2.2 有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用专项训练-2026-2027学年人教版七年级数学上册

有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 考点目录 有理数的乘法运算 有理数乘法运算律 有理数乘法的实际应用 考点一 有理数的乘法运算 例1．（25-26七年级上·湖南株洲·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的四则运算法则，算式中有括号要先计算括号里面的值，再计算括号外面的乘法的值，即可得到答案． （2）根据有理数的四则运算法则，算式中有括号要先计算括号里面的值，再计算括号外面的乘法的值，即可得到答案． （3）式子中数字较大，将改写成，再根据有理数的乘法运算律进行计算，即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 例2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）确定下列各乘积的正负号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)负号 (2)负号 (3)正号 (4)正号 【详解】（1）解：异号得负，乘积为负号； （2）解：异号得负，乘积为负号； （3）解：同号得正，乘积为正号； （4）解：同号得正，乘积为正号． 例3．（25-26七年级上·山东威海·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用乘法交换律调整计算顺序，简化运算即可； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算即可； （3）利用乘法分配律展开计算，注意符号变化； （4）利用乘法交换律调整计算顺序，约分后计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 变式1．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 变式2．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数乘法法则逐个计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 变式3．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 考点二 有理数乘法运算律 例1．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． 该算式运用了乘法的交换律，因此A选项不正确； B． 该算式运用了乘法的分配律，因此B选项正确； C． 该算式没有运用乘法的分配律，因此C选项不正确； D． 该算式没有运用乘法的分配律，因此D选项不正确． 例2．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如果，，那么A和B的关系是（     ）． A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】将A、B拆为含相同乘积项的形式，比较剩余部分的大小． 【详解】解：，， ∵ 两式相同部分为，且， ∴ ． 例3．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）式子中运用的运算律是___________． 【答案】乘法结合律和乘法分配律 【分析】本题考查了乘法运算律． 式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 【详解】解：式子中先计算，体现了乘法的结合律；然后将100分别与括号内的各项相乘，得到，这运用了乘法分配律． 故答案为：乘法结合律和乘法分配律． 变式1．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 又 原式可变形为 ． 变式2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据乘法分配律求解即可． 【详解】解：． 变式3．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 【答案】58 【详解】解： ． 变式4．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 考点三 有理数乘法的实际应用 例1．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通素有“建筑之乡”的美誉，濠河穿城而过．某日8时至18时，濠河水位随时间均匀下降，每小时下降0.3米．若水位上升记作正，则当日18时水位与当日8时水位的差值应记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：8时至18时共经过10小时，水位均匀下降， 故总变化量为（米）． 水位下降记作负，故这个差值应记作米． 例2．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通博物苑是中国最早的博物馆，馆内某展厅的门票实行两类定价：全价票每张元，学生票每张比全价票便宜元．某日该展厅共售出全价票张、学生票张，则当日门票收入为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】门票收入全价票单价全价票张数学生票单价学生票张数． 【详解】解：学生票每张（元）， 全价票收入为（元），学生票收入为（元）， 当日门票收入合计（元）． 例3．（25-26七年级上·山东烟台·阶段检测）某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________． 【答案】103545 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，仔细观察题目所给式子，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：； ； ， ∴， 故答案为：103545． 例4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某水果店有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 2 箱数 2 3 4 4 2 若苹果每千克售价为6元，出售这15箱苹果可卖______元． 【答案】918 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的混合运算的应用． 先计算与标准质量的总差值，再求实际总重量，最后根据单价计算总售价． 【详解】解：与标准质量的总差值为：， 故总超过， 实际总重量为：， 总售价为：元． 故答案为：918． 变式1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知1滴水约0.05毫升，一个水龙头1小时漏水72000滴，约水．照这样估一估，一个水龙头滴水1年浪费水接近（     ） A．3600千克 B．31吨 C．13140千克 D．3.1吨 【答案】B 【详解】解：年按天计算，（千克）， 千克吨，与吨最接近． 变式2．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【分析】结合砖茶汤占比条件先排除牛奶质量过大的选项，再计算牛奶占比时的基准质量，匹配最接近的选项． 【详解】解：砖茶汤占整锅奶茶质量左右，总质量为千克，则砖茶汤质量约千克． 牛奶占比左右，小于砖茶占比，故牛奶质量小于千克，排除A、B选项．（千克），剩余选项中千克更接近千克，C符合要求． 变式3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 【答案】80 【详解】解：由题意得，8折指售价为标价的， 则每件商品的售价是（元）． 变式4．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 【答案】 【分析】要保证长沙队进入前名，需考虑最坏情况，即让第名的积分达到最大可能值，若长沙队积分高于该最大积分即可保证晋级，最坏情况为前名均击败后名，且前名内部积分平均分配，使第名积分最高即可求解． 【详解】解：支球队单循环比赛，总比赛场数为， 若所有比赛均分出胜负，每场产生个胜场，总胜场为， 要使前名积分尽可能高且平均，所有比赛分出胜负，则： ① 后支球队内部共有场比赛，总胜场为，全部为后支球队获得； ②前支球队对阵后支球队共场比赛，前支球队全部获胜，每队在此得到分，共获得个胜场； ③ 前支球队内部共有场比赛，总胜场为，平均分给支球队，每队获得个胜场，每队在此得到分； 因此每支前球队总积分为，总胜场为，符合总胜场要求，该情况成立，说明支球队可以同时积分，所以分无法保证进入前， 若长沙队积分，若存在支球队积分不低于分，则每队至少需要个胜场，总胜场至少为，矛盾，因此不可能存在支球队积分不低于分，故分一定可以保证进入前， 所以长沙队至少要积分，才能保证进入淘汰赛． 2 学科网（北京）股份有限公司 $有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 有理数的乘法运算、有理数乘法运算律、有理数乘法的实际应用专项训练 考点目录 有理数的乘法运算 有理数乘法运算律 有理数乘法的实际应用 考点一 有理数的乘法运算 例1．（25-26七年级上·湖南株洲·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 例2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）确定下列各乘积的正负号： (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（25-26七年级上·山东威海·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式1．（25-26七年级上·广东汕头·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式3．（25-26七年级上·山西运城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点二 有理数乘法运算律 例1．（26-27七年级上·浙江·开学考试）下列算式中，可以用乘法分配律简算的是（     ）． A． B． C． D． 例2．（25-26七年级上·陕西咸阳·开学考试）如果，，那么A和B的关系是（     ）． A． B． C． D．不能确定 例3．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）计算：___________． 例4．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）式子中运用的运算律是___________． 变式1．（2026·河北唐山·模拟预测）在用运算律计算时，题目变形合理的为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算24×的结果是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式3．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）计算：________． 变式4．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 考点三 有理数乘法的实际应用 例1．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通素有“建筑之乡”的美誉，濠河穿城而过．某日8时至18时，濠河水位随时间均匀下降，每小时下降0.3米．若水位上升记作正，则当日18时水位与当日8时水位的差值应记作（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 例2．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）南通博物苑是中国最早的博物馆，馆内某展厅的门票实行两类定价：全价票每张元，学生票每张比全价票便宜元．某日该展厅共售出全价票张、学生票张，则当日门票收入为（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 例3．（25-26七年级上·山东烟台·阶段检测）某校园餐厅把密码做成了数学题，小亮在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________． 例4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某水果店有15箱苹果，以每箱为标准，超过或不足的千克数分别用正数、负数来表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 2 箱数 2 3 4 4 2 若苹果每千克售价为6元，出售这15箱苹果可卖______元． 变式1．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知1滴水约0.05毫升，一个水龙头1小时漏水72000滴，约水．照这样估一估，一个水龙头滴水1年浪费水接近（     ） A．3600千克 B．31吨 C．13140千克 D．3.1吨 变式2．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）内蒙古奶茶，是鄂尔多斯牧民待客的常见饮料，煮一锅内蒙古奶茶，其中牛奶占整锅奶茶质量左右，砖茶汤占左右，如果整锅奶茶的总质量为千克，那么牛奶的质量可能是（     ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 变式3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知某商品每件标价为100元，按照标价的8折出售，那么每件商品的售价是______元． 变式4．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）年“湘超联赛”极大激发了湖南人民的足球热情，常规赛中全省共有个队进行单循环比赛，每场比赛胜队积分，败队积分，平局时两队各积分，常规赛结束以后，总积分最高的个队进入下一轮的淘汰赛，如果总积分相同，还要按净胜球等排序，若年常规赛规则不变，长沙队想要保证进入淘汰赛，则长沙队至少要积多少分？针对该问题，甲，乙，丙，丁四位同学进行了以下讨论： 甲：一共进行了场比赛，我们需要考虑最理想的情况，假设每一场都分出胜负，可以让前名积分相同，并且积分尽可能低一点． 乙：不仅要考虑前名，还要让第名的积分尽可能高一点，可以先考虑和前名积分一样，这样个队尽可能平分个胜场，积分就能保证进入前八名． 丙：前个队不可能包揽全部个胜场，比如后面个队之间的比赛胜场． 丁：刚刚都是理想情况下的分析，还要验证一下能不能实现． 结合四位同学的讨论，长沙队至少要积______分，才能保证进入淘汰赛． 2 学科网（北京）股份有限公司 $