4.2.1对数运算（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.2.1对数运算 4.2对数与对数函数 【新教材】人教B版·高一必修第二册 学 习 目 标 1 2 理解对数的概念，明确对数式中底数a、真数N的取值范围：a>0,a≠1，N>0； 掌握指数式与对数式的互化，理解对数是指数运算的逆运算； 掌握对数基本性质：，对数恒等式； 认识常用对数lgN（底为10）、自然对数lnN（底为≈2.71828），会简单求值。 重点：对数概念、指数式与对数式互化； 难点：真数大于0的理解、对数恒等式的识别与运用。 (1)地震的里氏震级是根据最大振幅计算出来的.2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级.震级相差0.2，最大振幅之间具有什么关系？ (2)化学学科中，我们用pH表示溶液的酸碱性，pH是（即溶液中 的浓度）决定的. pH=7和pH=8的两种溶液，它们的 有什么关系？ 生活问题 前面我们学习了指数运算，已知底数、指数求幂：=8。 反过来思考问题： 1. =8，求x；（一眼看出x=3） 2. =0.5，求x；（x=-1） 3. =6，求x？ 认知冲突 这个x是2的多少次幂等于6？这个数没法用整数、分数直接写出来，我们需要新的符号来表示这个指数。 在历史上，人们处理天文、航海里巨大数字的乘除运算，迫切需要一种把乘除转化为加减的工具，对数由此诞生。 今天我们就引入新运算——对数，它就是指数运算的逆运算，专门用来解决：已知底数和幂，求指数的问题。 目标一：对数的概念 对数的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 在表达式 =N (a>0 且 a≠1, N∈(0,+∞))中,当 a 与 N 确定之后,只有唯一的 b 能满足这个式子,此时幂指数 b 称为以 a 为底 N 的对数,记作 ,其中 a 称为对数的底数,N 称为对数的真数。 读作以 a 为底 N 的对数。 例如,=25,则 ,读作 2 是以 5 为底 25 的对数5,则 =,读作 是以 25 为底 5 的对数。 6 注意 (1)对数式 是由指数式 变化而来的,两式底数相同。它们是同一种数量关系的两种不同表达形式,其关系为当 且 时,,这个关系式是对数式与指数式互化的依据,注意互化时底数保持不变。 (2)对数符号 可看作是一种记号,表示底为 (,且 ),幂为 的指数,或表示方程 (,且 )的解。也可以看作是一种运算,即已知底为 (,且 ),幂为 ,求幂指数的运算。因此,对数式(,且 )又可看作是幂运算的逆运算。 对点体验 在对数式 中,实数 的取值范围是( )。 A. B. C. D. 解 由题意得 解得 或 。 目标二：两类特殊对数 两类特殊的对数 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)常用对数:以 10 为底的对数称为常用对数,即 是常用对数,简写为 lgN。 (2)自然对数:以 为底的对数称为自然对数,自然对数 通常简写为 lnN。 常用对数与自然对数的常见应用有: ①里氏震级的计算,公式为 其中 A 为测振仪记录的地震曲线上的最大振幅, 为标准地震的振幅。 ②PH 的计算。 10 对点体验 （多选）下列等式正确的是（ ）。 B. C. 若 ,则 D. 若 ,则 解 因为 ,所以 ,故 A 正确;因为 ,所以 ,故 B 正确;由 ,得 ,故 ,故 C 错误;由 ,得 ,故 ,故 D 错误。故选 AB。 目标三：对数式和指数式的关系 对数式和指数式的关系 知识讲解 互动探究 新课引入 由对数的定义可知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同的表现形式,它们的对应关系可列成下表: 式子 名称     对应的运算     指数式 底数 指数 幂 由 求 对数式 底数 对数 真数 由 求 13 对点体验 将下列指数式与对数式互化: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 。 答 (1) 。 (2) 。 (3) 。 (4) 。 (5) 。 (6) 。。 点评 利用指数式与对数式之间的关系,一方面,可将指数式转化为对数式,然后利用对数的运算法则及换底公式解决幂相等的问题;另一方面,可以把对数式转化为指数式,利用指数幂的运算法则解决对数方程问题。因此充分利用指数式与对数式的互化能取长补短,使解题过程最优化。 对点体验 已知 ，求 的值。 由 可得 ，，所以 ， 所以 。 对数的性质 知识讲解 互动探究 新课引入 (1)零和负数没有对数; (2),; (3)。 16 目标四：针对训练 举一反三 1.已知 ，则 的值为() A.2 B.4 C.6 D.8 解析： ，则 .故选：D. 2.有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以 10 为底的对数叫做常用对数； ④以 e 为底的对数叫做自然对数. 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 举一反三 3.设 ，则“”是“”的( C ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析： 若 ，可得：， 若 ，则 ，则“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 4.() A.7 B.5 C.4 D.2 解析： .故选：D. 举一反三 5.() A. B. C. D.2 解析： ，故选：A. 6.若 ， ( 且 )，则 解析： ，.，， . 举一反三 7.使 有意义的实数 的取值范围是( C ) A. B. C. D. 解析： 由题意知 解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选 C. 8.(多选）下列结论正确的有( AB ) A. B. C.若 ，则 D.若 ，则 解析： 对于 A，因为 ，，所以 ，故 A 正确； 对于 B，因为 ，，所以 ，故 B 正确； 对于 C，因为 ，所以 ，故 C 错误； 对于 D，因为 ，所以 ，故 D 错误.故选 AB. 举一反三 9. （多选）下列指数式与对数式互化正确的是( BD ) A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 解析： 化成对数式是 ，故 A 错误；B 正确； 化成对数式是 ，故 C 错误；D 正确.故选 BD. 举一反三 10.（多选）下列等式正确的是() A. B. C.若 ，则 D.若 (，且 )，则 解析： 对于 A，原式 ，所以 A 错误； 对于 B，，所以 B 正确； 对于 C，因为 ，所以 ，所以 ，所以 C 正确； 对于 D，因为 ，所以 ，所以 ，所以 D 正确.故选 BCD. 目标五：小结 学海拾贝 核心定义：若a>0,a≠1，=N，则b。对数是指数的逆运算，真数N必须大于0，负数和零没有对数。 互化关系：指数式⇔对数式，关键分清底数、指数、幂（真数）三者对应位置。 学海拾贝 三条基本性质： （对数恒等式） 两个特殊对数： 常用对数lgN=log_10 N；自然对数lnN=log_"e" N。 学海拾贝 5. 思想方法： 转化思想，把对数问题回归指数来理解验证；注意定义域限制。 > 预告：下一节继续学习对数的积、商、幂运算法则。 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $