空间向量在立体几何中的应用之动点问题1动点在坐标平面的垂线上讲义-2027届高三数学一轮复习

高中数学精选专题-立体几何 空间向量在立体几何中的应用之动点问题 湖北天门 薛德斌 题型归类： 一、动点类型 1．动点在坐标平面的垂线上（1个坐标为参数）． 2．动点在坐标平面的斜线上（3个坐标都含参数）． 点在线段上，则设， （1）利用向量的加法、减法法则，求目标向量的坐标，如； （2）先求出点的坐标，再求目标向量的坐标． 3．动点在圆上（2个参数1个关系式（圆的方程）或设角）． 4．动点在坐标轴的垂面内 5．动点在坐标轴的斜面内（2个参数）． （1）点在平面内，则设． （2）点在内（含边上），则设． （3）点在内（含边上），则设． 6．2个动点． 二、试题类型 1．求动点位置（解方程、方程组）． 2．求最值、范围． （1）二次函数或换元＋变形＋二次函数． （2）利用几何性质求距离的最值． （3）利用最小角定理和最大角定理求角的最值 最小角定理：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．（线面角是最小的线线角．） 如图，直线是平面的斜线，直线与平面所成的角为，直线，则． 利用最小角定理： ①求线线角的最小值：当直线变动时，的最小值是． ②求线面角的最大值：当平面变动时，的最大值是． 最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角．（锐二面角是最大的线面角．） 如图，锐二面角的大小为，直线，直线与平面所成的角为，则． 利用最大角定理： ①求线面角的最大值：当直线变动时，的最大值是． ②求锐二面角的最小值：当平面变动时，的最小值是． 一、动点在坐标平面的垂线上 1．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（2）1． 【答案】（1）证明见解析；（2）1． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （注：空间向量法比几何法更简单，得分更容易．） （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解． 【详解】（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， ∴，∴， 又不在同一条直线上，∴. （2）设，则， 设平面的法向量， 则，取， 设平面的法向量， 则，取， ， 化简可得，解得或，∴或，∴. 2．已知正方体，点为的中点，直线交平面于点． （1）证明：点为的中点； （2）若点为棱上一点，且二面角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】(1) 正方体中， ∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴，∴， ∵点为的中点，∴点为的中点． (2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方形，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2，设， 则， ， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为， 则，取， 由，得， ∴或（舍去），∴． 3．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点， ． （1）证明：； （2）当为何值时，平面与平面所成的角的正弦值最小？ 【答案】（2）． 【要点】1．（1）向量法比几何法简单； 2．先证明，再建系＋参数＋最值． 3．最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角．（锐二面角是最大的线面角．）由最大角定理，面与平面所成的角的最小值为直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角，即 ，． 【详解】∵三棱柱是直三棱柱，∴底面，∴ ∵，，∴，又，∴平面， ∴两两垂直． 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，，则． （1）解法一：∵， ∴，所以． 解法二：取中点，，平面． （2）设平面的法向量为， ∵， ∴，即，取． 平面的法向量为， 设平面与平面所成的角为， 则． 当时，取最小值为，此时取最大值为， ∴当时，平面与平面所成的角的正弦值最小为． 4．如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证得平面，利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面； （2）①根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值． ②最小角定理：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．（线面角是最小的线线角；线线角是最大的线面角．） 与平面所成角的正弦值的最大值为与直线所成角，即 ，． 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，平面平面，∴． ∵平面，∴， ∵，，∴平面， ∵，∴平面． （2）解法一：如图建立空间直角坐标系， 则有， 设，则有， 设平面的法向量为， 则，即，取， 设与平面所成的角为， 则 ， 当且仅当时等号成立， ∴直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 解法二：最小角定理：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．（线面角是最小的线线角；线线角是最大的线面角．） 与平面所成角的正弦值的最大值为与直线所成角，即 ，， ∴直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学精选专题-立体几何 空间向量在立体几何中的应用之动点问题 湖北天门 薛德斌 题型归类： 一、动点类型 1．动点在坐标平面的垂线上（1个坐标为参数）． 2．动点在坐标平面的斜线上（3个坐标都含参数）． 点在线段上，则设， （1）利用向量的加法、减法法则，求目标向量的坐标，如； （2）先求出点的坐标，再求目标向量的坐标． 3．动点在圆上（2个参数1个关系式（圆的方程）或设角）． 4．动点在坐标轴的垂面内 5．动点在坐标轴的斜面内（2个参数）． （1）点在平面内，则设． （2）点在内（含边上），则设． （3）点在内（含边上），则设． 6．2个动点． 二、试题类型 1．求动点位置（解方程、方程组）． 2．求最值、范围． （1）二次函数或换元＋变形＋二次函数． （2）利用几何性质求距离的最值． （3）利用最小角定理和最大角定理求角的最值 最小角定理：斜线与平面所成角是这条斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．（线面角是最小的线线角．） 如图，直线是平面的斜线，直线与平面所成的角为，直线，则． 利用最小角定理： ①求线线角的最小值：当直线变动时，的最小值是． ②求线面角的最大值：当平面变动时，的最大值是． 最大角定理：锐二面角是一个平面内的直线与另一个平面所成角中最大的角．（锐二面角是最大的线面角．） 如图，锐二面角的大小为，直线，直线与平面所成的角为，则． 利用最大角定理： ①求线面角的最大值：当直线变动时，的最大值是． ②求锐二面角的最小值：当平面变动时，的最小值是． 一、动点在坐标平面的垂线上 1．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点在棱上，当二面角为时，求． 2．已知正方体，点为的中点，直线交平面于点． （1）证明：点为的中点； （2）若点为棱上一点，且二面角的正弦值为，求的值． 3．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点， ． （1）证明：； （2）当为何值时，平面与平面所成的角的正弦值最小？ 4．如图，四棱锥的底面为正方形，底面．设平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $