14章专题5常规辅助线的作法解析版2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题5常规辅助线的作法 班级 姓名 . 类型 连接共边 延长补形 作垂线 截长补短 倍长中线 图形 学科网（北京）股份有限公司 题型1连接法 【例1】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF,求证:CB=CD. 变式训练1.在五边形ABCDE中,F为CD上一点,连接AF. (1)如图1,若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD.求证:F为CD的中点; (2)如图2,若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD于点F.求证:F为CD的中点. 变式训练2.如图,AB,CD交于点O,AB=CD,AC=BD.求证:∠A=∠D. 题型2延长法 【例2】如图,AC=BD,∠BAC=∠BDC=90°,求证:AB=CD. 题型3作垂线法 【例3】如图，已知，是的中点，平分.求证(1)平分；(2). 变式训练3.如图,在△ADE中,∠DAE=90°,AF⊥DE,且AF=DE.若AD=4,求S△ADF 题型4截长补短法 【例3】如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D,E分别是CA的延长线和AC的延长线上一点,AD=CE,F为BA延长线上的一点,且∠CFA=∠DFA.求证:DF+BE=CF. 证法一（截长法）： 证法二（补短法）： 变式训练4.如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至点E,使DE=AD,连接EC.求证:BC=AB+CE. 变式训练5.如图,在△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,P是AD上一点,求证:PB-PC<AB-AC. 题型5倍长中线法 【例5】如图，AD是△ABC的中线. (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=6,AC=4,求AD的取值范围. 变式训练6.如图,AD是△ABC的中线,且CD=AB,AE是△ABD的中线.求证:AC=2AE. 变式训练7.如图,在△ABC中,D为BC上一点,E是BC中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF,求证:AD为△ABC的角平分线. $专题5常规辅助线的作法班级 姓名」 类型 连接共边 延长补形 作垂线 截长补短 倍长中线 图形 D 题型1连接法 【例1】如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在AB,AD上，AE=AR,CE=CR,求证：CB-CD. 【答案】证明：连接AC, D B E A 在△AEC与△AFC中 AC=AC CE=CF AE=AF ∴.△AEC≌△AFC(SSS), ∴.∠CAE=∠CAF, ∠B=∠D=90, ∴.CB=CD. 【解析】本题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性 质，属于中考常考题型， 先证明△AEC≌△AFC,根据全等三角形的性质得出∠CAE=∠CAF,利用角平分线的性质解答即可. 变式训练1.在五边形ABCDE中，F为CD上一点，连接AF. (1)如图1，若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD.求证：F为CD的中点； (2)如图2，若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD于点F.求证：F为CD的中点. 图1 图2 【答案】【小题1】证明：连接AC,AD,得△ABC≌△AED(SAS), ∴.AC=AD .∴.Rt△ACF≌Rt△ADF(HL), ∴.CF=DF,即F为CD中点 【小题2】证明：延长AB,AE,与直线CD交于点M,N. 则△AFM≌△AFN(ASA), ∴.FM=FN,AM=AN,∠M=∠N, 又.'AB=AE,∠ABC=∠AED, .∴.BM=EN,∠MBC=∠DEN, ∴.△MBC≌△NED(ASA), ∴.MC=DN, 又.'FM=FN, ∴.CF=DF, ∴.F为CD中点. 变式训练2.如图，AB,CD交于点O,AB=CD,AC=BD.求证：∠A=∠D 【答案】证明：连接BC. 在△ACB和△DBC中， AC=DB, CB=BC, AB=DC, .∴.△ACB≌△DBC(SSS), .∠A=∠D. 题型2延长法 【例2】如图，AC=BD,∠BAC=∠BDC=90°，求证：AB=CD. 方法一：连接BC,则Rt△ABC≌Rt△DCB(HL),可得AB=CD. D B 二：延长BA,CD交于点E,可得AEBD≌△ECA(AAS)' 方法 .∴.BE=CE,AE=DE, ∴.AB=CD 题型3作垂线法 【例3】如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证(1)AM平分∠DAB;(②) AD=AB+CD 【答案】解：（1)证明：作ME⊥AD于E, D C 4 B .'MC⊥DC,ME⊥DA,MD平分∠ADC, ∴.ME=MC, M为BC中点， ∴.MB=MC, 又.'ME=MC, ∴.ME=MB, 又.'ME⊥AD,MB⊥AB, .AM平分∠DAB. (2).'ME⊥AD,MC⊥CD, .∠C=∠DEM=90, 在Rt△DCM和Rt△DEM中，DM=DM,EECM, ∴.Rt△DCM≌Rt△DEM(HL), ∴.CD=DE, 同理AE=AB, .AE+DE=AD, .∴.CD+AB=AD 变式训练3.如图，在△ADE中，∠DAB=90°，AF⊥DE,且AF=DE.若AD=4,求S△ADF 【答案】解：过点F作FG⊥AD,交AD的延长线于点G, ∴.∠G=∠DAE=90°， ∴.∠GAF+∠FAE=∠E+∠FAE=90°， ∴.∠GAF=∠E, .'AF=DE,∴.△AGF≌△EAD|AAS, ∴.GF=AD=4, AD-GF-号×4×4=8 :.SAADF-2 Gr-F 题型4截长补短法 【例3】如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D,E分别是CA的延长线和AC的延长线上一点，AD=CE,F为BA延 长线上的一点，且∠CPA=∠DFA求证：DF+BE=CP 证法一（截长法）：在FC上截取FG=FD, 易证△AFD≌△AFG,△CAG≌△BCE, ∴.DF+BE=FG+CG=CF. 证法二（补短法）：延长FD至点H,使FH=FC, 连接AH.证△FAC≌△FAH,△ADH≌△CEB, ∴.DH=BE,∴.DF+BE=DF+DH=FH=CF. 变式训练4.如图，在△ABC中，∠A=1O0°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E,使DE=AD,连接EC.求 证：BCAB+CE 【答案】解：在BC上截取BF=AB,连DF, .'BD是∠ABC的平分线， .∴.∠1=∠2. AB=FB 在△ABD与△FBD中， ∠1=∠2， BD=BD ∴.△ABD≌△FBD(SAS), ∴.DF=DA=DE, 又.AB=AC, ∴.∠ACB=∠ABC=40°， .DFB=∠A=180°-40°-40°=100°， ∴.∠DFC=180°-∠DFB=80, .∴.∠FDC=60, ·∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°， ∴.∠FDC=∠EDC, 又.CD=CD ∴.△DCE≌△DCF(SAS), ∴.CE=CF, .∴.BC=BF+CF=AB+CE,即BC=AB+CE. 变式训练5.如图，在△ABC中，AB>AC,AD平分∠BAC,P是AD上一点，求证：PB-PC<AB-AC. 【答案】证法一（截长法）：在AB上取一点E,使AE=AC, .∠EAP=∠CAP,AP=AP,∴△EAP≌△CAP,∴.PE=PC,在△BEP中，PB-PE<BE,即 PB-PC<AB-AC: 证法二（补短法：延长AC至点F,使AF=AB,连接PF,则△ABP≌△AFP(SAS, ∴.PB=PF,∴.PF-PC<CF,∴.PB-PC<AB-AC. 题型5倍长中线法 【例5】如图，AD是△ABC的中线. (1)求证：AB+AC>2AD; (2)若AB-6,AC=4求AD的取值范围. 【答案】【小题1】延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,则△ADC≌△EDB(SAS), ∴.AC=BE, .在△ABE中，AB+BE>AE, ∴.AB+AC>2AD. 【小题2】.在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, .∴.6-4<2AD<6+4, ∴.1<AD<5. 变式训练6.如图，AD是△ABC的中线，且CD=AB,AE是△ABD的中线.求证：AC=2AE. 【答案】【解答】证明：如图，延长AE到点F,使EF=AE,连接DF. F 在△ABE和△FDE中， BE=DE ∠1=∠2 AE=FE, ∴.△ABE≌△FDE(SAS). ∴AB=FD,∠B=∠3. 又，CD=BD,CD=AB. ∴.AB=BD=CD=FD,∴.∠BAD=∠BDA. .∴.∠BAD+∠B=∠BDA+∠3. 即∠ADC=∠ADF. AD=AD 在△ADC和△ADF中，∠ADC=∠ADF DC=DF, .∴.△ADC≌△ADF(SAS). ∴.AC=AF,而AF=2AE, ∴.AC=2AE. 变式训练7.如图，在△ABC中，D为BC上一点，E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CR,求证：AD 为△ABC的角平分线. 12.【答案】解：延长E,截取EH=EG,连接CH, B D E是BC中点， ∴.BE=CE, ∴.∠BEG=∠CEH, 在△BEG和△CEH中， BE=CE ∠BEG=∠CEH, 乙=EH .∴.△BEG≌△CEH(SAS), .∴∠BGE=∠H, ∴.∠BGE=∠FGA=∠H, .∴.BG=CH, .‘CF=BG, .∴.CH=CF, .∴.∠F=∠H=∠FGA, EF//AD. ∴.∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA, ∴.∠CAD=∠BAD, ∴.AD平分∠BAC. 【解析】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BEG≌△CEH是 解题的关键，延长FE,截取EH=EG,连接CH,可证△BEG≌△CEH,即可求得∠F=∠FGA,即可求得 ∠CAD=∠BAD,即可解题.