专题：数列-2027届高三数学专项提优练习

专题：数列-2027届高三数学专项提优练习 一、单选题 1．已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 2．，则数列的前项和为（    ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 4．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．某光电子产业基地汇聚众多高科技企业，在多个领域打破国际垄断、领跑全球.已知该地某芯片企业近个月的月产量构成等比数列，其中前个月总产量为万片，前个月总产量为万片，则该企业这个月的总产量为（    ） A．万片 B．万片 C．万片 D．万片 6．在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列的公差为，前项和为．若，，则下列结论中不正确的是（    ） A．的图象是关于的开口向上的抛物线上的一些点 B． C．数列是等差数列 D． 8．已知数列（，），其中，且，，成等差数列，公差为（，，）．若将数列中的项分成五组：，，，，，每组的两个数之和构成一个等比数列，则（    ） A．18 B．30 C．32 D．36 二、多选题 9．已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A．数列为递减数列 B． C． D．的最大值为 10．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则数列的前7项和 C．从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种 11．若数列的项数为，且每一项都为或，若存在正整数，使得，则称为“―完美数列”，设“―完美数列”的个数为，则（   ） A．数列，，，，不是“5―完美数列” B． C．以为首项的“―完美数列”的个数为 D． 三、填空题 12．已知数列，设，，.当取得最小值时，_________. 13．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________． 14．已知数列是单调递增的无穷数列，是单调递减的无穷数列.有以下四个结论：①存在数列和，使得；②存在数列和，使得；③对于任意无穷等差数列，总存在和使得；④对于任意无穷单调等比数列，总存在数列和数列使得.其中，所有正确结论的序号是________. 四、解答题 15．已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 16．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 17．在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)若，记数列的前项和为，若对一切，不等式都成立，求实数的取值范围． 18．已知公差不为零的等差数列的前5项和为35，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 19．由这个数排成一个数列，若两个1之间恰好有1个数，两个2之间恰好有2个数，，两个之间恰好有个数，则称这个数列为“完美闭环数列”.显然，时不能构成“完美闭环数列”.时，构成了“完美闭环数列”.若数列中的项与的奇偶性相同，称该项为“和谐项”，当时，，，，共有4项“和谐项”. (1)补全时的“完美闭环数列”：，并列出其所有“和谐项”. (2)证明：当时，不存在“完美闭环数列”. (3)可以构成“完美闭环数列”，同学们在171中学“知己知彼”、“拾级而上”，相信171也必将是你中学时代的“完美闭环”，从这里出发，向梦想远行.请写出时的“完美闭环数列”. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《专题：数列-2027届高三数学专项提优练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A B C A B B BC ABD 题号 11 答案 ACD 1．D 【详解】因为，所以， 作差可得，即， 又，代入可得， 所以数列从第二项起为公比是2的等比数列， 所以. 2．C 【分析】先根据求出,根据数列判断出正负情况，进而求得答案 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 3．A 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 4．B 【分析】本题考查等比数列前项积的最值，前项积的增减由每一项与1的大小关系决定：乘大于1的项，积变大；乘小于1的项，积变小，因此只需找到由大于1转为小于1的分界项即可. 【详解】已知数列为等比数列，，公比，则， 因为数列是首项为正、公比为正的等比数列，所有项均为正数，因此前项积的变化规律为： 当时，，即前项积递增；当时，；即前项积递减. 因此当从大于1过渡到小于1时，取得最大值. 令，得，化简得，解得，即， 当时，，； 当时，， 所以，取得最大值时的值为8. 5．C 【详解】设该芯片企业近个月的月产量构成等比数列，公比为，前项和为， 则，，， ，， 即该企业这个月的总产量为万片. 6．A 【详解】由条件可知联立可解得 所以， 所以， 因为， 所以的公差． 7．B 【分析】利用基本量法求出首项和公差后求出判断A，计算后判断BD，根据等差数列的性质可判断C. 【详解】由得解得 对于A，的图象是关于的开口向上的抛物线上的一些点，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，数列是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，，故D正确． 8．B 【分析】根据题意表示出数列中的项，并计算分成五组的和，解出等比数列的公比，使用基本量求解. 【详解】时，成等差数列，公差，，，， 时，成等差数列，公差，，， 时，成等差数列，公差，，， 设五组的和依次为， ，，，， ， 成等比数列，则，即，解得， 所以，则公比为，由五组构成等比数列得 ，，，， 解得. 9．BC 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 10．ABD 【详解】由题意得，是等比数列，公比，项数，前7项和， 等比数列求和公式：， 解得，故A正确； ，是等差数列， ，，， 即，故B正确； 是等比递增数列，公比， 假设存在三项，，成等差数列，则， ，化简：， 右边是奇数加偶数，结果为奇数；左边是2的整数次幂，大于1必为偶数，矛盾， 故C错误； 求两层灯数乘积的组合， 数列；，各项：3，6，12，24，48，96，192， 若两项中有一个为：，，， ，，，有5种； 两项中有一个为：：，，，，有3种； 两项中有一个为：：，有1种； 合计9种，故D正确. 11．ACD 【分析】根据题意，依次列出数列的前项和即可判断A；当时，数列有项，依次列出可能的数列及其前项和即可判断B；根据题意得出，符合“―完美数列”的定义即可判断C；把全部“完美数列”分成两大类：首项为 1、首项为 2， 为与的和，结合选项C，得到递推公式，再求出初始值，，再利用特征方程法求通项. 【详解】对于A，已知数列项数，每一项为或， 计算前项和：当时，；当时，；当时， ；当时， ；当时，；其中没有，因此，该数列不是“5―完美数列”，故A正确； 对于B，当时，数列有项，每项为或，总共有个数列， 所有可能的数列及其前()项和如下： ：前项和依次是，有（）；：前项和依次是，无； ：前项和依次是，有（）；：前项和依次是，有（）； ：前项和依次是，有（）；：前项和依次是，有（）； ：前项和依次是，无；：前项和依次是，无； 符合条件的有，，，，，共个，所以，故B错误； 对于C，设数列以为首项，即，需要存在某个，使得，即， 此时，子数列共有项，每项为或， 时左边为0，，右边，所以，所以，令，则，这说明在项的数列中，存在前项 和为，这正是“―完美数列”的定义， 所以以为首项的“―完美数列”与“―完美数列”一一对应，所以个数为，故C正确； 对于D，把全部“完美数列”分成两大类：首项为 1、首项为 2， 为与的和， 由选项C可知，以为首项的“―完美数列”的个数为， 以2为首项， 数列：，共项，由定义：存在，满足，令子数列 ，长度为， 条件等价于：存在，子数列前项和为， ：代表，即只取首项，要求，也就是，这是边界特例； ：的和为，即的前一部分构成完美数列， 于是每一个完美数列，可以生成2 个以开头的完美数列， 首项为 2 的数列个数是 ， 得到递推公式， ：长度为 1，元素， ：前 1 项和是，满足；：前 1 项和是，不满足，所以 ； ：长度为 2，元素只能取 1，2， ：前两项和是，满足； ：前 1 项和是1，前 2 项和是3，不满足； ：前 1 项和是，满足； ：前 1 项和是 ，满足；所以 初值：，利用特征方程法求通项， 由递推公式：，得特征方程：，所以，特征根是，则可设，其中为待定常数，代入初值求， 代入 ， ，得，，解得，， 所以，故D正确. 12．3 【分析】由求得，进而求得的表达式，利用数列单调性定义判断的单调性，进而得解. 【详解】由，得当时，， 两式相除得， 当时，，符合上式，故， 又，所以， 所以， 令， 令，得， 因为，所以，故， 则，所以当时，，即； 当时，， 所以，即当时，取得最小值. 13．/ 【分析】利用等差中项以及等比中项的性质进行化简求值即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以，解得. 又因为是等差数列，所以，所以，解得， 所以 14．②③④ 【分析】因递增数列与递减数列不可能对所有的正整数都相等，即可判断①；取，计算和即可判断②；设，分别取即可判断③；对无穷单调等比数列按首项正负、公比大小分四类，每类都构造出递增数列和递减满足，从而证明判断④. 【详解】对于①：假设存在单调递增数列和单调递减数列，使得， 因为递增，所以为单调递增数列；因为递减， 所以单调递减数列，递增数列与递减数列不可能对所有正整数都相等，故①错误； 对于②：构造例子：令，， 则，满足，故②正确； 对于③：设（为公差）， 取，由于且， 所以单调递增，单调递减，且，故③正确； 对于④：设无穷等比数列的公比为，首项为，所以，由于单调，则必有， 又因为单调等比数列各项同号，所以可分或两种情况, 当时： 情形一： 令，则，且为单调递增数列，为单调递减数列， 故时，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 情形二： 令，则，因为，，故递增； 又，故递减， 所以对于，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 当时： 情形一： 令，则， 因为，所以递增，递减， 所以对于，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 情形二： 令，则， 因为，故递增，递减， 所以对于，总存在单调递增数列和单调递减数列使得； 综上，对于任意无穷单调等比数列，总存在单调递增数列和单调递减数列使得，故④正确. 15．(1)证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）略. （2）由(1)得：， 所以， 所以. 16．(1) (2)由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）利用裂项相消法求解. 【详解】（1）设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. （2）略 17．(1)证明：设， 则， 即， 因为，所以， 则数列是首项为，公差为的等差数列. (2) (3) 【分析】（1）构造新数列，算出，差值固定不变，满足等差数列定义，从而得证. （2）用等差数列通项公式写出，代入，变形得到，两边取倒数，直接写出通项. （3）拆分，分开用等比、等差求和公式算出前项和，化简不等式，转化为，设，作差法判断单调性，得出时最大值为，代入最大值计算，得到. 【详解】（1）略. （2）由（1）可得， ，解得. （3）因为， 依题意，， ， 则转化为， 即，也即， 因为不等式对一切恒成立，所以， 设， 因， 当时，，得， 当时， ，得， 当时，因，则 ，故单调递减， 则有，又， 故，则， 则实数的取值范围为. 18．(1). (2). 【分析】（1）设数列的公差为，利用等差数列通项与前项和的基本量运算，以及等比中项的概念列方程求解即得通项公式； （2）由已知，得到数列的前项和的表达式，先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为， 由 得 ， 即 ①. 由 成等比得， 化简得， 即 ， 将其代入①，解得 . 故数列的通项公式为； （2）由（1）知，， 已知当为奇数时， ；当为偶数时， . 则 . 不妨设， 则， 两式相减，可得 ， 故， 从而. 19．(1)“和谐项” (2)由排成一个数列， 假设存在符合题意的数列，其共有项，依次为， 对于数列中的两项， 若，则之间恰好有个数， 若为奇数，则同奇偶， 若为偶数，则一奇一偶，称为项，为项号， 所有偶数项中（即项的取值为偶数）， 项号取值为个奇数，个偶数， 剩余的奇数项排入数列中需要占据剩下的个奇数项号与个偶数项号， 由于奇数项的项号同奇偶，所以有矛盾. (3)（答案不唯一） 【分析】（1）根据完美闭环数列的定义写出所有“和谐项”； （2）应用反证法，假设存在符合题意的数列，其共有项，其中，结合定义得到矛盾，即可证； （3）根据已知写出一个符合要求的数列即可. 【详解】（1）由完美闭环数列的定义可知，两个3之间必须有3个数， 数列前两项为，则第一个3的位置是1，另一个3的位置必须是5，两个1之间必有1个数， 已知第二个数是1，则另一个1的位置必须是4（中间的第3项为1个数）， 此时数列框架为剩下的两个数是和，分别填入位置3和位置6， 恰好满足两个2之间有2个数（位置4和5的数）， 故补全的“完美闭环数列”为， “和谐项”定义为与的奇偶性相同： （奇奇相同），为和谐项， （奇奇相同），为和谐项， （偶偶相同），为和谐项， 因此，所有“和谐项”为第项 （2）略 （3）当时，可以通过构造法得出“完美闭环数列”，符合条件的一组数列有， 验证：7之间隔6个，3之间隔3个，6之间隔6个，2之间隔2个，5之间隔5个，4之间隔4个，1之间隔1个，符合题意. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $