6.3 角 同步练习 2026-2027学年人教版七年级数学上册

6.3 角 角的概念 知识点1 角的定义及表示方法 1.下列说法正确的是 ( ) A.由两条射线组成的图形叫作角 B.角的大小与角的两边的长度有关 C.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D.用放大镜看一个角，角的度数变大了 2.[2025 北京平谷区期末]下列图形中，能用∠1，∠O，∠AOB 三种方法表示同一个角的图形是( ) 3.>教材P172T2变式 如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填表. 表示 方法1 ∠1 ∠α ∠3 表示 方法2 ∠EAD ∠BAD ∠C(或∠BCD) ∠D 知识点 2 角的度量与换算 4. [2025天津红桥区期末]如图所示，下列各角是锐角的是 ( ) A.∠AOB B. ∠AOC C. ∠AOD D. ∠BOC 5. [2026 天津和平区期末] 若∠A =20°25′,∠B =20°15'30",∠C=20.25°,则( ) A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B 6.计算: (1 )周角= 平角= 直角; (2)8.76°= ° ' "; (3)0.15°= ′= ″. 知识点 3 方位角与钟面角 7.[2026长治潞州中学期末]明明在做西安游玩攻略时，发现西安几个景点与钟楼的大致方向如图所示，下列说法正确的是 ( ) A.大明宫国家遗址公园在钟楼的北偏东24°方向上 B.鼓楼在钟楼的北偏西23°方向上 C.小雁塔在钟楼的南偏东13°方向上 D.大雁塔在钟楼的南偏东70°方向上 8. [2026佛山禅城区期末]下午2：20，我们在宽敞明亮的教室准备上课，此时墙上时钟的时针与分针的夹角的度数应为 . 角的比较与运算 知识点1 角的比较 1.[2026宁波江北区期末]如图，用同一把三角尺比较∠1 和∠2的大小，下列结论正确的是 ( ) A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定 2.[2026厦门双十中学期末]如图1、图2 所示，把一副三角尺先后放在∠AOB上，则∠AOB 的度数可能是 ( )课内提分区 A.60° B.50° C.40° D.30° 知识点 2 角的和差 3.[2025广州花都区期末]如图，下列角度关系不一定正确的是 ( ) A.∠AOC=∠1+∠2 B.∠1 =∠2 C.∠AOB=∠AOC-∠BOC D.∠AOC-∠AOB=∠BOC 4.教材P173探究变式用一副三角尺(一个三角尺有30°,60°,90°角,另一个三角尺有45°,45°,90°角)不能画出的角是 ( ) A.75° B.15° C.110° D.135° 5.[2026西安新城区期末]如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东30.45°方向上，B港口在灯塔的北偏西50.25°方向上，C港口在BO的延长线上，则∠AOC的度数为 ( ) A.99°18′ B.99°3' C.80°42′ D.80°7′ 6. >易错题 [2025 丹东期末] 已 知 ∠AOB = 80°,∠BOC = 30°,则∠AOC 的度数为 50°或110°. 7. >教材P174T3变式计算: 过素养 综合创新应用 8.推理能力[2025江门新会东方红中学期中]如图1，点A，O，B依次在直线MN上.现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动.直线MN保持不动，当有一条射线与直线MN重合时，转动停止，如图2.设转动的时间为t秒.转动过程中,当∠AOB=80°时,t的值为 . 角的平分线 知识点 角的平分线及相关运算 1. [2026洛阳宜阳期末]已知射线OC 是∠AOB 的平分线,若∠AOC=34°,则∠AOB= ( ) A.34° B.17° C.68° D.80° 2. [2026抚顺顺城区期末]如图,已知OC是∠AOB 内部的一条射线，下列条件中不能确定OC 是∠AOB的平分线的是 ( ) A.∠AOC=∠BOC B.∠AOB=2∠AOC C.∠AOC+∠COB=∠AOB 3.[2026天津河东区期末]将一张长方形纸片按如图方式折叠,BD,BE为折痕,A,A'为对应点,C,C'为对应点,A',C',B 三点共线. 若∠ABE =25°,则∠DBC的度数为 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75° 4. [2025无锡期末]如图,∠AOB 是直角,∠AOC =50°,射线OP 从边OA 出发,绕点O 逆时针旋转直至与边OB 重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是 ( ) A. OP平分∠AOC B. OP平分∠AOB C. OC平分∠BOP D. OC平分∠AOP 5. >易错题 [2026镇江期末] 已知∠AOB=30°,OD平分∠AOB,∠BOC =80°,则∠DOC 的度数为 . 6. >教材P176T3变式计算: (1)65°24′÷4; 7. [2026荆门期末]如图,点A,O,B在一条直线上,∠COD=90°,OE 是∠AOD 的平分线. (1)若∠BOD=58°,求∠DOE的度数; (2)若∠AOC:∠COE=2:1,求∠BOD的度数. 8.教材P178T8变式[2025金华永康期末]如图，已知射线OC 是∠AOB 的一条靠近 OA 边的三等分线, 且∠COD=20°,则∠AOB的度数为 ( ) A.100° B.110° C.120° D.135° 9.如图,OM是∠AOB的平分线,OP是∠MOB内部的一条射线,已知∠AOP 比∠BOP 大30°,则∠MOP 的度数是 . 10.[2026沈阳大东区期中]如图，O 是直线CE上一点,以O为顶点作∠AOB=90°,且OA,OB位于直线CE两侧,OB平分∠COD. (1)当∠AOC=60°时,求∠DOE的度数; (2)请你猜想∠AOC 和∠DOE 的数量关系,并说明理由. 2(90°-∠AOC)=2∠AOC11.>运算能力[2026 怀化期末]一副三角尺按如图1方式放置,直角三角尺ABC(∠ABC=45°)的边BC与直角三角尺 BDE(∠DBE=30°)的边BD重合，点F 在线段AB 的延长线上.如图2，将图1中的直角三角尺 BDE绕点B 以每秒2°的速度顺时针旋转(当线段 BE 落到射线BF上时停止)，BM平分∠EBF，当满足∠CBM=3∠CBD-80°时,求三角尺 BDE 的运动时间t的值. 一题多变双角平分线模型 1. 三个角围成周角如图,∠AOB =126°,射线OC 在∠AOB外,若OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,则∠MON= . 2.两个角相邻[2026绥化期末]已知∠AOB 内部有三条射线,其中 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC. (1)如图1,若∠AOB=90°,∠AOC=30°,求∠EOF 的度数; (2)如图2,若∠AOB=α,求∠EOF 的度数(用含α的式子表示)； (3)若将题中的“OE平分∠BOC,OF平分∠AOC”改为“∠EOB = ∠COB, 且∠AOB=α,其他条件不变，则∠EOF 的度数为 α .(用含α的式子表示) 3.>两个角有公共部分[2026 儋州期末]如图，已知在同一平面内,∠AOB=90°,∠AOC=60°. (1)若OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC,求∠DOE 的度数. (2)在(1)的条件下,如果将题目中的“∠AOC=60°”改为“∠AOC=2α(α<45°)”,其他条件不变，∠DOE 的度数是否发生变化?若发生变化，求∠DOE 的度数，若不发生变化，请说明理由. 余角和补角 1. [2024武威中考]若∠A=55°,则∠A 的补角为 ( ) A.35° B.45° C.115° D.125° 2.已知∠A 和∠B 互余,且∠A =20°30′,则∠B= . 3.>新考向·传统文化 [2025厦门海沧区期末]人们很早就借助工具度量角.我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”，它是由长、短不同的两个直尺组合而成的直角拐尺(如图)，它的两条边分别为AB,BC.若∠1 =35°,则∠2 的度数是 . 4. [2025泉州丰泽区期末]已知∠A是锐角,∠A 与∠B互补,∠A与∠C互余,则∠B﹣∠C= °. 5.如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数. 知识点 2 余角和补角的性质 6.[2026随州期末]课堂上，同学们用一套三角尺探究∠ACE与∠BCD 之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是 . 7.下列说法错误的是 ( D ) A.因为∠1 +∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1 =∠3 B.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3 C.因为∠1 +∠2=180°,∠1 +∠3=180°,所以∠2=∠3 D.因为∠1+∠2=90°,所以∠1=∠2=45° 8. [2026 甘南州期末] 如图,∠AOC 和∠BOE 都是90°. (1)与∠AOE相等的角是 ; (2)若∠COE=48°,求∠AOB 的度数; (3)若OD平分∠COE,∠BOC:∠AOD=3:4,求∠DOE 的度数. 过能力 解题能力提升 答案P45 9. [2025 安阳滑县期末] 如图,∠AOB = ∠COD=∠EOF=90°,则图中∠1,∠2,∠3 三个角的数量关系为 ( ) A. ∠1+∠2+∠3=90° B. ∠1+∠2﹣∠3=90° C.2∠1-∠2+∠3=90° D. ∠1+2∠2-∠3=90° 10.[2026六安金安区期末] 若∠α与∠β互补,且∠α>∠β,给出下列式子:①90°-∠β;②∠α-90°;③180°﹣∠α; 其中是∠β的余角的是 ( ) (B) A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 11.[2025南通启东期末]已知O是直线AB上一点，∠BOC<180°,射线 OD 在∠BOC 内部,OE平分∠BOC. (1)如图1,当∠AOC=40°,∠COD=60°时,∠DOE的度数是 . (2)如图2,OF平分∠BOD. ①试说明∠COD=2∠EOF; ②若∠COF 与∠DOE互补,求∠COD 的度数. 过素养综合创新应用 12.>推理能力 如图1，将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起. (1)①若∠DCE=35°,则∠ACB= ; ②若∠ACB=150°,则∠DCE= . (2)请你猜想∠ACB 与∠DCE有何关系,并说明理由. 追问1：如图2，若将两个同样的三角尺的60°角的顶点A 重合在一起，请你猜想∠DAB 与∠EAC的数量关系，并说明理由. 追问2：如图3，把任意两个锐角∠AOB，∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB=α,∠COD=β,请你直接写出∠AOD 与∠BOC的数量关系. 【回顾与思考】结合线段和角的学习，谈谈类比方法在数学学习中的作用. 6.3 角 角的概念 知识点1 角的定义及表示方法 1.下列说法正确的是 (C ) A.由两条射线组成的图形叫作角 B.角的大小与角的两边的长度有关 C.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D.用放大镜看一个角，角的度数变大了 2.[2025 北京平谷区期末]下列图形中，能用∠1，∠O，∠AOB 三种方法表示同一个角的图形是 (B) 3.>教材P172T2变式 如图，把同一个角用不同的表示方法表示出来，并填表. 表示 方法1 ∠1 ∠2 ∠α ∠β(或∠ADC) ∠3 表示 方法2 ∠EAD ∠BAD ∠C(或∠BCD) ∠D ∠B(或∠ABC或∠EBC) 知识点 2 角的度量与换算 4. [2025天津红桥区期末]如图所示，下列各角是锐角的是 ( D) A.∠AOB B. ∠AOC C. ∠AOD D. ∠BOC 5. [2026 天津和平区期末] 若∠A =20°25′,∠B =20°15'30",∠C=20.25°,则(A) A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B 6.计算: (1 )周角= 平角= 1 直角; (2)8.76°= 8 ° 45 ' 36 "; (3)0.15°= 9 ′= 540 ″. 知识点 3 方位角与钟面角 7.[2026长治潞州中学期末]明明在做西安游玩攻略时，发现西安几个景点与钟楼的大致方向如图所示，下列说法正确的是 (A) A.大明宫国家遗址公园在钟楼的北偏东24°方向上 B.鼓楼在钟楼的北偏西23°方向上 C.小雁塔在钟楼的南偏东13°方向上 D.大雁塔在钟楼的南偏东70°方向上 8. [2026佛山禅城区期末]下午2：20，我们在宽敞明亮的教室准备上课，此时墙上时钟的时针与分针的夹角的度数应为 50°. 角的比较与运算 知识点1 角的比较 1.[2026宁波江北区期末]如图，用同一把三角尺比较∠1 和∠2的大小，下列结论正确的是 (C) A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定 2.[2026厦门双十中学期末]如图1、图2 所示，把一副三角尺先后放在∠AOB上，则∠AOB 的度数可能是 (C)课内提分区 A.60° B.50° C.40° D.30° 知识点 2 角的和差 3.[2025广州花都区期末]如图，下列角度关系不一定正确的是 (B) A.∠AOC=∠1+∠2 B.∠1 =∠2 C.∠AOB=∠AOC-∠BOC D.∠AOC-∠AOB=∠BOC 4.教材P173探究变式用一副三角尺(一个三角尺有30°,60°,90°角,另一个三角尺有45°,45°,90°角)不能画出的角是 (C) A.75° B.15° C.110° D.135° 5.[2026西安新城区期末]如图，以灯塔O为中心，A港口在灯塔的北偏东30.45°方向上，B港口在灯塔的北偏西50.25°方向上，C港口在BO的延长线上，则∠AOC的度数为 (A) A.99°18′ B.99°3' C.80°42′ D.80°7′ 6. >易错题 [2025 丹东期末] 已 知 ∠AOB = 80°,∠BOC = 30°,则∠AOC 的度数为 50°或110°. 7. >教材P174T3变式计算: 解:47°53'43"+53°47'42" =100°100′85″ =101°41'25". 解： =45°58′9″. 过素养 综合创新应用 8.推理能力[2025江门新会东方红中学期中]如图1，点A，O，B依次在直线MN上.现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动.直线MN保持不动，当有一条射线与直线MN重合时，转动停止，如图2.设转动的时间为t秒.转动过程中,当∠AOB=80°时,t的值为 10或26 . 角的平分线 知识点 角的平分线及相关运算 1. [2026洛阳宜阳期末]已知射线OC 是∠AOB 的平分线,若∠AOC=34°,则∠AOB= (C) A.34° B.17° C.68° D.80° 2. [2026抚顺顺城区期末]如图,已知OC是∠AOB 内部的一条射线，下列条件中不能确定OC 是∠AOB的平分线的是 (C) A.∠AOC=∠BOC B.∠AOB=2∠AOC C.∠AOC+∠COB=∠AOB 3.[2026天津河东区期末]将一张长方形纸片按如图方式折叠,BD,BE为折痕,A,A'为对应点,C,C'为对应点,A',C',B 三点共线. 若∠ABE =25°,则∠DBC的度数为 (B) A.60° B.65° C.70° D.75° 4. [2025无锡期末]如图,∠AOB 是直角,∠AOC =50°,射线OP 从边OA 出发,绕点O 逆时针旋转直至与边OB 重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是 (D) A. OP平分∠AOC B. OP平分∠AOB C. OC平分∠BOP D. OC平分∠AOP 5. >易错题 [2026镇江期末] 已知∠AOB=30°,OD平分∠AOB,∠BOC =80°,则∠DOC 的度数为 95°或65°. 6. >教材P176T3变式计算: (1)65°24′÷4; 解:65°24′÷4 =64°84′÷4 =16°21'. 解： =29°63′ =30°3'. 解： =283°42'24"-8°19' =275°23'24". 7. [2026荆门期末]如图,点A,O,B在一条直线上,∠COD=90°,OE 是∠AOD 的平分线. (1)若∠BOD=58°,求∠DOE的度数; (2)若∠AOC:∠COE=2:1,求∠BOD的度数. 解:(1)因为∠BOD=58°, 所以∠AOD=180°-∠BOD=122°. 因为OE平分∠AOD, 所以 (2)由∠AOC:∠COE =2:1,可设∠COE =x,则∠AOC=2x, 因为OE平分∠AOD, 所以∠DOE=∠AOE=∠AOC+∠COE=3x. 因为∠COD=90°,所以∠COE+∠DOE=x+3x=90°, 所以x=22.5°,所以∠AOC=2x=45°, 所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=45°. 8.教材P178T8变式[2025金华永康期末]如图，已知射线OC 是∠AOB 的一条靠近 OA 边的三等分线, 且∠COD=20°,则∠AOB的度数为 (C) A.100° B.110° C.120° D.135° 9.如图,OM是∠AOB的平分线,OP是∠MOB内部的一条射线,已知∠AOP 比∠BOP 大30°,则∠MOP 的度数是 15°. 10.[2026沈阳大东区期中]如图，O 是直线CE上一点,以O为顶点作∠AOB=90°,且OA,OB位于直线CE两侧,OB平分∠COD. (1)当∠AOC=60°时,求∠DOE的度数; (2)请你猜想∠AOC 和∠DOE 的数量关系,并说明理由. 解:(1) 因 为 ∠AOB =90°,∠AOC=60°,所以∠BOC = ∠AOB -∠AOC=90°-60°=30°.因为OB平分∠COD,所以∠BOD=∠BOC=30°,所以∠DOE =180°﹣∠BOD﹣∠BOC =180°﹣30°-30°=120°. (2)∠DOE=2∠AOC. 理由:因为∠AOB=90°, 所以∠BOC=90°-∠AOC. 因为OB平分∠COD, 所以∠BOD=∠BOC=90°-∠AOC, 所以∠DOE = 180° - 2 ∠BOC = 180°- 2(90°-∠AOC)=2∠AOC11.>运算能力[2026 怀化期末]一副三角尺按如图1方式放置,直角三角尺ABC(∠ABC=45°)的边BC与直角三角尺 BDE(∠DBE=30°)的边BD重合，点F 在线段AB 的延长线上.如图2，将图1中的直角三角尺 BDE绕点B 以每秒2°的速度顺时针旋转(当线段 BE 落到射线BF上时停止)，BM平分∠EBF，当满足∠CBM=3∠CBD-80°时,求三角尺 BDE 的运动时间t的值. 解:由题意可得∠CBD=(2t)°. 因为∠ABC=45°,∠DBE=30°, 所以 ∠EBF = 180° - ∠ABC - ∠CBD -∠DBE=(105﹣2t)°. 因为BM平分∠EBF, 所以 因为∠CBM=3∠CBD﹣80°, 所以180–45–(52.5–t)=6t–80,解得t=32.5. 一题多变双角平分线模型 1. 三个角围成周角如图,∠AOB =126°,射线OC 在∠AOB外,若OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,则∠MON= 117 °. 2.两个角相邻[2026绥化期末]已知∠AOB 内部有三条射线,其中 OE 平分∠BOC,OF 平分∠AOC. (1)如图1,若∠AOB=90°,∠AOC=30°,求∠EOF 的度数; (2)如图2,若∠AOB=α,求∠EOF 的度数(用含α的式子表示)； (3)若将题中的“OE平分∠BOC,OF平分∠AOC”改为“∠EOB = ∠COB, 且∠AOB=α,其他条件不变，则∠EOF 的度数为 α .(用含α的式子表示) 解:(1)因为 OF 平分∠AOC,所以∠COF = 因为∠BOC =∠AOB - ∠AOC =90°-30°=60°,OE平分∠BOC, 所以 所以∠EOF=∠COF+∠EOC=45°. (2)因为OF平分∠AOC, 所以 同理,∠EOC = 所以 3.>两个角有公共部分[2026 儋州期末]如图，已知在同一平面内,∠AOB=90°,∠AOC=60°. (1)若OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC,求∠DOE 的度数. (2)在(1)的条件下,如果将题目中的“∠AOC=60°”改为“∠AOC=2α(α<45°)”,其他条件不变，∠DOE 的度数是否发生变化?若发生变化，求∠DOE 的度数，若不发生变化，请说明理由. 解:(1)因为∠AOB=90°,∠AOC=60°, 所以∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°. 因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC, 所以∠COD = ∠BOC = 75°,∠COE = 所以∠DOE=∠COD﹣∠COE=45°. (2)∠DOE的度数不发生变化.理由如下：因为∠AOB=90°,∠AOC=2α,所以∠BOC=90°+2α. 因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,所以 ∠COE = 所以∠DOE=∠COD﹣∠COE=45°,所以∠DOE的度数不发生变化. 余角和补角 1. [2024武威中考]若∠A=55°,则∠A 的补角为 (D) A.35° B.45° C.115° D.125° 2.已知∠A 和∠B 互余,且∠A =20°30′,则∠B= 69°30′. 3.>新考向·传统文化 [2025厦门海沧区期末]人们很早就借助工具度量角.我国夏商时代就出现了校验直角的工具——“矩”，它是由长、短不同的两个直尺组合而成的直角拐尺(如图)，它的两条边分别为AB,BC.若∠1 =35°,则∠2 的度数是 55°. 4. [2025泉州丰泽区期末]已知∠A是锐角,∠A 与∠B互补,∠A与∠C互余,则∠B﹣∠C= 90 °. 5.如果一个角的补角是这个角的余角的4倍，求这个角的度数. 解：设这个角为x°，则这个角的补角为(180﹣x)°,余角为(90﹣x)°, 根据题意,得180-x=4(90-x), 解得x=60，故这个角的度数是60°. 知识点 2 余角和补角的性质 6.[2026随州期末]课堂上，同学们用一套三角尺探究∠ACE与∠BCD 之间的数量关系时，进行了如下推理，其推理的依据是 同角的余角相等. 因为∠ACE+∠ECD=90°,∠BCD+∠ECD=90°,所以∠ACE=∠BCD 7.下列说法错误的是 (D) A.因为∠1 +∠2=90°,∠2+∠3=90°,所以∠1 =∠3 B.因为∠1=∠2,∠2=∠3,所以∠1=∠3 C.因为∠1 +∠2=180°,∠1 +∠3=180°,所以∠2=∠3 D.因为∠1+∠2=90°,所以∠1=∠2=45° 8. [2026 甘南州期末] 如图,∠AOC 和∠BOE 都是90°. (1)与∠AOE相等的角是 ∠BOC ; (2)若∠COE=48°,求∠AOB 的度数; (3)若OD平分∠COE,∠BOC:∠AOD=3:4,求∠DOE 的度数. 解:(2)因为∠AOC=90°,∠COE=48°, 所以∠AOE=∠AOC﹣∠COE=90°﹣48°=42°. 因为∠BOE=90°, 所以∠AOB=∠AOE+∠BOE=42°+90°=132°. (3)因为OD平分∠COE, 所以.∠COD=∠DOE= ∠COE. 因为∠BOC =∠BOE﹣∠COE=90°﹣2∠DOE,∠AOD=∠AOC-∠DOC=90°-∠DOE,∠BOC:∠AOD=3:4, 所以(90°-2∠DOE):(90°-∠DOE)=3:4,即4(90°-2∠DOE)=3(90°-∠DOE),解得∠DOE=18°. 过能力 解题能力提升 答案P45 9. [2025 安阳滑县期末] 如图,∠AOB = ∠COD=∠EOF=90°,则图中∠1,∠2,∠3 三个角的数量关系为 (A) A. ∠1+∠2+∠3=90° B. ∠1+∠2﹣∠3=90° C.2∠1-∠2+∠3=90° D. ∠1+2∠2-∠3=90° 10.[2026六安金安区期末] 若∠α与∠β互补,且∠α>∠β,给出下列式子:①90°-∠β;②∠α-90°;③180°﹣∠α; 其中是∠β的余角的是 (B) A.①② B.①②④ C.①②③ D.①②③④ 11.[2025南通启东期末]已知O是直线AB上一点，∠BOC<180°,射线 OD 在∠BOC 内部,OE平分∠BOC. (1)如图1,当∠AOC=40°,∠COD=60°时,∠DOE的度数是 10°. (2)如图2,OF平分∠BOD. ①试说明∠COD=2∠EOF; ②若∠COF 与∠DOE互补,求∠COD 的度数. 解:(2)①因为OE平分∠BOC, 所以∠COE=∠BOE,∠BOC=2∠COE. 因为OF平分∠BOD,所以∠BOD=2∠DOF. 因为∠DOE=∠BOE﹣∠BOD, 所以∠DOE=∠COE-2∠DOF, 所以∠COD =∠COE +∠DOE =2∠COE-2∠DOF. 因为∠EOF = ∠DOE + ∠DOF = ∠COE -2∠DOF+∠DOF=∠COE﹣∠DOF, 所以∠COD=2∠EOF. ②因为OE平分∠BOC,OF平分∠BOD, 所以∠BOC=2∠COE,∠BOD=2∠DOF. 由(2) ①得∠COD =2∠COE - 2∠DOF, ∠DOE=∠COE-2∠DOF, 所以∠COF=∠COD+∠DOF=2∠COE-∠DOF. 因为∠COF与∠DOE互补, 所以∠COF+∠DOE=180°, 所以2∠COE-∠DOF+∠COE-2∠DOF=180°, 所以∠COE﹣∠DOF=60°, 所以∠COD =∠BOC﹣∠BOD =2∠COE﹣2∠DOF=120°. 过素养综合创新应用 12.>推理能力 如图1，将一副三角尺的直角顶点C叠放在一起. (1)①若∠DCE=35°,则∠ACB= 145 °; ②若∠ACB=150°,则∠DCE= 30 °. (2)请你猜想∠ACB 与∠DCE有何关系,并说明理由. 追问1：如图2，若将两个同样的三角尺的60°角的顶点A 重合在一起，请你猜想∠DAB 与∠EAC的数量关系，并说明理由. 追问2：如图3，把任意两个锐角∠AOB，∠COD的顶点O重合在一起,已知∠AOB=α,∠COD=β,请你直接写出∠AOD 与∠BOC的数量关系. 解:(2)∠ACB与∠DCE互补.理由如下: 因为∠ACE+∠DCE=90°,∠DCE+∠DCB=90°, 所以∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCB=180°. 因为∠ACE+∠DCE+∠DCB=∠ACB, 所以∠ACB+∠DCE=180°, 所以∠ACB与∠DCE互补. 追问1:∠DAB+∠EAC=120°.理由如下: 因为∠DAE+∠EAC=60°,∠EAC+∠CAB=60°, 所以∠DAE+∠EAC+∠EAC+∠CAB=120°. 因为∠DAE+∠EAC+∠CAB=∠DAB, 所以∠DAB+∠EAC=120°. 追问2:∠AOD+∠BOC=β+α. 解法提示:因为∠AOD=∠COD+∠COA=β+∠COA,所以∠AOD +∠BOC =β + ∠COA +∠BOC=β+∠AOB=β+α. 【回顾与思考】结合线段和角的学习，谈谈类比方法在数学学习中的作用. 学科网（北京）股份有限公司 $