专题05 函数（3年汇编）（广东专用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

专题05 函数 3年真题1年模拟 考点分类 广东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 一次函数 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 选填、解答均会考查，分值3-6分。主要考查解析式求解、图像性质、与坐标轴交点、增减性；常和方程、不等式结合。题目条件简洁，计算量不大；近三年常搭配简单实际情境，极少单独出难题，多作为综合题基础组成部分，重点考查k、b的几何意义。 考点02 反比例函数 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 以选择、填空为主，分值3分。核心考点为k的几何意义、求解析式、图像增减性；常与几何图形（三角形、矩形）面积结合命题。图像多位于一、三象限；近三年侧重面积相关计算，不考过于复杂的坐标嵌套，难度中等偏基础。 考点03 二次函数 2025广东卷 2024广东卷 选填+压轴解答，分值3-12分。考查解析式三种形式、开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点、增减性。基础题侧重图像性质识别；大题综合性强，常结合线段、面积、特殊点问题；近三年弱化繁杂计算，重视图像数形结合思想。 考点04 函数的实际应用 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 解答题，分值7-9分，以一次函数为主。情境多为方案选择、成本利润、行程、物料调配；需要从表格、图像提取信息，建立函数关系式，结合自变量取值范围求最值。题干信息清晰；近三年降低列式门槛，重点考查利用函数性质解决实际问题。 考点05 函数综合 2025广东卷 2024广东卷 试卷压轴解答题，分值10-12分。以二次函数为载体，融合一次函数、几何，涉及动点、线段、面积、存在性问题。设问分层设置，前两问基础易得，最后一问区分度高；近三年减少极端复杂计算，强化数形结合，注重几何条件转化为代数表达式。 考点01 一次函数 1．（2026·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·中考真题）如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度（）之差为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 5．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 考点02 反比例函数 1．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．（2026·广东·中考真题）如图，直线与反比例函数在第二象限的图象交于点，，与轴交于点．点的横坐标为，且，则反比例函数的解析式为_____． 3．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 5．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．    考点03 二次函数 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 2．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 3．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 5．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 考点04 函数的实际应用 1．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 2．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 3．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 4．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 5．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示） 方案二：设点坐标为 ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值． 6．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 7．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨万元出售，平均每天可售出吨．市场调查反映：如果每吨降价万元，每天销售量相应增加吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 8．（2024·广东深圳·中考真题） 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次，求：共有多少种运输方案？ 考点05 函数综合 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 2．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 3．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． (1)求抛物线的对称轴； (2)求的值； (3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点． ①求的值； ②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式． 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 3．（2026·广东珠海·二模）下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 4．（2026·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广东广州·二模）若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 7．（2026·广东广州·三模）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（     ） A．小明家和学校距离米 B．小华乘公共汽车的速度是米/分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为米/分 8．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 9．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 10．（2026·广东深圳·三模）如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 11．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 12．（2026·广东珠海·三模）如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 13．（2026·广东广州·二模）如图，已知反比例函数与直线交于点，． (1)求，的值及反比例函数解析式； (2)根据函数图象，直接写出的解集． 14．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求k的值． (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 15．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 16．（2026·广东肇庆·三模）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 17．（2026·广东汕头·三模）最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 18．（2026·广东清远·三模）为解决电动自行车充电难题，让电动车“不上楼”“不入户”也能安全充上电，某小区在公共区域积极建设电动自行车集中充电点位，其充电费有A套餐（月租0元，每小时元）和B套餐（月租5元，每小时元）．设A套餐每月充电费为（元），B套餐每月充电费为（元），充电时长为小时．（为非负整数） (1)分别表示出与，与的函数关系式； (2)充电时间多长时，A、B两种套餐收费一样？ (3)如果小明的爸爸每月电动自行车充电时间都不少于小时，请帮助小明的爸爸从A、B两种套餐中选择使用哪一种套餐更省钱？ 19．（2026·广东茂名·二模）综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．    【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度(观察值) 36 34.8 33.5 32.3 31.0 … 【建立模型】 小组讨论发现：可用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； (3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． (4)在（1）的函数模型下，计算时的模型预测值与表格中实际观察值的绝对误差与相对误差（结果保留三位小数，参考：）． 20．（2026·广东深圳·一模）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 21．（2026·广东茂名·一模）【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； (2)当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； (3)在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05函数 3年真题1年模拟：答案版 V 三年真题分类园 考点01一次函数 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 考点02反比例函数 1.C 2.y=-6 X 3.6 4.-1,-1 5.①②④ 6.8 考点03二次函数 1.A 2.D 3.A 1/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4歧分 5.y=-x2+x+2(答案不唯一) 9 点04函数的实际应用 1.(1)y与x的函数关系式为y=50x,当x=40时，该充电站的收入为2000元 (2)x的值为20或100，收入y与x的新关系式为y= =2X2+20x+500 4 (3)m=60,理由如下： 设净收益为W, ..W=mx- 1 +20x+500=-2x2+m-20x-500, 41 -10, 4 .二次函数图象开口向下， m-20 X=- =2m-40 .当 2× 1 时W取得最大值， 4 由题意得，X=80时净收益最大， .2m-40=80 解得m=60 2.该抛物线的表达式为y 21x+0.0015 8 3.(1)18x;w=-x2+42x+100:(2)当x=21时，Wmax=541;(3)最少开7条通道 4.(1)MN=1.55米 ey=-是 12 3)3.6米 5.(1) 描点、连线绘制函数图象如下： 2/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 92 87 6 5 32 -10 123456789x y= 2 4 2m.n 4n 2m,k+n m2: m 3)a的值为- 2或2 6.(1) 如图所示： Ay/cm 195 190 ----- 185 -1-- 180 - 75 -十--- 70 165 60 55 150 2223242526272829x7cm 图1 (2)y=7x-5 (3)175.6cm 7.当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元或当定价为3.5万元每吨时，每天的销售收入 最大，最大值为612.5万元 8.任务1：L=0.8+0.2nm:任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有4种方案 考点05函数综合 1.=2 3/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)0,4.5, 直线1的函数图象，如图所示； 2-10 234 678 1:y=-x+4.5 a号 2.(1)PN=3-V5 (2)如图所示，点C为所求， 米E G B D■C 米 3)当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别为AB,BC,OB的中外比点， 理由如下： 第一种情况：当△OED=90°，则OE=ED, ∴.∠OEC+∠DEB=90°， .四边形OABC是矩形， ∴.∠OCE=∠EBD=90°， ∴.∠COE+∠OEC=90°， ∴.∠COE=∠DEB, ∴.△COE≌△BED AAS, 设点Em,n, 4/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.OC=EB=n,CE=BD=m,则Dm+n,n-m, :点D、E在反比例函数y=k>0,x>0的图象上， X k-n① m .得： k -=n-m② m+ mn=n-m, 由①得：k=mn,将其代入②，得：m+n 整理，得：n-mn-m=0, 解得：n=m±-mP-4×1x-m丽m士m35 2 1+5.1-5 ∴.n1= 2m,= 2m(舍去)， gEm+5m.D+55n3+95m中语 2 2m, 2m 2 2m,2 -m m,CE=m,BC=3+5 ·BE=1+5 2m, BD=m,AD=5-1 ,AB=1+5 2m, 8E-5n-2m,以cE3-25 2m= BD=m,AB.AD=1+85m.5-1 -m 2 2 =m2, BC BE AB BD BE CE'BD AD' ∴.点E、D为BC、AB的中外比点 :点E在反比例函数y-女k>0,X>0的图象上，Em,1之5m 1+V5 六k=m=1+Sn2 -m, 2 5/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1+5m㎡ .反比例函数 y=2 B 3+V51+5 2 2m,2 -m, 设直线OB的函数解析式为y=axa≠O, 3+51+5 2m,2巴m,00,0代入，得：a= 5-1 将点B 2， 5-1 .直线OB的函数解析式为y= 2 X, 5-1 y= X 2 X= 5+1。 -m 联立方程组 1+V5 ,解得： 2 m y=_ 2 y=m X .F 5+1 -m,m 2 OB OF OF BF' 点F为OB的中外比点. 第二种情况：当∠ODE=90°，则OD=DE, ∴.∠ODA+∠EDB=90°， .四边形OABC是矩形， ∴.∠OAD=∠EBD=90, ∴.∠ODA+∠DOA=90°， ∴.∠EDB=∠DOA, .△OAD≌△DBE AAS, 设点Da,b, ∴.OA=DB=a,AD=BE=b,则Ea-b,a+b, :点D、E在反比例函数y=Kk>0,x>0的图象上， X 6/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 k-b① a .得： k =a+b② a-b ab 由①得：k=ab,将其代入②，得：a-b =a+b, 整理，得：b2+ab-a=0, 解得：6=a±a-4×1×-aat05 2 2 b,=1+5 2a,b,=1-5 25a(舍去)， 。5-1 5.nio.5a p。1+V5 2a, .BE=95-1 a,CE=3-5 a,BC=a, 2 BD=d.AD=5-1 2 ,AB=1+5 2 a, BC BE AB BD ·BECE'BDAD ∴.点E、D为BC、AB的中外比点. :点E在反比例函数y=k>0,x>0的图象上，E 3-5.5+1。 X 2a,2a k=ab=5-12 2 /5-12 -a 反比例函数为 y=2 。1+V5 Bd,2 2-d 设直线OB的函数解析式为y=gXg≠0， 7/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1+V5 将点Ba,2 a. 00,0代入，得：g=5+1 2 5+1 ∴.直线OB的函数解析式为y= 2 X, V5+1 y= -X 5-1 联立方程组 5-1d 解得： 2 2 y=a y=- X ..F 15-1。 2a,a, OB_OF OF BF' 点F为OB的中外比点. 第三种情况：当∠EOD=90°，则点E、D分别位于y轴、X轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不 存在。 ∴.综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D,E,F分别为AB,BC,OB的中外比点. 3.(1)对称轴为直线：X=3: (2)m=±1 3)①t=15,②k的最大值为2V2,抛物线G为y=x2-6x+2: 一年摸拟练测园 1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.C 8/10 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.D 9.y=x2-3x-4(答案不唯一) 10.-5 11.6 12.(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3 (2)D2,0 1B.(1n=-2,m=-1,反比例函数的解析式为y=-6 X (2)-1<x<0或x>3 14.(1)k=32 a12 15.(1)y=-0.1x+0.8x+2: (2)10m. 16.(1)该公司研发投入资金的年平均增长率为10% (2)当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元 17.1)P=4.8×102 S (2)9.6×10-3m2 18.(1)y1=0.4x(x≥0，x为整数)，y2=0.2x+5(x≥0，x为整数) (2)充电时长为25小时 (3)选择B套餐更省钱 19.(1)h=-0.12t+36t≥0 (2)h=30cm 3)13:00 4)绝对误差=0.10，相对误差≈0.003 20.1)2,3.6 (2)y=-0.1x-42+3.6 (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 9/10 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 把y=0代入y=-0.1x-42+3.6, 得-0.1x-4+3.6=0, 解得X1=10或x2=-2(不符合题意，舍去)， .10>9.4, ∴.邓同学在此次训练中能得到满分： 4)m的值为4-V2或2+V2 21.1)3≤x<6:9 (2)0<x<1或4<x<6 5 )水=之时，面积差的最大值为4 10110 专题05 函数 3年真题1年模拟 考点分类 广东考情（2024-2026） 命题规律 考点01 一次函数 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 选填、解答均会考查，分值3-6分。主要考查解析式求解、图像性质、与坐标轴交点、增减性；常和方程、不等式结合。题目条件简洁，计算量不大；近三年常搭配简单实际情境，极少单独出难题，多作为综合题基础组成部分，重点考查k、b的几何意义。 考点02 反比例函数 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 以选择、填空为主，分值3分。核心考点为k的几何意义、求解析式、图像增减性；常与几何图形（三角形、矩形）面积结合命题。图像多位于一、三象限；近三年侧重面积相关计算，不考过于复杂的坐标嵌套，难度中等偏基础。 考点03 二次函数 2025广东卷 2024广东卷 选填+压轴解答，分值3-12分。考查解析式三种形式、开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点、增减性。基础题侧重图像性质识别；大题综合性强，常结合线段、面积、特殊点问题；近三年弱化繁杂计算，重视图像数形结合思想。 考点04 函数的实际应用 2026广东卷 2025广东卷 2024广东卷 解答题，分值7-9分，以一次函数为主。情境多为方案选择、成本利润、行程、物料调配；需要从表格、图像提取信息，建立函数关系式，结合自变量取值范围求最值。题干信息清晰；近三年降低列式门槛，重点考查利用函数性质解决实际问题。 考点05 函数综合 2025广东卷 2024广东卷 试卷压轴解答题，分值10-12分。以二次函数为载体，融合一次函数、几何，涉及动点、线段、面积、存在性问题。设问分层设置，前两问基础易得，最后一问区分度高；近三年减少极端复杂计算，强化数形结合，注重几何条件转化为代数表达式。 考点01 一次函数 1．（2026·广东·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数 中和的符号即可确定图象经过的象限． 【详解】解：一次函数中，， 该函数图象经过第一、二、三象限， 观察选项可知，只有A选项符合题意． 2．（2026·广东深圳·中考真题）如图，为某无人机完成送货任务后返回快递站的过程中，无人机与快递站的距离（单位：）随时间（单位：）变化的函数图象．根据图中信息，无人机在往返途中的速度（）之差为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出无人机去程速度和回程速度，再相减即可得出结果． 【详解】由图可得，无人机去程速度为：， 无人机回程速度为：， ∴根据图中信息，无人机在往返途中的速度之差为． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 4．（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 5．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【详解】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 考点02 反比例函数 1．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 2．（2026·广东·中考真题）如图，直线与反比例函数在第二象限的图象交于点，，与轴交于点．点的横坐标为，且，则反比例函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，证明，得出，求出，设点B的坐标为，则，，求出，，根据，得出，求出b的值，即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，如图所示： 则， ∴， ∴， 把代入得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为， 设点B的坐标为，则， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， 即， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符合题意舍去； 当时，， ∴反比例函数解析式为． 3．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，均在反比例函数的图象上，且，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点，在反比例函数图象上，用含的代数式表示，，再根据结合勾股定理列出关于的方程，求解即可． 【详解】解：点，在反比例函数的图象上， ，， ， ， ∴ 解得， 反比例函数图象在第一象限， ， ． 4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 5．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为），交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接，，，与的交点为，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设，可得的最小值为，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接，，，与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 6．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则________．    【答案】8 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 考点03 二次函数 1．（2025·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当时，则 C．当且时，则 D．当时，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项的结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 2．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 3．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 4．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 5．（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 考点04 函数的实际应用 1．（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 2．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 3．（2025·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2）   当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 4．（2025·广东广州·中考真题）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决问题． 发现问题确定目标 涉水线设置 限高架设置 数学抽象绘制图形 隧道及斜坡的侧面示意图，可近似如图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛物线的一部分和矩形的三边构成． 信息收集资料整理 当隧道内积水的水深为0.27米时，（即积水达到涉水线处），车辆应避免通行． 车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据采集 斜坡的坡角为，并查得：， ， ． 隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米．车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米． 问题解决： (1)如图2，求涉水线离坡底的距离（精确到0.01米）； (2)在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (3)限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高），求h的值（精确到米）． 【答案】(1)米 (2) (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，过点M作，代入数值得，进行计算，即可作答． （2）先以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，得，即可作答． （3）认真研读题干，得出，再算出当时，，则，，即可得出（米），即可作答． 【详解】（1）解：如图，过点M作， ∵斜坡的坡角为，隧道内积水的水深为0.27米， ∴， ∵，， 在中，， ∴， ∴（米）； （2）解：如图所示：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系： 依题意，设抛物线的解析式为， ∵隧道的最高点C到地面距离为5.4米，两侧墙面高米，地面跨度米． ∴， 把代入， 得， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ∵车辆行驶方向的右侧车道线（宽度忽略不计）与墙面的距离为1米．必须保证车辆顶部与隧道顶部在竖直方向的空隙不小于0.3米． ∴， ∴当时，， 则， ∴， ∵限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限高）， ∴（米） ∵涉及安全问题， ∴（米）． 5．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C． (1)（Ⅰ）列表： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ x 0 2 3 4 5 6 y 0 1 2.25 4 6.25 9 （Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中； （Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式； (2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程： 方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示） 方案二：设点坐标为 ①此时点的坐标为______； ②将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示） (3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值． 【答案】(1) 描点、连线绘制函数图象如下： (2)，；， (3)的值为或 【分析】（1）描点、连线绘制函数图象即可，再利用待定系数法即可得出函数表达式； （2）方式一：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；方式二：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解； （3）由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，的坐标为，的坐标为，求出的顶点距线段的距离为，得出的顶点距线段的距离为，从而可得的顶点坐标为或，再分情况代入计算即可得解． 【详解】（1）解：描点、连线绘制函数图象如下： 由图可得，抛物线经过原点， 故设抛物线的表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为； （2）解：方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为． ①此时点的坐标为； ②将点坐标代入中得，， 解得； 方案二：设点坐标为 ①此时点的坐标为； ②将点坐标代入中得：， 解得； （3）解：由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为， ∵二次函数和都经过，两点，且， ∴的坐标为，的坐标为， ∴的顶点距线段的距离为， ∵和的顶点，距线段的距离之和为10， ∴的顶点距线段的距离为， ∴的顶点坐标为或， 当的顶点坐标为时，， 将代入得， 解得：； 当的顶点坐标为时，， 将代入得， 解得：， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 6．（2024·广东广州·中考真题）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 … … 身高 … … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计这个人的身高． 【答案】(1) 如图所示： (2) (3) 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入代入即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：由图可知：随着的增大而增大， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴ （3）解：将代入得： ∴估计这个人身高 7．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨万元出售，平均每天可售出吨．市场调查反映：如果每吨降价万元，每天销售量相应增加吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元或当定价为万元每吨时，每天的销售收入最大，最大值为万元 【分析】设每吨降价万元，每天的利润为万元，每天的销售收入为万元，根据题意分别求出与、与之间的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价万元，每天的利润为万元， 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元； 设每吨降价万元，每天的销售收入为万元， 由题意得，， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，每天的销售收入最大，最大值为万元． 8．（2024·广东深圳·中考真题） 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次，求：共有多少种运输方案？ 【答案】任务：；任务：一次性最多可以运输台购物车；任务：共有种方案 【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了辆购物车，是车身总长，即可作答； 任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答； 任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次”，列式，再解不等式，即可作答． 【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ 任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车， 令， 解得： ∴一次性最多可以运输辆购物车； 任务3：设次扶手电梯，则次直梯， 由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次 可列方程为：， 解得：， ∵为整数， ∴， 方案一：直梯次，扶梯次； 方案二：直梯次，扶梯次； 方案三：直梯次，扶梯次； 方案四：扶梯次． 答：共有四种方案. 考点05 函数综合 1．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】(1) (2)， 直线l的函数图象，如图所示； (3) 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 图象略； （3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 2．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)如图所示，点为所求． (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点， 理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 【分析】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）略 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，中外比点即黄金分割点的尺规作图，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的图象与性质，二次根式的混合运算，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点坐标，两点坐标的距离公式，熟练掌握相关知识点是解题关键． 3．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且． (1)求抛物线的对称轴； (2)求的值； (3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点． ①求的值； ②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式． 【答案】(1)对称轴为直线：； (2) (3)①，②的最大值为，抛物线为； 【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案； （2）如图，由，可得在的左边，，证明，可得，设，建立，可得：，，再利用待定系数法求解即可； （3）①如图，当时，与抛物线交于，由直线，可得，可得，从而可得答案；②计算，当时， 可得，则，，可得 ，可得当时，的最小值为，再进一步求解可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线：； （2）解：∵直线过点， ∴， 如图， ∵直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且， ∴在的左边，， ∵在抛物线的对称轴上， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：①如图，当时，与抛物线交于， ∵直线， ∴， ∴， 解得：， ②∵， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值为， ∴此时， ∵对于任意的，均有成立， ∴的最大值为， ∴抛物线为； 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 1．（2026·广东肇庆·三模）如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 2．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 3．（2026·广东珠海·二模）下列四个函数中，在所有范围内y随x增大而减小的是(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数的增减性性质，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、函数中，，随增大而增大，不符合题意． B、函数中，，随增大而减小，符合题意． C、函数是反比例函数，在每个象限内随增大而减小，不符合题意． D、函数是二次函数，开口向上，对称轴为直线，时随增大而增大，不符合题意． 4．（2026·广东佛山·三模）如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为． 5．（2026·广东广州·二模）若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解，先根据交点在正比例函数上求出交点的完整坐标，再代入反比例函数求出参数，即可得到解析式． 【详解】解：∵ 点在正比例函数上 ∴ 将代入，得， 解得， 即交点坐标为 又∵ 点在反比例函数上， ∴ ， ∴ 反比例函数的解析式为． 6．（2026·广东广州·二模）对于抛物线，下列说法正确的是（     ）． A．图象与轴无交点 B．当时，随的增大而增大 C．当时，有最小值 D．图象的顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式的性质，逐项分析，即可求解． 【详解】解：对于抛物线，顶点坐标为，对称轴为直线； ∵， ∴抛物线的开口向上， 对A选项：令，则，即抛物线与轴交点为，故A选项说法错误，不符合题意； 对B选项：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故B选项说法错误，不符合题意； 对C选项：当时，有最小值；故C选项说法正确，符合题意； 对D选项：抛物线的顶点坐标为，故D选项说法错误，不符合题意． 7．（2026·广东广州·三模）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（     ） A．小明家和学校距离米 B．小华乘公共汽车的速度是米/分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】C 【详解】解：由图象可知小明家和学校距离米，故A选项正确，不符合题意， 小华乘公共汽车的速度是（米/分），故B选项正确，不符合题意， ∵小华与小明在从家到学校已走米处相遇，此时，小明在吃早餐， ∴相遇时，小明所用时间为（分钟）， ∵小明出发去学校， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇，故C选项错误，符合题意， 小明从家到学校的平均速度为（米/分），故D选项正确，不符合题意． 8．（2026·广东清远·三模）二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（     ） A． B．当时， C．函数有最大值 D．点在第四象限 【答案】D 【分析】当，，即可判断A选项；根据函数图象，求出二次函数与x轴的另一个交点为，即可判断B选项；根据函数图象开口向下，即可判断C选项；得到，根据对称轴为直线，得到，即可判断D选项． 【详解】解：由图象可得，当，，故A正确，不符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为 ∴二次函数与x轴的另一个交点为 ∴由图象可得，当时，，故B正确，不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下， ∴，抛物线开口向下，故函数有最大值，故C正确，不符合题意； ∵对称轴为直线 ∴ ∴点在第二象限，故D错误，符合题意． 9．（2026·广东肇庆·三模）已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 10．（2026·广东深圳·三模）如图，点在反比例函数的图象上，点与点关于原点对称，过点作轴，交反比例函数于点．连接，若的面积为7，则的值为______． 【答案】 【分析】因为点与点关于原点对称，且的面积为7，所以的面积为，由反比例函数的几何意义可知，的面积为1，则的面积为，结合反比例图象所在象限可求解题目． 【详解】解：连接， ∵点与点关于原点对称，的面积为7， ∴， ∴的面积为， ∵点在反比例函数的图象上，轴， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵在反比例函数上 ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴． 11．（2026·广东梅州·三模）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系． 已知当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为______． 【答案】6 【分析】设反比例函数关系式为，由条件可求得解析式，求出当函数值为2时的自变量的值即可． 【详解】解：∵火焰的像高（单位：）与物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）成反比例函数关系， ∴设反比例函数关系式为； ∵当时，， ∴， 解得， 即， ∵火焰的像高为，即， ∴， 解得， 即小孔到蜡烛的距离为． 12．（2026·广东珠海·三模）如图，抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点，与x轴的另一个交点为A，M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点D的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) 【分析】（1）先由直线求出与坐标轴的交点、，再代入抛物线方程解得，得解析式； （2）设，则，，由得，解得，故． 【详解】（1）解：抛物线与直线交x轴、y轴于B、C两点， 当时，， ， 当时，， ，， 将、代入， 得：，解得， 抛物线的解析式为； （2）M是直线上方抛物线上的一动点，轴于点D，交于点E． 可设点，则点，点，， ， 当时，， 解得（不合题意，舍去）， ． 13．（2026·广东广州·二模）如图，已知反比例函数与直线交于点，． (1)求，的值及反比例函数解析式； (2)根据函数图象，直接写出的解集． 【答案】(1)，，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求出、的值，得出点、点的坐标，再根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）根据图象，结合点、点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，在直线的图象上， 故将代入，得， 将代入，得， 解得； 故点的坐标为，点的坐标为； ∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：点的坐标为，点的坐标为，结合图象可得的解集为或． 14．（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为． (1)求k的值． (2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值； （2）由（1）可知，根据点D坐标及的长可得菱形的面积，设点M的坐标为，根据的面积与菱形面积相等列方程求出a值即可得答案． 【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示． 点的坐标为， ，， ． 四边形为菱形， ，， ，，三点共线， 点坐标为． 点在反比例函数的图象上， ； （2）解：由（1）知，点A的坐标为， ∴ ∴． 设点M的坐标为，且， ∴， ∵的面积与菱形的面积相等， ∴， 解得或（舍去）， ∴点M的坐标为． 15．（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 16．（2026·广东肇庆·三模）某公司专门生产高端智能测量装备，2023年研发投入资金1000万元，随着公司规模的扩大，研发投入逐年增长，到2025年研发投入资金1210万元． (1)求该公司研发投入资金的年平均增长率． (2)若该公司计划2026年生产A、B两款高端智能测量装备共3000台，其中A款装备每台定价5万元，B款每台定价3.5万元．市场调研表明，A款装备的数量不多于B款装备数量的2倍．当生产A款装备多少台时，公司的销售总收入最大？最大收入是多少万元？ 【答案】(1)该公司研发投入资金的年平均增长率为 (2)当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元 【分析】（1）设该公司研发投入资金的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解； （2）设生产A款装备a台，则生产B款装备台，根据题意列出一元一次不等式求出，设销售总收入为W万元，表示出，然后利用一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设该公司研发投入资金的年平均增长率为x， 依题意得，， 解得（负值已舍去）， 答：该公司研发投入资金的年平均增长率为； （2）解：设生产A款装备a台，则生产B款装备台， 根据题意，得， 解得． 设销售总收入为W万元，则， ， 随a的增大而增大． ， 当时W值最大，（万元）． 答：当生产A款装备2000台时，公司的销售总收入最大，最大收入是13500万元． 17．（2026·广东汕头·三模）最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2)9.6×10-3 m2 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 18．（2026·广东清远·三模）为解决电动自行车充电难题，让电动车“不上楼”“不入户”也能安全充上电，某小区在公共区域积极建设电动自行车集中充电点位，其充电费有A套餐（月租0元，每小时元）和B套餐（月租5元，每小时元）．设A套餐每月充电费为（元），B套餐每月充电费为（元），充电时长为小时．（为非负整数） (1)分别表示出与，与的函数关系式； (2)充电时间多长时，A、B两种套餐收费一样？ (3)如果小明的爸爸每月电动自行车充电时间都不少于小时，请帮助小明的爸爸从A、B两种套餐中选择使用哪一种套餐更省钱？ 【答案】(1)（，为整数），（，为整数） (2)充电时长为小时 (3)选择B套餐更省钱 【分析】（1）利用“每月充电费月租每小时电费充电时长”列出与，与的函数关系式即可； （2）由题意要求算出时的值即可； （3）题意要求比较当时与的大小关系，由（2）得当时，当时比较与的大小关系即可得到解． 【详解】（1）解：A套餐（月租0元，每小时元），设A套餐每月充电费为（元），充电时长为小时， （，为整数）， B套餐（月租5元，每小时元），设B套餐每月充电费为（元），充电时长为小时， （，为整数）； （2）解：联立两个函数关系式得，解得， 答：充电时长为小时，A、B两种套餐收费一样； （3）解：由题意得， 由（2）得当时，， ，当时，， 当时，， 选择B套餐更省钱． 19．（2026·广东茂名·二模）综合与实践 【问题背景】 刻漏是中国古代一种利用水流计时的工具，计时的准确度取决于水流的均匀程度．某数学综合与实践小组仿照其原理，用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．    【实践操作】 该数学综合与实践小组在某天上午开始实验，先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 记录时间 … 流水时间 0 10 20 30 40 … 水面高度(观察值) 36 34.8 33.5 32.3 31.0 … 【建立模型】 小组讨论发现：可用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系． 【问题解决】 (1)利用当时，；当时，这两组数据，求水面高度h与流水时间t的函数关系式； (2)在（1）的条件下，当流水时间为时，求水面高度h的值； (3)在（1）的条件下，当甲容器中的水全部流入乙容器时，实验结束，求实验结束时的时间． (4)在（1）的函数模型下，计算时的模型预测值与表格中实际观察值的绝对误差与相对误差（结果保留三位小数，参考：）． 【答案】(1) (2) (3) (4)绝对误差，相对误差． 【分析】（1）设水面高度与流水时间的函数关系式为，将和代入求解即可； （2）将代入计算即可； （3）将代入求出实验用时，进而可知实验结束时的时间； （4）分别求出绝对误差和实际观察值，即可求出相对误差． 【详解】（1）解：设水面高度与流水时间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得​， 因此函数关系式为：； （2）解：将代入函数解析式得：， 因此水面高度为； （3）解：水全部流完时，代入函数得：， 解得， 实验从开始，， 因此实验结束时间为； （4）解：当，模型预测值：， 由表格得实际观察值：， 绝对误差， 相对误差． 20．（2026·广东深圳·一模）体育课期间，黄老师和黎老师交流中考实心球项目，他们发现实心球从出手到落地的过程中，球的竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化，黄老师利用鹰眼系统记录了邓同学训练时实心球在空中运动时的水平距离与竖直高度的数据如下表．随后，黎老师根据表中的数据建立如下图所示的平面直角坐标系．根据图中点的分布情况，他发现其图象是二次函数的一部分，请根据所给信息回答下列问题： 水平距离 0 2 4 5 6 8 9 竖直高度 2 2 (1)在投掷过程中，邓同学出手时实心球的竖直高度是 m，实心球在空中的最大高度是 m； (2)求图中抛物线的解析式； (3)根据深圳中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于米时，即可得满分，邓同学在此次训练中是否得到满分，请说明理由； (4)已知图中抛物线经过，两点，且，分别位于对称轴两侧，若在该两点之间的部分函数图象中，函数的最大值与最小值的差为，则的值为_______． 【答案】(1)2， (2) (3)邓同学在此次训练中能得到满分，理由如下： 把代入， 得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴邓同学在此次训练中能得到满分； (4)m的值为或 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据题意得到出手时实心球的竖直高度即为时y的值，再通过观察表格数据，利用二次函数的对称性确定对称轴和顶点坐标； （2）由（1）知顶点坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）令得到一元二次方程，解方程与米比较即可； （4）根据，分别位于对称轴两侧求出的取值范围，再分情况讨论：求出当M为最低点，或N为最低点时的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 通过图表可得：当时，， 则在邓同学投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是2米， 由当时，；当时，可得： 对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度， 通过图表可得：当时，， 则实心球在空中的最大高度是米； （2）解：由（1）得抛物线的顶点坐标为， 则， 抛物线的解析式为， 将代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （3）略； （4）解：由（1）知，抛物线对称轴为直线， ，分别位于对称轴两侧， 解得： ①如图，当时，， 即， 解得：或； 与相矛盾，故舍去， ； ②如右图，当时，， 即， 解得：或， 与相矛盾，故舍去， ， 综上所述，m的值为或． 21．（2026·广东茂名·一模）【生活情境】 为提升城市防洪排涝能力，某市对矩形雨水调蓄池进行扩建，原池长，宽（如图①）．改造后形成调蓄池（简称调蓄池1），用于雨季蓄水减灾：同时新建周长为的防洪滞洪池（如图②），通过弹性扩容缓解内涝压力． 【建立模型】 设调蓄池1的边扩建长度为，扩建后蓄水面积为，则；设滞洪池的边长为，滞洪面积为，则．两函数图像如图③． 【问题解决】 (1)若滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，则的取值范围是______，滞洪池的最大调洪容量为______； (2)当调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积时，求的取值范围； (3)在范围内，求两池协同治水时面积差的最大值及对应的值． 【答案】(1)；9 (2)或 (3)时，面积差的最大值为 【分析】（1）依据函数图像和函数解析式，利用 二次函数的性质解答即可； （2）依据图像，利用数形结合法解答即可； （3）在范围内，求得两个水池面积差的解析式，利用二次函数性质解答即可． 【详解】（1）解：， ， 抛物线的开口方向向下，当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小， ， 当时，滞洪池的滞洪面积随长度增加而减小，滞洪池的最大调洪容量为； （2）解：由图像得，两函数交于点，， 所以，表示两个水池面积相等的点是，， 联立方程组 解得：，， ，， 由图像知：图像中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值， 当或时调蓄池1的蓄水面积大于滞洪池的滞洪面积； （3）解：在范围内，由图像知滞洪池的滞洪面积大于调蓄池1的蓄水面积， 两个水池面积差， ， 函数有最大值， 当时，函数有最大值，为， 当时，面积差的最大值为． 试卷第1页，共3页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $