第一章有理数知识清单 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第一章 有理数 知识清单 人教版新教材七年级数学上册 · 按课时整理 · 详解版 第1课时 1.1 正数和负数 【学习目标】 1. 了解负数产生的实际背景，体会引入负数的必要性。 2. 理解正数、负数的概念，知道0既不是正数也不是负数。 3. 会用正、负数表示生活中具有相反意义的量。 知识点一 正数与负数的概念 大于0的数叫做正数。如3、2.5、+1/3、20%等。正数前面的“+”号可以省略不写。 在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。如-3、-2.5、-1/3、-20%等。“-”号不能省略。 一个数前面的“+”或“-”叫做它的性质符号。如-5读作“负5”。 【特别提醒】 1. 0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 2. 不能仅凭符号判断正负。字母a可为任意数：a为正时-a为负，a为负时-a为正，a=0时-a=0。 3. 带“+”号不一定是正数（如+(-2)=-2）；带“-”号不一定是负数（如-(-3)=3）。判断前先化简。 4. 0的意义已从“表示没有”扩展为“表示基准”。如0℃是确定的温度，海拔0m是海平面高度。 知识点二 具有相反意义的量 把其中一种意义规定为正，相反意义就规定为负。习惯上“上升、增加、收入、零上、向东、盈利”为正。 【相反意义量的条件】 ① 是同类量（单位相同）；② 意义相反（不要求数值相等）。 常见配对：零上/零下、收入/支出、上升/下降、盈利/亏损、东/西、增加/减少。 ▸ 典例精析 【例1】如果水位升高3m记作+3m，那么水位下降5m记作什么？水位不升不降记作什么？ 【解析】“升高”规定为正，相反的“下降”记为负；不升不降即无变化，用0表示。 【答案】下降5m记作-5m；不升不降记作0m。 【方法点拨】先定正向，反向自然为负。0表示基准状态。 ▸ 典例精析 【例2】食品袋上标“净含量385±5g”，合格净含量范围是多少？ 【解析】“±5g”表示以385g为基准，最多多5g，最多少5g。 【答案】最高390g，最低380g，合格范围380g～390g。 【方法点拨】“±”表示误差范围，正号为上偏差，负号为下偏差。 ▸ 典例精析 【例3】下列各数：-3，0，+5，-3.1，+2.8，-20%，1/2。其中正数、负数各有哪些？ 【解析】正数大于0，负数在正数前加“-”。0既不是正数也不是负数。-20%=-0.2为负，1/2=0.5为正。 【答案】正数：+5，+2.8，1/2；负数：-3，-3.1，-20%。 【方法点拨】先排除0，再逐个判断。百分数、分数先还原再判断。 【易错警示】 易错点1：认为“一个数不是正数就是负数”——忽略了0。 易错点2：认为“-号开头的数一定是负数”——双重负号结果为正。 易错点3：正负方向前后不一致。 易错点4：认为0℃表示没有温度。 第2课时 1.2.1 有理数的概念 【学习目标】 1. 理解有理数的意义，掌握有理数的概念。 2. 能按两种标准对有理数分类，做到不重不漏。 3. 理解“非负数”“非正数”“非负整数”等概念。 知识点一 有理数的定义 整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 【小数与有理数】 · 有限小数可化为分数，是有理数（如0.5=1/2，-3.25=-13/4）。 · 无限循环小数可化为分数，是有理数（如0.333…=1/3）。 · 无限不循环小数不能化为分数，不是有理数（如π=3.1415926…）。 · 百分数是分数的特殊写法（如25%=1/4，-10%=-1/10）。 知识点二 有理数的分类 【分类一】按定义分类 有理数 ├─ 整数：正整数、0、负整数 └─ 分数：正分数、负分数 【分类二】按性质分类 有理数 ├─ 正有理数：正整数、正分数 ├─ 0（单独一类） └─ 负有理数：负整数、负分数 【扩展概念】 · 非负数 = 正数 + 0；非正数 = 负数 + 0。 · 非负整数（自然数）= 正整数 + 0。 · 分类要做到不重不漏，0必须单独列出。 ▸ 典例精析 【例1】把-3，+5，0，-1.5，+2.8，-20%，1/3，-7填入相应集合：正整数、负整数、正分数、负分数。 【解析】先化简再分类。-20%=-0.2为负分数。 【答案】正整数：+5；负整数：-3，-7；正分数：+2.8，1/3；负分数：-1.5，-20%。 【方法点拨】建议先把每个数化简，再逐个归类。 ▸ 典例精析 【例2】下列说法正确的有几个？①0是整数；②0是正数；③0是偶数；④一个数不是正数就是负数；⑤非负整数包括0和正整数。 【解析】①对；②错（0不是正数）；③对（0能被2整除）；④错（还有0）；⑤对。 【答案】正确的有①③⑤，共3个。 【方法点拨】0是整数、偶数、自然数，是正负数分界，但不是正数也不是负数。 【易错警示】 易错点1：分类漏掉0。 易错点2：把0归入正数或负数。 易错点3：认为有限小数不是分数。 第3课时 1.2.2 数轴 【学习目标】 1. 掌握数轴概念，理解三要素。 2. 能正确画数轴，将有理数在数轴上表示。 3. 会解决数轴上点的移动和距离问题。 知识点一 数轴的定义与三要素 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。三要素缺一不可。 【三要素】 1. 原点：表示数0的点，是正负数分界。 2. 正方向：通常向右，用箭头表示。 3. 单位长度：同一数轴上必须统一。 知识点二 数轴上的点与有理数 任何有理数都可用数轴上唯一的点表示。正有理数在原点右侧，负有理数在左侧，0对应原点。 知识点三 点的移动与距离 向右移动做加法，向左移动做减法，简称“左减右加”。 ▸ 典例精析 【例1】在数轴上表示：-2，0，1.5，-3.5，7/2。 【解析】先画数轴（三要素齐全），再逐点标注。7/2=3.5在3和4中间。 【答案】画水平直线→取原点→标箭头→取单位刻度→描点标注。 【方法点拨】分数小数要定准位置，-3.5在-3和-4中间。 ▸ 典例精析 【例2】点A表示-3，先右移5个单位到B，再左移7个单位到C。C表示什么？ 【解析】右移5：-3+5=2；左移7：2-7=-5。 【答案】C表示-5。 【方法点拨】分步计算，以上一步位置为新起点。 ▸ 典例精析 【例3】（1）到原点距离为4的点有几个？（2）与表示-1的点距离为3的点表示什么数？ 【解析】（1）距离原点4，可在左侧也可在右侧。（2）在-1左边3个单位或右边3个单位。 【答案】（1）两个点，4和-4。（2）-1-3=-4或-1+3=2。 【方法点拨】数轴上与某点距离为定值的点有两个（左右各一），不要漏解。 【易错警示】 易错点1：画数轴漏箭头或原点。 易错点2：刻度间距不统一。 易错点3：负数标在原点右侧。 易错点4：移动方向搞反。 易错点5：求距离只考虑一个方向。 第4课时 1.2.3 相反数 【学习目标】 1. 理解相反数概念，会求一个数的相反数。 2. 掌握相反数的几何意义。 3. 会进行多重符号化简，掌握“奇负偶正”。 知识点一 相反数的定义 只有符号不同的两个数互为相反数。一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数是0。 “互为”是双向的：3是-3的相反数，-3也是3的相反数。 知识点二 几何意义 互为相反数的两个点在原点两侧，到原点距离相等，关于原点对称。 知识点三 多重符号化简 【奇负偶正】 一个正数前有若干个“-”号： 负号个数为奇数→结果为负；偶数→结果为正。 “+”号个数不影响结果。 例：-(-5)=5（偶→正）；-(+3)=-3（奇→负）；-[-(-4)]=-4（奇→负）。 ▸ 典例精析 【例1】求下列各数的相反数：(1)7；(2)-2.5；(3)0；(4)-1/3。 【解析】在数前添“-”号。7→-7；-2.5→-(-2.5)=2.5；0→0；-1/3→1/3。 【答案】(1)-7；(2)2.5；(3)0；(4)1/3。 【方法点拨】正数的相反数为负，负数的相反数为正，0的相反数是本身。 ▸ 典例精析 【例2】化简：(1)-(-2)；(2)-(+6)；(3)+(-4)；(4)-[-(-3)]。 【解析】数负号个数。(1)2个→正；(2)1个→负；(3)正号忽略，结果-4；(4)3个→负。 【答案】(1)2；(2)-6；(3)-4；(4)-3。 【方法点拨】只数“-”号，“+”号全忽略。 ▸ 典例精析 【例3】若2x-4与5互为相反数，求x。 【解析】互为相反数→和为0。(2x-4)+5=0。 【答案】2x+1=0，x=-1/2。 【方法点拨】“a与b互为相反数”等价于a+b=0。 【方法规律】 1. a的相反数是-a。 2. a、b互为相反数 ⟺ a+b=0。 3. 相反数（和为0，符号相反）与倒数（积为1）不要混淆。 【易错警示】 易错点1：认为-a一定是负数。 易错点2：混淆相反数与倒数。 易错点3：化简时数错负号个数。 易错点4：认为相反数必须一正一负（0的相反数是0）。 第5课时 1.2.4 绝对值 【学习目标】 1. 理解绝对值的几何意义和代数意义。 2. 会求一个有理数的绝对值。 3. 掌握绝对值的非负性，解决|a|+|b|=0类问题。 知识点一 绝对值的定义 数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作|a|。 知识点二 代数法则 【绝对值法则】 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：a>0时|a|=a；a=0时|a|=0；a<0时|a|=-a。 知识点三 重要性质 【绝对值性质】 1. 非负性：|a|≥0，绝对值最小的数是0。 2. 互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3. |x|=正数有两解（互为相反数）；|x|=0只有一解；|x|=负数无解。 4. |a|+|b|=0 ⟹ a=0且b=0（非负数之和为0，则各自为0）。 ▸ 典例精析 【例1】求：(1)|-9|；(2)|+3.5|；(3)|0|；(4)-|-2|。 【解析】(1)-9为负，绝对值为9；(2)正，为3.5；(3)0；(4)先算|-2|=2再取负，得-2。 【答案】(1)9；(2)3.5；(3)0；(4)-2。 【方法点拨】-|-2|是先求绝对值再取相反数，结果为负。 ▸ 典例精析 【例2】(1)若|x|=5，求x。(2)若|a-2|+|b+3|=0，求a+b。 【解析】(1)绝对值为5的数有两个。(2)两个非负数和为0，各自为0。 【答案】(1)x=5或x=-5。(2)a=2，b=-3，a+b=-1。 【方法点拨】|x|=正数两解；非负数和为0是高频考点。 ▸ 典例精析 【例3】已知a<b<0，化简：(1)|a|；(2)|a-b|。 【解析】(1)a<0，|a|=-a。(2)a<b则a-b<0，|a-b|=-(a-b)=b-a。 【答案】(1)-a；(2)b-a。 【方法点拨】含字母绝对值化简，先判断绝对值内式子正负，再去符号。 【易错警示】 易错点1：|a|=a时漏掉a=0（应a≥0）。 易错点2：|a|=-a时漏掉a=0（应a≤0）。 易错点3：|x|=5只写x=5，漏掉-5。 第6课时 1.2.5 有理数的大小比较 【学习目标】 1. 会利用数轴比较有理数大小。 2. 掌握比较法则，重点掌握两个负数的比较。 3. 能综合运用绝对值、相反数比较大小。 知识点一 数轴比较法 数轴上右边的数总比左边的数大，即从左到右从小到大。 知识点二 法则比较法 【比较法则】 1. 正数>0>负数；正数大于一切负数。 2. 两个正数：绝对值大的大。 3. 两个负数：绝对值大的反而小。 口诀：异号看符号，正数大于负数； 同号看绝对值，同正大，同负反而小。 ▸ 典例精析 【例1】比较大小：(1)-3和-5；(2)-2/3和-3/4；(3)-(-2)和-|-3|。 【解析】(1)|-3|=3<|-5|=5，所以-3>-5。(2)|-2/3|=8/12<|-3/4|=9/12，所以-2/3>-3/4。(3)先化简：-(-2)=2，-|-3|=-3，正数>负数。 【答案】(1)-3>-5；(2)-2/3>-3/4；(3)-(-2)>-|-3|。 【方法点拨】两个负数先比绝对值，原数方向相反。有多重符号先化简。 ▸ 典例精析 【例2】将-3，1，0，-1.5，2.5，-4从小到大排列。 【解析】正数：1，2.5；负数：-3，-1.5，-4。负数绝对值：4>3>1.5，所以原数-4<-3<-1.5。 【答案】-4 < -3 < -1.5 < 0 < 1 < 2.5。 【方法点拨】多数比较三步：正数>0>负数；正数内部排；负数内部先比绝对值再反转。 ▸ 典例精析 【例3】有理数a在原点左侧，|a|=3。比较a，-a，|a|，-|a|的大小。 【解析】a=-3。-a=3，|a|=3，-|a|=-3。 【答案】a=-|a|=-3 < -a=|a|=3。 【方法点拨】先确定a的值，把每个数都算出来再排序。 【易错警示】 易错点1：两个负数比较时“绝对值大的大”——方向反了。 易错点2：比较前不化简（如把-(-2)当负数）。 易错点3：忘记0的位置。 易错点4：多数排序时正负混杂，建议先分组再排。 单元知识结构小结 本章从相反意义的量引入负数，将数系扩充到有理数。以数轴为主线，学习了相反数（关于原点对称）和绝对值（点到原点距离），最后掌握有理数大小比较。 【本章知识脉络】 正数和负数 → 有理数的概念与分类 ↓ 数轴（数形结合核心工具） ├─→ 相反数：关于原点对称，a与-a，和为0 ├─→ 绝对值：点到原点距离，|a|≥0 └─→ 大小比较：右大左小；正数>0>负数；两负数绝对值大的反而小 【必须掌握的核心结论】 1. 0既不是正数也不是负数；0是整数、偶数、自然数。 2. 有理数=整数+分数；有限小数和无限循环小数都是有理数。 3. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 4. 互为相反数 ⟺ 和为0；几何上关于原点对称。 5. |a|≥0；|a|=正数有两解；|a|+|b|=0 ⟹ a=b=0。 6. 两个负数比较：绝对值大的反而小。 学科网（北京）股份有限公司 $