，车上有： 15＋12−3＋9−4＋7−10＝26（人）， 故到终点E站下车的人数为26人，记作“－26”； 故填：－26； （2）在C站与D站之间车上的乘客最多，根据图表： A站与B站：15人； B站与C站：15＋12－3＝24（人）； C站与D站：15＋12－3＋9－4＝29（人）； D站与E站：15＋12－3＋9－4＋7－10＝26（人）； 因此，在C站与D站之间车上的乘客最多； （3）根据题意：（15＋12＋9＋7）×2＝86（元）． 答：该车这次出车能收入86元． 【点睛】 本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键． 考点02 有理数的概念 1．C 2．B 3．C 4．【答案】（1）⑥ ⑦     （2）① ④ ⑤     （3）① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨      【分析】 本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确各类有理数的定义（负分数是小于0的分数；整数包括正整数和0和负整数；有理数包括正整数、0、负整数、正分数和负分数）． （1）根据负分数的定义，对所给的数逐一进行分类即可； （2）根据整数的定义，对所给的数逐一进行分类即可； （3）根据有理数的定义，对所给的数逐一进行分类即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，负分数有⑥，⑦， 故答案为：⑥ ⑦ ； (2) 小问详解： 解：根据题意得，整数有①，④0，⑤2025， 故答案为：① ④ ⑤ ； (3) 小问详解： 解：根据题意得，有理数有①，②，③，④0，⑤2025，⑥，⑦，⑧，⑨， 故答案为：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ； 5．【答案】（1），，，，，     （2），，     （3），，，     （4），，，，      【分析】 本题考查了有理数的分类，理解有理数的意义，能把给出的有理数按要求分类，了解 有理数的分类方法是解题的关键． （1）根据整数的定义进行分类； （2）根据分数的定义进行分类； （3）根据非负整数包含正整数和零进行分类； （4）根据负数和有理数的定义进行分类． (1) 小问详解： 解：， 整数集合：； (2) 小问详解： 分数集合：； (3) 小问详解： 非负整数集合：，，，； (4) 小问详解： 负有理数集合：． 考点03 数轴 1．C 2．B 3．C 4．【答案】7 【分析】 本题考查了数轴上点的移动，整式加减法，数轴上两点间的距离，点C由点B向右移动4个单位得到，表示数．计算点A与点C的距离，化简绝对值表达式即可． 【详解】 解：根据题意可得，点C表示的数为． 点A与点C的距离为 ． 故答案为：7． 5．【答案】 【分析】 本题主要考查了数轴的认识，正负数等知识点，结合正负数以及分数的意义和表示方法解答即可，熟练掌握其概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】 解：根据图示，点m在原点的右侧，是正数；根据分数的意义可知，就是把单位“1”平均分成4份，取其中的3份， 观察图形可知，m在距离0点6个小格，根据分数的基本性质可知，，即把单位“1”平均分成8份，取其中的6份，化简是， 由此可知，一小格表示，n在原点的左侧，是负数，距离原点有3格，那么点n表示， ∴若点m表示，那么点n表示， 故答案为：． 6．【答案】（1） 如图所示：      （2） 解：将已知数字表示在数轴上，如图所示：       【分析】 本题主要考查了有理数与数轴，用数轴比较有理数大小，准确分析判断是解题的关键． （1）根据点和点表示的数得出原点的位置； （2）在数轴上表示所给的数，比大小即可； (1) 小问详解： 解：点表示的数是，点表示的数是5， 点在原点左侧个单位处，点在原点右侧个单位处， 即可得到原点的位置； (2) 小问详解： 略 7．【答案】1或 【分析】 本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，根据两点间的距离确定点所表示的数，继而确定的长，再根据两点间的距离可确定点所表示的数．确定点所表示的数是解题的关键． 【详解】 解：当点在点的左侧， ∵点，表示的有理数分别是，，，两点之间的距离为， ∴点表示的数是：， ∴， 此时点表示的有理数是：； 当点在点的右侧， ∵点，表示的有理数分别是，，，两点之间的距离为， ∴点表示的数是：， ∴， 此时点表示的有理数是：； ∴点表示的有理数是或． 故答案为：或． 8．【答案】1或 【分析】 本题主要考查了数轴上的点表示有理数， 点A表示的数为，沿数轴移动4个单位长度，方向不确定，可能向右或向左，因此点B表示的数有两种可能． 【详解】 解：若向右移动，则点B表示的数为；若向左移动，则点B表示的数为． 所以点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 9．【答案】（1）20；；30     （2）或2     （3）能；第20次P与A重合      【分析】 （1）先根据非负数的性质求出a，b的值，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可； （2）先求出点C所表示的数，再设P点对应的数为，当P点满足时，分三种情况讨论，根据，求出的值即可； （3）根据第一次点P表示，第二次点P表示2，根据规律得出点P表示的数依次为，4，，6…，找出规律即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵且C在线段上， ∴， ∴， ∵， 当P在点B左侧时，此种情况不成立； 当P在线段上时， ， ∴， 解得：， 当P在点C右侧时， ， ， ； 综上所述：P点对应的数为或2． (3) 小问详解： 解：第一次点P表示，第二次点P表示2，依次，4，，6… 则第n次为， ∵当时，， 又∵点A表示20， ∴第20次P与A重合． 【点睛】 本题考查数轴，一元一次方程的应用，非负数的性质以及同一数轴上两点之间的距离公式的综合应用，正确分类是解题关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系． 10．【答案】4或0 【分析】 本题考查了数轴，先根据两点间的距离公式求出点对应点所表示的数，再利用中点公式求出点表示的数． 【详解】 解：∵， ∴点和点的距离为4， ∴点表示的数为或， 由折叠的性质可知，，即点为线段的中点， 当表示的数为16时，点表示的数为：， 当表示的数为8时，点表示的数为：， 故答案为：4或0． 11．【答案】（1），，     （2）点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为     （3）的值不会随着t的变化而改变，为定值3， 由（2）得：，， ∴．      【分析】 （1）根据向左移在原数的基础上为减，向右移在原数的基础上为加进行求解即可； （2）同（1）进行求解即可； （3）根据数轴上两点距离公式分别表示出，然后根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位到达A点，再向左移动3个单位到达B点，然后向右移动9个单位到达C点， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：的值不会随着t的变化而改变，为定值3，理由如下： 由题意得，移动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离公式，整式的加减计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 12．【答案】（1），，     （2），     （3）      【分析】 （1）根据多项式的次数和系数，最大的负整数求解即可； （2）首先表示出运动后点A，B，C表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离表示方法求解即可； （3）将代入和求解比较即可． (1) 小问详解： ∵数是多项式的一次项系数，数是最大的负整数，数是单项式的次数 ∴，，； (2) 小问详解： 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点与点之间的距离； 根据题意得，运动后点C表示的数为， ∴点与点之间的距离； (3) 小问详解： 当时，， ∵ ∴． 【点睛】 本题考查了多项式的系数和次数，数轴上点的表示，数轴上两点之间的距离和动点问题．解题的关键在于用t表示各点表示的数． 13．【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）① 点P所表示的数为，0或4； ② 点P所表示的数为，或 【分析】 本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）① 先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ② 分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】 解：（1） 略 （2）① 由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ② 第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 考点04 相反数 1．A 2．B 3．D 4．B 5．【答案】7 【分析】 此题考查了多重符号的化简．从内向外逐步化简即可． 【详解】 解：计算过程如下： 故答案为：7 6．【答案】 【详解】试题解析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是 考点05 绝对值 1．B 2．C 3．D 4．C 5．A 6．C 7．C 8．D 9．【答案】1 【分析】 根据绝对值与平方的非负性可计算出a和b的值，再相加计算即可； 【详解】 解：∵ ∴=0，=0 ∴a=-1，b=2 ∴=1 【点睛】 本题考查了绝对值性质，掌握其非负性是解题的关键． 考点06 有理数的大小比较 1．B 2．D 3．C 4．C 5．【答案】 【分析】 本题考查了比较两个数的大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 根据正数大于负数即可求解． 【详解】 解：根据题意得：， 故答案为：． 6．【答案】0 【分析】 本题考查了有理数比较大小．根据有理数比较大小的方法即可求解． 【详解】 解：． 故答案为：0（答案不唯一）． 7．【答案】1（答案不唯一，只要是正数即可） 【分析】 本题考查相反数的性质，解题的关键是根据相反数的大小关系确定数的正负性． 根据相反数的定义，分析时的取值特征，进而找出符合条件的数． 【详解】 解：根据相反数的定义，的相反数是 若，则说明是正数（因为正数的相反数是负数，负数小于正数）， 所以只要取一个正数即可，例如． 故答案为：1（答案不唯一，只要是正数即可）． 8．【答案】＞ 【详解】 解：两个负数比较，绝对值较大的数反而小， 因为｜－2｜＜｜－3｜， 所以，－2＞－3， 故答案为：＞． 9．【答案】0（答案不唯一） 【分析】 题目主要考查比较有理数的大小，理解题意是解题关键． 小于1的整数包括零和所有负整数，从这些整数中任取一个即可． 【详解】 解：整数包括正整数、零和负整数， ∴小于1的整数有 …， 故答案为：0（答案不唯一）． 10．【答案】（1）2，2，9，9（2）相等，相等（3） 【分析】 本题考查了绝对值、平方、相反数，有理数大小比较，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）根据绝对值的运算性质即可判断； （2）根据绝对值、平方、相反数的运算规律，观察得出相应结论； （3）先求出，，再由，得到，，即可求解． 【详解】 解：，；，； 故答案为：2，2，9，9． （2）观察上述题目，发现结论：互为相反数的两个数的绝对值相等，平方相等； 故答案为：相等，相等． （3）∵，， ∴，， ∵， ∴，； 故答案为：． 11．【答案】< 【分析】 本题考查了有理数比较大小，求一个数的绝对值．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：<． 12．【答案】 【分析】 本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解答即可． 【详解】 解： ， ． 故答案为：． 13．【答案】（1） 如图，      （2）      【分析】 本题考查了有理数在数轴上的表示，化简绝对值，多重符号的化简，关键在于熟练掌握其化简方法． （1）先根据绝对值的意义得出，去括号得出，再在数轴上表示出各数即可； （2）根据当正方向朝右的数轴上右边的数总比左边的数大，即可求解． (1) 小问详解： 解：， (2) 小问详解： 解：排列如下： ． 14．【答案】如图所示 【分析】 本题考查了求相反数，求绝对值，在数轴上表示有理数并比较大小． 先化简多重符号，求绝对值，再在数轴上表示有理数，最后比较大小即可． 【详解】 解：，， 用“”将它们连接起来为： 15．【答案】数轴见图， 【分析】 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数，右边的数始终大于左边的数．先在数轴上表示出各个数，再根据数轴上的点表示的数的大小规律即可得到结果． 【详解】 解：在数轴上表示出各个数如图所示， 由数轴可知，． 16．【答案】> 【分析】 本题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数的大小比较是解题的关键，根据两个负数的大小比较：负数绝对值大的反而小即可得. 【详解】 ∵，， ，； ∵ ， ∴ ， 即， 又∵ 两个数均为负数， ∴． 故答案为：. 17．【答案】解：在数轴上表示如图， 【分析】 本题考查了有理数的大小比较和用数轴上的点表示有理数，能在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】 18．【答案】表示各数在数轴上如图， 【分析】 本题主要考查了数轴、绝对值、相反数以及有理数的大小比较，熟练掌握数轴上数的大小规律和绝对值、相反数的化简是解题的关键． 先分别化简各数，再将这些数在数轴上表示出来，最后根据数轴上数的大小规律（右边的数大于左边的数）进行排序． 【详解】 解：，，，， ． 19．【答案】 【分析】 本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】 解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 6大高频考点概览 考点01 正数和负数 考点02 有理数的概念 考点03 数轴 考点04 相反数 考点05 绝对值 考点06 有理数的大小比较 考点01 正数和负数 1．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）2025年10月以来，黄金价格持续走高，截至10月9日，已突破900元/克．以900元为标准，如果价格上涨记为正，下降记为负，则每克下降5元可以记为（       ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【分析】 本题根据正负数的定义，以900元为标准，下降记为负，因此下降5元应记为元． 【详解】 解：∵以900元为标准，下降记为负， ∴下降5元记为元． 故选：D． 2．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）下列不是具有相反意义的量的是（     ） A. 前进9米和后退9米 B. 收入30元和支出10元 C. 向东走10米和向北走10米 D. 超过5千克和不足3千克 【答案】C 【分析】 本题主要考查了具有相反意义的量，根据相反意义，可知前进和后退，收入和支出，超过和不足均是相反意义，而东和西，南和北是相反意义，据此可得答案． 【详解】 解：A、前进9米和后退9米是具有相反意义的量，不符合题意； B、收入30元和支出10元是具有相反意义的量，不符合题意； C、向东走10米和向北走10米不是具有相反意义的量，符合题意； D、超过5千克和不足3千克是具有相反意义的量，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年七上·河南新乡·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正负数的大小比较，熟练掌握正负数大小比较的方法解题的关键． 由五日气温为得到，，，则气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 【详解】 解：由五日气温为得到，， ∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降． 故选：A． 4．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”如果水位升高5米记为+5米，那么水位下降3米应记为（   ） A. -5米 B. +5米 C. -2米 D. -3米 【答案】D 【分析】根据负数的意义，可得若水位升高记为“+”，则水位下降记为“﹣”，据此解答即可． 【详解】因为水位升高5米记为+5米，那么水位下降3米应记作-3米． 故选D． 【点睛】本题考查了负数的意义及其应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若水位升高记为“+”，则水位下降记为“﹣”． 5．（25-26学年七上·河南郑州九校联考·期中）中国是世界上最早使用负数的国家，若把身高超出全班平均值记为正数，小明身高超出全班平均值记作，则小华身高低于全班平均值记作（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正数和负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 零上记为正，则零下记为负，由此即可得解． 【详解】 解：∵小明身高超出全班平均值记作， ∴小华身高低于全班平均值记作． 故选：A 6．（25-26学年七上·河南南阳·期中）节约水吨记作吨，则浪费水吨记作（     ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【分析】 本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据相反意义的量，节约用水记为正数，则浪费水记为负数。 【详解】 解：节约水吨记作吨，则浪费水吨记作吨； 故选：C． 7．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）锂电池是电动汽车的关键部件，我国的锂电池正突破重围，势不可挡．规定充电时长为正，耗电时长为负，若新能源汽车快充充电小时记作小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作（       ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】D 【分析】 本题主要考查了正负数的实际应用，充电用正数表示，那么耗电就用负数表示，据此可得答案． 【详解】 解：若新能源汽车快充充电小时记作小时，那么新能源汽车连续性耗电8小时记作小时， 故选：D． 8．（25-26学年七上·河南漯河实验中学·期中）规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动5，记作（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对，据此求解即可． 【详解】 解：∵表示向右移动2，记作， ∴表示向左移动5，记作． 故此题答案为：B． 9．（25-26学年七上·河南新乡·期中）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（       ） A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食 C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食 【答案】A 【分析】 根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【详解】 解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食． 故选：A 【点睛】 本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键． 10．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）在一条东西走向的跑道上，设向东的方向为正方向，如果小芳向东走了，记作“”，那么她向西走了，应该记作　　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键．根据正负数的意义，即可得到答案． 【详解】 解：小芳向东走了，记作“”，那么她向西走了，应该记作． 故答案为： 11．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）如果规定汽车向东行驶3千米记作千米，那么向西行驶4千米记作　　　　　　　　千米． 【答案】 【分析】 结合题意，根据正数和负数的实际含义分析，即可得到答案． 【详解】 解：∵汽车向东行驶3千米记作千米， ∴汽车向西行驶4千米记作：千米， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了正负数的实际应用及相反意义的量，解题的关键是熟练掌握正数和负数的含义，从而完成求解． 12．（25-26学年七上·河南新乡·期中）某路公交车从起点经过A，B，C，D站到达终点，各站上、下乘客人数如下表所示（记上车为正，下车为负） 起点A站 中途B站 中途C站 中途D站 终点E站 上车的人数 15 12 9 7 0 下车的人数 0 ▲ （1）请完成表格； （2）公交车行驶在哪两站之间车上的乘客最多，请列式说明理由； （3）若此公交车采用一票制，即每位上车乘客无论哪站下车，车票都是2元，问该车这次出车能收入多少钱？请列式说明． 【答案】（1）－26；（2）在C站与D站之间车上的乘客最多；（3）86元 【分析】 （1）根据正负数的意义，上车为正数，下车为负数，求出终点E站的人数，即可得解； （2）根据表格计算在每相邻两站之间的车上乘客数，解答即可； （3）根据各站之间的上车人数，再乘以票价2元，计算即可得解． 【详解】 解：（1）根据题意可得：到终点E站，车上有： 15＋12−3＋9−4＋7−10＝26（人）， 故到终点E站下车的人数为26人，记作“－26”； 故填：－26； （2）在C站与D站之间车上的乘客最多，根据图表： A站与B站：15人； B站与C站：15＋12－3＝24（人）； C站与D站：15＋12－3＋9－4＝29（人）； D站与E站：15＋12－3＋9－4＋7－10＝26（人）； 因此，在C站与D站之间车上的乘客最多； （3）根据题意：（15＋12＋9＋7）×2＝86（元）． 答：该车这次出车能收入86元． 【点睛】 本题考查了正数和负数，有理数的混合运算，读懂图表信息，求出各站点上的人数是解题的关键． 考点02 有理数的概念 1．（25-26学年七上·河南新乡第十中学·期中）在，，0，，（每隔一个1增加一个0）中，有理数有（       ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键：整数和分数统称为有理数．注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数的形式，因而不属于有理数．需强调，是无理数． 根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】 解：在，，0，，（每隔一个1增加一个0）中，有理数有：，，，共个， 故选：． 2．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）在下列选项中，既是分数，又是负数的是（　　） A. 8 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用分数及负数的定义判断即可得到结果． 【详解】 解：A、8不是分数，也不是负数，是整数，故A选项不符合题意； B、是分数，也是负数，故B选项符合题意； C、是分数，是正数，故C选项不符合题意； D、是整数，是负数，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】 此题考查有理数的分类，熟练掌握分数和负数的含义是解本题的关键． 3．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）下列各数：，，，，，，，其中整数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了有理数的分类， 整数包括正整数、负整数和零，逐一判断每个数是否符合整数的定义. 【详解】 ∵3是正整数，是负整数，0是整数，而是分数，是分数，是分数，是分数，均不是整数， ∴整数有，一共有3个. 故选：C. 4．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）把下列各数对应的标号填在相应的横线上： ①，②，③，④0，⑤2025，⑥，⑦，⑧，⑨ （1）负分数：___________________________； （2）整数：_____________________________； （3）有理数：_____________________________； 【答案】（1）⑥ ⑦     （2）① ④ ⑤     （3）① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨      【分析】 本题考查了有理数的分类，解题的关键是明确各类有理数的定义（负分数是小于0的分数；整数包括正整数和0和负整数；有理数包括正整数、0、负整数、正分数和负分数）． （1）根据负分数的定义，对所给的数逐一进行分类即可； （2）根据整数的定义，对所给的数逐一进行分类即可； （3）根据有理数的定义，对所给的数逐一进行分类即可． (1) 小问详解： 解：根据题意得，负分数有⑥，⑦， 故答案为：⑥ ⑦ ； (2) 小问详解： 解：根据题意得，整数有①，④0，⑤2025， 故答案为：① ④ ⑤ ； (3) 小问详解： 解：根据题意得，有理数有①，②，③，④0，⑤2025，⑥，⑦，⑧，⑨， 故答案为：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ； 5．（25-26学年七上·河南新乡·期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，，． （1）整数集合：______； （2）分数集合：______； （3）非负整数集合：______； （4）负有理数集合：______． 【答案】（1），，，，，     （2），，     （3），，，     （4），，，，      【分析】 本题考查了有理数的分类，理解有理数的意义，能把给出的有理数按要求分类，了解 有理数的分类方法是解题的关键． （1）根据整数的定义进行分类； （2）根据分数的定义进行分类； （3）根据非负整数包含正整数和零进行分类； （4）根据负数和有理数的定义进行分类． (1) 小问详解： 解：， 整数集合：； (2) 小问详解： 分数集合：； (3) 小问详解： 非负整数集合：，，，； (4) 小问详解： 负有理数集合：． 考点03 数轴 1．（25-26学年七上·河南新乡·期中）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（     ） A. 2 B. 1.8 C.  D. 5.4 【答案】C 【分析】 本题考查了用数轴上的点表示有理数．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】 解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是， 观察四个选项，只有符合题意题意， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：C． 2．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 观察数轴得到实数，，的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可. 【详解】 ∵，∴，故A选项错误； 数轴上表示的点在表示的点的左侧，故B选项正确； ∵，，∴，故Ｃ选项错误； ∵，，，∴，故D选项错误． 故选：B. 【点睛】 主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键. 3．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（     ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】 此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】 解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 4．（25-26学年七上·河南郑州·期中）在数轴上，点A，B在原点的两侧，点A表示数，点B表示数a，将点B沿数轴向右移动4个单位长度，得到点C，则A，C两点间的距离为　　　　　　． 【答案】7 【分析】 本题考查了数轴上点的移动，整式加减法，数轴上两点间的距离，点C由点B向右移动4个单位得到，表示数．计算点A与点C的距离，化简绝对值表达式即可． 【详解】 解：根据题意可得，点C表示的数为． 点A与点C的距离为 ． 故答案为：7． 5．（25-26学年七上·河南漯河实验中学·期中）如图，我们学过的数可以在数轴上表示出来．若点m表示，那么点n表示　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了数轴的认识，正负数等知识点，结合正负数以及分数的意义和表示方法解答即可，熟练掌握其概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】 解：根据图示，点m在原点的右侧，是正数；根据分数的意义可知，就是把单位“1”平均分成4份，取其中的3份， 观察图形可知，m在距离0点6个小格，根据分数的基本性质可知，，即把单位“1”平均分成8份，取其中的6份，化简是， 由此可知，一小格表示，n在原点的左侧，是负数，距离原点有3格，那么点n表示， ∴若点m表示，那么点n表示， 故答案为：． 6．（25-26学年七上·河南许昌第一中学·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． （1）在数轴上标出原点； （2）先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，0，，，6 【答案】（1） 如图所示：      （2） 解：将已知数字表示在数轴上，如图所示：       【分析】 本题主要考查了有理数与数轴，用数轴比较有理数大小，准确分析判断是解题的关键． （1）根据点和点表示的数得出原点的位置； （2）在数轴上表示所给的数，比大小即可； (1) 小问详解： 解：点表示的数是，点表示的数是5， 点在原点左侧个单位处，点在原点右侧个单位处， 即可得到原点的位置； (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年七上·河南新乡·期中）如图，数轴上有A，B，C三个点，其中点A，B表示的有理数分别是，12，点C位于A，B之间，将以为边的正方形沿数轴向右无滑动翻滚三次．此时点A的对应点落在数轴上，并且，B两点之间的距离为4，则点C表示的有理数是　　　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 本题考查数轴，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，根据两点间的距离确定点所表示的数，继而确定的长，再根据两点间的距离可确定点所表示的数．确定点所表示的数是解题的关键． 【详解】 解：当点在点的左侧， ∵点，表示的有理数分别是，，，两点之间的距离为， ∴点表示的数是：， ∴， 此时点表示的有理数是：； 当点在点的右侧， ∵点，表示的有理数分别是，，，两点之间的距离为， ∴点表示的数是：， ∴， 此时点表示的有理数是：； ∴点表示的有理数是或． 故答案为：或． 8．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）在数轴上，点表示的数是，从点出发，沿数轴向某一方向移动4个单位长度到达点，则点表示的数是　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】1或 【分析】 本题主要考查了数轴上的点表示有理数， 点A表示的数为，沿数轴移动4个单位长度，方向不确定，可能向右或向左，因此点B表示的数有两种可能． 【详解】 解：若向右移动，则点B表示的数为；若向左移动，则点B表示的数为． 所以点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 9．（25-26学年七上·河南郑州七中·期中）已知点A，B在数轴上对应的数分别用a，b表示，且，点P是数轴上的一个动点．    （1）                    ，                    ，并求出点A、点B之间的距离． （2）已知线段上有点C且，当点P满足时，求点P对应的数． （3）动点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度第四次向右移动7个单位长度，…．点P能移动到与点A重合的位置吗？若不能，请直接回答．若能，请直接指出第几次移动与点A重合． 【答案】（1）20；；30     （2）或2     （3）能；第20次P与A重合      【分析】 （1）先根据非负数的性质求出a，b的值，根据数轴上两点间的距离公式，求出A、B之间的距离即可； （2）先求出点C所表示的数，再设P点对应的数为，当P点满足时，分三种情况讨论，根据，求出的值即可； （3）根据第一次点P表示，第二次点P表示2，根据规律得出点P表示的数依次为，4，，6…，找出规律即可得出结论． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴，， ∴； (2) 小问详解： 解：∵且C在线段上， ∴， ∴， ∵， 当P在点B左侧时，此种情况不成立； 当P在线段上时， ， ∴， 解得：， 当P在点C右侧时， ， ， ； 综上所述：P点对应的数为或2． (3) 小问详解： 解：第一次点P表示，第二次点P表示2，依次，4，，6… 则第n次为， ∵当时，， 又∵点A表示20， ∴第20次P与A重合． 【点睛】 本题考查数轴，一元一次方程的应用，非负数的性质以及同一数轴上两点之间的距离公式的综合应用，正确分类是解题关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系． 10．（25-26学年七上·河南郑州外国语中学·期中）一条数轴上有点、、，点在、之间，其中点、表示的数分别是，12，现在以点为折点，将数轴向右对折，当数轴的左右两侧重合，且（表示点和点的距离，表示点对折后的对应点）时，点表示的数是　　　　　　　　　． 【答案】4或0 【分析】 本题考查了数轴，先根据两点间的距离公式求出点对应点所表示的数，再利用中点公式求出点表示的数． 【详解】 解：∵， ∴点和点的距离为4， ∴点表示的数为或， 由折叠的性质可知，，即点为线段的中点， 当表示的数为16时，点表示的数为：， 当表示的数为8时，点表示的数为：， 故答案为：4或0． 11．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位到达A点，再向左移动3个单位到达B点，然后向右移动9个单位到达C点． （1）则点A，B，C在数轴上表示的数为分别为_______，________，________． （2）若点B以每秒2个单位的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1个单位、4个单位的速度向右移动．设移动时间为t秒，请用式子表示移动t秒时，A、B、C三点在数轴上所表示的数． （3）把A、C两点在数轴上的距离记为，A、B两点在数轴上的距离记为．在（2）的条件下，试探究的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】（1），，     （2）点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为     （3）的值不会随着t的变化而改变，为定值3， 由（2）得：，， ∴．      【分析】 （1）根据向左移在原数的基础上为减，向右移在原数的基础上为加进行求解即可； （2）同（1）进行求解即可； （3）根据数轴上两点距离公式分别表示出，然后根据整式的加减计算法则求出的结果即可得到答案． (1) 小问详解： 解：∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位到达A点，再向左移动3个单位到达B点，然后向右移动9个单位到达C点， ∴点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 故答案为：，，； (2) 小问详解： 解：的值不会随着t的变化而改变，为定值3，理由如下： 由题意得，移动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离公式，整式的加减计算，灵活运用所学知识是解题的关键． 12．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）如图，在数轴上点表示，点表示，点表示，数是多项式的一次项系数，数是最大的负整数，数是单项式的次数． （1）填空：_______，_______，________； （2）数轴上若点，表示的数分别是，，则，间的距离．点，，在数轴上同时开始运动，点和点分别以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动，点以每秒4个单位长度的速度向右运动，则秒后，点与点之间的距离_______．点与点之间的距离________． （3）当时，试比较与的大小． 【答案】（1），，     （2），     （3）      【分析】 （1）根据多项式的次数和系数，最大的负整数求解即可； （2）首先表示出运动后点A，B，C表示的数，然后根据数轴上两点之间的距离表示方法求解即可； （3）将代入和求解比较即可． (1) 小问详解： ∵数是多项式的一次项系数，数是最大的负整数，数是单项式的次数 ∴，，； (2) 小问详解： 根据题意得，运动后点A表示的数为，点B表示的数为， ∴点与点之间的距离； 根据题意得，运动后点C表示的数为， ∴点与点之间的距离； (3) 小问详解： 当时，， ∵ ∴． 【点睛】 本题考查了多项式的系数和次数，数轴上点的表示，数轴上两点之间的距离和动点问题．解题的关键在于用t表示各点表示的数． 13．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点所表示的数依次为，点到点的距离等于点到点距离的2倍，此时点是点的“关联点”；点到点的距离等于点到点距离的2倍，点也是点的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，请判断点是否为点的“关联点”，并说明理由； 【拓展探索】 （2）若数轴上点表示的数为，点表示的数为，为数轴上一个动点： ①当点在点的右侧，且点是点的“关联点”，求此时点所表示的数； ②当点在点的左侧，点中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点所表示的数． 【答案】（1）点A是点B，C的“关联点”， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A也是点B，C的“关联点”． （2）① 点P所表示的数为，0或4； ② 点P所表示的数为，或 【分析】 本题主要考查了数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，有理数的四则运算，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）① 先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ② 分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】 解：（1） 略 （2）① 由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为点P所表示的数为，0或4． ② 第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 考点04 相反数 1．（25-26学年七上·河南郑州外国语中学·期中）2025的相反数是（     ） A.  B.  C. 2025 D.  【答案】A 【分析】 本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答． 【详解】 解：2025的相反数是， 故选：A． 2．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）有理数2024的相反数是（       ） A. 2024 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】 解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 3．（25-26学年七上·河南平顶山·期中）的相反数是（       ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】 解：的相反数是2， 故选D． 4．（25-26学年七上·河南许昌第一中学·期中）的相反数是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是改变其符号后的数. 【详解】 解：的相反数是. 故选：B． 5．（25-26学年七上·河南新乡·期中）　　　　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 此题考查了多重符号的化简．从内向外逐步化简即可． 【详解】 解：计算过程如下： 故答案为：7 6．（25-26学年七上·河南开封第二十七中学·期中）的相反数是　　　　　　． 【答案】 【详解】试题解析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是 考点05 绝对值 1．（25-26学年七上·河南郑州5校联考·期中）下列说法中正确的个数为（       ） ①符号不同的两个数互为相反数； ②倒数等于它本身的数是±1，任何有理数都有倒数； ③绝对值等于它本身的数是正数和0； ④所有的有理数都能用数轴上的点表示． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【分析】 根据相反数、绝对值、倒数、数轴的知识点判断即可． 【详解】 解：① 只有符号不同的两个数互为相反数，故错误； ②0没有倒数，故错误； ③ 绝对值等于它本身的数是非负数，即正数和0；正确； ④ 所有有理数都能用数轴上的点表示，正确； 故选：B． 【点睛】 本题考查相反数、绝对值、倒数、数轴的意义，掌握相反数、绝对值、倒数、数轴相关知识点是解题关键． 2．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）对于，下列说法错误的是（       ） A. 等于的相反数 B. 表示的绝对值 C. 等于 D. 等于 【答案】C 【分析】 本题考查了绝对值和相反数，掌握以上知识点是解决本题的关键． 先去绝对值，再根据绝对值和相反数的定义进行判断即可． 【详解】 解：∵， A：的相反数为3，与相等，该选项正确，不符合题意； B：直接表示的绝对值，该选项正确，不符合题意； C：，该选项错误，符合题意； D：，该选项正确，不符合题意． 故选C． 3．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）下列各组数中，互为相反数的是（       ） A. 与 B. 与2 C. 与 D. 与 【答案】D 【分析】 根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】 解：A、与不互为相反数，不符合题意； B、与2不互为相反数，不符合题意； C、与不互为相反数，不符合题意； D、与互为相反数，符合题意； 故选D． 【点睛】 本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 4．（25-26学年七上·河南省实验中学·期中）下列各组数中互为相反数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 5与 【答案】C 【分析】 本题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键； 利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出即可． 【详解】 A．与绝对值不同，不满足相反数定义，不是互为相反数，故本选项不符合题意；． B．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； C．，与只有符号不同 ，满足相反数定义，所以与互为相反数，故本选项符合题意； D．，这两个数相等，不是互为相反数，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（25-26学年七上·河南郑州第十九初级中学·期中）的绝对值是（     ） A. 2025 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】 解：的绝对值是2025， 故选：A． 6．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）如图，数轴上的三点所表示的数分别为．如果，那么该数轴的原点的位置应该在（    ） A. 点A的左边 B. 点A与点B之间 C. 点B与点C之间 D. 点C的右边 【答案】C 【分析】 本题考查了绝对值的意义，掌握“绝对值表示数轴上一个点与原点的距离” 是解题关键． 【详解】 解∶∵ ∴点A到原点的距离最大，点C其次，点B最小． 又∵ ∴原点O的位置是在点B、C之间且靠近点B的地方． 故选： C． 7．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）若数轴上分别表示m和的两点之间的距离是24，则m的值为（　　） A. 22 B. 26 C. -26或22 D. -22或26 【答案】C 【分析】 根据题意得到，去掉绝对值即可求解． 【详解】 根据题意，得， 即或， 解得：或， 故选：C． 【点睛】 本题考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义的知识，根据题意得到，是解答本题的关键． 8．（25-26学年七上·河南郑州第七十三中学·期中）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（       ） A. 1 B. 2 C. －1 D. －2 【答案】D 【分析】根据题意求出a、b、c、d、e的值，再代入代数式求值即可. 【详解】a是最小的正整数，a=1； b是绝对值最小的数，b=0； c是相反数等于它本身的数，c=0； d是到原点的距离等于2的负数，d=-2； e是最大的负整数，e=-1； a+b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2 故选D 【点睛】本题考查了有理数中一些特殊的数，熟练掌握这是特殊的数是解题的关键. 9．（25-26学年七上·河南许昌第一中学·期中）如果，则的值为　　　　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 根据绝对值与平方的非负性可计算出a和b的值，再相加计算即可； 【详解】 解：∵ ∴=0，=0 ∴a=-1，b=2 ∴=1 【点睛】 本题考查了绝对值性质，掌握其非负性是解题的关键． 考点06 有理数的大小比较 1．（25-26学年七上·河南郑州七中·期中）在，，0，2四个有理数中，最小的数是（       ） A.  B.  C. 0 D. 2 【答案】B 【分析】 本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”判断；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论． 按照有理数的大小比较法则进行比较即可． 【详解】 解：根据有理数的大小比较法则可知： ， 故选：． 2．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）若，则在数轴上表示数的点可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据有理数的大小在数轴上表示即可． 【详解】 解：由题意知，在数轴上表示数的点可能是， ， 故选：D． 【点睛】 本题考查了利用数轴比较有理数的大小．解题的关键是掌握数轴上点表示数． 3．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）如图，数轴上雪容融所在点表示的数可能为（       ） A. 3 B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 直接利用数轴得出结果即可． 【详解】 解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为， 故选：C． 【点睛】 本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 4．（25-26学年七上·河南郑州·期中）下列各数中，最小的数是（       ） A. 1 B.  C.  D. 0 【答案】C 【分析】 本题考查了有理数的大小比较，负数小于0，0小于正数，两个负数的绝对值越大的负数越小，即可作答． 【详解】 解：， ∴最小的数是， 故选：C． 5．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　3．(填“”或“”)． 【答案】 【分析】 本题考查了比较两个数的大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键． 根据正数大于负数即可求解． 【详解】 解：根据题意得：， 故答案为：． 6．（25-26学年七上·河南新乡·期中）写一个比大的数　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了有理数比较大小．根据有理数比较大小的方法即可求解． 【详解】 解：． 故答案为：0（答案不唯一）． 7．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）写一个数，使，　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】1（答案不唯一，只要是正数即可） 【分析】 本题考查相反数的性质，解题的关键是根据相反数的大小关系确定数的正负性． 根据相反数的定义，分析时的取值特征，进而找出符合条件的数． 【详解】 解：根据相反数的定义，的相反数是 若，则说明是正数（因为正数的相反数是负数，负数小于正数）， 所以只要取一个正数即可，例如． 故答案为：1（答案不唯一，只要是正数即可）． 8．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）比较大小：﹣2　　　　　　﹣3． 【答案】＞ 【详解】 解：两个负数比较，绝对值较大的数反而小， 因为｜－2｜＜｜－3｜， 所以，－2＞－3， 故答案为：＞． 9．（25-26学年七上·河南南阳·期中）写出一个小于1的整数：　　　　　　． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】 题目主要考查比较有理数的大小，理解题意是解题关键． 小于1的整数包括零和所有负整数，从这些整数中任取一个即可． 【详解】 解：整数包括正整数、零和负整数， ∴小于1的整数有 …， 故答案为：0（答案不唯一）． 10．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）善于反思的小文在学习了有理数及其运算后，进行了如下总结与反思．请你仔细阅读并补全小文的探究过程． 【典例再现】 （1）填空：__________，__________；__________，__________； 【总结归纳】 （2）观察上述题目，发现结论：互为相反数的两个数的绝对值__________，平方__________； 【知识应用】 （3）已知，，则__________，__________；若，则__________，__________． 【答案】（1）2，2，9，9（2）相等，相等（3） 【分析】 本题考查了绝对值、平方、相反数，有理数大小比较，解题的关键是读懂材料信息，利用分类讨论的思想进行求解． （1）根据绝对值的运算性质即可判断； （2）根据绝对值、平方、相反数的运算规律，观察得出相应结论； （3）先求出，，再由，得到，，即可求解． 【详解】 解：，；，； 故答案为：2，2，9，9． （2）观察上述题目，发现结论：互为相反数的两个数的绝对值相等，平方相等； 故答案为：相等，相等． （3）∵，， ∴，， ∵， ∴，； 故答案为：． 11．（25-26学年七上·河南漯河实验中学·期中）比较大小：　　　　　　　　　　． 【答案】< 【分析】 本题考查了有理数比较大小，求一个数的绝对值．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：<． 12．（25-26学年七上·河南郑州5校联考·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 本题考查有理数比较大小，掌握相关知识是解决问题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此解答即可． 【详解】 解： ， ． 故答案为：． 13．（25-26学年七上·河南开封河南大学附属中学·期中）（1）在数轴上画出，，，； （2）用“<”号将它们连接起来． 【答案】（1） 如图，      （2）      【分析】 本题考查了有理数在数轴上的表示，化简绝对值，多重符号的化简，关键在于熟练掌握其化简方法． （1）先根据绝对值的意义得出，去括号得出，再在数轴上表示出各数即可； （2）根据当正方向朝右的数轴上右边的数总比左边的数大，即可求解． (1) 小问详解： 解：， (2) 小问详解： 解：排列如下： ． 14．（25-26学年七上·河南濮阳·期中）在数轴上表示下列各数，，，，并用“”将它们连接起来． 【答案】如图所示 【分析】 本题考查了求相反数，求绝对值，在数轴上表示有理数并比较大小． 先化简多重符号，求绝对值，再在数轴上表示有理数，最后比较大小即可． 【详解】 解：，， 用“”将它们连接起来为： 15．（25-26学年七上·河南郑州第十九初级中学·期中）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“”将它们连接起来． ． 【答案】数轴见图， 【分析】 本题考查了利用数轴比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数，右边的数始终大于左边的数．先在数轴上表示出各个数，再根据数轴上的点表示的数的大小规律即可得到结果． 【详解】 解：在数轴上表示出各个数如图所示， 由数轴可知，． 16．（25-26学年七上·河南郑州九校联考·期中）比较大小：　　　　　　　　　　　（填“”或“”） 【答案】> 【分析】 本题考查了有理数的大小比较，掌握两个负数的大小比较是解题的关键，根据两个负数的大小比较：负数绝对值大的反而小即可得. 【详解】 ∵，， ，； ∵ ， ∴ ， 即， 又∵ 两个数均为负数， ∴． 故答案为：. 17．（25-26学年七上·河南郑州高新区·期中）把数在数轴上表示出来，然后用“”把它们连接起来． 【答案】解：在数轴上表示如图， 【分析】 本题考查了有理数的大小比较和用数轴上的点表示有理数，能在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 【详解】 18．（25-26学年七上·河南新乡第十中学·期中）请在数轴上表示下列各数，并按照从大到小的顺序将这些数用“>”号连接起来． ，，，， 【答案】表示各数在数轴上如图， 【分析】 本题主要考查了数轴、绝对值、相反数以及有理数的大小比较，熟练掌握数轴上数的大小规律和绝对值、相反数的化简是解题的关键． 先分别化简各数，再将这些数在数轴上表示出来，最后根据数轴上数的大小规律（右边的数大于左边的数）进行排序． 【详解】 解：，，，， ． 19．（25-26学年七上·河南鹤壁·期中）已知四个数满足，则之间的大小关系是　　　　　　　　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】 解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 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