专题06 因式分解、分式与二次根式（期中真题汇编，广西专用）八年级数学上学期

专题06 因式分解、分式与二次根式 10大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点03 从分数到分式 考点04 分式的基本性质 考点05 分式的加法与减法 考点06 整数指数幂 考点07 分式方程 考点08 二次根式及其性质 考点09 二次根式的乘法与除法 考点10 二次根式的加法与减法 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）多项式的公因式是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若，，则的值为（　　） A.  B.  C. 2 D.  4．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）分解因式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）分解因式：　　　　　　　　　． 10．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）若，则______； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）(       ) A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）因式分解：　　　　　 3．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）当　　　　　　　时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解． 4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）因式分解： （1）； （2）． 5．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方公式，再减去，确保整个式子的值不变，于是有，像这样，先添加一个适当项，使式子出现完全平方公式，再减去这个项，令整个式子的值不变的方法称为配方法．请利用配方法解决下列问题． （1）因式分解：； （2）求二次三项式的最小值； （3）已知是实数，现有代数式和代数式，当，，求与的最值的和． 6．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）因式分解： （1）； （2）． 考点03 从分数到分式 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）已知，则=（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）下列式子中属于分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）如果分式的值为0，那么的值为（       ） A. 0 B. 1 C.  D.  4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若分式的值为0，则实数x的值是　　　　　　　． 5．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）已知，那么的值是　　　　　． 考点04 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为　　　　　　　． 考点05 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）化简的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若，则计算的结果等于（       ） A. 1 B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（     ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 4．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（     ） A.  B. 0 C.  D. 1 5．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）若，则常数和的值分别是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）先化简，再求值：，其中． 7．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）下面是嘉嘉和琪琪的对话．嘉嘉：“我能正确地化简分式．”琪琪：“我给x取一个值，使你化简分式后所得代数式的值大于0．”根据对话内容，琪琪给x取的值可以是　　　　　　．（写出符合要求的一个实数即可） 8．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） （1）“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量               ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量               ． （2）哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 考点06 整数指数幂 1．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）某材料实验室合成了一种新型纳米催化粒子，其直径经测量约为0.000000105米，数据0.000000105用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）计算：　　　　　　　． 考点07 分式方程 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若分式方程无解，则整数m的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 或1 2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）解方程： （1） （2） 4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元．已知每套型号的“文房四宝”的价格比每套型号的“文房四宝”的价格高30%，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整． 型号 总价/元 价格（元/套） 购买套数 3000 （2）请你完整解答本题． 型号 总价/元 价格（元/套） 购买套数 3000 5．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）关于x的方程无解，则m的值是　　　　　　　　． 6．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． （1）1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ （2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； （3）在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 7．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）（1）计算： （2）解分式方程： 考点08 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）已知实数a在数轴上的位置如图，则化简的结果为　　 A.  B. 1 C.  D.  3．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）若是二次根式，则的值不能为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）阅读理解：三位同学在研究无理数时有以下发现： 同学 研究成果 小红 ①任意一个有理数与无理数的和为无理数；②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；③零与无理数的积为零 小蓝 若，其中、为有理数，为无理数，则且．例如：若，其中、为有理数，则且． 小张 根据小红、小蓝的研究成果，成功解决了以下题目：已知，其中、为有理数，求、的值．分析：通过变形，得．因为、为有理数，所以可列方程组为               ，解得               ． 运用上述知识解决下列问题： （1）已知，其中，为有理数，则               ，               ； （2）在小张的研究成果中，可列方程组为               ，并解方程； （3）已知，其中，为有理数，求的值． 考点09 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  考点10 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）计算：　　　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）　　　； （2）化简：； （3）若， ①求的值； ②求的值． 4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）计算： （1） （2）． 5．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）计算： （1）； （2）． 6．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）计算： （1）； （2）． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因式分解、分式与二次根式 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点03 从分数到分式 考点04 分式的基本性质 考点05 分式的加法与减法 考点06 整数指数幂 考点07 分式方程 考点08 二次根式及其性质 考点09 二次根式的乘法与除法 考点10 二次根式的加法与减法 考点01 用提公因式法分解因式 1．B 2．B 3．D 4．C 5．A 6．A 7．A 8．【答案】 【分析】 本题考查因式分解，掌握提取公因式法是解决问题的关键，用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9．【答案】 【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止； 解：原式=； 10．【答案】（1）6     （2），      【分析】 本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键． （1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可； （2）仿照示范的例子解答即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． (2) 小问详解： 解：设另一个因式为， 则， ∴ ， 解得：，， ∴另一个因式是． 考点02 用公式法分解因式 1．C 2．【答案】 【分析】 a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】 3．【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键． 多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】 完全平方公式的形式为， 多项式需与该形式匹配， ， 解得， 代入一次项系数关系，得或； 当时，多项式为，符合题意； 当时，多项式为，符合题意； 故答案是：． 4．【答案】（1）     （2）      (1) 小问详解： 解：． (2) 小问详解： 解：． 5．【答案】（1）     （2）的最小值为     （3）与的最值的和为      【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给配方法得到，然后根据偶次幂的非负性可进行求解； （3）由题意易得，，然后同理（2）可求最值，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ， ， ， 因此的最小值为； (3) 小问详解： 解：当，时， 则， ， 最小值为， 最大值为， ； 因此，与的最值的和为． 6．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式法因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式法因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 考点03 从分数到分式 1．D 2．B 3．B 4．【答案】1 【分析】 本题考查分式的值为0的条件，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：且， 解得； 故答案为：1． 5．【答案】 【分析】 本题利用分式的基本性质，分子分母都除以，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把换成1计算即可． 【详解】 解：分式的分子分母都除以，得 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 考点04 分式的基本性质 1．【答案】 【分析】 本题考查了分式的基本性质，当和同时扩大为原来的倍时，设，，然后代入即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】 解：设，，则新分式为 ， 故答案为：． 考点05 分式的加法与减法 1．A 2．C 3．C 4．A 5．D 6．【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，先利用分式的混合运算法则进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】 解：原式 ， 当时，原式． 7．【答案】1（答案不唯一） 【分析】 本题考查了分式的化简，分式有意义的条件，解不等式，熟练掌握分式的化简，解不等式是解题的关键． 首先化简分式 ，得到简化形式 ，然后根据题意可知，得的取值范围，同时考虑原分式分母不为零，即和，确定在范围内的一个数即可． 【详解】 解： ， 由题意可知，， 解得， 又∵且， s，， 综上所述，且， 故答案为：1（答案不唯一）． 8．【答案】（1），     （2）“丰收2号”小麦的单位面积产量高， 理由：，        ，        由图丙可得        .        所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高.      【分析】 本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． (1) 小问详解： 解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为      故答案为：，； (2) 小问详解： 略 考点06 整数指数幂 1．C 2．【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算是解题的关键． 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】 解：原式； 故答案是：． 考点07 分式方程 1．D 2．C 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）根据分式方程的解题步骤解答即可； （2）根据分式方程的解题步骤解答即可； (1) 小问详解： 解： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． (2) 小问详解： 解：， ， 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程的解为． 4．【答案】（1），，      （2） 解：由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每套型号的“文房四宝”的价格为元．      【分析】 （1）由题意分别计算或列代数式即可； （2）根据购买，两种型号“文房四宝”共套，列出分式方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，型号的“文房四宝”花费为（元）， 型号的“文房四宝”的单价为元，购买套数为套， 填表如图： 故答案为：． 型号 总价/元 价格（元/套） 购买套数 3000 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．【答案】0 【分析】 本题考查了分式方程无解问题．先将分式方程去分母化成整式方程，由原方程无解得，再将代入整式方程中即可求出m的值． 弄清楚分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】 将原方程去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得． ∵原方程无解， ∴， 解得， ， 解得， 故答案为：0． 6．【答案】（1）台型机器人每小时分拣垃圾吨，台型机器人每小时分拣垃圾吨；     （2）；     （3）购买型台，型台．      【分析】 本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨，依题意得，然后解方程并检验即可； （）依题意得，然后用含的代数式表示即可； （）依题意得，整理得，联立 ，然后解方程组即可． (1) 小问详解： 解：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨， 依题意得：， 解得：， 经检验得是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 答：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则1台型机器人每小时分拣垃圾吨； (2) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：； (3) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：， 由（）得， 联立 ， 解得： ， 答：购买型台，型台． 7．【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了分式化简和解分式方程，准确计算是解题的关键． （1）利用分式的基本性质进行化简即可； （2）先去分母化成整式方程，求出，进行验算，最终得解； 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：方程两边都乘，得： ， 解得：， 检验：当时，最简公分母； 是原分式方程的解． 考点08 二次根式及其性质 1．C 2．D 3．D 4．【答案】（1）0，4     （2） ，     （3）或      【分析】 本题考查了实数的分类，二次根式的乘法，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． （1）利用实数的性质得到且，从而可求出a、b； （2）利用实数的性质得到方程组 ，然后解方程组即可； （3）先整理得到，再利用实数的性质得到且，然后解方程组求出m、n，从而得到的值． (1) 小问详解： 解：∵，其中a，b为有理数， ∴且， ∴； 故答案为：0；； (2) 小问详解： 解：． ∵a、b为有理数， ∴可列方程组 ， 解得 ； 故答案为： ， ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵m，n为有理数， ∴且， 解得或，， 或 考点09 二次根式的乘法与除法 1．B 2．D 考点10 二次根式的加法与减法 1．B 2．【答案】 【分析】 本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 3．【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴， ∴； ② ∵， ∴ ． 4．【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）根据二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算解答即可． （2）根据负整数指数幂公式，二次根式的乘方，绝对值，计算即可． 本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算，负整数指数幂公式，二次根式的乘方，绝对值，熟练掌握性质和公式是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 5．【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的四则混合计算，实数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先算乘除法，再计算加减法． （2）先求出算术平方根和立方根，化简绝对值，最后再计算加减法． (1) 小问详解： 解： ; (2) 小问详解： 解： ． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别化简，再合并即可； （2）先分母有理化，再去括号，最后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因式分解、分式与二次根式 10大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点03 从分数到分式 考点04 分式的基本性质 考点05 分式的加法与减法 考点06 整数指数幂 考点07 分式方程 考点08 二次根式及其性质 考点09 二次根式的乘法与除法 考点10 二次根式的加法与减法 考点01 用提公因式法分解因式 1．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）多项式的公因式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项中都含有的公因式． 通过提取多项式中各项的公共因子，确定公因式．公因式是指多项式中各项都含有的因式． 【详解】 ∵ ， ， ∴ 公因式为 ． 故选B． 2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】 解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若，，则的值为（　　） A.  B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】 解：∵，， ∴ ． 故选：D． 4．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，准确分析判断是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式的积的形式． 【详解】 解：因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式， 选项：左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； 选项：右边有加1，不是积的形式，不是因式分解； 选项：左边是多项式，右边是，是积的形式，符合因式分解； 选项：左边是积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解． 故选． 5．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）下列从左边到右边的式子变形中，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项是否满足从左边的多项式变形为右边的积形式． 【详解】 ∵因式分解要求等式左边是多项式，右边是整式的积； A中，左边是多项式，右边是整式积的形式，符合定义； B中，，不是因式分解； C中，左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； D中，左边是多项式，但右边是和的形式，不是积的形式，不符合定义； 故选：A． 6．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】 解： ，左边是多项式，右边是整式的积，选项A符合因式分解定义． ，左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，选项B不符合因式分解定义． ，左边是单项式，不是多项式，选项C不符合因式分解定义． ，右边不是积的形式，选项D不符合因式分解定义． 故选：A． 7．（25-26学年八上·广西南宁第十四中学·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查因式分解的定义，根据因式分解的定义(将多项式化为几个整式的积的形式)判断各选项． 【详解】 解：因式分解必须满足：左边是多项式，右边是几个整式的积； A.，右边为两个整式的积，且等式成立，属于因式分解，符合题意． B.，右边为和的形式，不是积，不属于因式分解，不符合题意． C.，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． D.，运算错误，应为，不符合题意． 故选：A． 8．（25-26学年八上·广西南宁第二十六中学·期中）分解因式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查因式分解，掌握提取公因式法是解决问题的关键，用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 9．（25-26学年八上·广西南宁第三中学·期中）分解因式：　　　　　　　　　． 【答案】 【详解】此题考查因式分解知识点，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法进行分解，要分解到不能再分解为止； 解：原式=； 10．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： （1）若，则______； （2）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】（1）6     （2），      【分析】 本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键． （1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可； （2）仿照示范的例子解答即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． (2) 小问详解： 解：设另一个因式为， 则， ∴ ， 解得：，， ∴另一个因式是． 考点02 用公式法分解因式 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】 解：原式； 故选C． 2．（25-26学年八上·广西壮族自治区南宁青秀区第二中学·期中）因式分解：　　　　　 【答案】 【分析】 a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】 解：a2-9=（a+3）（a-3）， 故答案为：（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 【详解】 3．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）当　　　　　　　时，多项式能利用完全平方公式进行因式分解． 【答案】 【分析】 本题主要考查了因式分解的公式法的应用，准确分析判断是解题的关键． 多项式能利用完全平方公式分解时，需满足常数项为平方数，且一次项系数为平方根的二倍，根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】 完全平方公式的形式为， 多项式需与该形式匹配， ， 解得， 代入一次项系数关系，得或； 当时，多项式为，符合题意； 当时，多项式为，符合题意； 故答案是：． 4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      (1) 小问详解： 解：． (2) 小问详解： 解：． 5．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先添加一项，使它与的和成为一个完全平方公式，再减去，确保整个式子的值不变，于是有，像这样，先添加一个适当项，使式子出现完全平方公式，再减去这个项，令整个式子的值不变的方法称为配方法．请利用配方法解决下列问题． （1）因式分解：； （2）求二次三项式的最小值； （3）已知是实数，现有代数式和代数式，当，，求与的最值的和． 【答案】（1）     （2）的最小值为     （3）与的最值的和为      【分析】 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键； （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给配方法得到，然后根据偶次幂的非负性可进行求解； （3）由题意易得，，然后同理（2）可求最值，进而问题可求解． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ， ， ， 因此的最小值为； (3) 小问详解： 解：当，时， 则， ， 最小值为， 最大值为， ； 因此，与的最值的和为． 6．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式法因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式法因式分解即可． (1) 小问详解： 解：原式 ； (2) 小问详解： 解：原式 ． 考点03 从分数到分式 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）已知，则=（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了分式的化简，首先根据，交叉相乘可得：，通过移项、合并同类项，可得：，再把等式的两边同时除以即可得到． 【详解】 解：， ， 移项得：， 合并同类项得：， 可得：． 故选：D． 2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）下列式子中属于分式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了分式的定义，熟练掌握形如（其中，为整式，且分母中含有字母）的式子叫做分式是解题的关键． 根据分式的定义逐项判断即可． 【详解】 分式需满足分母中含有字母； 选项：分母为，是常数，无字母； 选项：分母为，含有字母和； 选项：分母为，是常数，无字母； 选项：和的分母均为常数，无字母； 故选． 3．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）如果分式的值为0，那么的值为（       ） A. 0 B. 1 C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键． 直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案． 【详解】 解：∵分式的值为0， 且， 解得：． 故选：B． 4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若分式的值为0，则实数x的值是　　　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查分式的值为0的条件，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：且， 解得； 故答案为：1． 5．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）已知，那么的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题利用分式的基本性质，分子分母都除以，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把换成1计算即可． 【详解】 解：分式的分子分母都除以，得 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 考点04 分式的基本性质 1．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）若分式，、同时扩大为原来的倍，则分式的值为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的基本性质，当和同时扩大为原来的倍时，设，，然后代入即可求解，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】 解：设，，则新分式为 ， 故答案为：． 考点05 分式的加法与减法 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）化简的结果是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了分式的减法，掌握异分母分式加减法的运算法则是解题关键．先将分母变为相同，再进行减法，然后利用平方差公式约分化简即可． 【详解】 解： ， 故选：A． 2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若，则计算的结果等于（       ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 通过分式的乘方、乘除运算法则化简代数式，再结合已知条件求值即可． 【详解】 解：原式， ， ， ， ，  原式． 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式的乘方、乘除运算，熟练掌握分式乘方、除法变乘法、约分的法则是解题的关键． 3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（     ） A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨 【答案】C 【分析】 本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】 解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水：吨， 故选C． 4．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（     ） A.  B. 0 C.  D. 1 【答案】A 【分析】 此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】 解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 5．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）若，则常数和的值分别是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】 本题考查了分式的运算，解二元一次方程组，将方程左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，然后解方程组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴分子相等， ∴ ，解得 ， 故选：． 6．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】 本题考查了分式的化简求值，先利用分式的混合运算法则进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】 解：原式 ， 当时，原式． 7．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）下面是嘉嘉和琪琪的对话．嘉嘉：“我能正确地化简分式．”琪琪：“我给x取一个值，使你化简分式后所得代数式的值大于0．”根据对话内容，琪琪给x取的值可以是　　　　　　．（写出符合要求的一个实数即可） 【答案】1（答案不唯一） 【分析】 本题考查了分式的化简，分式有意义的条件，解不等式，熟练掌握分式的化简，解不等式是解题的关键． 首先化简分式 ，得到简化形式 ，然后根据题意可知，得的取值范围，同时考虑原分式分母不为零，即和，确定在范围内的一个数即可． 【详解】 解： ， 由题意可知，， 解得， 又∵且， s，， 综上所述，且， 故答案为：1（答案不唯一）． 8．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为的正方形（图甲）去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形（图乙），两块试验田都收获了小麦．（两块试验田的面积之间关系为图丙） （1）“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量               ，“丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量               ． （2）哪种小麦的单位面积产量高？并说明理由． 【答案】（1），     （2）“丰收2号”小麦的单位面积产量高， 理由：，        ，        由图丙可得        .        所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高.      【分析】 本题主要考查分式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出分式． （1）根据题意可以求得两块试验田的面积，从而可以求得哪种小麦的单位面积产量； （2）根据解析（1）得出结果，先比较与的大小，再得出分式的大小即可． (1) 小问详解： 解：“丰收1号”小麦的试验田的单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田的单位面积产量为      故答案为：，； (2) 小问详解： 略 考点06 整数指数幂 1．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）某材料实验室合成了一种新型纳米催化粒子，其直径经测量约为0.000000105米，数据0.000000105用科学记数法表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法要求将数字写成的形式，其中 ，为整数． 对于给定数字，需确定小数点移动的位数以得到正确的指数，即可得解． 【详解】 解：，即将小数点向右移动7位得到， 用科学记数法表示为． 故选：． 2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）计算：　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算是解题的关键． 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】 解：原式； 故答案是：． 考点07 分式方程 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若分式方程无解，则整数m的值为（       ） A.  B. 1 C.  D. 或1 【答案】D 【分析】 本题主要考查了解分式方程，根据方程无解求参数，解题的关键是掌握分式无解的情况． 对分式方程进行求解整理，然后根据分式无解的情况进行求参数即可． 【详解】 解： 当时，方程无解，此时，； 当时，即时，方程无解，此时； 故选：D． 2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了分式方程的应用，设该车间有名工人，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】 解：设该车间有名工人，依题意得： ， 故选：C． 3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解题步骤是解题的关键． （1）根据分式方程的解题步骤解答即可； （2）根据分式方程的解题步骤解答即可； (1) 小问详解： 解： ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． (2) 小问详解： 解：， ， 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程的解为． 4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，为学生购买两种型号“文房四宝”共40套，共花费4300元，其中型号的“文房四宝”花费3000元．已知每套型号的“文房四宝”的价格比每套型号的“文房四宝”的价格高30%，求每套型号的“文房四宝”的价格． （1）某学习小组用表格的形式对本问题的信息进行了梳理，请你把表格内容补充完整． 型号 总价/元 价格（元/套） 购买套数 3000 （2）请你完整解答本题． 【答案】（1），，      （2） 解：由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每套型号的“文房四宝”的价格为元．      【分析】 （1）由题意分别计算或列代数式即可； （2）根据购买，两种型号“文房四宝”共套，列出分式方程，解方程即可． (1) 小问详解： 解：由题意可知，型号的“文房四宝”花费为（元）， 型号的“文房四宝”的单价为元，购买套数为套， 填表如图： 故答案为：． 型号 总价/元 价格（元/套） 购买套数 3000 (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了分式方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 5．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）关于x的方程无解，则m的值是　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了分式方程无解问题．先将分式方程去分母化成整式方程，由原方程无解得，再将代入整式方程中即可求出m的值． 弄清楚分式方程无解的条件是解题的关键． 【详解】 将原方程去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 解得． ∵原方程无解， ∴， 解得， ， 解得， 故答案为：0． 6．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出型和型两款垃圾分拣机器人，已知型机器人比型机器人每小时多分拣吨，且型机器人分拣吨所用时间与型机器人分拣吨所用时间相等． （1）1台型机器人和1台型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？ （2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批型和型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾吨．设购买型垃圾分拣机器人台，型垃圾分拣机器人台．请用含的代数式表示； （3）在（）问中，购买型垃圾分拣机器人台用万元，购买型垃圾分拣机器人台用万元，已知型单价是型单价的，求购买型、型各多少台． 【答案】（1）台型机器人每小时分拣垃圾吨，台型机器人每小时分拣垃圾吨；     （2）；     （3）购买型台，型台．      【分析】 本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨，依题意得，然后解方程并检验即可； （）依题意得，然后用含的代数式表示即可； （）依题意得，整理得，联立 ，然后解方程组即可． (1) 小问详解： 解：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则台型机器人每小时分拣垃圾吨， 依题意得：， 解得：， 经检验得是原分式方程的解，且符合题意， 所以， 答：设台型机器人每小时分拣垃圾吨，则1台型机器人每小时分拣垃圾吨； (2) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：； (3) 小问详解： 解：依题意得：， 整理得：， 由（）得， 联立 ， 解得： ， 答：购买型台，型台． 7．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）（1）计算： （2）解分式方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】 本题主要考查了分式化简和解分式方程，准确计算是解题的关键． （1）利用分式的基本性质进行化简即可； （2）先去分母化成整式方程，求出，进行验算，最终得解； 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解：方程两边都乘，得： ， 解得：， 检验：当时，最简公分母； 是原分式方程的解． 考点08 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）若二次根式有意义，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次根式被开方数必须是非负数列不等式求解即可． 【详解】 解：∵二次根式有意义的条件是被开方数， ∴本题中二次根式满足， 解不等式，得． 2．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）已知实数a在数轴上的位置如图，则化简的结果为　　 A.  B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a及的符号，再把代数式进行化简即可． 【详解】解：由图可知，， ， 原式． 故选D． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 3．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）若是二次根式，则的值不能为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了二次根式非负性的性质，准确分析判断是解题的关键． 根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，即，判断即可． 【详解】 解：是二次根式， ， ， 不可能是； 故选． 4．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）阅读理解：三位同学在研究无理数时有以下发现： 同学 研究成果 小红 ①任意一个有理数与无理数的和为无理数；②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；③零与无理数的积为零 小蓝 若，其中、为有理数，为无理数，则且．例如：若，其中、为有理数，则且． 小张 根据小红、小蓝的研究成果，成功解决了以下题目：已知，其中、为有理数，求、的值．分析：通过变形，得．因为、为有理数，所以可列方程组为               ，解得               ． 运用上述知识解决下列问题： （1）已知，其中，为有理数，则               ，               ； （2）在小张的研究成果中，可列方程组为               ，并解方程； （3）已知，其中，为有理数，求的值． 【答案】（1）0，4     （2） ，     （3）或      【分析】 本题考查了实数的分类，二次根式的乘法，解二元一次方程组，理解题意是解题的关键． （1）利用实数的性质得到且，从而可求出a、b； （2）利用实数的性质得到方程组 ，然后解方程组即可； （3）先整理得到，再利用实数的性质得到且，然后解方程组求出m、n，从而得到的值． (1) 小问详解： 解：∵，其中a，b为有理数， ∴且， ∴； 故答案为：0；； (2) 小问详解： 解：． ∵a、b为有理数， ∴可列方程组 ， 解得 ； 故答案为： ， ； (3) 小问详解： 解：∵， ∴， ∵m，n为有理数， ∴且， 解得或，， 或 考点09 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）估计的值应在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【分析】 本题考查了二次根式的计算，以及无理数的估算，解决本题的关键是计算出的范围． 直接利用二次根式的性质化简，进行估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】 解：， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴的值应在5和6之间 ． 故选：B ． 2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】 解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 考点10 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）如图，长方形的宽为，长为，现从该长方形中剪下一个最大的正方形，剩余阴影部分（仍为长方形）的周长用最简二次根式表示为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意可求出剪下一个最大的正方形的边长为，则可得到剩余阴影部分长方形的宽为，长为，即可求解． 【详解】 解：长方形的宽为，长为， ∴剪下一个最大的正方形的边长为， ∴剩余阴影部分长方形的宽为，长为， ∴剩余阴影部分（仍为长方形）的周长为：， 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次根式的应用，二次根式的加减运算和最简二次根式，掌握二次根式的计算方法是解题的关键． 2．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）计算：　　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】 解：． 故答案为：． 3．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： （1）　　　； （2）化简：； （3）若， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）①；②      【分析】 本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． (1) 小问详解： 解：， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：原式 ； (3) 小问详解： 解：① ∵， ∴， ∴， ∴； ② ∵， ∴ ． 4．（25-26学年八上·广西贵港港南区·期中）计算： （1） （2）． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）根据二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算解答即可． （2）根据负整数指数幂公式，二次根式的乘方，绝对值，计算即可． 本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的加减混合运算，负整数指数幂公式，二次根式的乘方，绝对值，熟练掌握性质和公式是解题的关键． (1) 小问详解： 解： ． (2) 小问详解： 解： ． 5．（25-26学年八上·广西南宁经济开发区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9     （2）      【分析】 本题主要考查了有理数的四则混合计算，实数的混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先算乘除法，再计算加减法． （2）先求出算术平方根和立方根，化简绝对值，最后再计算加减法． (1) 小问详解： 解： ; (2) 小问详解： 解： ． 6．（25-26学年八上·广西自治区来宾·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先分别化简，再合并即可； （2）先分母有理化，再去括号，最后合并即可． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $