16.2 整式的乘法 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十六章 整式的乘法 · 16.2 整式的乘法（导学案） 第十六章 整式的乘法 16.2 整式的乘法 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十六章 整式的乘法 · 第 2 节 · 5 课时 · 教材 P103—P111 上一节把幂的三种运算讲完了：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方。这一节把幂的运算用起来，让两个整式相乘。整式只有两类——单项式与多项式，于是相乘也就只有三种情况：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。三种情况一个比一个复杂，可每一次都是把复杂的换成简单的：多项式乘多项式，先换成单项式乘多项式；单项式乘多项式，再换成单项式乘单项式；到了单项式乘单项式，就只剩系数相乘与同底数幂相乘两件旧事。 本节共 5 课时。前 3 课时一路做乘法，从最简的一步走到最繁的一步；后 2 课时调过头来，把除法看成乘法的逆运算——先用同底数幂的乘法推出同底数幂的除法，再依次解决单项式相除与多项式除以单项式。所有法则都建在两件旧工具上：乘法交换律、结合律、分配律，以及同底数幂的乘与除。算完除法，还能用乘法回头验一验。 学习目标 1. 会由乘法交换律与结合律，把两个单项式相乘换成"系数相乘、同底数幂分别相乘"；记住只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式。 2. 会算单项式乘单项式，遇到分数系数、字母带指数、负号这些情形都不出错，并能说明每一步的依据。 3. 会用乘法分配律把单项式乘多项式展开成若干个单项式乘单项式，做到不漏项、不错号，会合并同类项化到最简。 4. 会算多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；知道合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积，可以用它来查漏。 5. 掌握同底数幂的除法性质： ÷ = （a ≠ 0，m、n 都是正整数，m > n）；会让 m = n，由此得到零指数幂 = 1（a ≠ 0）。 6. 会算单项式除以单项式（系数与同底数幂分别相除），也会算多项式除以单项式（每一项分别除，再把所得的商相加）。 7. 会借助面积分割图说明乘法法则为什么成立，体会数形结合与转化思想。 8. 会用"商 × 除式 = 被除式"检验整式的除法，养成算完回头验一验的习惯。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式三个乘法法则的得出与运用；同底数幂的除法性质与零指数幂；单项式除以单项式、多项式除以单项式两个除法法则的运用 学习难点 第一，系数与同底数幂要分开处理，系数相乘时别把指数也带上，指数相加时别把系数也乘进去；第二，单项式乘多项式最容易漏项，尤其是最后一项是常数或负项的时候，用单项式去乘多项式里的每一项，一项也不能少；第三，多项式乘多项式容易漏乘、重乘，展开前先用"项数之积"估一估一共有多少项，合并同类项之后再检查一遍；第四，同底数幂相除的条件 a ≠ 0、m > n 不能丢，零指数幂 = 1 里的 a 同样不能为 0；第五，多项式除以单项式要逐项除，被除式有几项商就有几项，别把最后一项落下 课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　单项式乘单项式 P103—P104 由"光速乘时间"的问题把数字换成字母，得出单项式乘单项式的法则：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式；课本 P103 引言与例 1，课本 P104 练习 第 1—4 题 ○ 第 2 课时　单项式乘多项式 P104—P106 用面积分割图看出 p(a + b + c) = pa + pb + pc，得出单项式乘多项式的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；课本 P105 例 2，课本 P106 练习 第 1—4 题 ○ 第 3 课时　多项式乘多项式 P106—P107 由面积分割图得 (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq，得出多项式乘多项式的法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；并发现 (x + p)(x + q) = + (p + q)x + pq；课本 P106 例 3，课本 P107 练习 第 1—3 题 ○ 第 4 课时　同底数幂的除法 P108 把同底数幂的乘法反过来用，推出 ÷ = （a ≠ 0，m、n 都是正整数，m > n）；再让 m = n，得零指数幂 = 1（a ≠ 0）；课本 P108 引言与例 4，课本 P109 练习 第 1 题 ○ 第 5 课时　整式的除法 P108—P109 单项式相除：系数与同底数幂分别相除作为商的因式，只在被除式里含有的字母连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加；课本 P109 例 5，课本 P109 练习 第 2、3 题 ○ 本节五件事（如图 1）：前三件都是乘法，从最简的一步走到最繁的一步；后两件是除法，先把同底数幂的除法解决掉，再解决整式的除法。 图 1 本节五件事：三个乘法加两个除法 起跑热身 1. 填空： · b = ______； · = ______； = ______； = ______。 2. 填空：乘法分配律用字母写出来是 m(a + b + c) = ______。 3. 填空：3 × 5 = 15，所以 15 ÷ 3 = ______；这里用到的是除法与乘法之间的什么关系？______。 4. 计算：(3 × ) × (5 × ) = ______（结果写成科学记数法）。 5. 一个长方形的长是 p，宽是 a + b + c。按面积公式，它的面积是 ______；若把这个长方形沿宽分成三块，三块的面积分别是 pa、pb、pc，它们的和是 ______。两个结果应当相等。 6. 想一想： ÷ 的指数应当写几？如果两个幂的底数相同、指数也相同，比如 ÷ ，结果又是多少？先猜一猜，第 4 课时会给它一个说法。 我的热身答案: 【预习提醒】热身第 1 题：；；；8。第 2 题：ma + mb + mc。第 3 题：5；除法是乘法的逆运算。第 4 题：(3 × 5) × ( × ) = 15 × = 1.5 × 。第 5 题：p(a + b + c)；pa + pb + pc，两个结果相等。第 6 题：指数写 4； ÷ = 1（x 不能为 0）。这两问正是第 4 课时要讲清的：把除法看成乘法的逆运算，指数就相减；被除式与除式一模一样时，商是 1，指数相减得 0，于是就有了零指数幂。 一、第 1 课时 · 单项式与单项式相乘 整式的乘法走到最后，都归到最简单的这一步：两个单项式相乘。系数与系数相乘，同底数幂与同底数幂相乘，只在一个单项式里出现的字母原样带过去。这一课时要把这条法则从一件具体的事里推出来，再把它练熟。 推的办法是"先算数，再看字母"。数怎么算，字母就照同样的路子算——这正是把数字换成字母以后，式子反而更好看的地方。 1. 情境（课本 P103 引言）：光的速度约是 3 × 千米每秒，太阳光从太阳射到地球需要的时间约是 5 × 秒。地球与太阳的距离约是多少千米？ 列式：(3 × ) × (5 × )。式子是三个数相乘的样式，但写成了两段幂相乘。算的时候用乘法交换律与结合律，把系数归到一起、把 10 的幂归到一起。 先把数字式和字母式摆在一起看（如图 2）：上面一行是具体的数，下面一行是字母，两行的结构一模一样。 图 2 速度乘时间：数字式与字母式对照 2. 数字式先算一遍：(3 × ) × (5 × ) = (3 × 5) × ( × ) = 15 × = 1.5 × 。系数 3 与 5 相乘得 15，同底数幂 与 相乘得 ，用的是上一节的同底数幂乘法性质。所以地球与太阳的距离约是 1.5 × 千米。 3. 把数字换成字母（课本 P103）：把上式里的 3 与 5 换成字母，就成了 a · b。 第一步，用乘法交换律与结合律把同类归堆：a · b = (a · b) · ( · )。第二步，两个幂 与 底数都是 c，用同底数幂的乘法性质把指数相加： · = = 。第三步，把结果写在一起：a · b = ab。 4. 单项式与单项式相乘的法则（课本 P103 归纳）：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 把这条法则拆成三句话，做题时一句一句对上：第一句，系数相乘——各因式的系数的积作为积的系数；第二句，同底数幂相乘——底数不变，指数相加；第三句，只在一个单项式里含有的字母带着它的指数照搬进积里，不能漏。三句话走完，积仍然是一个单项式。若系数是负数，先把符号定下来，再算系数的绝对值。 5. 例题（课本 P103 例 1）：计算：(1) 3x · 2；(2) (-5b)(-3a)；(3) (-5x)；(4) 。 分析与解答：(1) 系数 3 与 2 相乘得 6，同底数幂 与 相乘得 ，字母 x 只在第一个单项式里出现，带着指数 1 照搬，所以 3x · 2 = 6x。(2) 先定符号：两个因式都是负数，积为正；系数 5 与 3 相乘得 15； 与 a 相乘得 ；b 只在第一个单项式里出现，照搬。所以 (-5b)(-3a) = 15b。(3) 先算积的乘方 = 8，再相乘：8 · (-5x) = -40。(4) 先用积的乘方把两个括号各自算出来： = 9， = ；再相乘：9 · = 9。 【解题提醒】第 (1) 小题的 x 只有一个，别当成 x 与 x 相乘写成 ；单个字母的指数是 1，只有两边都有 x 时指数才相加。第 (3) (4) 小题都先算乘方再算乘法：顺序是"先乘方，再乘除"。第 (4) 小题两个括号里都带负号，各自平方以后都是正号，所以结果为正。 我的例题解答: 6. 即时练习 1. 练习（课本 P104 练习 第 1 题）：下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？四道小题都是两个单项式相乘，请逐题检查两处——系数的积算对了没有，只在一个单项式里出现的字母漏了没有。 2. 练习（课本 P104 练习 第 2 题）：计算：(1) 3 · 5；(2) 6 · 3xy；(3) 4y · (-2x)；(4) -2a · (-3ab)。 3. 练习（课本 P104 练习 第 3 题）：计算：(1) · ；(2) - · (-a)。 4. 练习（课本 P104 练习 第 4 题）：卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙速度）约是 7.9 × 米每秒，卫星绕地球运行 1 小时飞过的路程约是多少米？（1 小时 = 60 × 60 秒。） 5. 计算：(1) · 3x；(2) · ；(3) 5b · 。 6. 填空：若单项式 2 y 与 的积为 2 ，则 a = ______，b = ______。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题：改错的两把尺子就是法则的前两句——系数只看系数的积，字母只看同底数幂的指数。第 2 题：(1) 15；(2) 18y；(3) -8x；(4) 6。第 3 题：(1) 先各自乘方得 9 与 4，再相乘得 36（也可以逆用积的乘方，把两个括号先乘起来再平方）；(2) = -， = = 36， · (-a) = 36 · (-a) = -36，所以原式 = - - (-36) = 35。第 4 题：7.9 × × (60 × 60) = 7.9 × × 3.6 × = (7.9 × 3.6) × ( × ) = 28.44 × = 2.844 × （米）。第 5 题：(1) 4 · 3x = 12；(2) 系数 × = -，字母 · a = ，b · = ，得 - ；(3) = 4，再乘 5b 得 20。第 6 题：a = 3，b = 5。两个单项式的积是 2，与 2 对照，得 a + 2 = 5、1 + b = 6。 7. 自主小结：把单项式乘单项式的三句话默写一遍，再想一想——当系数是分数时，你会先算哪一步？当因式里带着括号和负号时，你又会先算哪一步？ 我的小结: 二、第 2 课时 · 单项式与多项式相乘 上一课时的两个因式都是单项式，这一课时把其中一个换成一个多项式。式子长了一点，办法却没变：还是把乘法分配律用起来，让单项式去乘多项式里的每一项，把括号拆开。 拆开以后，每一项都是单项式乘单项式，正好用上一课时的法则。所以这一课时的关键不在算，而在"一项不落"。 1. 情境（课本 P104）：为了扩大绿地的面积，要把街心花园的一块长 p 米、宽 b 米的长方形绿地，向两边分别加宽 a 米和 c 米。扩大后的绿地面积是多少平方米？（这块绿地在课本 P104 图16.2-1 上，图形见课本。） 2. 用两种算法算同一块地（如图 3）：算法一，先量出扩大后的长和宽，用面积公式——长是 p，宽是 a + b + c，面积是 p(a + b + c)；算法二，把它沿宽分成三块小长方形，三块的面积分别是 pa、pb、pc，加起来是 pa + pb + pc。两种算法算的是同一块地，所以 p(a + b + c) = pa + pb + pc。 图 3 三块草坪拼成一个大长方形，长是 p，宽是 a + b + c 3. 再与乘法分配律对一对：数的分配律 m(a + b + c) = ma + mb + mc 是成立的；把 m、a、b、c 都换成单项式，式子照样成立。也就是说，单项式乘多项式，不过是分配律在整式里的一次亮相。 4. 单项式与多项式相乘的法则（课本 P104 归纳）：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 用法则时盯住三点：第一，多项式有几项，就要乘几项，最后一项常常是常数，最容易漏；第二，每一项都带着它前面的符号一起乘，式子里的减号要看成"负号"跟着项走；第三，乘完把积写成和的形式，再合并同类项化到最简。多项式乘多项式的项数不会比原来少，乘出来的项数等于多项式的项数。 5. 例题（课本 P105 例 2）：计算：(1) (-4)(3x + 1)；(2) · ；(3) (x - 3y)；(4) x(y - z) - y(z - x) + z(x - y)。 分析与解答：(1) 用 -4 分别乘 3x 与 1：(-4)·3x + (-4)·1 = -12 - 4。(2) 用 分别乘两项：· + (-2ab)· = - 。(3) 先算乘方 = ，再用它乘多项式里的每一项：(x - 3y)· = x· + (-3y)· = - 3。(4) 三个括号分别展开：x(y - z) = xy - xz，-y(z - x) = -yz + yx，z(x - y) = zx - zy；三式相加并合并同类项，得 xy - xz - yz + yx + zx - zy = 2xy - 2yz。 【解题提醒】第 (1) 小题的 -12 - 4 里两项不能合并，因为 x 的指数不同。第 (2) 小题的系数是分数，系数相乘时分子乘分子、分母乘分母，最后记得约到最简。第 (4) 小题最容易在符号上出错：-y(z - x) 的负号要乘进括号里的每一项，展开后是 -yz + yx，不是 -yz - yx。 我的例题解答: 6. 即时练习 1. 练习（课本 P106 练习 第 1 题）：计算：(1) (-2x)( - x)；(2) a(b - c) + b(c - a) + c(a - b)。 2. 练习（课本 P106 练习 第 2 题）：计算：(1) 3a(5a - 2b)；(2) -2xy(2x - 3xy)；(3) (x - 3y)(-6x)；(4) (2a - b + 1)。 3. 练习（课本 P106 练习 第 3 题）：化简：x(x - 1) + 2x(x + 1) - 3x(2x - 5)。 4. 练习（课本 P106 练习 第 4 题）：求值：(x - 1) - x( + x - 1)（题内给定的 x 值见课本，化简后是 -2 + x，把值代进去即可）。 5. 计算：(1) 2x(3 - x + 1)；(2) -3ab(2b - ab + 1)。 6. 先化简，再求值：2a(a + b) - 3a(a - b)，其中 a = 2，b = -1。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题：(1) -2 + 2；(2) 三个括号展开得 ab - ac + bc - ab + ac - bc，六项两两抵消，结果是 0。第 2 题：(1) 15 - 6ab；(2) -4 + 6；(3) -6 + 18xy；(4) 先算 = 4，再逐项乘，得 8 - 4 + 4。第 3 题： - x + 2 + 2x - 6 + 15x = -3 + 16x。第 4 题： - - - + x = -2 + x，再代入课本所给的 x 值。第 5 题：(1) 6 - 2 + 2x；(2) -6 + 3 - 3ab。第 6 题：原式 = 2 + 2ab - 3 + 3ab = - + 5ab，代入 a = 2、b = -1，得 -4 - 10 = -14。 三、第 3 课时 · 多项式与多项式相乘 两个因式都成了多项式，式子更长了，可路还是那条：先用一个多项式的每一项，去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。这一步做下来，多项式乘多项式就化成了若干个单项式乘多项式。 项一多，最容易出的差错是漏乘与重乘。有一个简单的办法可以先估一估：两个多项式项数的积，就是合并同类项之前积的项数。 1. 情境（课本 P106）：把一块原长 a 米、宽 p 米的长方形绿地，加长 b 米、加宽 q 米，扩大后的绿地面积是多少平方米？（这块绿地在课本 P106 图16.2-2 上，图形见课本。） 2. 还是两种算法算同一块地（如图 4）：算法一，先量新长和新宽，新长是 a + b、新宽是 p + q，面积是 (a + b)(p + q)；算法二，把它分成四块小长方形，四块的面积分别是 ap、aq、bp、bq，加起来是 ap + aq + bp + bq。两种算法算的是同一块地，所以 (a + b)(p + q) = ap + aq + bp + bq。 图 4 加长加宽后的绿地的四块分割：长分成 a 与 b，宽分成 p 与 q 3. 这个等式也能用法则推出来：把 (p + q) 看成一个整体，先把它当成一个"项"，用单项式乘多项式的法则：(a + b)(p + q) = a(p + q) + b(p + q)；再把两个括号各自展开：a(p + q) = ap + aq，b(p + q) = bp + bq。两步合起来，正好是 ap + aq + bp + bq。可见多项式乘多项式，可以分两步化成单项式乘多项式。 4. 多项式与多项式相乘的法则（课本 P106 归纳）：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 做到不漏不重，有两个帮手。一个是"估项数"：合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积——二项式乘二项式得 4 项，二项式乘三项式得 6 项，少于这个数就说明漏乘了。另一个是"带符号走"：每一项都连同它前面的符号一起参与相乘，符号错了比漏项更难查。展开完先合并同类项，再把结果按某个字母的指数从大到小排列。 5. 例题（课本 P106 例 3）：计算：(1) (a + 3)(a - 2)；(2) (3x + 1)(x + 2)；(3) (x - 8y)(x - y)；(4) (x + y)( - xy + )。 分析与解答：(1) 四项依次展开：a·a + a·(-2) + 3·a + 3·(-2) = - 2a + 3a - 6 = + a - 6。(2) 3x·x + 3x·2 + 1·x + 1·2 = 3 + 6x + x + 2 = 3 + 7x + 2。(3) x·x + x·(-y) + (-8y)·x + (-8y)·(-y) = - xy - 8xy + 8 = - 9xy + 8。(4) 二项式乘三项式，合并同类项前应有 6 项：x· + x·(-xy) + x· + y· + y·(-xy) + y· = - y + x + y - x + ；中间四项两两抵消，只剩 + 。 【解题提醒】第 (1) (2) 两小题合并同类项时，一次项来自两处，别只写一处。第 (4) 小题展开前先估一估有 6 项，展开后一项一项对着数；两对互为相反数的项抵消干净，结果只剩两项。展开以后如果项数比"估"出来的少，一定要回头看看是不是漏乘。 我的例题解答: 6. 即时练习 1. 练习（课本 P107 练习 第 1 题）：计算：(1) (2x + 1)(x + 3)；(2) (m + 2n)(3n - m)；(3) ；(4) (a + 3b)(a - 3b)；(5) (2 - 1)(x - 4)；(6) ( + 2x + 3)(2x - 5)。 2. 练习（课本 P107 练习 第 2 题）：先算，再看规律：(1) (x + 2)(x + 3)；(2) (x - 4)(x + 1)；(3) (x + 4)(x - 2)；(4) (x - 5)(x - 3)。算完观察四式的结果，填空：(x + p)(x + q) = ______。 3. 练习（课本 P107 练习 第 3 题）：先化简，再求值。题内给定的式子与 x 的值见课本；做法是先按多项式乘多项式的法则展开，合并同类项，再把 x 的值代进去。 4. 计算：(1) (2x + 3)(x - 5)；(2) (2a - 3b)(a + 2b)。 5. 已知 (x + p)(x + q) = + 7x + m，且 p、q 都是正整数，求 m 的所有可能值。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题：(1) 2 + 7x + 3；(2) - + mn + 6；(3) 把 看成 (a - 1)(a - 1)，得 - 2a + 1；(4) - 9；(5) 2 - 8 - x + 4；(6) 2 - - 4x - 15。第 2 题：(1) + 5x + 6；(2) - 3x - 4；(3) + 2x - 8；(4) - 8x + 15。四式一对比就看出来了：一次项的系数是两个常数之和，常数项是两个常数之积，即 (x + p)(x + q) = + (p + q)x + pq。第 3 题：展开、合并、代入三步走，代入前先看看能不能再化简一步。第 4 题：(1) 2 - 7x - 15；(2) 2 + ab - 6。第 5 题：由 (x + p)(x + q) = + (p + q)x + pq 知 p + q = 7、pq = m。p、q 都是正整数，可能的情形有 (1, 6)、(2, 5)、(3, 4) 三组，对应的 m 分别是 6、10、12，所以 m 的所有可能值是 6、10、12。 7. 自主小结：把多项式乘多项式的法则与"估项数"的办法各写一句，再用一句话说清它与上一课时单项式乘多项式的关系。 我的小结: 四、第 4 课时 · 同底数幂的除法 前三课时一路做乘法，从这一课时起调过头来研究除法。先解决最简单的一种：两个同底数幂相除。办法还是老办法——把除法看成乘法的逆运算，向上一节借一条性质。 乘法与除法是一对逆运算：已知两个因数求积，用乘法；已知积与其中一个因数求另一个因数，用除法。既然同底数幂的乘法已经知道指数怎么变，那么同底数幂的除法也就能跟着推出来。 1. 情境（课本 P108）：一种电子计算机每秒可进行 1 亿亿（即 ）次运算。如果知道这台计算机一共进行了 次运算，它的工作时间是多少秒？ 列式： ÷ 。要求这个商，就是想找一个数，使它与除数 相乘等于被除数 。由同底数幂的乘法性质， 与 相乘得 ，所以 ÷ = = 。指数做的是减法。 2. 由乘法反过来推（课本 P108）：先看几组熟悉的乘法，再把它们倒过来写成除法。 乘法式子（已知） 倒过来写成的除法 商 × = ÷ · = ÷ × = ÷ · = ÷ 看最后一列：商与被除数的底数相同，指数等于被除式的指数减去除式的指数。前三行都是具体的数或字母，第四行把它一般化——这就是要得出来的性质。 3. 先说清式子的样子（如图 5）： ÷ 里的两个幂，底数都是 a，指数分别是 m 与 n；左边是被除式，右边是除式。 图 5 两个同底数幂的结构：底数都是 a，指数分别是 m 与 n 4. 同底数幂的除法性质（课本 P108 归纳）： ÷ = （a ≠ 0，m、n 都是正整数，m > n）。用文字说就是：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 三条使用条件一个也不能丢。第一，底数必须相同才能相减指数，底数不同就不能直接用这条性质。第二，a ≠ 0，因为除式 是除数，除数不能为 0。第三，m > n，这样指数相减的结果才不是负数（本节只讨论到指数为 0 为止）。 5. 零指数幂（课本 P108）：如果被除式与除式的底数相同、指数也相同，比如 ÷ （如图 6），商等于多少？ 图 6 底数与指数都相同的两个幂：其中的 a 不能为 0 从除法的意义看：两个相同的数相除，只要除数不为 0，商就是 1。再从同底数幂的除法看： ÷ = = 。两条路说的是同一件事，于是规定 = 1（a ≠ 0）。也就是说，任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1。 6. 例题（课本 P109 例 4）：计算：(1) ÷ ；(2) ÷ 。 分析与解答：(1) 底数都是 x，指数相减： ÷ = = 。(2) 把 ab 看成一个整体作底数，两个幂的底数都是 ab，指数相减： ÷ = = ；再把 用积的乘方展开，得 。 【解题提醒】第 (2) 小题若不嫌麻烦，也可以先把两个幂各自展开再相除，结果一样。不过把 ab 看成一个整体，一步就到，还避开了中间那一大串字母。以后遇到 (x - y)、(a + 2) 这样的整体作底数，都照这个办法处理。 我的例题解答: 7. 即时练习 1. 练习（课本 P109 练习 第 1 题）：用同底数幂的除法性质计算一组小题（题面见课本 P109）。做的时候检查两点：两个幂的底数是不是相同，被除式与除式一模一样时商是多少。 2. 计算：(1) ÷ ；(2) ÷ ；(3) ÷ ；(4) ÷ ；(5) ÷ 。 3. 填空：(1) 若 ÷ = （x ≠ 0），则 m = ______；(2) 若 ÷ = ，则 x = ______；(3) 若 ÷ = （a ≠ 0），则 n = ______。 4. 计算：(1) ÷ ；(2) ÷ （a ≠ 0）。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1 题：对照课本逐题核一核，凡是底数相同就指数相减，底数不同就不能直接用。第 2 题：(1) ；(2) ；(3) = ；(4) 被除式与除式一样，商是 1（也可以看成 = 1）；(5) 底数都是 -a，指数相减得 3，所以是 = -。第 3 题：(1) m - 3 = 5，m = 8；(2) x - 2 = 3，x = 5；(3) 6 - n = 2，n = 4。第 4 题：(1) 把 x - y 看成一个整体作底数，得 ；(2) 指数相减得 。 五、第 5 课时 · 整式的除法 同底数幂的除法解决以后，单靠它还不够——被除式与除式都是整式，字母不止一个。好在办法和乘法一样：如同用数的乘法研究数的除法，可以用整式的乘法研究整式的除法。把乘法式子反过来，就是除法法则。 整式的除法分两级：单项式除以单项式，与多项式除以单项式。后者要化成前者，前者又要用到同底数幂的除法，最后回到系数相除。一个比一个简单。 1. 单项式除以单项式（课本 P108）：先从一个已知的乘法式子看起。由单项式相乘的法则，4 · 3a = 12；把它反过来，就有 12 ÷ 3a = 4。 商的每一个部分，都是被除式与除式里对应部分相除的结果：系数 4 = 12 ÷ 3；a 的指数 2 = 3 - 1；b 的指数 0 = 2 - 2（ = 1，所以商里不写 b）；x 的指数 3 = 3 - 0。三条路走一遍，商就出来了。再看一个例子（如图 7）：12c ÷ 4b，① 看系数：12 ÷ 4 = 3；② 看同底数幂： ÷ = a， ÷ b = b；③ 看独有的字母：c 只在被除式里出现，连同它的指数照搬。三条路的结果写在一起，得 3abc。 图 7 单项式相除的三条路：看系数、看同底数幂、看独有的字母 2. 单项式除以单项式的法则（课本 P108 归纳）：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 3. 多项式除以单项式（课本 P108）：从单项式乘多项式看起。由 (a + b)m = am + bm，反过来有 (am + bm) ÷ m = a + b；又因为 am ÷ m + bm ÷ m = a + b，所以 (am + bm) ÷ m = am ÷ m + bm ÷ m。等号右边就是把每一项分别除以 m，再把商相加。 再算一个具体的（如图 8）：(6b + 4) ÷ 2ab。被除式有两项，就分两趟走——① 第一项：6b ÷ 2ab = 3a；② 第二项：4 ÷ 2ab = 2ab。把两趟的商相加，得 3a + 2ab。 图 8 多项式相除先分成两项：被除式有几项，就分几趟走 4. 多项式除以单项式的法则（课本 P108 归纳）：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 两个法则里各有一句"只在一个单项式里含有的字母"，要分清楚：做乘法时看的是"只在一个因式里含有"，做除法时看的是"只在被除式里含有"。判断的落点不同，但处理办法一样——连同它的指数原样搬进结果。另外，多项式除以单项式，被除式有几项，商就有几项，不会多也不会少；做完了数一数项数，就能查出有没有落项。 5. 例题（课本 P109 例 5）：计算：(1) (28) ÷ (7y)；(2) (-5c) ÷ (15b)；(3) (12 - 6 + 3a) ÷ (3a)。 分析与解答：(1) 单项式除以单项式：系数 28 ÷ 7 = 4， ÷ = x， ÷ y = y，得 4xy。(2) 先定符号（一负一正，商为负），系数 5 ÷ 15 = ， ÷ = a， ÷ b = ，字母 c 只在被除式里出现，照搬，得 - ac。(3) 多项式除以单项式，逐项除：(12) ÷ (3a) = 4，(-6) ÷ (3a) = -2a，(3a) ÷ (3a) = 1，再把三个商相加，得 4 - 2a + 1。 【解题提醒】第 (1) 小题里被除式的系数是 28，不是 28 与某个字母的积，别把 x 忘在被除式里。第 (2) 小题的 c 只在被除式里出现，商里要保留它；系数算出来是分数，记得写成最简分数。第 (3) 小题最后一项 (3a) ÷ (3a) 的商是 1，不是 0，这个"1"常常被漏掉。 我的例题解答: 6. 即时练习 1. 练习（课本 P109 练习 第 2 题）：用单项式除以单项式的法则计算一组小题（题面见课本 P109）。做的时候把系数与同底数幂分开算，只在被除式里出现的字母不要丢。 2. 练习（课本 P109 练习 第 3 题）：用多项式除以单项式的法则计算一组小题（题面见课本 P109）。做的时候守住一条：被除式有几项，商就有几项。 3. 计算：(1) 12 ÷ 3b；(2) (-24) ÷ (8y)；(3) (18 - 12b) ÷ (6ab)。 4. 一个长方形的面积是 6b - 4a，它的一条边长是 2ab，求另一条边的长。 我的练习答案: 【解题提醒】第 1、2 题：按法则逐题核，第 1 题重点看字母有没有漏，第 2 题重点数项数。第 3 题：(1) 系数 12 ÷ 3 = 4， ÷ = ， ÷ b = ，得 4；(2) 先定符号得负，24 ÷ 8 = 3， ÷ = x， ÷ y = y，得 -3xy；(3) 逐项除：18 ÷ 6ab = 3b，-12b ÷ 6ab = -2a，得 3b - 2a。第 4 题：另一条边长 = (6b - 4a) ÷ 2ab = 3a - 2b。 六、乘除互验站 算完一道除法，回头验一验是值得养成的习惯。验的办法只有一句话：商乘以除式，应当等于被除式。整式的乘法在前面已经练熟，把商与除式乘起来，正好当作除法的"验收单"。 1. 乘法与除法互为逆运算（如图 9）：整式的乘法把两个因式合成一个积，整式的除法反过来，把积与其中一个因式分开，求另一个因式。两个方向都走通，运算才算真的会了。 图 9 乘与除的检验关系：商 × 除式 = 被除式 2. 验一遍例 5 的第 (3) 小题：(12 - 6 + 3a) ÷ (3a) 算得 4 - 2a + 1。检验：把商与除式相乘，3a(4 - 2a + 1) = 3a·4 + 3a·(-2a) + 3a·1 = 12 - 6 + 3a，与被除式一模一样，说明算对了。 3. 反过来也能验乘法：算完 3 · 5 = 15，只要用 15 ÷ 3，看是否得 5，就能知道乘法有没有算错。 4. 五个法则摆在一起看 法则 式子形式 关键点 单项式乘单项式 系数相乘，同底数幂相乘 只在一个单项式里含有的字母，连同指数照搬进积里 单项式乘多项式 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式有几项就乘几项，每一项带着它前面的符号 多项式乘多项式 一个多项式的每一项乘另一个的每一项，再把所得的积相加 合并同类项之前，积的项数等于两式项数的积 同底数幂的除法 ÷ = （a ≠ 0，m、n 都是正整数，m > n） 底数不变，指数相减； = 1（a ≠ 0） 整式的除法 系数与同底数幂分别相除；多项式逐项除，再把商相加 只在被除式里含有的字母连同指数照搬；商 × 除式 = 被除式 5. 自查：把三个乘法法则和两个除法法则各默写一遍，每写完一条，就在旁边配一个自己能一口说出答案的小例子。 我的自查记录: 七、过关小测与分层作业 做作业有个顺序建议：先按课时把课本上的练习过一遍，再做《习题16.2》第 1 至 5 题，它们依次对着三个乘法法则与两个除法法则；最后做第 6 至 11 题，这几题要把法则连起来用。题面里若有小标题明"见课本"，就翻到课本那页对照着做。 动笔前先问自己两句：这一题是乘还是除？是单项式与单项式、单项式与多项式，还是多项式与多项式？答完再决定用哪一条法则、要不要逐项走。 常见错法 错在哪里 怎么改 ① 把系数相乘误当成指数相加 2 · 3 算成 6 以外的样子，或把 2 与 3 也带进指数 系数只看系数的积：2 × 3 = 6；字母只看指数： · = ② 单项式乘多项式漏掉最后一项 2x(x + 3) 只乘了 x，把常数 3 落下 多项式有几项就乘几项，常数项也是项，(2x)·3 = 6x ③ 减号没有跟着项走 -y(z - x) 展开成 -yz - yx 把减号看成项的负号：-y(z - x) = -yz + yx ④ 多项式乘多项式漏乘或重乘 (a + b)(p + q) 只写出 3 项 展开前先估项数（两式项数之积），展开后对着数一遍 ⑤ 只用在一个单项式里含有的字母丢了 · a 的结果里少了 b 的指数 乘法看"只在一个因式里含有"，除法看"只在被除式里含有"，都要带指数照搬 ⑥ 同底数幂相除的条件丢掉 ÷ 不看底数是否相同、不看 a 是否为 0 就用 先查底数相同、a ≠ 0、m > n，三条都满足才能指数相减 《习题16.2》全览（课本 P110—P111，共 11 题） 题号 教材页码 这一题要做什么 打勾 第 1—2 题 P110 复习巩固：单项式乘单项式一组，单项式乘多项式一组 ○ 第 3 题 P110 复习巩固：多项式乘多项式一组，六道小题 ○ 第 4 题 P110 复习巩固：同底数幂的除法与整式的除法一组 ○ 第 5 题 P110 复习巩固：先化简，再求值 ○ 第 6—7 题 P110—P111 综合运用：整式的混合运算与化简求值 ○ 第 8—9 题 P111 综合运用：指数整体代入、图中阴影绿地的面积 ○ 第 10—11 题 P111 拓广探索：无盖纸盒的逆向问题、确定 m 的所有可能值 ○ 1. 习题16.2 第 1 题（课本 P110）：计算：(1) 3x · 6y；(2) b(-3a)；(3) 4y；(4) (1.25 × )。 2. 习题16.2 第 2 题（课本 P110）：计算：(1) (4a - )(-2b)；(2) 一道系数是分数的小题，用单项式分别乘多项式里的每一项，并把分数化到最简；(3) 5ab(2a - b + 0.2)；(4) 一道系数是分数的小题，注意各项的符号。第 (2) (4) 两小题的完整题面在课本 P110 上。 3. 习题16.2 第 3 题（课本 P110）：计算：(1) (x - 6)(x - 3)；(2) 一道系数是分数的小题，先逐项相乘再合并同类项；(3) (3x + 2)(x + 2)；(4) (4y - 1)(5 - y)；(5) (x - 2)( + 4)；(6) (x - 1)( + x + 1)。第 (2) 小题的完整题面在课本 P110 上。 4. 习题16.2 第 4 题（课本 P110）：计算：(1) ÷ ；(2) ÷ ；(3) (25) ÷ ；(4) ÷ (7) ÷ (7m)；(5) (-5c + 35 - abc) ÷ (-abc)；(6) (-81 + 15 - 3) ÷ (-3)。 5. 习题16.2 第 5 题（课本 P110）：先化简，再求值（题内有几道小题，题面见课本 P110）。化简的办法就是用本节的乘法法则展开，再合并同类项，最后把题内给定的值代进去。 6. 习题16.2 第 6 题（课本 P110）：计算：(1) [5 · - ] ÷ ；(2) [(ab + 1)(ab - 1) - 2 + 1] ÷ 。 7. 习题16.2 第 7 题（课本 P111）：化简求值：(1) x(1 - ) + (x - 1) + x(x + 1)，其中 x = 2；(2) (b - 2a - ) ÷ b - ，其中 b = -1（a 的值见课本 P111）。 8. 习题16.2 第 8 题（课本 P111）：已知 3x - 4y = 3（x、y 为正整数），求 ÷ 的值。 9. 习题16.2 第 9 题（课本 P111）：计算图中阴影所示绿地的面积（长度单位：米）。（图形见课本 P111 第 9 题。） 10. 习题16.2 第 10 题（课本 P111）：有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后把四周突出的部分折起，制成一个高为 a 厘米的无盖长方体纸盒。如果纸盒的容积为 4b 立方厘米，底面长方形的一边长为 b（b < 4a）厘米，求原长方形纸板的长和宽。（图形见课本 P111 第 10 题。） 11. 习题16.2 第 11 题（课本 P111）：确定下列各式中 m 的值（其中 p 为正整数）：(1) (x + 4)(x + 9) = + mx + 36；(2) (x - 2)(x - 18) = + mx + 36；(3) (x + 3)(x + p) = + mx + 36；(4) (x - 6)(x - p) = + mx + 36。 我的作业记录: 分层练习 A 组（必做·把五个法则用熟） 1. 填空： · = ______； = ______； = ______； ÷ = ______。 2. 计算：(1) 2 · (-3xy)；(2) 3a(2a - 5)；(3) (x + 1)(x - 3)；(4) (12b) ÷ (4)。 3. 计算：(1) · 3；(2) -2ab(3 - ab)；(3) (2x - 1)(x + 4)；(4) (9y - 6xy) ÷ (3xy)。 我的 A 组解答: B 组（选做·把顺序与符号看清） 1. 计算：(1) ；(2) (3a + b)(3a - b)；(3) (2 - x + 1)(x - 3)。 2. 先化简，再求值：(x + 2)(x - 2) - x(x - 3)，其中 x = 1。 3. 计算：(6 - 9 + 3) ÷ (3)。 我的 B 组解答: C 组（挑战·把法则倒过来用） 1. 已知 = 4， = 2（a ≠ 0），求 的值。 2. 若 (x + p)(x + q) = - 5x - 6，且 p、q 都是整数，求 p、q 的值。 3. 已知 a + b = 3，ab = 2，求 (a - 1)(b - 1) 的值。 我的 C 组解答: 【挑战提醒】C 组第 1 题把指数相减倒过来用成两个幂相除： = ÷ 。C 组第 2 题由 (x + p)(x + q) = + (p + q)x + pq 得 p + q = -5、pq = -6，把 -6 拆成两个整数的积，再挑出和为 -5 的一组。C 组第 3 题不必算出 a、b 各是多少，把展开式 (a - 1)(b - 1) = ab - a - b + 1 写成 ab - (a + b) + 1，再把已知的两个值整体代进去。 评价项目 自评 会说出单项式乘单项式的三句话，并能说明每一步的依据 ○ 会用分配律展开单项式乘多项式，做到不漏项、不错号 ○ 会用"项数之积"估多项式乘多项式的项数，并用它查漏 ○ 会推导并使用 ÷ = （a ≠ 0，m > n） ○ 知道 = 1（a ≠ 0）是怎么来的 ○ 会算单项式除以单项式与多项式除以单项式，项数不落 ○ 会用"商 × 除式 = 被除式"检验一道整式除法 ○ 会借助面积分割图说明乘法法则的合理性 ○ 学习反思：写两句——五个法则里哪一条你用着最顺手？哪一处最容易踩坑，还需要再练几道题？ 我的学习反思: 八、参考答案 （一）学习目标与起跑热身 （1）热身第 1 题：；；；8。（2）第 2 题：ma + mb + mc。（3）第 3 题：5；除法是乘法的逆运算。（4）第 4 题：1.5 × 。（5）第 5 题：p(a + b + c)；pa + pb + pc，两个结果相等。（6）第 6 题：指数写 4； ÷ = 1（x 不能为 0）。 （二）第 1 课时 · 单项式与单项式相乘 （1）情境：地球与太阳的距离约是 1.5 × 千米。 （2）字母式：a · b = (a · b)( · ) = ab。 （3）例题（课本 P103 例 1）：(1) 6x；(2) 15b；(3) -40；(4) 9。 （4）练习（课本 P104 练习 第 1 题）：逐题对照法则检查两处——系数的积算对了没有，只在一个单项式里出现的字母有没有漏；改错时把错的那一步按法则重算一遍。 （5）练习第 2 题（课本 P104 练习 第 2 题）：(1) 15；(2) 18y；(3) -8x；(4) 6。 （6）练习第 3 题（课本 P104 练习 第 3 题）：(1) 9 · 4 = 36；(2) - - 36 · (-a) = - + 36 = 35。 （7）练习第 4 题（课本 P104 练习 第 4 题）：7.9 × × 3.6 × = 2.844 × （米）。 （8）补充题第 5 题：(1) 4 · 3x = 12；(2) × = -，得 - ；(3) = 4，再乘 5b 得 20。第 6 题：a = 3，b = 5。 （三）第 2 课时 · 单项式与多项式相乘 （1）面积的两种算法：p(a + b + c) 与 pa + pb + pc 相等。 （2）例题（课本 P105 例 2）：(1) -12 - 4；(2) - ；(3) - 3；(4) xy - xz - yz + yx + zx - zy = 2xy - 2yz。 （3）练习（课本 P106 练习 第 1 题）：(1) (-2x)( - x) = -2 + 2；(2) ab - ac + bc - ab + ac - bc = 0。 （4）练习第 2 题（课本 P106 练习 第 2 题）：(1) 15 - 6ab；(2) -4 + 6；(3) -6 + 18xy；(4) 8 - 4 + 4。 （5）练习第 3 题（课本 P106 练习 第 3 题）： - x + 2 + 2x - 6 + 15x = -3 + 16x。 （6）练习第 4 题（课本 P106 练习 第 4 题）： - - - + x = -2 + x；再代入课本所给的 x 值。 （7）补充题第 5 题：(1) 6 - 2 + 2x；(2) -6 + 3 - 3ab。第 6 题：原式 = - + 5ab，代入 a = 2、b = -1 得 -14。 （四）第 3 课时 · 多项式与多项式相乘 （1）面积的两种算法：(a + b)(p + q) 与 ap + aq + bp + bq 相等。 （2）例题（课本 P106 例 3）：(1) + a - 6；(2) 3 + 7x + 2；(3) - 9xy + 8；(4) 展开 6 项后中间四项两两抵消，得 + 。 （3）练习（课本 P107 练习 第 1 题）：(1) 2 + 7x + 3；(2) - + mn + 6；(3) (a - 1)(a - 1) = - 2a + 1；(4) - 9；(5) 2 - 8 - x + 4；(6) 2 - - 4x - 15。 （4）练习第 2 题（课本 P107 练习 第 2 题）：(1) + 5x + 6；(2) - 3x - 4；(3) + 2x - 8；(4) - 8x + 15。规律：(x + p)(x + q) = + (p + q)x + pq。 （5）练习第 3 题（课本 P107 练习 第 3 题）：展开、合并同类项、代入三步走，代入前先看看还能不能再化简一步。 （6）补充题第 4 题：(1) 2 - 7x - 15；(2) 2 + ab - 6。第 5 题：由 p + q = 7、pq = m 得，m 的所有可能值是 6、10、12。 （五）第 4 课时 · 同底数幂的除法 （1）情境： ÷ = = （秒）。 （2）探究表： ÷ = ； ÷ = ； ÷ = ； ÷ = 。 （3）例题（课本 P109 例 4）：(1) = ；(2) = = 。 （4）练习（课本 P109 练习 第 1 题）：逐题对照——底数相同才把指数相减；被除式与除式完全相同时商是 1。 （5）补充题第 2 题：(1) ；(2) ；(3) = ；(4) 商是 1；(5) = -。第 3 题：(1) m = 8；(2) x = 5；(3) n = 4。第 4 题：(1) ；(2) 。 （六）第 5 课时 · 整式的除法 （1）单项式相除的例子：12c ÷ 4b = 3abc（系数 12 ÷ 4 = 3， ÷ = a， ÷ b = b，c 只在被除式里出现照搬）。 （2）例题（课本 P109 例 5）：(1) 4xy；(2) - ac；(3) 4 - 2a + 1。 （3）练习（课本 P109 练习 第 2、3 题）：按法则逐题做，第 2 题重点查字母有没有漏，第 3 题重点数项数——被除式有几项，商就有几项。 （4）补充题第 3 题：(1) 4；(2) -3xy；(3) 3b - 2a。第 4 题：另一条边长 = (6b - 4a) ÷ (2ab) = 3a - 2b。 （七）乘除互验站与分层练习 （1）互验：3a(4 - 2a + 1) = 12 - 6 + 3a，与被除式相同，说明例 5 的第 (3) 小题算对了。 （2）五个法则的对照表见正文"乘除互验站"第 4 条。 （3）A 组第 1 题：；；8；。 （4）A 组第 2 题：(1) -6y；(2) 6 - 15a；(3) - 2x - 3；(4) 3ab。 （5）A 组第 3 题：(1) 4 · 3 = 12；(2) -6b + 2；(3) 2 + 7x - 4；(4) 3x - 2。 （6）B 组第 1 题：(1) (x - 2)(x - 2) = - 4x + 4；(2) 9 - 3ab + 3ab - = 9 - ；(3) 2 - 6 - + 3x + x - 3 = 2 - 7 + 4x - 3。 （7）B 组第 2 题：原式 = - 4 - + 3x = 3x - 4，代入 x = 1 得 -1。 （8）B 组第 3 题：6 ÷ 3 - 9 ÷ 3 + 3 ÷ 3 = 2a - 3b + 1。 （9）C 组第 1 题： = ÷ = 4 ÷ 2 = 2。 （10）C 组第 2 题：由 (x + p)(x + q) = + (p + q)x + pq 得 p + q = -5、pq = -6。把 -6 拆成两个整数的积，和为 -5 的有两组：p = 1、q = -6，或 p = -6、q = 1。 （11）C 组第 3 题：(a - 1)(b - 1) = ab - a - b + 1 = ab - (a + b) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0。 （八）《习题16.2》与自我评价 （1）第 1 题：(1) (3 × 6)(x · ) · y = 18y；(2) [1 × (-3)]( · a)(b · ) = -3；(3) 先算 = -，再乘得 -4；(4) (1.25 × )(8 × ) = (1.25 × 8) × ( × ) = 10 × = 。 （2）第 2 题：(1) (4a)·(-2b) + (-)·(-2b) = -8ab + 2；(2) 2 - ；(3) 10b - 5a + ab；(4) -18 + 6 + 4a。 （3）第 3 题：(1) - 3x - 6x + 18 = - 9x + 18；(2) 按逐项相乘再合并同类项得到结果；(3) 3 + 6x + 2x + 4 = 3 + 8x + 4；(4) 20y - 4 - 5 + y = -4 + 21y - 5；(5) + 4x - 2 - 8 = - 2 + 4x - 8；(6) + + x - - x - 1 = - 1。 （4）第 4 题：(1) ÷ = = 1；(2) ÷ = a；(3) (25) ÷ (25) = a；(4) 196 ÷ 7 ÷ 7m = 28 ÷ 7m = 4m；(5) 5 - 35ac + 1；(6) 27 - 5 + 1。 （5）第 5 题：先按本节的乘法法则展开，再合并同类项化到最简，最后把课本 P110 给出的值代进去。 （6）第 6 题：(1) (5 - 9) ÷ 4 = (-4) ÷ 4 = -；(2) ( - 1 - 2 + 1) ÷ = (-) ÷ = -1。 （7）第 7 题：(1) x - + - + + x = 2x，当 x = 2 时得 4；(2) (b - 2a - ) ÷ b = - 2ab - ， = + 2ab + ，两式相减得 -4ab - 2，代入 b = -1 得 -2 + 4a（a 的值见课本 P111）。 （8）第 8 题： ÷ = ÷ = ÷ = = = 27。 （9）第 9 题：(1.5a + 2.5a)(a + 2a + 2a + 2a + a) - 2.5a · 2a · 2 = 4a · 8a - 10 = 32 - 10 = 22（平方米）。 （10）第 10 题：纸盒的高为 a、容积为 4b，所以底面长方形的面积 = 4b ÷ a = 4ab；底面一边长 b，另一边长 = 4ab ÷ b = 4a。原纸板的两边长分别是 b + 2a 与 4a + 2a = 6a；由 b < 4a 得 b + 2a < 6a。故原纸板的长为 6a 厘米，宽为 (b + 2a) 厘米。 （11）第 11 题：(1) (x + 4)(x + 9) = + 13x + 36，m = 13；(2) (x - 2)(x - 18) = - 20x + 36，m = -20；(3) (x + 3)(x + p) = + (3 + p)x + 3p = + mx + 36，由 3p = 36 得 p = 12，m = 3 + 12 = 15；(4) (x - 6)(x - p) = - (6 + p)x + 6p = + mx + 36，由 6p = 36 得 p = 6，m = -(6 + 6) = -12。 （12）自我评价：逐项对照评价表打勾；没有打勾的项目，就回到对应的课时，把法则的形式与关键点再理一遍，然后把那一栏的练习重做一遍。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $