16.3 乘法公式 导学案 2025-2026学年人教版初中数学八年级上册

16.3.1　平方差公式 素养目标 1.掌握平方差公式,能用几何拼图的方式验证平方差公式,能灵活应用平方差公式进行计算. 2.经历通过观察、计算、猜想得出平方差公式,并运用几何拼图验证平方差公式的过程,体会数形结合的思想. 平方差公式的探究及应用. 【自主预习】 由多项式乘多项式运算法则计算(x-2)(x+2),并将计算结果与x2-4比较大小. 1.化简(a+1)(a-1)+1的结果为　　　　.  2.计算:(5x+y)(5x-y)=　　　　.  【合作探究】 知识点一：平方差公式 阅读课本本课时“探究”至“例1”的内容,解答下列问题. 1.计算:(1)(x+2)(x-2)= ;  (2)(y+3)(y-3)= ;  (3)(3y+1)(3y-1)= .  平方差公式:两个数的　　与这两个数的　　的积,等于这两个数的平方差.  2.在(m+4n)(m-4n)中,把 看作公式里的a,把 看作公式里的b.在(-2x+y)(-2x-y)中,把 看作公式中的a,把 看作公式里的b.  　　掌握平方差公式的结构特征进行计算:公式的左边是两个一次二项式的乘积,并且这两个二项式中有一项是完全相同的,另一项则是互为相反数,右边是乘式中两项的平方差. 【温馨提示】只有形如两数的和与这两个数的差相乘时,才能用平方差公式,不符合这种形式的多项式的乘法运算则按多项式的乘法法则进行展开. 1.下列各式能用平方差公式计算的是 ( ) A.(2a+b)(2b-a) B.x+1-x-1 C.(-m-n)(-m+n) D.(3x-y)(-3x+y) 2.将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙的位置,图甲中阴影部分的面积为 ,图乙中阴影部分的面积为 ,根据两个图形的面积相等知 .  3.计算:(1)(x+5)(x-5)= ;  (2)(a+b)·(b-a)= ;  (3)(-3+a)·(-3-a)=( )2-( )2= ;  (4)(5a+2b)(5a-2b)=( )2-( )2= .  知识点二：平方差公式的应用 阅读课本本课时“例2”,解答下列问题. 1.计算(x-1)(x+1)(x2+1)时,应先用平方差公式计算(x-1)(x+1),计算结果为多少?该计算结果与(x2+1)相乘能运用平方差公式计算吗? 2.计算(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)时,(y-1)(y+5)能用平方差公式计算吗? 3.计算102×98时,若运用平方差公式简便计算,要先求出102与98的平均数吗? 1.计算:(x+3)(x2+9)(x-3)=　　　　.  2.计算:(a+3)(a-3)-(a+2)(1-a)=　　　　.  3.用平方差公式简算:199×201. 题型1 平方差公式的应用 例1　计算:(1)a(a-3)-(-a+7)(-a-7); (2)(2m+n)(2m-n)-(-m+2n)(-m-2n). 题型2 平方差公式与整体求值 例2　已知a2-b2=15,a+b=3,则a-b的值为　　　　.  题型3 平方差公式与简便计算 例3　计算时,小刚从书包里拿计算器,而小灵当场制止,并很快得到答案,你会算吗? 题型4 先应用平方差公式化简,再求值 例4　先化简,再求值:(3a-2)(2+a)-3(a-3)(a+3),其中a=60-7. 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:(x-2)(x+2)=x2-2x+2x-4=x2-4, (x-2)(x+2)=x2-4. 自学检测 1.a2　2.25x2-y2 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.(1)x2-4　(2)y2-9　(3)9y2-1 归纳总结　和　差 2.m　4n　-2x　y 对点训练 1.C 2.(a+b)(a-b)　a2-b2　(a+b)(a-b)=a2-b2 3.(1)x2-25　(2)b2-a2　(3)-3　a　9-a2 (4)5a　2b　25a2-4b2 知识点二 1.解:计算结果为x2-1,能. 2.解:不能,要用多项式乘多项式运算法则求解. 3.解:要. 对点训练 1.x4-81　2.2a2+a-11 3.解:原式=(200-1)×(200+1)=2002-12 =40000-1 =39999. 题型精讲 题型1 例1 解:(1)原式=a2-3a-(a2-49)=-3a+49. (2)原式=(4m2-n2)-(m2-4n2)=3m2+3n2. 题型2 例2 5 题型3 例3 解:原式= ==2 026. 题型4 例4 解:原式=(6a+3a2-4-2a)-3(a2-9) =6a+3a2-4-2a-3a2+27 =4a+23. ∵a=60-7=1-7=-6, ∴原式=4×(-6)+23=-24+23=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2　第1课时　完全平方公式 素养目标 1.掌握完全平方公式的特点,能用完全平方公式进行整式乘法的运算. 2.经历观察、计算并运用几何拼图验证完全平方公式的过程,增强观察能力、计算能力,从中体会数形结合的思想. 完全平方公式的探究及应用. 【自主预习】 由乘方的定义可知(x+3)2=(x+3)(x+3),根据多项式与多项式相乘的运算法则计算(x+3)(x+3),并将计算结果与x2+6x+9比较大小. 1.计算:(x+6)2=　　　　.  2.计算:(x-2)2=　　　　.  【合作探究】 知识点一：完全平方公式 阅读课本本课时“探究”,并解答下面的问题. 1.用多项式与多项式相乘的运算法则推导(a+b)2和(a-b)2. 答:(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2 2ab+b2;(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2 2ab+b2.  2.两数的和(或差)的平方,等于它们的　　　,加上(或减去)它们的积的　　倍.完全平方公式的特征:左边是一个二项式的　　　;右边是一个　　　项式,首尾两项是公式左边两项中　　　,中间一项为　　　　　　,两个公式仅是一个　　的不同.  若(x-4)2=x2+mx+n,则m-n的值是　　　　.  知识点二：完全平方公式的几何意义 阅读课本本课时“例3”前的“思考”,根据下图,解答下列问题. 1.在图1中,根据正方形的面积公式直接求出大正方形的面积. 2.图1中的大正方形还等于哪几个图形的面积的和? 3.由1,2可以得到什么结论? 4.仿照1,2,3,探究图2可以得到的结论. 如图,这是四张全等的长方形纸片拼成的图形,利用图中阴影部分面积的不同表示方法,可以写出关于a,b的恒等式,下列各式正确的是 ( ) A.(a+b)2=(a-b)2+2ab B.(a-b)2=(a+b)2-2ab C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 知识点三：完全平方公式的应用 阅读课本本课时“例3”至“练习”前的内容,解答下列问题. 1.计算(4m+n)2时,应用完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,小华认为a相当于是4m,b相当于n,因此(4m+n)2=4m2+2·4m·n+n2,小华的步骤对吗?为什么? 2.计算1022时,小华将算式改写成(106-4)2,小华的改写能使得运算简便吗? 3.互为相反数的两个数的平方相等吗?(m+2)2与(-m-2)2相等吗?(-m-2)2与(m-2)2相等吗? 1.下列计算正确的是 ( ) A.(-x-y)2=-x2-2xy-y2 B.(4x+1)2=16x2+8x+1 C.(2x-3)2=4x2+12x-9 D.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 2.若用简便方法计算1 9992,应将1 9992变形为 ( ) A.(2 000-1)2 B.(2 000-1)×(2 000+1) C.(1 999+1)×(1 999-1) D.(1 999+1)2 3.计算:=　　　　.  题型1 灵活运用完全平方公式求值 例1　(1)若(a+b)2=9,ab=1,则(a-b)2的值为 .  (2)已知(a+b)2=11,(a-b)2=9,则ab的值是 .  【方法归纳交流】完全平方公式的几种常见的恒等变形有①a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;②ab=[(a+b)2-(a2+b2)]=[(a+b)2-(a-b)2]=2-2;③(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2. 变式训练　已知x+y=6,xy=-5,求下列各式的值: (1)(x-y)2;(2)x2+y2. 题型2 完全平方公式的应用 例2　计算:4(x+1)2-(2x+5)(2x-5). 变式训练　计算:(1)(x-2)(x+4)+(3x-1)2;(2)(-103)2. 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:(x+3)2=(x+3)(x+3)=x2+3x+3x+9=x2+6x+9,故(x+3)2=x2+6x+9. 自学检测 1.x2+12x+36　 2.x2-4x+4 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.+　- 2.平方和　2　完全平方　三　每一项的平方 两项乘积的2倍　“符号” 对点训练 -24 知识点二 1.解:(a+b)2. 2.解:大正方形的面积等于①②③④四个图形的面积的和,等于a2+2ab+b2. 3.解:(a+b)2=a2+2ab+b2. 4.解:(a-b)2=a2-2ab+b2. 对点训练 C 知识点三 1.解:不对,4m2应为(4m)2. 2.解:不能. 3.解:相等;相等;不相等. 对点训练 1.B　2.A　 3.x2-xy+y2 题型精讲 题型1 例1 (1)5　(2) 变式训练 解:(1)∵x+y=6,xy=-5, ∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=62-4×(-5)=56. (2)∵x+y=6,xy=-5, ∴x2+y2=(x+y)2-2xy =62-2×(-5) =46. 题型2 例2 解:原式=4(x2+2x+1)-(4x2-25)=4x2+8x+4-4x2+25=8x+29. 变式训练 解:(1)原式=x2+2x-8+9x2-6x+1 =10x2-4x-7. (2)原式=(103)2=(100+3)2 =1002+2×100×3+32=10609. 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.2　第2课时　添括号 素养目标 1.掌握添括号法则,能灵活应用添括号对式子进行变形,并能够综合利用乘法公式进行运算. 2.通过添括号法则的探究和乘法公式的综合运用,增强计算能力. 正确添括号,添括号法则与乘法公式的综合运用. 【自主预习】 将代数式a+(b-c)去括号得a+b-c,因此a+b-c=a+(b-c),将代数式a-(b-c)去括号得a-b+c,则a-b+c=a-(b-c).添括号:a-b-c=a-(　　),括号中应填的内容是  什么? 1.添括号:x+y-2=x+(　　　　).  2.添括号:x-y-3=x-(　　　　).  【合作探究】 知识点一：添括号法则 阅读课本本课时“例5”前的内容,解答下列问题. 1.去括号法则中,如果括号前面是正号,去括号后原括号内各项的符号都 ;如果括号前面是负号,去掉括号后原括号内各项的符号 .  2.用式子表示添括号法则为a+b+c=a+(　　　　);a-b-c=a-(　　　　).  【温馨提示】(1)添括号后一定要保证不改变原代数式值的大小,括号前面是负号,括到括号里的各项都要改变符号.(2)法则中a,b,c都可表示一个数、一个单项式或一个多项式,多项式要看作一个整体. 1.下列去括号或添括号正确的是 ( ) A.x+(y-2)=x+y+2 B.x-(y-1)=x-y-1 C.x-y+1=x-(y-1) D.x+y-1=x+(y+1) 2.不改变式子a2+2a-b+c的值,下列添括号错误的是 ( ) A.a2+(2a-b+c) B.a2-(-2a+b-c) C.a2-(2a-b+c) D.a2+2a+(-b+c) 3.添括号:-a+b-c=b-(　　　　).  知识点二：添括号与乘法公式的综合运用 阅读课本本课时“例5”,解答下列问题. 1.运用乘法公式计算:(a+b+c)(a+b-c). 2.用添括号来运用乘法公式时,要先观察,将符号 或符号 的结合在一起,然后运用 简化,在这个过程中要特别注意 思想的运用.  【温馨提示】应特别注意括号前面是负号时,括到括号里的各项都要改变符号,这里容易出错. 1.(x+2y-3)(x-2y+3)可化为 ( ) A.(x+2y)2-9 B.(x-2y)2-9 C.x2-(2y-3)2 D.x2-(2y+3)2 2.运用乘法公式计算:(1)(a+2b-1)2; (2)(x-3y-1)(x+3y-1); (3)(a+b-c)(a-b+c). 题型1 添括号与乘法公式的综合运用 例1　计算:(1)(a-2b-3c)2; (2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2. 变式训练　计算:(1)(a-2b+1)(a+2b+1); (2)(x+2y-1)2. 题型2 乘法公式与几何图形的面积综合运用 例2　在学习整式的乘法过程中,我们知道等式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd可以用平面图形(图1)的面积来说明. (1)初步探究: 请使用图2中的2种规格的正方形,画一个平面图形,说明等式(a+b)2=a2+2ab+b2是正确的. (2)知识拓展: 为进一步探索部分平面图形的面积与等式的关系,在某次数学活动中,准备如图3所示的3种规格的正方形、3种规格的长方形卡片若干张.小明从中选取9张,拼成一个边长为(a+b+c)的正方形,请写出与其面积相应的等式. (3)延伸应用: 请利用(2)中得到的等式解答以下问题:若实数x,y,z,满足x2+4y2+9z2=8,x+2y+3z=4,求2xy+3xz+6yz的值. 参考答案 【自主预习】 预学思考 解:b+c. 自学检测 1.y-2　2.y+3 【合作探究】 知识点一 1.不变　都改变 2.b+c　b+c 对点训练 1.C　2.C 3.a+c 知识点二 1.解:原式=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2= a2+2ab+b2-c2. 2.相同　相反　乘法公式　整体 对点训练 1.C 2.解:(1)原式=[(a+2b)-1]2 =(a+2b)2-2(a+2b)+1=a2+4ab+4b2-2a-4b+1. (2)原式=[(x-1)-3y][(x-1)+3y]= (x-1)2-(3y)2=x2-2x+1-9y2. (3)原式=[a+(b-c)][ a-(b-c)]=a2-(b-c)2=a2-b2+2bc-c2. 题型精讲 题型1 例1 解:(1)原式=(a-2b)2-2(a-2b)·3c+9c2=a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2. (2)原式=[(x-z)+2y][(x-z)-2y]-[(x-z)+y]2=(x-z)2-4y2-(x-z)2-2y(x-z)-y2=-5y2-2xy+2yz. 变式训练 解:(1)原式=(a+1)2-(2b)2 =a2+2a+1-4b2. (2)原式=[(x+2y)-1]2 =(x+2y)2-2(x+2y)+1 =x2+4xy+4y2-2x-4y+1. 题型2 例2 解:(1)如图,由该平面图形可得到(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)由图形可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (3)∵x+2y+3z=4, ∴(x+2y+3z)2=42=16. 由(2)可得(x+2y+3z)2=x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz, ∴x2+4y2+9z2+4xy+6xz+12yz=16. ∵x2+4y2+9z2=8, ∴8+4xy+6xz+12yz=16, ∴4xy+6xz+12yz=8, ∴2(2xy+3xz+6yz)=8, ∴2xy+3xz+6yz=4. 学科网（北京）股份有限公司 $