26.4实际问题与二次函数--- 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 课时同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 1、 选择题 1．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 2．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【答案】A 【分析】求羽毛球最大高度即求二次函数的最大值，可化为顶点式求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为米． 3．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查的是二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据性质求出与轴的交点，即可得到答案． 【详解】解：依题意，的横坐标为， 令， 即， 故选B． 4．如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用．足球能射进球门，球射向球门的路线应经过轴上点和点之间的部分，取时的值，根据列出不等式组求得合适的的取值范围，即可判断正确选项． 【详解】解：当时，， ∵足球能射进球门， ∴， ∴， 解得， 则的值可能是． 故选：B． 5．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了 ． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 6．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：D． 7．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　） A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 【答案】A 【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案． 【详解】解：如图所示，以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 方法一：∵AB＝DE＝1.5m， ∴点B与点D关于对称轴对称， ∴AE＝2×1.6＝3.2（m）； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.6，2.5）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5， 将点B（0，1.5）代入得，2.56a+2.5＝1.5， 解得a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1.6）2+2.5， 当y＝1.5时，（x﹣1.6）2+2.5＝1.5， 解得x＝0（舍）或x＝3.2， 所以茶几到灯柱的距离AE为3.2米， 故选：A． 【点睛】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力． 9．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式． 由题意得，，，然后将点，代入求出此时的，再将点，代入求出此时的，即可求解范围． 【详解】解：由题意得，，， 将点，代入，则， 解得； 将点，代入，则， 解得； ∴要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是， 故选：A． 10．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，求出点的坐标为，从而得到答案． 【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴， ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：， ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， 即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是． 故选：C． 2、 填空题 11．从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 【答案】20 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：∵， ∴顶点的横坐标为， 把代入得， ∴当小球到达最高点时，距离地面的高度是， 故答案为：20． 12．如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 【答案】2 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，投球问题(实际问题与二次函数)，的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．先根据题意得出函数过，，从而可求得待定系数，求得函数表达式，代入求得函数值即可． 【详解】解：∵小明铅球出手的高度为米，成绩为6米， ∴过，， ∴， ∴， ∴铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为， 当时，函数有最大值为， ∴铅球在运行中的高度最高大约为2米， 故答案为：2． 13．每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数与实际问题．把代入函数解析式，即可解答． 【详解】解：令，则， ∴篮球出手点的高度为2米． 故答案为：2． 14．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数值，理解题意是解题的关键．根据题意，先将代入，求得，然后结合车顶离隧道的顶部至少要有的距离，即可求得答案． 【详解】解：由题意可知，当时，， ∵为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离， ∴货车的限高应是， 故答案为：． 15．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 【答案】200 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，再求出时的y值，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图： ∴，，，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴内侧抛物线的解析式为， 当时，， ∴米， 故答案为：200． 16．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是 ．（填序号） 【答案】①③． 【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 3、 解答题 17．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2) 解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子； 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）略 18．某体验馆建造了一幢“森林”主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域，且在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量长8米． (1)若在抛物线上，求该抛物线表达式． (2)在（1）的条件下，若隔离区矩形区域的高米，则隔离区的面积为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）根据题意得：点E的坐标为，设抛物线的解析式为，把点，代入，即可求解； （2）令，可求出，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点E的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴隔离区的面积为． 19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)此球能过网 (3)羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设，把代入求出a的值，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求出x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可设， 把代入得， 抛物线的解析式为： （2）解：当时， 此球能过网． （3）解：当时， 解得：，， 羽毛球在Q处时与球网的水平距离为1米． 20．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 21．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 【答案】(1) (2)横梁PQ的长度是9米 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，已知函数值求自变量， 对于（1），根据矩形的性质及已知条件得顶点E的坐标，可设抛物线的函数表达式为，再将点代入函数表达式可得答案； 对于（2），令，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，米， ∴点（米）. 根据题意得，顶点E的坐标为， ∴可设抛物线的函数表达式为：， 把点代入函数表达式可得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：由题意知，点P的纵坐标为， 当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是9米． 22．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 【答案】(1) (2)保温墙到点O的水平距离为8米 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确审题和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，代入求解即可； （2）将代入解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：由题可得，顶点， 设抛物线的函数解析式为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）当时，， 解得，， ∵保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧， ， 答：保温墙到点O的水平距离为8米． 23．某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）． (1)求与的函数解析式． (2)调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为，可设抛物线的解析式为：， 将点代入，即可求解； （2）令抛物线解析式的，即可求出原先羽毛球的落地点到发球机点的水平距离，根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，抛物线的顶点为，且抛物线与轴交点为， 可设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得：， 解得：， 关于的函数表解析式为：； （2）解：当时，， 解得：，（舍去）， 抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为：， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米， 当时，， ， 解得：， ， 当时，， 发球机的弹射口高度应调整为米． 24．篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①； ②； ③能，理由如下， 根据上述计算可得，， ∴当时，， ∴小华本次投篮能将篮球投进篮筐； (2) 【分析】本题主要考查二次函数与投球的运用，理解并掌握抛物线的性质，顶点坐标，图形开口，水平距离与垂直高度的关系是解题的关键． （1）①根据表格信息得到值的变化与值的变化情况即可求解；②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入计算即可；③把代入计算得到小华投球的高度与篮筐高度进行比较即可求解； （2）根据篮球出手时竖直高度满足，分类讨论：当经过函数关系的图象上时；当经过函数关系的图象上时；代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据题意，顶点坐标为， ∴篮球的竖直高度的最大值为； ②根据题意，顶点坐标为，图象过，代入二次函数中得， ， 解得，； ③略 （2）解：篮球出手时竖直高度满足，篮筐中心水平距离的位置，篮筐距离地面的高度为， ∴当经过函数关系的图象上时， ， 解得， 当经过函数关系的图象上时， ， 解得，； ∴小明将篮球投进篮筐中心，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 第3课时 抛物线形实物及运动轨迹问题 1、 选择题 1．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 2．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 3．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，足球训练中，嘉嘉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线对应的解析式为．已知球门高为2.44米，忽略其他因素，若足球能沿抛物线直接射进球门，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了 ． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 6．“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为22米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示为则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ）米． A．11 B．13 C．22 D．26 7．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，最高点C距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为多少米（　　） A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 9．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为的处抛出弹力球，弹力球在处着地后弹起，落至点处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为，在处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 12．如图，小明推铅球，已知铅球运行时离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为，如果小明铅球出手的高度为米，成绩为6米，那么可以推断铅球在运行中的高度最高大约为________米． 13．每一次投篮，篮球在空中划出的轨迹都是一条优美的抛物线．如图，这是一次投篮时篮球的运动轨迹，它满足二次函数，其中y（米）代表篮球飞行的高度，x（米）代表篮球飞行的水平距离，则这次投篮时，篮球出手点的高度为________米． 14．如图，一辆宽为的货车要通过跨度为、拱高为的单行抛物线形隧道从正中通过，抛物线满足表达式，为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有的距离，则货车的限高应是__________． 15．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，离地面150米处的水平宽度（即的长）为40米，则“门”的内侧的高度的大小是______米． 16．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是 ．（填序号） 3、 解答题 17．某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 18．某体验馆建造了一幢“森林”主题场馆，如图是馆内抛物线形模拟洞穴的横截面，现需要在洞穴内壁架设平行于地面的钢架，两端分别在洞穴最高点两侧．在钢架正下方隔离出一片矩形区域，且在水平地面上．如图，以O为坐标原点、水平地面为x轴建立平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于O、E，经测量长8米． (1)若在抛物线上，求该抛物线表达式． (2)在（1）的条件下，若隔离区矩形区域的高米，则隔离区的面积为多少？ 19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，其飞行的路线为抛物线的一部分．建立如图平面直角坐标系，甲在O点正上方的P处发球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足抛物线表达式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为，当羽毛球飞行达到最高点离地面时，此时与点O的水平距离为． (1)求抛物线表达式； (2)通过计算判断此球能否过网； (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面高度为的Q处时，乙扣球成功，求羽毛球在Q处时与球网的水平距离． 20．如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 21．乡村振兴关键在产业．近年来，某县区通过建设标准化大棚，种植圣女果、普罗旺斯西红柿、草莓等，让大棚产业照亮农业转型升级致富路，实现村民稳定增收．如图2，某农户的大棚截面上半部分可近似看作抛物线，下半部分可看作矩形，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米，米，棚宽米． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在上方的抛物线部分加装一根横梁（点P、Q均在抛物线上），且，若横梁与地面的距离是米，则横梁的长度是多少米？ 22．某农户有如图1所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的直线，点O是抛物线与地面所在直线的交点，是保温墙，，已知塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面的高度是3米，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)若保温墙的高度为米，且保温墙位于塑料顶棚最高点的右侧，求保温墙到点O的水平距离（即的长）． 23．某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）． (1)求与的函数解析式． (2)调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？ 24．篮球课上，小华和小明在距离篮筐中心水平距离的位置处，正对篮筐进行定点投篮练习．篮筐距离地面的高度为．篮球出手后，在空中的运动路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)小华某次定点投篮练习时，篮球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 竖直高度 ①直接写出篮球的竖直高度的最大值； ②篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，求的值； ③小华本次投篮能否将篮球投进篮筐，请说明理由； (2)小明进行定点投篮练习时，篮球的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，篮球出手时竖直高度满足，若小明将篮球投进篮筐中心，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $