2.1等式性质与不等式性质知识点梳理-2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册
2.1 等式性质与不等式性质 · 知识点梳理
2026—2027学年 高一上学期 人教A版数学必修第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
版式：双轨对仗 · 逐律验算版式
等式与不等式像一对「平行文本」：等式的每一条性质，不等式几乎都有一条对应的条款。但两边的「附加条件」变了——加减不问正负，乘除要问正负，乘方必须先问「是不是正数」。本卷从头到尾双轨并排：左边写等式那一轨，右边写不等式那一轨，逐条对照；读完六节之后还有一张「验算台」，把七条性质逐条代入具体数字验算一遍。条件每加一层，能犯的错就多一种——把两轨的差别看清楚，就是本课的全部功夫。 |
★ 本课的分数集中在两处：① 求代数式的取值范围时，把两个同向不等式「相减」（律三）；② 用可乘性、可乘方性时，漏看「正负」这个附加条件（律四、律五）。这两处各设专节，并在文末「反例陈列」里逐条给出具体数字。
本课要过关的四件事
序号 | 要过关的事 | 过关的标志 |
1 | 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 | 看见「不超过」「至少」「不低于」就知道该配哪个不等号，并能把单位、范围一并写全 |
2 | 会用两个实数大小关系的基本事实，用「作差法」比较大小 | 作差之后能变形到「一眼看出符号」的程度（化成积，或配成平方加正常数） |
3 | 掌握不等式的七条基本性质，能说出每一条成立的条件 | 把不等式与等式的性质逐条对照，能指出哪一条多了附加条件、多了什么 |
4 | 会用不等式的性质求代数式的取值范围，会判断关于不等式的说法是否正确 | 遇到「求 a − b 的范围」先给 b 的范围乘 −1 翻转，再同向相加，绝不直接相减 |
本课地图 · 双轨对账总表
本课六节，一节管一个动作：比大小、看方向、加减、乘除、乘方、证题。下面这张表把等式与不等式的性质摆在一起，两轨并排读——遇到题目先找到行，眼睛直接落到最右边那一栏，那里写的是真正考人的地方。
等式与不等式性质对账总表
条目 | 等式这一轨 | 不等式这一轨 | 差异要点（判分点在这一栏） |
对称性 | a = b ⟺ b = a | a > b ⟺ b < a | 都「可逆」。区别在结论：不 |
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| 等式换位置时不等号方向跟着掉头 |
传递性 | a = b 且 b = c ⟹ a = c | a > b 且 b > c ⟹ a > c | 只能与「同方向」的不等式传递；由 a > b、c > b 推不出 a > c |
加减 | a = b ⟹ a ± c = b ± c | a > b ⟹ a + c > b + c | 都不看 c 是正是负，方向永远不变——本课唯一「不问条件」的一条 |
乘除 | a = b ⟹ ac = bc；a = b 且 c ≠ 0 ⟹ | a > b 且 c > 0 ⟹ ac > bc；a > b 且 c < 0 ⟹ ac < bc | 等式只防 c = 0；不等式还要看 c 的符号：乘正不变、乘负掉头 |
合并两个式子 | a = b 且 c = d ⟹ a + c = b + d；a = b 且 c = d ⟹ ac = bd | a > b 且 c > d ⟹ a + c > b + d；a > b > 0 且 c > d > 0 ⟹ ac > bd | 相加只要求「同向」；相乘还要求「全是正数」。而且只能加，不能减 |
乘方 | a = b ⟹ | a > b > 0 ⟹ | 等式不管正负；不等式必须先把两边都关进「正数」这个笼子 |
★ 读表提醒：整张表看下来会发现一个规律——等式那一轨的条款几乎都不带附加条件，不等式这一轨越往下附加条件越多：加减不问正负 → 乘除要问正负 → 相乘要同向同正 → 乘方必须是正数。条件多一层，能犯的错就多一种。本卷每讲一条，都在「随律一验」里让你自己动手验一次。
律一 · 比大小：比的就是「差」与 0
1. 两个实数的大小关系，归结为一个符号
要比较两个实数 a、b 的大小，不需要记住谁大谁小的结论，只需要看它们的差 a − b 落在 0 的哪一边。这条基本事实是整节课的地基：
a − b > 0 ⟺ a > b； a − b = 0 ⟺ a = b； a − b < 0 ⟺ a < b。
★ 三条里的「⟺」是双向的：既要会由差的正负判断大小，也要会由已知的大小关系反过来说明差的正负。证明题里用得最多的是后一个方向。
2. 作差法：四个动作，一个都不能省
把上面这条基本事实用起来，就得到比较大小最常用、也是首选的方法——作差法。四个动作按顺序做下来，写进卷面就是完整的说理过程：
顺序 | 动作 | 要落到什么程度 | 写进卷面的样子 |
第一步 | 作差 | 把要比较的两个式子相减，差写在最前面 | 「因为 A − B = ……」 |
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第二步 | 变形 | 因式分解化成积，或配方成「平方 ＋ 正常数」 | 变形后必须一眼能看出符号 |
第三步 | 判号 | 说清这个差是正、是负，还是可能取 0 | 「由 x > 1 得 x − 1 > 0，故……」 |
第四步 | 结论 | 回写两个式子的大小关系，并写出取等条件 | 「所以 A > B，当且仅当 x = 1 时取等号」 |
★ 第二步是分水岭。差算出来是一个多项式时，符号往往看不出来；把它化成「积」或「平方加正数」之后，符号就自己跳出来了。本课后面的每一个范例，变形都只干这两件事之一。
3. 范例 1（教材 P38 例 1 原题）
比较 (x + 2)(x + 3) 与 (x + 1)(x + 4) 的大小。
规范解答：作差得 (x + 2)(x + 3) − (x + 1)(x + 4) = (
+ 5x + 6) − ( + 5x + 4) = 2。
因为 2 > 0，所以 (x + 2)(x + 3) > (x + 1)(x + 4)。
方法提炼：这题的差是一个常数 2，与 x 取值无关——说明对任何实数 x，前者都比后者大 2，取等条件根本不存在。看到两个式子的二次项、一次项都能抵消，就要想到「差可能是常数」。
4. 范例 2：差化成了积
比较 3
与 3 − x + 1 的大小，其中 x ≤ 1。
规范解答：作差并分组分解：3 − 3 + x − 1 = 3(x − 1) + (x − 1) = (3 + 1)(x − 1)。
由 x ≤ 1 得 x − 1 ≤ 0；又 3 + 1 > 0（因为 ≥ 0）。一个正数乘一个数得到非正数，所以差 ≤ 0，即 3 ≤ 3 − x + 1。
取等条件：差为 0 需要 x − 1 = 0，即 x = 1。所以当且仅当 x = 1 时取等号——结论里的「≤」不能写成「<」。
延伸一问：若把条件换成 x 可以取任意实数，结论会怎样？此时 x − 1 的符号不定：x > 1 时差为正、x = 1 时差为 0、x < 1 时差为负，三种情况各对应一个结论（前者大、相等、前者小），所以「比较大小」这类题的条件绝不能丢。
5. 范例 3：差化成了几个平方之和
比较 
+ 
+ 
与 ab + bc + ca 的大小。
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