湖北省十堰市部分重点高中2026-2027学年高二上学期9月阶段检测数学试题

那阳中学高二年级上学期9月考试 数学试卷 本试题卷共四页，全卷满分150分。考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷和答 题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷和答题卡上的非答题 区域均无效。 一、单选题 1.对任意实数a,直线y=(a-l)x+3-2a一定经过点（) A.(0,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(3,0) 2.己知平面直角坐标系中的三个点A,N5),B(-l,-5),C(4,0),过A点与线段BC有公共点的直线为1， 则直线1的斜率可以是() A0B.号c有D3 3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”（如213， 312等)，若a,b,ce{,2,3,4},且a,b,c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 (） 4日B员cD 4.已知△ABC中，B=若，AC=2,若满足条件的角A有两个解，则BC长的取值范围是（） (停sca.a 5.今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场 中央建造一座“长征颂”主题纪念碑该纪念碑的基座设 计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几 何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样 长桩颂 的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10 米、宽6米，一个侧面为上底J长4米，B1腰长5米 高二数学试卷（共4页)第1页 的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为() A.168B.192C.216 D.240 6.设A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若P()=2-a,P(B)=4a-6,则实数a 的取值范围是( A层周B.c()D.(侵2 7.如图，在平行四边形BCD中，AB=号4D,BF=BC,CE与DF交于点0.设花=a,D=i,若 A0=a+b,则元+u=( 8 A.11 B.19 17 C. 3 p. 11 8.在平行六面体ABCD-ABCD,中，且∠BAA=∠DA4=60°，AB⊥AD,.若AB=1,AC=3,则棱A4 的最大值为() A.√2 B.2W2 C.3 D.4 二、多选题 9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是() A.1+2+i+i=0 B复数2的虚部为- 1+i C.若复数z为纯虚数，则z=z2 D.若2为复数，则名22=z2 10.甲、乙、丙、丁四名同学路掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果， 可以判断该同学掷得的点数一定有6的是（) A,甲：极差为4，平均数为4.4 B.乙：中位数为3，平均数为3.4 C.丙：平均数为3，方差不小于4 D.丁：中位数为2，方差大于2.5 11.在长方体ABCD-ABCD,中，AB=AD=2,A4=4,M为棱BB的中点，点P为侧面ABBA内的动 点（包含边界），则下列说法正确的有( A.满足CP=2W2的点P有且只有两个 B.若D,P⊥AM,则点P的轨迹长度为2√2 C三棱锥4-4ACM的体积为 ,8 D.若C,P∥平面ADM,四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为8√6元 高二数学试卷（共4页)第2页 0, 三、填空题 12、经过点P(2,3),并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为 (用一般式作答) 13.已知d,b,c为非零不共线向量，向量节=2a+36+4,则记向量p以{a,,c为基底时的坐标为(2,3,4)， 若向量p以{a,,C为基底时的坐标为（么，-3,2），则p以a-2,a+i,a+c为基底时的坐标为_ 14.正三角形△ABC边长为2√5，D,E是AB,AC中点，将AADE沿DE翻折至△4DE,当二面角 A-ED-C的大小为120时，四棱锥A-BCDE外接球O的表面积为 四、解答题 15.已知aABC的三个顶点是A(0,4),B(-1,1),C(3,-1). (1)求边BC上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边BC上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边BC的垂直平分线的斜截式方程 ◆频率组距 0.025 16.电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房） 0.020 已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜 0.018 榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取 0.010 0.005 20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直 0.002 10203040506070年龄（岁） 0 方图 (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)： (2)已知落在[20,30的平均年龄是27岁，方差是7，落在30,40的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年 龄合并后的平均数z和方差s2, 高二数学试卷（共4页）第3页 17.已知a,b,c分别为△4BC的内角A,B,C所对的边，a=25且V3 asinC+acosC=b+c. (1)求A; (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 18.如图，在三棱柱ABC-4BG中，底面是边长为2的等边三角形，C℃=2，D,E 分别是线段AC,CC的中点，C在平面ABC内的射影为D. (1)求证：AC⊥平面BDE; (2)若点F为棱BC的中点，求点F到平面BDE的距离； (3)若点F为线段BC上的动点（不包括端点），求锐士面角F-BD-E的余弦值的取值范围. 19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC,，M为PB的中点. (I)求证：AC⊥BC; (2)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面PBC所成角为30°； ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积； ②当BC取最大值时，求二面角M-AC-B的正弦值. 高二数学试卷（共4页)第4页■ 高二年级9月阶段性测试 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 注意事项 1答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚 2客观题答愿，必须使用2B铅笔填涂，修改时用棕皮 贴条形码区 擦干净 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写 4必须在题号对应的答题区域内作答，超出答避区城书 写无效 5.保持答卷清洁、完整 正碗填涂 围缺考标记☐ 客观题(1-8为单选题，每小题5分：911为多选题，每小题6分，共58分) 1 BaD5✉9Ba 2 B©✉D6 G✉DI0aBD 7 ABcD 8 英空题（每小题5分，共15分） 12 13 14 请勿在此区域作答或 者做任何标记 由在务群目的答瓶区戴内作斧，出图色苑形边枢限定区其的答案无效 72 口口口■ 7在目的若区内作，山色面定区谷案 解答题（共77分） 16.(15分) 15.(13分) 销在各题目的答思区域内作答，辑出越色矩形边愿根定区域的锋案无效 请在各题目的答因区城内作答，胡出题色矩形边提限烂战的壁案无效 2 12 ▣口口■ 口口口■ 在各目的容区绒内作砻，巡出料色矩形边心定区双雨答案无效 17.(15分) 1 喷在各思日的客巴区罐内作答，超白离色园边框型定区坡的答案无效 2/2 口口口 请在名战日价容思区成内排答，超田黑色恋形迈常银定区安的数 销在客菌目的密短赵破内作容，店信色无彩顷根限足区线的各案无登 18.(17分) 19.(17分) 请在各遥目的等思区坡内作等，量出风色矩形达把慰定区域的湾类无效 请在各围目的答仪罐内作著，的出即色领后边团股定区城的首宝无效 口口■口 2/2 口口圆口 2/2 题 高二年级上学期9月考试 数学试卷 本试题卷共四页，全卷满分150分。考试用时120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单选题 1.对任意实数，直线一定经过点() A.(0，1) B.(1，2) C.(2，1) D.(3，0) 2.已知平面直角坐标系中的三个点，，过A点与线段BC有公共点的直线为l，则直线l的斜率可以是() A.0 B. C. D.3 3.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为() A. B. C. D. 4.已知△ABC中，AC=2，若满足条件的角A有两个解，则BC长的取值范围是() A. B. C.(1，2) D.(2，4) 5.今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩(如图所示)，已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底IJ长4米，BI腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为 A.168 B.192 C.216 D.240 6.设A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若P(A)=2-a，P(B)=4a-6，则实数a的取值范围是() A. B. C. D. 7.如图，在平行四边形ABCD中，CE与DF交于点O.设若则=( ) A. B. C. D. 8.在平行六面体中，且∠BAA₁=∠DAA₁=60°，AB⊥AD，若AB=1，A₁C=3，则棱AA₁的最大值为() A. B. C.3 D.4 二、多选题 9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中错误的是() A. B复数的虚部为-i C.若复数z为纯虚数，则 D.若z₁，z₂为复数，则 10.甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录骰子每次出现的点数，根据这四名同学的统计结果，可以判断该同学掷得的点数一定有6的是() A.甲：极差为4，平均数为4.4 B.乙：中位数为3，平均数为3.4 C.丙：平均数为3，方差不小于4 D.丁：中位数为2，方差大于2.5 11.在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，M为棱BB₁的中点，点P为侧面ABB₁A₁内的动点(包含边界)，则下列说法正确的有 A.满足的点P有且只有两个 B.若D₁P⊥AM，则点P的轨迹长度为2 C三棱锥A₁-ACM的体积为 D.若C₁P∥平面ADM，四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，则球O体积的最大值为 三、填空题 12.经过点P(2，3)，并且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍的直线方程为 .(用一般式作答) 13.已知，，为非零不共线向量，向量则记向量以为基底时的坐标为(2，3，4)，若向量以{，，}为基底时的坐标为(2，-3，2)，则以为基底时的坐标为 . 14.正三角形△ABC边长为2，D，E是AB，AC中点，将△ADE沿DE翻折至△A₁DE，当二面角的大小为120°时，四棱锥A₁-BCDE外接球O的表面积为 . 四、解答题 15.已知△ABC的三个顶点是A(0，4)，B(-1，1)，C(3，-1). (1)求边BC上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边BC上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边BC的垂直平分线的斜截式方程. 16.电影《哪吒之魔童闹海》总票房(含点映、预售及海外票房)已超158.91亿元，成为首部进入全球票房榜前五，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影.一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取20000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图. (1)估计观看此电影的观众的年龄的众数、平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)； (2)已知落在[20，30]的平均年龄是27岁，方差是7，落在[30，40]的平均年龄为36岁，方差是4，求两组年龄合并后的平均数z和方差s². 17.已知a，b，c分别为的内角A，B，C所对的边，且 (1)求A; (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 18.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段AC，CC₁的中点，C₁在平面ABC内的射影为D. (1)求证:A₁C⊥平面BDE; (2)若点F为棱B₁C₁的中点，求点F到平面BDE的距离； (3)若点F为线段B₁C₁上的动点(不包括端点)，求锐二面角F-BD-E的余弦值的取值范围. 19.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，M为PB的中点. (1)求证:AC⊥BC; (2)若PA=2，AC=m，BC=n，且AM与平面PBC所成角为30°; ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积; ②当BC取最大值时，求二面角M-AC-B的正弦值. 高二数学试卷（共4页）第2页 学科网（北京）股份有限公司 $《9月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 答案 C 0 O D A B D BC AC 题号 11 答案 BCD 5.C 【详解】将原图形补全为长方体，如下图： E 因为侧面为等腰梯形，上底长4米，下底长10米，腰长5米， B 所以捞形的高（傅几何体的）为A=5-(0二丁-4米 所以长方体下底面长10米、宽6米，高为4米，体积"长方=10×6×4=240立方米； 由于每个三棱锥的底面为直角三角形，直角边分别为：B1=10,4-3米，B阳=。=3 2 11 米，所以每个三棱锥的体积为：V三檬编=×与×3×3×4=6立方米，4个三棱锥总体积：7=24立方米 32 所以该纪念碑基座的体积为240-24=216立方米 6.A【详解】因为A、B两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于0，若P(A)=2-a,P(B)=4a-6, [0<2-a<1 由题意可得 0<4a-6<1解得3< a<子·由豆斥率件的餐米公式可得 P4UB)=P(4)+P(B)=2-a+4a-6=3a-4,由题意可得0<3a-4≤1，解得 .5 <a53' 3 故a的取值范围是（ (2故选：A 7.B【详解】连接AF,AC, B ~D,O,F三点共线，可设AO=xAD+yAF,则x+y=1, 0=而+伍+丽列=而+恋+号而x++阳： E,O,C三点共线，.可设A0=mA正+nAC,则m+n=1, 0=驾而+而+-（g+n+a: [x+y=1 m+n=1 「9 x= 8,1119 17,A0=8t6,即元+4=7开7i7 3 y=7 y=n 故选：B 8.D【详解】设AB=x,AD=y,A4=z,则有4C-4A+A丽+历， 答案第1页（共8页） 由∠BAA=∠DAA=60°，AB⊥AD, 所以AB.AD=0,∠A4B=∠A4D=120°， 所以 M 4C2=4C=(4A+丽+D=4A+a6++244.B+24A.AD+2B.元 =4+丽P+DP+244@co120+24cos120 =z2+x2+y2-2-z=z2+(x+y)2-(x+y)z-2xy=9, 即(x+)2-(x+y)z+z2-9=29y,所以0+)2-(1+y)z+z2-9=2y, 整理得y2-z+z2-z-8=0,所以△=z2-4×(z2-z-8)≥0， 则3z2-4z-32≤0，解得0<z≤4，则棱A4的最大值为4.故选：D. 10.AC【详解】选项A,假设没有6，则必有1,5，平均数为4.4，所以其余三个数之和应为16，所以假 设不成立；选项B,当5个数字为2,2,3,5,5时，中位数为3，平均数为3.4，满足条件： 选项C,假设没有6，方差最大时5个数字为1,1,3,5,5时， 平均数是3，方差为S2=[(1-3+1-3+3-3}+5-3+5-3]=3.2,假设不成立： 选项D,当五个数字为1,2,2,5,5时，中位数是2，平均数3， 方差为s2=[1-3+2-3+(2-3+5-3}+65-3]=2.8,满足题意. 11.BCD【详解】对于A,因为CB⊥平面ABB,4,BPC平面ABB4,所以CB⊥BP.若CP=2W2, 则BP=2,即点P在以点B为圆心，2为半径的圆上，满足CP=2√2的点P是弧4M, 在侧面ABBA内存在满足该条件的点无数个，故A不正确； B 对于B:因为D4⊥平面ABB,A4,AMc平面ABB,A,所以DA⊥AM. A M 因为4AM=4M=22,A4=4,所以AM2+AM2=A4,所以44M1AM, 又因为DA∩AM=A,DA,AMc平面DAM,所以AM⊥平面DAM, 因为DP⊥AM,即点P的轨迹为线段AM,所以点P的轨迹长度为2√2，B选项正确； 对于C,三楼维A-4CN的体积化4a-ew-8w×CB=写X×4x2x2-号 C选项正确： 对于D:取T是DD中点，取2是AA中点，因为2T/IAD,ADC平面ADM,2T￠平面ADM,所以2T/ 答案第2页（共8页） 平面ADM, AQ/IB,M,AQ=B,M,所以AOB,M是平行四边形，所以B,2/IAM,AMC平面ADM,B2文平面ADM, 所以B2/1平面ADM, B,2∩2T=2,B22Tc平面2TCB,所以平面2TCB,/1平面ADM, 又因为CP/I平面ADM,所以P∈平面2TCB, 所以当P取B,时，四棱锥P-ABCD的顶点都在球O上，球O体积的最大， 此时球O的半径R满足(2R2=22+2+42=24,即R=√6，所以球0的体积为4R=86元，故D正确； 3 12.2x+y-7=0或3x-2y=0 13.(1-1,2) 14. 【详解】 如图所示： 连接EN,DW,因为D,E,N是边长为2√3的正三角形△ABC的三条边的三个中点， 所以NB=4C,ND=AB,NB=NC=BC,AB=AC=BC, 2 所以NE=D=B=NCx2W3=V3 所以B,C,D,E四点共圆，且N为该圆的圆心， 因此四棱锥A-BCDE外接球球心一定在过点N且垂直于面BCDE的直线上，设为点O, 则有OA=OB,由题意点A的投影一定在直线AW上，不妨设为点G,即 ON//AG, 4 过O作OH⊥AG, 不妨设ON=h,则OB2=OW+BN2=+(V5=R+3, 又在RtAAGF中，∠AFG=180°-∠4FN=180°-120°=60°，∠4GF=90°， 所以H0=GN=GF+N=4F+N-×+号-号 22241 4H=4G-6H=4G-oN=54F-ON=5×名-h=35-h, 2 22 4 又4+0-04-o8,所5--图=3+R,标得 6 答案第3页（共8页） 所以四棱锥4-BCDE外接球半径的平方为R2=OB2=3+h2=3+ 53 261 6 =12 所以四棱锥4-BCDB外接球的表面积为了=4R'=4rx61_61r 123 综上所述：四棱锥4-BCDE外接球O的表面积为S=61匹 3 15.(1)y=4x+4(2)y=2x+4(3)y=2x-2 (4分+4分+5分) 16.【详解】(1)由频率分布直方图可知，最高矩形对应的区间为[30,40)， 所以众数为该区间的中点值，即30+40=35 2分 2 平均数为：x=5×0.1+15×0.18+25×0.2+35×0.25+45×0.2+55×0.05+65×0.02 =0.5+2.7+5+8.75+9+2.75+1.3=30. 5分 因为前两组的频率之和为0.1+0.18=0.28，前三组的频率之和为0.28+0.2=0.48<0.5， 前四组的频率之和为0.48+0.25=0.73>0.5，所以中位数位于区间30,40)内. 设中位数为m,则(m-30)×0.025=0.5-0.48=0.02, 解得m=30+0,02=30+0.8=30.8 0.025 故估计观看此电影的观众的年龄的众数为35，平均数为30，中位数为30.8， 8分 (2)由频率分布直方图可知，落在[20,30)的频率为0.020×10=0.2，落在[30,40)的频率为0.025×10=0.25. 设喜在m刘的样术重为，德00胖本为，则受8品-号即。-号则-号 由题意知，x=27,S2=7;y=36,S=4. 则合并后的平均数z+1,-音×27+号×36=12+20=32 11分 m+n m+n 合并后的方差 n2+医-时门[+6-] -7+7-32]g4+6-32]-号7+25+g4+10 -号×32+号x20-g3+190-2%8-5 99 93 故两组年龄合并后的平均数2为32，方差为 3 15分 17.(1)因为√5 asinC+acosC=b+c, 由正弦定理得：√3 sin AsinC+sin AcosC=sinB+sinC, 因为sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以√3 sin AsinC=cos Asin C+sinC, 答案第4页（共8页） 因为C∈(0，x),所以sinC>0,所以V5sinA-cosA=1, 4分 所以24-？=-1，印4-名- 因为4e0,对，所以-石<A-晋<行，所以A-名-名，所以A=背 7分 66 66 (2)因为osA=+c2-d1 2,a=25,所以6+c2-12+bc, 10分 2bc 因为D是BC的中点，所以历=(+4AG,所以aD=(+AC+2丽.aG =e2+b2+2 2becos)/=62+c2+bc）-2+2b0) 13分 因为b2+c2≥2bc,所以12+bc≥2bc,即bc≤12， 所以D=4(2bc+12)≤412+2x12)=9, 14分 当且仅当b=c时，等号成立，所以AD的最大值为3 15分 18.(I)连接AC,因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，则BD⊥AC, 由题意可知平面ACCA⊥平面ABC,平面ACCA∩平面ABC=AC,BDc平面ABC, 所以BD⊥平面A4CC,则ACc平面A4CC,可得BD⊥AC, 由题设知四边形AACC为菱形，则AC⊥AC, 因为D,E分别为AC,CC中点，则DE∥AC,可得AC⊥DE, 且BD∩DE=D,BD,DEC平面BDE,所以AC⊥平面BDE 5分 (2)C,在平面ABC内的射影为D,所以CD⊥平面ABC,由题设知四边形A4CC为菱形，D是线段AC 的中点，所以△ACC为正三角形， 由BDC平面ABC,ACc平面ABC,可得CD⊥BD,CD⊥AC, 又因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC, 则以D为坐标原点，DB,DA,DC所在直线为x,y,z轴， 7分 可建立如图所示空间直角坐标系， Z 则paa0叭.aao以.c4a-40.caa同，0-2 4i同.42同.r B 答案第5页（共8页） 可将丽-5a0.-0-分9}，D际-(9 [m.DB=√5x=0 设平面BDE的一个法向量为m=(x,y,z),则 2 令z=1,则x=0,y=3,可得m=(0,5,, 9分 所以点F到平面8DE的距离为H-历D丽_ +5 2 35 11分 2 (3)因为CB=5,l,0,C4=(0,35) 设F(x,y2),CF=aCB(0<<1),则(xy,z-V5)=（N3,元，0， 可得x=5,y=,z=5,即F3,元，)， 可得DF=(3,,5), 由(2)知：平面BDE的一个法向量m=(0,V5,) 设平面FBD的法向量i=(a,b,c),则{ DB=3a=0 iDF=3Aa+b+c=0' 令b=5,则a=0,c=-,可得i=(05,-2: 则eosm列 m.。3-13-2} 14分 网-同2x√3+22V3+2 令3-九=t∈(2,3)，则元=3-t, 1 1 可得osm列-22-6+7 22_6+1 因为G引则导+1e传钊可得e成店罗} 所以锐二面角F一BD一E的余弦值的取值范围为 17分 19.(1)已知PA⊥平面ABC,且BCC平面ABC,因此PA⊥BC; 已知平面PAC⊥平面PBC,且平面PACO平面PBC=PC,在平面PAC内作 AD⊥PC于D, 根据面面垂直的性质定理，可得AD⊥平面PBC,结合BCC平面PBC, 答案第6页（共8页） 可得AD⊥BC; 由于PAOAD=A,且PA,ADc平面PAC,根据线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC; 又因为ACC平面PAC,因此AC⊥BC. 4分 (2)①取PC的中点N,连接MW,AW, 因为M是PB的中点，所以MN//BC, 由(1)BC⊥平面PAC,可得N⊥平面PAC, ANc平面PAC,所以AN⊥MN, 由PA=2,AC=m=2,△PAC为等腰直角三角形， 因此AN⊥PC, 又因为MW,PCc平面PBC,NOPC=N, 所以AN⊥平面PBC, 则∠AMN就是AM与平面PBC所成的角， 已知AM与平面PBC所成角为30°，所以∠MN=30°. 在等腰RtAPAC中，PA=AC=2,所以AW=√2； 在RtAMN中，tan30°= =,代入得MN=V6,所以BC=2w=26, 所以Se=克4C-BC=2x26=26 2 所以三楼维体积为队c写cPA-写x26x2= 8分 3 ②过点C作CT⊥平面ABC,垂足为C,以C为原点，以CB,CA,CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系， 则caa0,.u0,0y@mrmm2M[径2 故C乎=(0，m,2),CB=(n,0,0),直线MA的方向向量MA= i.C乎=0 x=0 设平面PBC的法向量元=(x,y,),故 my+2z=0 即 → iC8=0' (x=0 2s_m 令y=2,则x=0,z=-m,所以n=(0,2,-m) 由直线M与平面PBC的夹角为30，得血30= 2m A4+m4+ 2, 4m 1 整理得 V4+m2Vm2+m2+42’ 交叉相乘同时平方得64m2=(4+m2)n2+(m2+4, 12分 答案第7页（共8页） 进而有7=-m+4+64m+)-64×4.-0m+4利-256 +64, m2+4 m2+4 由基本不等式得，(m+9+2622256=32,所以P≤64-32=32 当且仅当m2+4=256时，即m=25时等号成立，所以n542,即BC的最大值为42. 14分 m2+4 此时B(4W2,0,0),A(0,2W5,0),P0,2V5,2),M(22,V5,1 设平面MAC的法向量乃=(：，，乙)，则 元CA=0 CM=0' 即25=0 y=0 → 22x+5y+z=0a=-2W2x 令x=1,则y=0,2=-22,所以%=(1,0，-22)： 平面ACB的一个法向量n2=(0,0,).S 设面的从-c-8为0，期w时何源语源-2兰。 所以如0=1-o0-g号 17分 答案第8页（共8页）