空间向量在立体几何中的应用之动点问题3动点在平面上 讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学精选专题-立体几何 空间向量在立体几何中的应用之动点问题 之动点在平面内 湖北天门 薛德斌 一、动点在坐标轴的垂面内 1．如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为_________． 【答案】 【详解】与平面，∴，点的轨迹为线段，线段和以点为圆心的，长度为． 2．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点. （1）求证：. （2）已知点在平面内，且平面，试确定点的位置． 【答案】（2）点为的中点． 【详解】（1）以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），    设，则，，，，，， 所以，，所以， 所以. （2）解法一：因为平面PAD，设，所以. 由（1），知，. 因为平面PCB， 所以， 所以，所以点G的坐标为，即点G为AD的中点． 解法二：设为的中点，则，，∴平面， ∵平面，∴， 设点G为AD的中点，则，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∴点G为AD的中点． 二、动点在坐标轴的斜面内（2个参数） 方法归类： （1）点在平面内，则设． （2）点在内（含边上），则设． （3）点在内（含边上），则设． 1．（多项选择题）如图，在长方体中，，，，分别是棱，，的中点，点在侧面内，且，则（    ） A．的最小值是 B． C．三棱锥的体积是定值 D．三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】BCD 【详解】解法一：由，在平面内， 又∵点在侧面内，平面平面， ∴点的轨迹即为线段． 解法二：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设， 则， 因为， 所以，得，所以， 则，得， ， 当时，，则， 当时，则，则， 综上，，所以三点共线，即点的轨迹即为线段． 对于A，的最小值是，故A错误； 对于B，， 则，所以，故B正确； 对于C，，平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D，设的中点为，则外接圆的圆心即为点， 则三棱锥的外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为， 由，得，所以， 则， 因为，所以，即三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥的外接球表面积的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 2．已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，为的中点，． （1）证明：平面平面； （2）若，与平面所成的角为，在侧面内是否存在一点，使得平面？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，请说明理由． 【答案】（2）存在满足条件的点，点到平面的距离为． 【要点】（1）证明的三种方法： （2）1．作线面角；2．先计算，证明，再建系；3．点在平面内的向量表示． 【详解】（1）解法一：（几何法证明） 直角梯形ABCD中，AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC， ∴DC=2，∠BCD=，是等边三角形， ∴DE=AD=1，，∴是的垂直平分线，∴． 又∵PB⊥AE，PB∩BD=B，∴AE⊥平面PBD. 又∵AE⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD． 解法二：（基向量法证明） ，， ， ∴，．以下同解法一． 解法三：（坐标法证明）以点为原点建立平面直角坐标系， 则，，，，，， ∴，．以下同解法一． （2）在平面PBD内作PO⊥BD于O，连接OC， 又∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD， ∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角， 则∠PCO=， ∴OP=OC=，PB=PD，PO⊥BD，所以O为BD的中点，OC⊥BD． 以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 假设在侧面内存在点，使得平面成立， 设，，，， 则， 由，得，满足题意， ∴点到平面的距离为． 3．（多项选择题）如图，四面体中，平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则 （    ）     A．当时，∥平面 B．当时， C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD 【要点】“N在侧面上＋平面向量基本定理”与“＋基向量思想”相互转化． 【解法一】（＋基向量思想） ∵，平面平面，平面平面，平面， ∴平面，且平面，∴． 对于选项A：，∴，∴平面，又因为N在侧面上（包含边界），∴点即为点， 而平面，故A错误； 对于选项B：，∴平面，∴点在线段上， 由平面，可知，故B正确； 过作，垂足为，可得，，        因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， ∴，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时，∴，故D正确． 故选BCD． 【分析二】（N在侧面上＋平面向量基本定理）根据可证平面，设，且，进而可得． 对于A：若，则点即为点； 对于B：若，可得点在线段上； 对于C、D：过作，垂足为，可证平面，则． 【解法二】（N在侧面上＋平面向量基本定理） ∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面，且平面，∴． 又因为N在侧面上（包含边界），设，且， ∴ ， 又因为，可得，且． 对于选项A：若，则，∴点即为点， 而平面，故A错误； 对于选项B：若，则，∴点在线段上， 由平面，可知，故B正确； 过作，垂足为，可得，，        因为平面，平面，则， 且，平面，所以平面， 可得， 对于选项C：显然当点即为点时，最小，此时， 可得，故C正确； 对于选项D：显然当点即为点时，最大，则最大，此时， 可得，故D错误． 故选BCD． 4．在中，，，，点，分别为边，的中点，将沿折起，使得平面平面． （1）求证：； （2）在平面内是否存在点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 【解题要点】1．面面的性质与判定． 2．“点在平面内”怎样表示？ 3．在向量表示下怎样求点的位置（轨迹）？ 解：（1）证明：中，∵且，∴． 又∵平面平面，平面平面，∴平面． 又∵平面，∴． （2）由（1）知，．以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则， ， 设为平面的一个法向量，则，取． 假设在平面内存在点，使得平面平面． 设， 设为平面的一个法向量， 则，取， ∵平面，∴，， ∴． 设，则， ∵， ∴在平面内存在点，当点在直线（去掉点，点在线段上且）上时，平面平面． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学精选专题-立体几何 空间向量在立体几何中的应用之动点问题 之动点在平面内 湖北天门 薛德斌 一、动点在坐标轴的垂面内 1.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD-ABCD的表面上一个动点，直线AP与平 面ABCD所成的角为45°，则点P的轨迹长度为 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD=DC, E,F分别是AB,PB的中点 (1)求证：EF⊥CD (2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB,试确定点G的位置. 二、动点在坐标轴的斜面内(2个参数) 方法归类： (1)点M在平面ABC内，则设AM=入AB+uAC (2)点M在△ABC内（含边上），则设 AM=元AB+4AC(L≥0，H≥0,0≤元+4≤1) (3)点M在口ABCD内（含边上），则设AM=AB+uAD0≤元≤1,0≤H≤) 1.(多顶选择题)如图，在长方体1BCD-AB,CD中，AD=2AB=2M4=4E, F,H分别是楼AD,BG,BC的中点，点P在侧面4ADD内，且 BP=xBE+yBF(x,y∈R),则() A.AP的最小值是V2 B.AHL BP C.三棱锥P-ABF的体积是定值 D.三棱锥P-BB 的外接球表面积的取值范围是12元，44x] D C B A 2.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC,AB⊥BC, AB=V3,BC=2AD=2,E为CD的中点，PB⊥AE. (1)证明：平面PBD⊥平面ABCD: 元 (2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为4，在侧面PCD内是否存在一点N, 使得BN⊥平面PCD?若存在，求 的距离；若不存在，请说明理由， 3.(多项选择题)如图，四面体ABCD中，平面ABD⊥平面ACD,△ABD是等边三角 形，AD=CD,AD⊥CD,M为AB的中点，N在侧面BCD上（包含边界），若 MN=xAB+yAC+zAD ,则() 、1 A.当2时，MN∥平面ACD B.当y=O时，MN⊥CD 1 1 x=- C.当MN最小时，4 D.当MN最大时， 2 M 4.在△4BC中， B=I 。2,AB=4,BC=2,点D,E分别为边AC,AB的中点， 将△AED沿DE折起，使得平面AED⊥平面BCDE. (1)求证：DC⊥AE: (2)在平面ACD内是否存在点M,使得平面AEM⊥平面ABD？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由， D E