专题 3.3 圆的对称性（专题训练）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题 3.3 圆的对称性（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型·1·利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1 【题型·2-·利用弧、弦、圆心角的关系求证】 2 【题型·3-·求圆弧的度数】 3 【题型·4·利用垂径定理求值】 4 【题型·5·利用垂径定理求平行弦问题】 5 【题型·6·利用垂径定理求同心圆问题】 5 【题型·7·利用垂径定理求解其他问题】 6 【题型·8·垂径定理的实际应用】 8 【题型·1·利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若弧等于弧，，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型·2-·利用弧、弦、圆心角的关系求证】 4．如图，于点，于点，若，求证：． 5．如图，是的直径，点，是上的点，是等边三角形，是的中点．求证：． 6．如图，，求证：． 【题型·3-·求圆弧的度数】 7．如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8.如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9.如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° 【题型·4·利用垂径定理求值】 10．如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 11．如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 12．某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 13．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（   ） A． B． C． D． 【题型·5·利用垂径定理求平行弦问题】 14．已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 15．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 16．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【题型·6·利用垂径定理求同心圆问题】 17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 18．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 19．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【题型·7·利用垂径定理求解其他问题】 20．西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 21．如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 22．如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 23．如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    24．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【题型·8·垂径定理的实际应用】 25．如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 26．如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 27．如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． (1)________，_______； (2)求半径的长； (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，直接写出此时鱼缸内水的深度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.3 圆的对称性（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型·1·利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1 【题型·2-·利用弧、弦、圆心角的关系求证】 3 【题型·4·利用垂径定理求值】 8 【题型·5·利用垂径定理求平行弦问题】 11 【题型·6·利用垂径定理求同心圆问题】 15 【题型·7·利用垂径定理求解其他问题】 18 【题型·8·垂径定理的实际应用】 22 【题型·1·利用弧、弦、圆心角的关系求解】 1．如图，已知是的直径，点C，D在上，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，则，由得，则，由，得，即可由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴点O在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出． 【详解】解：D为的中点， ， ． 故选：A． 3．如图中，A、B、C均为圆上的点，下列说法：①若弧等于弧，，则； ② 若，则；③若，则；④若，则O点到弦的距离相等．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等”进行判断即可 ． 【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等． ∴①若，则，所以，此说法正确； ②若，则，所以，此说法正确； ③若，则，所以，此说法正确； ④若，则O点到弦的距离相等，所以，此说法正确； ∴说法正确的是①②③④，共4个. 故选：D． 【题型·2-·利用弧、弦、圆心角的关系求证】 4．如图，于点，于点，若，求证：． 【答案】 证明：连接， ，， ， ， ， ． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆心角与弧的关系，证明是解答的关键． 利用定理证明，得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弧相等即可． 【详解】略 5．如图，是的直径，点，是上的点，是等边三角形，是的中点．求证：． 【答案】 证明：是等边三角形， ， ． 是的中点， ， ， ， ． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理． 根据等边三角形的性质得到，则，根据圆周角定理得到，进而得到，即可证明． 【详解】略 6．如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧、弦之间的关系，在同圆或等圆中等弧对等弦，等弦对等弧．根据可得，可证，根据同圆或等圆中等弧对等弦可证结论成立． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【题型·3·求圆弧的度数】 7．如图，中，为直径，弦，若的度数是，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧的度数与圆心角的关系，平行线的性质，等腰三角形的性质，将弧的度数问题转化为圆心角的度数问题是解题关键． 先由的度数得到圆心角的度数，再利用平行线性质和等腰三角形性质求出圆心角的度数，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， 的度数是， ， ， ， ， ， ， 故的度数为． 故选：． 8.如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 9.如图，是的直径，点C在圆上，将沿翻折与交于点D．若，的度数为，则（　　）° A．100 B．120 C．60 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，作辅助线是解答本题的关键． 作D关于的对称点E，连接，则，然后再根据的度数为知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，即可解答． 【详解】解：如图，作D关于的对称点E，连接，则, ∵的度数为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 【题型·4·利用垂径定理求值】 10．如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 11．如图，在中， 是直径， 是弦， 于点E，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】可先求出半径和的长度，再根据垂径定理，得出，在中，可利用勾股定理求出的长度． 【详解】∵，， ∴， ∴． ∴ ． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得： ， ∴． 12．某石材厂加工一款马路石墩，它的上部是球体的一部分，下部是相连的底座．如图，它的上部截面形状是以点O为圆心的圆的一部分，已知D是中弦的中点，经过圆心O交于点C，并且，，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，设的半径为，根据垂径定理求出的长，用表示出的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设的半径为，则， 经过圆心O，D是的中点， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的半径为． 13．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点M，作于点N，取上的球心O，连接，设，则，，然后利用勾股定理运算即可． 【详解】取的中点M，作于点N，取上的球心O，连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， 故选：B． 【题型·5·利用垂径定理求平行弦问题】 14．已知半径是13，弦，，，则与之间距离为（    ） A．7 B．17 C．7或17 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则，   ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接，   同理， ， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：C． 15．半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 16．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 【题型·6·利用垂径定理求同心圆问题】 17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于C点，AB=12cm，AO=8cm，则OC长为（ ）cm A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解： O为圆心的两个同心圆的圆心，大圆的弦AB与小圆相切于C点， C点是AB的中点，即AC=BC==6； 并且OC⊥AB，在中， 由勾股定理得， 所以；AO=8cm， 所以， 所以OC= 故选： 【点睛】本题考查弦心距，勾股定理，解答本题要求考生掌握弦心距的概念和性质，熟悉勾股定理的内容. 18．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1) 证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 19．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病． （1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依次类推，请问：到第四天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？ （2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米 【答案】(1)6;(2). 【分析】（1）根据题目的叙述，第一天的数是1，第二天是11，第三天是111，因而第几天就是有几个； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA，在Rt△OCE中，就可以求出OE，在Rt△OAE中求出AE，进而求出AC，进而求出． 【详解】解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000=1111， 到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111 到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111＞80000 所以，到第6天所有鸡都会被感染； （2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA． ∵OA=5，OC=3，CD=4， ∴CE=2． 在Rt△OCE中，AE= ， ∴AC=AE-CE= ， ∵AC=BD， ∴AC+BD=． 答：这条公路在该免疫区内有（）千米． 考点：（1）垂径定理的应用；（2）勾股定理． 【题型·7·利用垂径定理求解其他问题】 20．西昌市“北环线”是市政府为进一步优化市区交通布局打造的重点民生工程．如图，其中公路弯道处是一段圆弧，点是这条弧所在圆的圆心，点是的中点，与相交于点．经测量，，，那么这段弯道的半径为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是作辅助线构造直角三角形，由勾股定理列出关于半径的方程．连接，，设这段弯道的半径为 ，由圆心角、弧、弦的关系得到，由等腰三角形的性质得到，由垂径定理求出的长，由勾股定理得到，求出即可． 【详解】解：连接，， 设这段弯道的半径为 ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这段弯道的半径为． 故选：A 21．如图，是的直径，弦，垂足为M，下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过审题， 根据是的直径，弦，依据垂径定理即可解答问题． 【详解】解：∵是的直径，弦， 由垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知， ∴，故A正确；， ∴，故D正确； ∵，， ∴，故C正确； 故选：B． 【点睛】题主要考查了垂径定理的简单应用,解题的关键是掌握垂径定理的内容，灵活应用． 22．如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，再根据直角三角形的锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴． 23．如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    【答案】 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24．如图，在中，C，D分别是和弦的中点，若，，则的半径是________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的推论、勾股定理，熟知垂径定理及其推论是解答的关键． 连接，，，根据垂径定理的推论得到，，，则O、D、C共线，设半径，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， ∵C，D分别是和弦的中点，， ∴，，， ∴O、D、C共线， 设半径，则， 由勾股定理得，即 解得，故的半径是5， 故答案为：5． 【题型·8·垂径定理的实际应用】 25．如图，拱门的上部是一段圆弧，其圆心O在线段上，点E是弧的中点，下部是宽为，高为的长方形，已知拱门最高处E距离地面的高度为，于点P，连接．求上部圆弧的半径的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，由题意得圆心在上，，设，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意得圆心O在上， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴上部圆弧的半径是． 26．如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 【答案】(1)10米 (2) 解：该货船不可以顺利通过，理由如下： 连接，如图所示： 依题意可知， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∵，此时点在圆外， ∴该货船不可以顺利通过． 【分析】本题考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）边接，设半径为，在中，利用求得答案即可； （2）连接， 依题意可知，，然后先求得，然后利用勾股定理求得，然后判断一下是否在圆外，即可判断出答案． 【详解】（1）解： 连接，如图所示： ∵，， ∴， 设半径为，在中，，， ∴， ∴， 答：拱桥圆弧的半径是10米． （2）略 27．如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸，其主体部分的纵截面是弓形，开口部分与桌面平行，将一玻璃棒斜放进鱼缸（鱼缸内无水），使恰在弧的中点M处，发现，将玻璃棒竖立起来（）时，测得． (1)________，_______； (2)求半径的长； (3)若向鱼缸内加水，使水面的宽度为，直接写出此时鱼缸内水的深度． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）设圆心为，连接．根据垂径定理及其推论，求的度数，的长即可． （2）根据求得，解即可求解． （3）分圆心在水面上方和下方两种情形分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图，设圆心为，连接． 点在弧的中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ∵ ， 即； （2）解：由（1）得， ， ， ，． 在中， ， （3）解：①当圆心在水面上方，水面宽为时， 则，． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设，由（2）得，即圆的半径为26， ，则， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ，即鱼缸内水的深度为； ②当圆心在水面下方，水面宽为时， 则， ． 连接， 此时交于点，如图所示， 鱼缸内水的深度即为的长度． 设， 在中， 根据勾股定理得，， ， 解得（舍去）， ， ， 即鱼缸内水的深度为； 故鱼缸内水深为或． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理，弧长公式是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $