专题02 有理数的乘除运算（题型专练）数学新教材人教版七年级上册

专题02 有理数的乘除运算 （题型突破·举一反三） 题型1 两数相乘及多因数符号判定 题型2 乘法运算律与分配律逆用 题型3 除法法则与倒数 题型4 乘除混合运算 题型5 含分数的乘除技巧 题型6 乘除法在实际问题中的应用 ▌题型01 两数相乘及多因数符号判定 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 多个因数相乘的符号法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： ① 负因数有偶数个时，积为正； ② 负因数有奇数个时，积为负。 即：奇负偶正。 3. 含 0 的乘法 任何数与 0 相乘，积都为 0： 4. 易错提醒 ① 多因数相乘时，只数负因数个数，忘记带负号的因数是否算负因数。 ② 误认为带“−”号的数一定是负数（如 是正数）。 ③ 计算时先定符号再算绝对值，顺序颠倒导致符号出错。 【典例1】（2026七年级上·全国·专题练习）下列乘积的结果，符号为正的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘法的运算法则，计算出每个选项的结果，根据结果判断即可． 【详解】解：A． ，结果为，不符合题意； B． ，结果为负数，不符合题意； C． ，结果是正数，符合题意； D． 结果是负数，不符合题意． 【变式1-1】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【变式1-2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： ______． 【答案】1 【分析】两个负数相乘，先确定乘积的符号，再计算绝对值的乘积即可得到结果． 【详解】解：∵根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正， ∴乘积符号为正，计算绝对值的乘积可得原式． 【变式1-3】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) ． 【答案】(1)20 (2)1 (3)1 (4)0 (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）将带分数化为假分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据“乘以任何数都等于”计算即可； （5）将小数化为分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解：． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． ▌题型02 乘法运算律与分配律逆用 1. 乘法交换律 2. 乘法结合律 3. 乘法分配律 逆用： 4. 简便运算常用技巧 ① 凑整法：将能凑成整数的因数先相乘。 ② 分配律展开：将括号外的数分别与括号内各项相乘。 ③ 分配律逆用：提取公因数，简化计算。 ④ 拆项法：将带分数拆成整数与分数之和，再运用分配律。 5. 易错提醒 ① 分配律使用时，漏乘括号内的某一项。 ② 括号前是负号时，去括号忘记变号。 ③ 逆用分配律时，提取公因数不完整。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1-1】（2023七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是________． 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 【答案】 乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律 【分析】根据每一步运算的变形形式，对应有理数乘法的运算律判断填空即可. 【详解】略 【变式1-3】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型03 除法法则与倒数 1. 有理数除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 2. 除法转化为乘法 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数： 3. 倒数的定义 乘积为 1 的两个数互为倒数。 特别地，0没有倒数。 4. 含 0 的除法 ① 0除以任何不为 0 的数都得 0： ② 任何数都不能除以 0（无意义）。 5. 易错提醒 ① 混淆倒数与相反数（倒数是积为 1，相反数是和为 0）。 ② 除法转化为乘法时，忘记将除数变为其倒数。 ③ 误认为 0 有倒数。 【典例1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）除以非数等于； （2）同号两数相除得正，除法转化为乘倒数计算； （3）小数化为分数，除法改乘法，直接约分； （4）异号相除取负，分数乘倒数，约分化简； （5）有理数连除，先判断符号，除法全部换成乘法计算； （6）多个数连除，小数转分数，负负为正，约分求值； （7）小数改写成分数，除以分数变为乘倒数，约分求值； （8）小数转换分数，除法变乘法，约分求值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·单元测试）2026的倒数是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】D 【详解】解：的倒数为． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． ▌题型04 乘除混合运算 1. 乘除混合运算的顺序 乘除是同级运算，应按从左到右的顺序依次进行，有括号时先算括号内的。 2. 统一化为乘法 将除法转化为乘法后，再利用乘法法则和运算律简化计算： 3. 符号确定 先根据负因数的个数确定结果的符号（奇负偶正），再计算绝对值的乘积。 4. 易错提醒 ① 乘除混合运算中，错误地先算后面的乘法（应严格从左到右）。 ② 除法转化为乘法时，只改变一个数的符号或忘记取倒数。 ③ 多个数连除时，符号判断错误。 【典例1】（2022·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 【变式1-1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解：． 【变式1-2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_____． 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再按顺序从左到右计算即可． 【详解】解： ． 【变式1-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． 【答案】 解：不正确. 错误之处：乘除为同级运算，应从左到右依次计算，原解法错误地先计算后两个数的乘法，违背了同级运算的顺序． 正确解答： ． 【详解】略 ▌题型05 含分数的乘除技巧 1. 带分数化假分数 进行乘除运算前，先将带分数化为假分数： 2. 除法变乘法 将除法转化为乘法，除以一个分数等于乘以它的倒数： 3. 约分技巧 在乘法运算中，先约分再计算，可以简化运算、减少错误。 4. 分配律的灵活运用 当括号内是多个分数的和（差），且括号外是括号内各分母的公倍数时，可运用分配律展开简化。 5. 倒数法 对于形如的式子，可先求原式的倒数，简化计算后再取倒数。 6. 易错提醒 ① 带分数化假分数时计算错误。 ② 除法变乘法时，忘记将除数取倒数。 ③ 约分时，误将分子与分子、分母与分母约分。 ④ 分配律使用时，漏乘或符号错误。 【典例1】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： . 【变式1-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）计算． (1) (2) (3)（用简便算法） (4) 【答案】(1) (2)18 (3) (4) 【分析】该题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，逆用乘法分配律求解即可． （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律求解即可． （3）将137变为，再根据乘法分配律求解即可． （4）先将小数转化为分数、除法转化为乘法，再根据乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：         ． （2）解：          ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1-2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为：. 【变式1-4】（26-27七年级·全国·小升初衔接）怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4)，3 (5)1 (6) (7)1 (8)2 【分析】本题考查的是简便运算，按照分配律，结合律，交换律的规则以及运算顺序和规则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：      ； （4）解：      ； （5）解： ； （6）解：      ； （7）解：      ； （8）解： ． ▌题型06 乘除法在实际问题中的应用 1. 正负数表示相反意义的量 ① 先确定“基准”（规定为正的量），另一种与之相反的量规定为负。 ② 常见场景： 温度：零上，零下。 海拔：高于海平面 ，低于海平面 。 盈亏：盈利 (+200) 元，亏损 (-100) 元。 方向：向东 ，向西 。 2. 解题关键 ① 明确“正”所代表的含义。 ② 将实际问题中的数据转化为有理数（注意单位统一）。 ③ 根据题意列式，运用有理数乘除法法则计算。 ④ 结合生活常识验证结果是否合理。 3. 常见应用模型 ① 总价问题：总价 = 单价 × 数量。 ② 行程问题：路程 = 速度 × 时间。 ③ 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 ④ 利润问题：利润 = (售价 − 进价) × 销量。 4. 易错提醒 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 -5”误认为增加，实际是减少5。 ④ 计算利润时，忘记乘以销售数量。 【典例1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知1滴水约0.05毫升，一个水龙头1小时漏水72000滴，约水．照这样估一估，一个水龙头滴水1年浪费水接近（     ） A．3600千克 B．31吨 C．13140千克 D．3.1吨 【答案】B 【详解】解：年按天计算，（千克）， 千克吨，与吨最接近． 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·开学考试）公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【答案】2 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费________元． 【答案】 【分析】锯木头问题中，锯的次数等于段数减1，先计算锯1次需要的费用，再计算锯成10段的总费用． 【详解】解：锯成5段需要锯的次数为． 锯1次需要付费（元）． 锯成10段需要锯的次数为． 总付费为（元）． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【答案】 【分析】令可得块蛋糕的质量，再令结果除以，即可得一块蛋糕的质量． 【详解】解：由题意可得：块蛋糕的质量为：（克）， ∴一块蛋糕的质量为：（克）， 【变式1-4】（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）某文创店销售一种“悟空”主题盲盒，每个盲盒的进价为元，售价为元． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与每天个的差（个） (1)若某天售出个盲盒，求这天销售这种盲盒的利润； (2)上表是该店一周的销售记录（以每天售出个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负），求这一周共售出多少个盲盒； (3)求这一周销售这种盲盒的总利润． 【答案】(1)元 (2)个 (3)元 【详解】（1）解：（元）； 答：这天销售这种盲盒的利润为元； （2）解：（个）； 答：这一周共售出个盲盒； （3）解：（元）； 答：这一周销售这种盲盒的总利润为元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的乘除运算 （题型突破·举一反三） 题型1 两数相乘及多因数符号判定 题型2 乘法运算律与分配律逆用 题型3 除法法则与倒数 题型4 乘除混合运算 题型5 含分数的乘除技巧 题型6 乘除法在实际问题中的应用 ▌题型01 两数相乘及多因数符号判定 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 多个因数相乘的符号法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： ① 负因数有偶数个时，积为正； ② 负因数有奇数个时，积为负。 即：奇负偶正。 3. 含 0 的乘法 任何数与 0 相乘，积都为 0： 4. 易错提醒 ① 多因数相乘时，只数负因数个数，忘记带负号的因数是否算负因数。 ② 误认为带“−”号的数一定是负数（如 是正数）。 ③ 计算时先定符号再算绝对值，顺序颠倒导致符号出错。 【典例1】（2026七年级上·全国·专题练习）下列乘积的结果，符号为正的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27七年级·全国·暑假作业）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： ______． 【变式1-3】（2026七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) ． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) ▌题型02 乘法运算律与分配律逆用 1. 乘法交换律 2. 乘法结合律 3. 乘法分配律 逆用： 4. 简便运算常用技巧 ① 凑整法：将能凑成整数的因数先相乘。 ② 分配律展开：将括号外的数分别与括号内各项相乘。 ③ 分配律逆用：提取公因数，简化计算。 ④ 拆项法：将带分数拆成整数与分数之和，再运用分配律。 5. 易错提醒 ① 分配律使用时，漏乘括号内的某一项。 ② 括号前是负号时，去括号忘记变号。 ③ 逆用分配律时，提取公因数不完整。 【典例1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-1】（2023七年级下·浙江·竞赛）计算的结果是________． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·课后作业）请在下列括号里填写运算的依据：     （                    ）     （                    ）     （                    ） ． 【变式1-3】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）计算： 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ▌题型03 除法法则与倒数 1. 有理数除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 2. 除法转化为乘法 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数： 3. 倒数的定义 乘积为 1 的两个数互为倒数。 特别地，0没有倒数。 4. 含 0 的除法 ① 0除以任何不为 0 的数都得 0： ② 任何数都不能除以 0（无意义）。 5. 易错提醒 ① 混淆倒数与相反数（倒数是积为 1，相反数是和为 0）。 ② 除法转化为乘法时，忘记将除数变为其倒数。 ③ 误认为 0 有倒数。 【典例1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：________． 【变式1-1】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【变式1-2】（26-27七年级上·全国·单元测试）2026的倒数是（     ） A． B．2026 C． D． 【变式1-3】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌题型04 乘除混合运算 1. 乘除混合运算的顺序 乘除是同级运算，应按从左到右的顺序依次进行，有括号时先算括号内的。 2. 统一化为乘法 将除法转化为乘法后，再利用乘法法则和运算律简化计算： 3. 符号确定 先根据负因数的个数确定结果的符号（奇负偶正），再计算绝对值的乘积。 4. 易错提醒 ① 乘除混合运算中，错误地先算后面的乘法（应严格从左到右）。 ② 除法转化为乘法时，只改变一个数的符号或忘记取倒数。 ③ 多个数连除时，符号判断错误。 【典例1】（2022·山东泰安·模拟预测）计算：得（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_____． 【变式1-2】（2026七年级上·全国·专题练习）计算：_____． 【变式1-3】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）计算：． 【变式1-4】（26-27七年级上·全国·课后作业）计算，下面的解法正确吗?若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ． ▌题型05 含分数的乘除技巧 1. 带分数化假分数 进行乘除运算前，先将带分数化为假分数： 2. 除法变乘法 将除法转化为乘法，除以一个分数等于乘以它的倒数： 3. 约分技巧 在乘法运算中，先约分再计算，可以简化运算、减少错误。 4. 分配律的灵活运用 当括号内是多个分数的和（差），且括号外是括号内各分母的公倍数时，可运用分配律展开简化。 5. 倒数法 对于形如的式子，可先求原式的倒数，简化计算后再取倒数。 6. 易错提醒 ① 带分数化假分数时计算错误。 ② 除法变乘法时，忘记将除数取倒数。 ③ 约分时，误将分子与分子、分母与分母约分。 ④ 分配律使用时，漏乘或符号错误。 【典例1】（25-26七年级上·全国·寒假作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式1-1】（25-26六年级上·黑龙江绥化·期末）计算． (1) (2) (3)（用简便算法） (4) 【变式1-2】（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【变式1-3】（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【变式1-4】（26-27七年级·全国·小升初衔接）怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ▌题型06 乘除法在实际问题中的应用 1. 正负数表示相反意义的量 ① 先确定“基准”（规定为正的量），另一种与之相反的量规定为负。 ② 常见场景： 温度：零上，零下。 海拔：高于海平面 ，低于海平面 。 盈亏：盈利 (+200) 元，亏损 (-100) 元。 方向：向东 ，向西 。 2. 解题关键 ① 明确“正”所代表的含义。 ② 将实际问题中的数据转化为有理数（注意单位统一）。 ③ 根据题意列式，运用有理数乘除法法则计算。 ④ 结合生活常识验证结果是否合理。 3. 常见应用模型 ① 总价问题：总价 = 单价 × 数量。 ② 行程问题：路程 = 速度 × 时间。 ③ 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 ④ 利润问题：利润 = (售价 − 进价) × 销量。 4. 易错提醒 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 -5”误认为增加，实际是减少5。 ④ 计算利润时，忘记乘以销售数量。 【典例1】（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知1滴水约0.05毫升，一个水龙头1小时漏水72000滴，约水．照这样估一估，一个水龙头滴水1年浪费水接近（     ） A．3600千克 B．31吨 C．13140千克 D．3.1吨 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·开学考试）公园个人票每张5元，团体票每张30元，供不超过10人入园，买10张以上的团体票，可优惠，某单位秋游，原来准备的钱刚好够145人的门票用，临时又加了两个人，幸好两人每人都带了相同多的钱，这样147人刚好都能购票入园，这两人共带了_______元． 【变式1-2】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一根木头，锯成5段要付费2.2元，如果要锯成10段应付费________元． 【变式1-3】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）如果在盒子里放入3块同样的蛋糕，那么连盒共重克；如果在同样的盒子里放入5块同样的蛋糕，那么连盒共重克．则一块蛋糕重________克． 【变式1-4】（26-27七年级上·福建莆田·阶段检测）某文创店销售一种“悟空”主题盲盒，每个盲盒的进价为元，售价为元． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与每天个的差（个） (1)若某天售出个盲盒，求这天销售这种盲盒的利润； (2)上表是该店一周的销售记录（以每天售出个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负），求这一周共售出多少个盲盒； (3)求这一周销售这种盲盒的总利润． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数的乘除运算 （题型突破·举一反三） 题型1 两数相乘及多因数符号判定 题型2 乘法运算律与分配律逆用 题型3 除法法则与倒数 题型4 乘除混合运算 题型5 含分数的乘除技巧 题型6 乘除法在实际问题中的应用 ▌题型01 两数相乘及多因数符号判定 1. 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 多个因数相乘的符号法则 几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： ① 负因数有偶数个时，积为正； ② 负因数有奇数个时，积为负。 即：奇负偶正。 3. 含 0 的乘法 任何数与 0 相乘，积都为 0： 4. 易错提醒 ① 多因数相乘时，只数负因数个数，忘记带负号的因数是否算负因数。 ② 误认为带“−”号的数一定是负数（如 是正数）。 ③ 计算时先定符号再算绝对值，顺序颠倒导致符号出错。 【典例1】 【答案】C 【分析】根据有理数乘法的运算法则，计算出每个选项的结果，根据结果判断即可． 【详解】解：A． ，结果为，不符合题意； B． ，结果为负数，不符合题意； C． ，结果是正数，符合题意； D． 结果是负数，不符合题意． 【变式1-1】 【答案】B 【分析】根据有理数乘法的符号法则，同号为正，异号为负，积的符号由负因数的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负因数，积的符号为正，不符合题意； B、有3个负因数，积的符号为负，符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有4个负因数，积的符号为正，不符合题意． 【变式1-2】 【答案】1 【分析】两个负数相乘，先确定乘积的符号，再计算绝对值的乘积即可得到结果． 【详解】解：∵根据有理数乘法法则，同号两数相乘得正， ∴乘积符号为正，计算绝对值的乘积可得原式． 【变式1-3】 【答案】(1)20 (2)1 (3)1 (4)0 (5) (6) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）将带分数化为假分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据“乘以任何数都等于”计算即可； （5）将小数化为分数，根据有理数的乘法法则计算即可； （6）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：； （5）解： ； （6）解：． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． ▌题型02 乘法运算律与分配律逆用 1. 乘法交换律 2. 乘法结合律 3. 乘法分配律 逆用： 4. 简便运算常用技巧 ① 凑整法：将能凑成整数的因数先相乘。 ② 分配律展开：将括号外的数分别与括号内各项相乘。 ③ 分配律逆用：提取公因数，简化计算。 ④ 拆项法：将带分数拆成整数与分数之和，再运用分配律。 5. 易错提醒 ① 分配律使用时，漏乘括号内的某一项。 ② 括号前是负号时，去括号忘记变号。 ③ 逆用分配律时，提取公因数不完整。 【典例1】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1-1】 【答案】 【分析】原式逆用乘法分配律进行简算即可． 【详解】解： ． 【变式1-2】 【答案】 乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律 【分析】根据每一步运算的变形形式，对应有理数乘法的运算律判断填空即可. 【详解】略 【变式1-3】 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ▌题型03 除法法则与倒数 1. 有理数除法法则 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 2. 除法转化为乘法 除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数： 3. 倒数的定义 乘积为 1 的两个数互为倒数。 特别地，0没有倒数。 4. 含 0 的除法 ① 0除以任何不为 0 的数都得 0： ② 任何数都不能除以 0（无意义）。 5. 易错提醒 ① 混淆倒数与相反数（倒数是积为 1，相反数是和为 0）。 ② 除法转化为乘法时，忘记将除数变为其倒数。 ③ 误认为 0 有倒数。 【典例1】 【答案】 【详解】解：． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】（1）除以非数等于； （2）同号两数相除得正，除法转化为乘倒数计算； （3）小数化为分数，除法改乘法，直接约分； （4）异号相除取负，分数乘倒数，约分化简； （5）有理数连除，先判断符号，除法全部换成乘法计算； （6）多个数连除，小数转分数，负负为正，约分求值； （7）小数改写成分数，除以分数变为乘倒数，约分求值； （8）小数转换分数，除法变乘法，约分求值． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． 【变式1-2】 【答案】D 【详解】解：的倒数为． 【变式1-3】 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． ▌题型04 乘除混合运算 1. 乘除混合运算的顺序 乘除是同级运算，应按从左到右的顺序依次进行，有括号时先算括号内的。 2. 统一化为乘法 将除法转化为乘法后，再利用乘法法则和运算律简化计算： 3. 符号确定 先根据负因数的个数确定结果的符号（奇负偶正），再计算绝对值的乘积。 4. 易错提醒 ① 乘除混合运算中，错误地先算后面的乘法（应严格从左到右）。 ② 除法转化为乘法时，只改变一个数的符号或忘记取倒数。 ③ 多个数连除时，符号判断错误。 【典例1】 【答案】B 【分析】根据有理数混合运算的法则求解即可； 【详解】解：原式， ． 【变式1-1】 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】解：． 【变式1-2】 【答案】 【分析】先将除法转化为乘法，再按顺序从左到右计算即可． 【详解】解： ． 【变式1-3】 【答案】 【详解】解： ． 【变式1-4】 【答案】 解：不正确. 错误之处：乘除为同级运算，应从左到右依次计算，原解法错误地先计算后两个数的乘法，违背了同级运算的顺序． 正确解答： ． 【详解】略 ▌题型05 含分数的乘除技巧 1. 带分数化假分数 进行乘除运算前，先将带分数化为假分数： 2. 除法变乘法 将除法转化为乘法，除以一个分数等于乘以它的倒数： 3. 约分技巧 在乘法运算中，先约分再计算，可以简化运算、减少错误。 4. 分配律的灵活运用 当括号内是多个分数的和（差），且括号外是括号内各分母的公倍数时，可运用分配律展开简化。 5. 倒数法 对于形如的式子，可先求原式的倒数，简化计算后再取倒数。 6. 易错提醒 ① 带分数化假分数时计算错误。 ② 除法变乘法时，忘记将除数取倒数。 ③ 约分时，误将分子与分子、分母与分母约分。 ④ 分配律使用时，漏乘或符号错误。 【典例1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算定律，进行简便计算； （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： . 【变式1-1】 【答案】(1) (2)18 (3) (4) 【分析】该题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，逆用乘法分配律求解即可． （2）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律求解即可． （3）将137变为，再根据乘法分配律求解即可． （4）先将小数转化为分数、除法转化为乘法，再根据乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：         ． （2）解：          ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1-2】 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1-3】 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为：. 【变式1-4】 【答案】(1) (2) (3) (4)，3 (5)1 (6) (7)1 (8)2 【分析】本题考查的是简便运算，按照分配律，结合律，交换律的规则以及运算顺序和规则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：      ； （4）解：      ； （5）解： ； （6）解：      ； （7）解：      ； （8）解： ． ▌题型06 乘除法在实际问题中的应用 1. 正负数表示相反意义的量 ① 先确定“基准”（规定为正的量），另一种与之相反的量规定为负。 ② 常见场景： 温度：零上，零下。 海拔：高于海平面 ，低于海平面 。 盈亏：盈利 (+200) 元，亏损 (-100) 元。 方向：向东 ，向西 。 2. 解题关键 ① 明确“正”所代表的含义。 ② 将实际问题中的数据转化为有理数（注意单位统一）。 ③ 根据题意列式，运用有理数乘除法法则计算。 ④ 结合生活常识验证结果是否合理。 3. 常见应用模型 ① 总价问题：总价 = 单价 × 数量。 ② 行程问题：路程 = 速度 × 时间。 ③ 工程问题：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。 ④ 利润问题：利润 = (售价 − 进价) × 销量。 4. 易错提醒 ① 忽略“基准量”的确定，导致正负判断错误。 ② 单位不统一时直接比较或运算。 ③ 将“增加 -5”误认为增加，实际是减少5。 ④ 计算利润时，忘记乘以销售数量。 【典例1】 【答案】B 【详解】解：年按天计算，（千克）， 千克吨，与吨最接近． 【变式1-1】 【答案】2 【分析】先计算优惠后的团体票单价，对比不同购票方案的花费得到145人入园时单位原准备的钱数，再计算147人入园的最低总花费，两者的差就是两人共带的钱数． 【详解】解：优惠后每张团体票价格为：元， 计算145人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票（容纳140人）5张个人票，总花费为元， 方案2：买15张团体票（可容纳150人），总花费为元， ∵，原来准备的钱刚好够145人门票， ∴单位原来准备的钱为403元， 计算147人不同购票方案的花费： 方案1：买14张团体票7张个人票，总花费为 元， 方案2：买15张团体票，总花费为 元， ∵， ∴147人入园的最低总花费为405元， 两人共带的钱为：元． 【变式1-2】 【答案】 【分析】锯木头问题中，锯的次数等于段数减1，先计算锯1次需要的费用，再计算锯成10段的总费用． 【详解】解：锯成5段需要锯的次数为． 锯1次需要付费（元）． 锯成10段需要锯的次数为． 总付费为（元）． 【变式1-3】 【答案】 【分析】令可得块蛋糕的质量，再令结果除以，即可得一块蛋糕的质量． 【详解】解：由题意可得：块蛋糕的质量为：（克）， ∴一块蛋糕的质量为：（克）， 【变式1-4】 【答案】(1)元 (2)个 (3)元 【详解】（1）解：（元）； 答：这天销售这种盲盒的利润为元； （2）解：（个）； 答：这一周共售出个盲盒； （3）解：（元）； 答：这一周销售这种盲盒的总利润为元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $