2.4.3 整数指数幂的基本性质 课件 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

2.4 整数指数幂 2.4.3 整数指数幂的基本性质 问题：正整数指数幂的运算法则有哪些？ ①am · an = am+n ( m，n 都是正整数)； ②(am)n = amn ( m，n 都是正整数)； ③(ab)n = anbn ( n 是正整数)； ④ (a ≠ 0，m，n 都是正整数，且 m＞n)； ⑤ (b ≠ 0，n 是正整数). 探究1：整数指数幂的性质及运算 活动1：计算下列各题并观察指数，说说你有什么发现？ (1) a2·a－3； (2) a－2·a－3； (3) a0·a－3. 解：(1) a2·a－3 ＝ (2) a－2·a－3＝ (3) a0·a－3＝ 猜想： am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数). =a2+(－3) =a－2+(－3) =a0+(－3) 如何证明呢？ 猜想：am · an = am+n (a ≠ 0，m，n 都是整数). 证明：设 a≠0，m，n 都是正整数，且 m > n. 由于 a 于是 ＝·＝·a 因此 am·a-n＝am－n＝am + (-n). ① 由于 m 个a n 个a (m－n)个a ＝a－(m－n) ＝a(－m)+n. ＝·＝a· 且 所以 a-m·an＝a(-m) + n . ② 类似可得，当 m≤n 时，等式①②仍成立. 又由 可得 a a－m·a－n＝ ·＝ ＝＝a－(m + n) ＝a(－m) + (－n). am · an = am+n (a≠0，mn≠0且m，n 都是整数). 所以 活动2：完成下面题目，你有什么发现？ (1) 已知 a≠0，m，n 都是整数，填空： ① a0·an = 1×an = a( ) = a0 + ( )； ② am·a0 = am×1 =a( ) = am + ( )； (2)由(1)可猜测：当 a≠0，mn = 0 时，am·an = a( ). n m 0 n m+n 以上可以证明，引入零次幂后， am · an = am+n (a ≠ 0，mn = 0且 m，n 都是整数). 仍然成立. 整数指数幂的基本性质1： am⋅an = am+n（ a ≠ 0，m，n都是整数）. 活动3：完成下面题目，并小组交流讨论. (1) 已知 a≠0，b≠0，填空： ① (a2)－3 = = = a( ) = a2×( )， ② (a－2)3 = = = a( ) = a( )×3， ③ (a－2)－3 = (a2)3 = a( ) = a(－2)×( )， ④ (ab)－2 = = a( )·b( ). (2) 根据 (1) 的结果，你能猜测出什么结论? －6 －3 －6 －2 6 －3 －2 －2 引入负整数指数幂后，当 a≠0，b≠0时，若 m，n 为整数且 mn≠0，则 (am)n = amn 和(ab)n = an·bn 仍然成立. 整数指数幂的基本性质3： （ab）n = an·bn（a ≠ 0，b ≠ 0，n是整数）. 整数指数幂的基本性质2: （am）n = amn（ a ≠ 0，m，n都是整数）. 例1 设 a≠0，b≠0，计算下列各式： (1) a7·a－3；　 (2) (a－3)－2； (3) (a－1b)－2. 解：(1) a7·a－3 (2) (a－3)－2 = a7 + (－3) = a(－3)×(－2) = a4. = a6. (3) (a－1b)－2 = a2b－2 = . 注意：最后结果一般不保留负指数，而写成分式形式. 设 a≠0，b≠0，n 是整数，利用整数指数幂的基本性质2 和基本性质3 得 (a·b－1)n = an·(b－1)n = an·b－n ＝an·＝ . 因此 ＝ ( a≠0，b≠0， n 是整数). 计算：(1) 解： 例2 am · an = am+n (a≠0，m，n 都是整数)； (am)n = amn (a≠0，m，n 都是整数)； (ab)n = anbn (a≠0，b≠0，n 是整数). 整数指数幂的运算公式： 1. 在应用各公式时，底数必须是相同的，指数可以是任意整数； 2. 注意负整数指数幂和零指数幂中，底数不为 0 的条件. 注意： 1. 运算结果为 的是( ) B A. B. C. D. 2. 计算 的结果是( ) C A. B. C. D. 随堂小练 D 3 5.计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式. （1） ； 解：（1） . （2） ； . （3） . （3） . 6.已知,,如果,,试探究 ,之间的关系， 并求出当时 的值. 解①, , ,得,所以 . ,得,所以 . 因为 , 所以,所以 . 把代入,得,所以 . 3.已知5a＝m，2a＝n，则用m，n表示10－2a正确的是(　　) A．mn B．m2n2 C. D. 4．(1)若2x＝4y＋1，27y＝3x－1，则x－y＝________． (2)若10－2α＝3，10－β＝，则106α＋2β＝________． $