第三十章 直线与圆的位置关系 单元卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第三十章 直线与圆的位置关系（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、已知的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2、如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 3、如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 4、如图所示，△ABC的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，，，则△ABC的周长为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 5、如图，在△ABC中， I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，则（　　） A．125° B．140° C．130° D．150° 6、下如图，P为外一点，分别切于A，B，C三点，且切线分别交于点M，N．若，则△PMN的周长为（    ） A．12 B．13 C．16 D．24 7、下列关于圆的切线的说法正确的是（　　） A．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B．与圆只有一个公共点的射线是圆的切线 C．经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D．如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 8、如图，△ABC是的内接三角形，．点是延长线上一点，且与相切于点，若的半径为1，则长为（　　） A． B． C． D．3 9、如图，△ABC中，，，，则△ABC的内切圆半径为（　　） A．2 B．4 C．1.5 D．2.5 10、如图，△ABC内接于，为的直径，且与△ABC的边交于点E，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆与直线，它们的位置关系是 ． 12、如图，，分别与相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若，则 ． 13、三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角形中，若直角边边长分别为，斜边长为，则该直角三角形的内切圆直径．当时，该直角三角形的内切圆半径为 ． 14、如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为________． 15、如图，点O是△ABC的内心，，则 ． 16、 如图，、切于、，是直径，连结、．若，则下列结论中，一定正确的是 ． ①；②；③；④． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在△ABC中，，，． (1)若以点C为圆心，长为半径画，则直线与的位置关系如何？ (2)若直线与半径为r的相切，求r的值． (3)若线段与半径为r的有唯一公共点，求r的取值范围． 18、如图，已知是的直径，点为上一点，点为延长线上一点，若，且． 求证：是的切线； 19、如图，△ABC中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长． 20、如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 21、如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为E，，，在的延长线上取一点F，连接，使． (1)求证：是的切线； (2)求的长． 22、如图，在△ABC中，，以为直径的交于点 D，点 E在上，且． (1)求证：是的切线； (2)判断 与 之间的数量关系，并说明理由； (3)若， ，求阴影部分的面积（结果保留）． 23、在学习完《直线与圆的位置关系》，赵老师布置一道作图题如下： 已知：如图，及外一点P． 求作：直线PQ，使PQ与相切于点Q． 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下）： ①连接OP，分别以O，P为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于A，B两点（点A，B分别位于直线OP的上下两侧）： ②作直线AB交OP于点C： ③以点C为圆心，CO为半径作，交⊙O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）； ④连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求作直线． 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)结合作图，说明PQ是切线的理由； (3)若⊙O半径为5，，求OD的长． 24、如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章直线与圆的位置关系（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、已知⊙0的半径为3，圆心O到直线L的距离为4，则直线L与⊙0的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 【答案】C 【详解】解：⊙0的半径为3，圆心0到直线L的距离为4,4>3， .直线L与⊙0的位置关系是相离， 2、如图，⊙0半径0C=10cm,直线l1OC,垂足为H,且1交⊙0于A,B两，点，AB=16cm,将 直线1沿OC所在直线向下平移，若1恰好与⊙0相切时，则平移的距离为（) H A B I A.2cm B.4cm C.6cm D.16cm 【答案】B 【详解】解：连接OA, 1⊥0C, 4h=4B=&01=0C=10 .0H=VO-AH2=V102-82=6, ·将直线1沿0C所在直线向下平移，若1恰好与⊙0相切时， ·.CH=OC-OH=4cm, 即直线在原有位置向下移动4cm后与圆相切. H B I 3、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD=() B E A.60° B.54° C.48° D.36° 【答案】D 【详解】解：正五边形ABCDE内接⊙O ,∠BAE=5-2)x180 72° 5 =108°∠C0D=360° 5 ∴.∠BAE-∠COD=108°-72°=36°， 4、如图所示，△ABC的内切圆⊙0分别与AB,BC,AC相切于，点D,E,F,且AD=6,BE=4 ，CF=8,则△ABC的周长为() 2 B A.36 B.38 C.40 D.42 【答案】A 【详解】解：△ABC的内切圆O0分别与AB,BC,ACAC相切于点D,E,F, .'AD=AF,BD=BE,EC=FC AD=6,BE=4,CF=8, .AF=6,BD=4,CE=8, .BC=BE+EC=12,AB=AD+BD=10,AC=AF+FC=14, .△ABC的周长=BC+AB+AC=36. 5、如图，在△ABC中，∠BIC=125°，I是△ABC的内心，0是△ABC的外心，则∠B0C= () A.125° B.140° C.130° D.150° 【答案】B —3— 【详解】解：过，点I分别作EI L AB,.FI⊥AC,G⊥BC,如图 E B ,点I是△ABC的内心，且结合切线性质 ∠GBI=∠ABC,∠GCI=∠ACB 2 2 ·∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BIC+∠IBC+∠ICB=180° ∠B1C=90°+∠A 2 3125°=90+54 即 .∠A=70°， :点O是△ABC的外心， .∠B0C=2∠A=2×70°=140°， 6、下如图，P为⊙O外一点，PA,PB,MN分别切⊙O于A,B,C三点，且切线MN分别交PA,PB 于点M,N.若PA=12,则△PMN的周长为() M 0。 A.12 B.13 C.16 D.24 【答案】D 【详解】解：，PA,PB分别切O0于A,B, .PA=PB=12. 同理，可得MC=MA,NC=NB, .△PMN的周长 =PM+CM+CN+PN =PM+AM+PN+BN =PA+PB =2PA =24 7、下列关于圆的切线的说法正确的是（) A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线 B.与圆只有一个公共，点的射线是圆的切线 C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线 D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线 【答案】D 【详解】解：A、经过半径的外端，点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； B、与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故原命题错误； —5 C、经过半径的外端，点且垂直于半径的直线是圆的切线，故原命题错误； D、如果圆心到一条直线的距离等于半径长，那么这条直线是圆的切线，原命题正确. 8、如图，△ABC是⊙0的内接三角形，∠ACB=67.5°.，点D是A0延长线上一点，且BD与⊙0相 切于点B,若⊙0的半径为1，则AD长为() B A.1+V2 B.1+V5 C. D.3 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接OB, .·∠ACB=67.5° .∠A0B=2LC=135°， .∠B0D=45°， ,BD与⊙O相切于点B, .∠OBD=90°， —6 ∴△OBD是等腰直角三角形， ..OB=BD=OA=1 ∴.OD=VOB2+BD2=V2, .AD=40+OD=1+2, 9、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r为() B A A.2 B.4 C.1.5 D.2.5 【答案】A 【详解】解：设OO与AB、BC、AC分别相切于，点E、D、F,连接OE,则OE=OD=OF=r, ∠ACB=90°AC=6BC=8 .AB=VAC2+BC2=V6+82=10 连接OA、OB、OD B D A -7 :AB⊥OEBC⊥ODAC⊥OF .SAOB+SBOc+SAoc=S.ABC AB.⊥OEBC⊥ODAC⊥OF 1 1 1 1 ×10r+三×8r+二×6r=二×6×8 2 2 2 2 解得r=2, 10、如图，△ABC内接于⊙0，∠BAC=75°，CD为⊙0的直径，且与△ABC的边AB交于点B,若 AO⊥CD,BE=2 BC ,则的长是() A A.4V5 B.65 c.32+V6 D.33+22 【答案】C 【详解】解：连接OB,过，点E作EF⊥OB于F,过点A作AH⊥BC于H,如图所示： B O E AH :△ABC内接于⊙0，CD为⊙O的直径， ..OA=OC=OD=OB 8 :AO⊥CD, :.∠AOC=∠AOD=90°， .△OAC是等腰直角三角形， .∠OAC=∠OCA=45° ∠BAC=75° ∴.∠OAB=∠BAC-∠OAC=30° .∠OBA=∠OAB=30。 .∠A0B=180°-（∠0BA+∠0AB)=120° .∠EOB=∠AOB-∠AOD=30° ..OE=BE=2, EF⊥OB, ..OB=2BF, 在Rt△BEF中，BE=2,∠OBA=30° EF=BE=1 2 由勾股定理得：BF=√BE2-EF2=V5, ..OB=2BF=23 在RtAOAC中，OA=OC=OB=2√3， 一 9 由勾股定理得：AC=VOA+OC2=2√6， .·∠A0B=120°，∠AOC=90°， .∠B0C=360°-（∠A0B+∠A0C)=150° ...OB=OC ∠0cB=20Bc=280-∠B0C)=159 :.∠ACH=∠OCA+∠OCB=60,∠ABH=∠OBA+∠OCB=45° ·AH⊥BC, △ABH是等腰直角三角形， .AH=BH, 在Rt△ACH中，∠CAH=90°-∠ACH=30° c1=号4c=6 由勾股定理得：AH=VAC2-CH=V26-(N6=32, :BH=AH=32, .BC=BH+CH=32+ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，如图记录的日出美景中，太阳与海天边隙线可看成圆 与直线，它们的位置关系是 一 10— 【答案】相交 【详解】解：由题可知，太阳与海天边隙线可看成的圆和直线有两个公共点，所以太阳和海天边隙 线看成的直线位置关系是相交， 故答案为：相交 12、如图，PA,PB分别与⊙0相切于A,B两，点，C是优孤AB上的一个动，点，若∠P=96°，则 ∠ACB= 0. 【答案】42 【详解】解：如图，连接OA,OB, O. PA,PB分别与⊙O相切于A,B两，点， .∠OAP=∠OBP=90°， —11— .·∠P=96°， .∠A0B=360°-90°-90°-96°=84° ∠ACB=∠A0B=1x84°=420 故答案为：42. 13、三国时期数学家刘徽用“衰分术”证明了《九章算术》中的“勾中容圆径”公式：在直角三角 d=2ab 形中，若直角边边长分别为a,b，斜边长为C,则该直角三角形的内切圆直径a+b+c.当 a=5,c=13 时，该直角三角形的内切圆半径为一· 【答案】2 【详解】解：当a=5,c=13时， 则b=vc2-a2=132-5=12, d=2ab=2x5x12=4 则a+b+c5+12+13 故该直角三角形的内切圆半径为2， 故答案为：2. 14、如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶，点，0为正多边形的中心，若∠ADC=36°，则这 个正多边形的边数为 —12— B 【答案】10 【详解】解：如图所示，连接OA,OB,OC, B ,A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ..OA=OB=OC,AB=BC=CD .∠AOB=∠B0C=∠A0C=∠ADC=36 360° 正多边形的边数为36°=10 ，即这个正多边形的边数为10， 故答案为：10 15、如图，点0是△ABC的内心，∠A=70°，则∠B0C= 【答案】125° —13 【详解】解：∠A=70°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110° 点O是△ABC的内心，， .∴.BO 平分 ∠ABC CO,、∠ACB 平分 ·∠0BC+∠OCB=x(∠ABC+∠ACB)=55° 2 ∴∠B0C=180°-55°=125° 故答案为：125°. 16、如图，PA、PB切⊙0于A、B,AC是⊙0直径，连结OB、BC,若∠APB=60°，则下列结论 中，一定正确的是 ①OB=BC;②BC∥PO;③PO=AC;④∠PBC=∠POC. B 【答案】①②③ 【详解】解：：PA、PB切⊙O于A、B, ∴.PA=PB,∠OBP=∠OAP=90° ∠APB=60°， .∠AOB=360°-∠OBP-∠OAP-∠APB=120° —14— .∠B0C=180°-∠AOB=60°， 又OC=OB, .△OBC为等边三角形， .OB=BC,故①正确； 在Rt△OPB和Rt△OPA中， OA=OB OP=OP, ,RtaOPB≌RtAOPA(HL) ∠BOP=∠AOP=∠AOB=600 2 :△OBC为等边三角形， .∠0BC=60°， .∠OBC=∠BOP .BC∥PO,故②正确； 由RtOPB≌Ra0P4()∠0P8=∠0P1-号∠APs=30 2 OB=OP 2 OB-LAC 又 2 .P0=AC,故③正确； —15— :△OBC为等边三角形， .∠0CB=60°， .BC∥PO, .∠PBC+∠BPO=180°，∠POC+∠BC0=180°， .∠PBC=180°-∠BPO=150°，∠POC=180°-∠BC0=120° ∴.∠PBC≠∠POC,故④错误. ∴.一定正确的有①②③. 故答案为：①②③. 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分，22-24，每题12分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、在△ABC中，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm. (1)若以，点C为圆心，2cm长为半径画⊙C，则直线AB与⊙C的位置关系如何？ (2)若直线AB与半径为r的⊙C相切，求r的值. (3)若线段AB与半径为r的⊙C有唯一公共点，求r的取值范围. 【答案】(1)相离(2)2.4cm(3)3cm<r≤4cm或r=2.4cm 【详解】(1)解：·AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm, .AC2+BC2=AB2, —16— .△ABC是直角三角形，∠ACB=90°， 作CD L AB于点D,如图， ACXBC=1CDXAB 1 2 CD=4CxBC_3x4-2,4cm） AB 5 以，点C为圆心，2cm长为半径画⊙C,且2<2.4， 直线AB与⊙C的位置关系是相离. (2)解：直线AB与半径为r的⊙C相切， .'.r=CD=2.4cm (3)解：：BC>AC, .以C为圆心，「为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共，点，分两种情况： ①圆与AB相切时，即r=CD=2.4cm; ②点A在圆内部，点B在圆上或圆外时， 此时AC<r≤BC,即3cm<r≤4cm. .r的取值范围是3cm<r≤4cm或r=2.4cm. 18、如图，已知DC是⊙0的直径，点A为⊙0上一，点，点B为CD延长线上一，点，若∠ACB=30°， —17- 且AB=AC, B 求证：AB是⊙0的切线； 【答案】见详解 【详解】证明：连接OA」 B 0A=0C, .∠OAC=∠ACB. .:∠ACB=30° .∠OAC=30° 4B=AC. .∠ABC=∠ACB=30°. 在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-30°-30°=120° :.∠OAB=∠BAC-∠OAC=120°-30°=90°， 即OA⊥AB 18 OA是⊙0的半径， AB是⊙0的切线. 19、如图，△ABC中，BC=14,AC=9,MB=13,它的内切圆分别和BC,AB,1C切于，点D,E,F,求 AE,BD CF 和 的长. E D 【答案】AE=4,BD=9,CF=5 【详解】解：设AE=x, △ABC的内切圆分别和BC,AB,AC切于点D,E,F, .AF=AE=x,BE=BD,CD=CF .BE=BA-AE=13-x,CF=CA-AF=9-x, .BD=13-x,CD=9-x ..BD+CD=BC, .13-x+9-x=14,解得x=4, .AE=4,BD=9,CF=5 20、如图，AB是⊙0的直径，弦DE与AB交于点F,OD L AB，点C在AB的延长线上. —19 D (1)若CF=CE,判断直线CE与⊙0的位置关系，并说明理由； (2)若AF=4,DF=V10，求⊙0的半径. 【答案】(1)CE与O0相切，理由见详解(2)3 【详解】(1)解：直线CE与⊙0相切，理由如下： 连接OE, ..OD=OE ∴.∠ODE=∠OED :OD⊥AB ∴∠DOF=90° ∴.∠ODE+∠OFD=90° .CF=CE ∴.∠CEF=∠CFE=∠OFD ∴.∠OED+∠CEF=90° ∴.∠OEC=90° OE⊙0 的半径， -20- *直线C5与0相切： (2)解：设OA=OD=R, 在R△ODF中，OF=AF-OA=4-R,DF=V10,OD2+OF2=DF2, .R2+(4-R)2=(N10)2 解得R=1(不合题意舍去)，R=3, 故⊙0的半径为3. D 21、如图，在⊙0中，AB是直径，CD是弦，且AB⊥CD,垂足为E,AB=20,CD=12,在BA的 延长线上取一，点F,连接CF,使∠FCD=2∠B」 B (1)求证：CF是⊙0的切线； (2)求EF的长. 【答案】(1)见详解 (2)4.5 【详解】(1)解：连接OC -21 A E D AB⊙O AB⊥CD 是 直径， cE-nE=c0=6,C-而，∠C0E+∠0-0 2 ∴，∠B=∠ACD 又OC=OB .∠B=∠OCB, ∴.∠COE=∠B+∠OCB=2∠OCB :∠FCD=2∠B ∴.∠FCD=2∠OCB ∴.∠OCF=∠FCD+∠DCO=2∠OCB+∠DCO=∠COE+∠DCO=90° ∴.OC⊥CF 又0C是半径， .CF⊙O 是的切线 (2)解：连接0C B :AB=20 ∴0C=OA=10 -22 在Rta0CE中，OE=VOC2-CE2=V102-6=8 设EF=x,则OF=x+8, .AB⊥CD CR-CE+EF236 在RtAOCF中，CF2+0C2=OF2 即36+x2+102=(x+82 36+x2+100=x2+16x+64 16x=72 x=4.5 故EF=4.5 22、如图，在△ABC中，∠C=90°，以AC为直径的⊙0交AB于，点D,点E在BC上，且BE=DE (1)求证：DE是⊙0的切线； (2)判断DE与BC之间的数量关系，并说明理由； (3)若∠B=30°，AB=83，求阴影部分的面积（结果保留π）· 1 DE=BC 【答案】(1)见详解；(2)2，理由见详解； 3)12V3-4x. 【详解】(1)证明：如图，连接OD, 23 E A D …∠C=90° .∠A+∠B=90° ·.OA=OD,BE=DE, .∴.∠A=∠ODA,∠B=∠EDB ∴∠ODA+∠EDB=90° .∠ODE=180°-90°=90° ∴.DE⊥OD .OD⊙O 是 的半径， :DE ⊙0 是的切线； (2)解： ,理由如下： 如图，连接OE, O E 由(1)得∠ODE=∠C=90° 在RtAODE和RtAOCE中，OD=OC,OE=OE -24 ∴.Rt△ODE≌RtAOCE(HL) .DE=CE 又：DE=BE, .DE-BC (3)解：“∠C=90°，∠B=30°，AB=8√3， ∠A=60,4C=AB=4V5 2 '.△OAD是等边三角形， ∴.∠C0D=120° 由勾股定理，得BC=√AB2-AC2=12. CE=1BC=6 由(2)得 21 0C=4C=2W5 21 120π×(23 S身=x-Jm2X3x23x6 -=12V5-4π. 360 23、在学习完《直线与圆的位置关系》，赵老师布置一道作图题如下： 已知：如图，⊙0及⊙0外一点P. 求作：直线P9,使P2与⊙0相切于点Q. 某同学经过探索，给出了一种作图方法（如下)： —25— LOP ①连接OP,分别以O,P为圆心，以大于2的长为半径作孤，两孤分别交于A,B两点(，点A, B分别位于直线OP的上下两侧)： ②作直线AB交OP于点C: ③以，点C为圆心，C0为半径作⊙C,⊙C交⊙0于，点9(，点2位于直线OP的上侧)； ④连接P2,P2交AB于点D,则直线P2即为所求作直线. P 【根据这个同学作图方法，解答下面问题】 (1)完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹)； (2)结合作图，说明P2是⊙0切线的理由； (3)若⊙O半径为5，OP=10,求OD的长， 答案】(1)见详解(2)见详解3)OD=10V3 3 【详解】(1)解：画图：如图所示. ○ A D D -26 (2)证明：由题意，得：OP为OC的直径， .∠0QP=90° 001P№. .00为⊙0的半径， 直线P吧为⊙0的切线； (3)解：连接OD. .00=5,0P=10, 在Rt△OPO中，PO=OP2-PO=5V5 由作图可知：AB为OP的垂直平分线， ..OD=PD OD=PD=x.DO=PO-PD=53-x, 在Rt△OQD中，OD'=Og+QD2, 2=2+55- 解得x103 3· 0D=105 3 24、如图，在⊙O中，∠ACB是直角，D为BC的中点，DE为⊙0的切线交AB的延长线于点E. 连接CD,BD —27 E B (1),点O与AB的位置关系是一，线段CD与线段BD的数量关系是； (2)过E,点作EF⊥AE,与AD的延长线交于，点F.根据题意补全图形，判断△DEF的形状，并说明 理由； (3)在(2)的条件下，若O0的半径为3，DE=4,求CD的长. 【答案】(1)O在线段AB上；CD=BD； (2)补图见详解，△DEF为等腰三角形 (3CD-65 5 【详解】(1)解：∠ACB是直角， AB为直径， 0为圆心， .O在线段AB上； D为BC的中点， :.CD-BD, .CD=BD; (2)解：补图如下，△DF为等腰三角形，理由如下 —28- F D E B 连接OD :DE为⊙O的切线交AB的延长线于点E, .∠0DE=90°， ∠AD0+∠EDF=90°， ..OA=OD .∠OAD=∠ODA ·.∠DAO+∠EDF=90° :AE⊥EF, .∠F+∠DAO=90° ∴.∠F=∠EDF, .ED=EF, ∴△DEF是等腰三角形； (3)解：如图，过D作DH⊥AB于H, -29 D 分 :⊙0的半径为3，DE=4,，∠0DE=90°， .0E=V32+42=5, .Ssomg=ODx DE-DHxO 2 1 ×3×4=-×5×DH 2 2 DH=12 5 OH =JOD:-DHE9 BH=3-96 55, BD=BH+DH-615 CD=BD=65 5. —30