1.1.2勾股定理的图形验证 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级上册数学1.1认识勾股定理专项练习 一、核心知识点梳理 1. 勾股定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则核心公式为：$$a^2+b^2=c^2$$。 2. 关键注意事项：该定理仅适用于直角三角形，应用时需先确定直角与斜边，斜边为直角三角形中最长的边；公式可灵活变形，推导得出$$a^2=c^2-b^2$$、$$b^2=c^2-a^2$$，用于已知两边求第三边。 3. 常见勾股数：满足勾股定理的正整数组，经典基础勾股数有（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）等，勾股数的整数倍仍为勾股数。 二、基础巩固练习（选择+填空） 选择题 1. 下列关于勾股定理的说法正确的是（） A. 任意三角形都满足$$a^2+b^2=c^2$$ B. Rt△ABC中，∠C=90°，则$$a^2+b^2=c^2$$ C. 直角三角形任意两边平方和等于第三边平方 D. 钝角三角形可套用勾股定理计算边长 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC=6，BC=8，则斜边AB的长度为（） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 3. 下列各组数中，属于勾股数的是（） A. 1，2，3 B. 4，5，6 C. 5，12，13 D. 7，8，9 填空题 4. 在Rt△ABC中，∠B=90°，斜边AC=13，直角边AB=5，则BC=______。 5. 已知直角三角形两边长为3和4，则第三边长为______。 三、能力提升解答题 6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=25cm，AC=15cm，求BC的边长和三角形的面积。 7. 一个直角三角形的斜边比一条直角边长2cm，另一条直角边长6cm，求该三角形的斜边长。 8. 已知等腰直角三角形的斜边长为$$4\sqrt{2}$$，求该三角形的直角边长。 四、参考答案与详细解析 选择题解析 1. 答案：B。解析：勾股定理仅适用于直角三角形，且限定两条直角边的平方和等于斜边平方，必须明确直角对应的斜边，其余选项均存在概念错误。 2. 答案：A。解析：由勾股定理得$$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$$，故AB=10。 3. 答案：C。解析：验证$$5^2+12^2=25+144=169=13^2$$，符合勾股数定义，其余选项均不满足平方关系。 填空题解析 4. 答案：12。解析：∠B=90°，AC为斜边，$$BC^2=AC^2-AB^2=13^2-5^2=144$$，BC=12。 5. 答案：5或$$\sqrt{7}$$。解析：分两种情况，3、4为直角边，第三边为5；4为斜边、3为直角边，第三边为$$\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$$。 解答题解析 6. 解：∵∠C=90°，∴AB为斜边，$$BC^2=AB^2-AC^2=25^2-15^2=400$$，BC=20cm。三角形面积=$$\frac{1}{2}×15×20=150\mathrm{cm^2}$$。 7. 解：设斜边长为x cm，则一条直角边长为(x-2)cm，列方程：$$(x-2)^2+6^2=x^2$$，展开得$$x^2-4x+4+36=x^2$$，解得x=10，即斜边长10cm。 8. 解：设直角边长为x，等腰直角三角形两直角边相等，$$x^2+x^2=(4\sqrt{2})^2$$，$$2x^2=32$$，$$x^2=16$$，x=4，直角边长为4。 专项总结：本节课核心难点为分类讨论求直角三角形边长、灵活变形勾股定理公式。解题时需优先判断直角与斜边，避免漏解、错用公式，熟练掌握基础勾股数可快速提升解题效率。日常练习中需重点突破无图形直角三角形的多解问题，夯实勾股定理的应用基础。 北师大版（新教材）数学八年级上册 1.1.2勾股定理的图形验证 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/24 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第一章 勾股定理 你是如何做的？与同伴进行交流. 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.如下图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？ 情境导入 03 新知探究 探究新知 一、小组活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 有不同的拼法吗？ 拼图展示 图 1 图 2 03 新知探究 二 探究勾股定理的证明方法 验证方法一； 利用大正方形的面积等于 中间正方形面积+4个直角三角形的面积。 （自己完成验证过程） a a a a b b b b c c c c 03 新知探究 验证方法二； 利用大正方形的面积等于 中间正方形面积+4个直角三角形的面积。 （自己完成验证过程） c a b 图 2 03 新知探究 验证方法三； 利用梯形的面积等于 三个直角三角形的面积之后。 （自己完成验证过程） b c a b c a 1. 勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用 代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证 明勾股定理的有( ) D A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 返回 举一反三 8 2. 如图是一块长方形草坪， 是一条被踩踏的小路，已知 米，米.为了避免行人继续踩踏草坪 走线段，小梅分别在， 处各挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是( ) D A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 返回 举一反三 9 追溯历史 用图2验证勾股定理的方法，据载最早是 三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图 。 03 新知探究 03 新知探究 据不完全统计，验证的方法有400多种，你想得到自己的方法吗？ 03 思考与交流 观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2 结论：勾股定理使用的条件是直角三角形。 04 典例精析 04 典例精析 解：根据题意三角形ABC是直角三角形，∠C=90°,AC=400m,AB=500m BC=300 蓝方汽车平均速度：300÷10=30（m/s） 1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ） A.140米 B.120米 C.100米 D.90米 随堂练习 C 当堂检测 2.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ） A.10 B.13 C.15 D.26 B 当堂检测 3.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端到地面的距离2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上，其顶端距离地面1.5米，那么小巷的宽度为 米。 2 当堂检测 4.如图，某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m，结果他在水中实际划了65 m，求该河流的宽度。 解：根据题中数据，由勾股定理可得， AB2=AC2-BC2=652-252=3 600， 则AB=60 m。 答：该河流的宽度是60米。 当堂检测 3. 2024年11月4日，神舟 十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着 陆.为此，某校组织了一次以“指尖上的航模 ●蓝天下的梦想”为主题的航模飞行表演.如 10米 图，小烨控制的无人机在距离地面18米高的点处 米，空中点 处有一只风筝，无人机上的测距仪测 得米，点与点之间的水平距离 米，已知 于点，，则风筝离地面的高度 是______. 返回 举一反三 19 4.意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理， 其中图①的空白部分由两个正方形和两个直角三角形组成， 图②的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成.设图① 中空白部分的面积为，图②中空白部分的面积为 . 举一反三 20 （1）请用含，，的代数式分别表示， ； 【解】 ， . 举一反三 21 （2）请利用达·芬奇的方法验证勾股定理. 由题意得，所以 . 所以 . 返回 举一反三 22 （第5题） 5. 如图，已知钓鱼竿的长为 ，露在 水上的鱼线长为 ，某钓鱼者想看看 鱼钩上的情况，把鱼竿转动到 的位置， 此时露在水面上的鱼线的长度为 ， 若，，三点在同一直线上，则 的 长为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 （第6题） 6. 一辆装满货物、宽为1.6米的卡车，欲通过 如图所示的隧道（隧道上半部分是以 为直 径的半圆），则卡车的高度必须低于( ) B A. 3.0米 B. 2.9米 C. 2.8米 D. 2.7米 返回 举一反三 24 05 课堂小结 1.验证勾股定理的方法: 2.勾股定理的初步应用 等面积，两算法 找准斜边，直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方。 谢谢观看 THANKS $