第2讲：角的平分线【六大题型+题型精讲+高分演练】-2026-2027 学年人教版八年级上册数学高分突破：考点精讲・题型专练・培优拓思（人教版）

第2讲：角的平分线 题型一：角平分线的性质定理 3 题型二：作角平分线（尺规作图） 3 题型三：角平分线的判定定理 4 题型四：角平分线的实际应用 5 题型五：角平分线模型 6 题型六：角平分线的综合性问题 9 【知识梳理】 知识点一：角平分线 AD是角平分线 ∠BAD＝∠CAD＝∠BAC (1)三角形三条内角平分线的交点为三角形的内心； (2)内心到三角形三边距离相等 知识点二：角平分线的辅助线类型 类型1　过角平分线上的点作一边的垂线 原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等； 2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等. 作法：如图，过点P作PB⊥ON于点 B. 结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP 类型二　过角平分线上的点作角平分线的垂线 原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等； 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”) 作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点 B. 结论：△OAB是等腰三角形 类型三　1.过角平分线上的点作边的平行线； 2.过边上的点作角平分线的平行线 原理：(1)两直线平行，内错角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)等角对等边. 作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q； (2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q. 结论：△OPQ为等腰三角形 类型四　1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段； 2.延长被平分的角的短边至与长边相等 原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 作法一：截长法 在AC上截取AE＝AB，连接DE， 结论：△ABD≌△AED； 作法二：补短法 延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF， 结论：△AFD≌△ACD 【题型探究】 题型一：角平分线的性质定理 【例1】．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，，平分交于点C，过点C作于点G，延长交的延长线于点E．若，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型二：作角平分线（尺规作图） 【例2】．如图，在中，，． (1)尺规作图：分别作、的平分线相交于点P； (2)在（1）的条件下，求的度数． 【变式1】．如图，在中，，． (1)请用尺规作出的平分线，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)若，求的面积． 【变式2】．如图，在中，，． (1)尺规作图：过点A作射线平分交于点D，保留作图痕迹． (2)过点D作交于点E，求证：． (3)在（2）的条件下求证：． 题型三：角平分线的判定定理 【例3】．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【变式1】．已知：如图，在中，角平分线与角平分线相交于点P．求证：的平分线经过点P． 【变式2】．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 题型四：角平分线的实际应用 【例4】．某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交于点，交于点，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式1】．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【变式2】．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 题型五：角平分线模型 【例5】．【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且． （当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，，于D，于E． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． (2)【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，求证：． (3)【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为______米． 【变式1】．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题． 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． （1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________． VSDX   【模型构造】 （2）方法一：巧翻折，造全等 如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）    VSDX   在上截取，连接，则． 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点． 若，则点到的距离是_________． 过点作，垂足为点． 则． 【模型应用】 （3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．    题型六：角平分线的综合性问题 【例6】．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍． 【问题提出】（1）尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是_________； 【问题探究】（2）①构距离，造全等 如图2，在四边形中，，和的平分线交于边上一点．过点作于点．若，则_________； ②巧翻折，造全等 如图3，在中，是的角平分线，请说明；小明在上截取．连接，则．请继续完成小明的解答． 【问题解决】（3）如图4，在中，是的两条角平分线，且交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 【变式1】．在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． (1)如图1，当点D是边的中点时， ； (2)如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； (3)如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 【变式2】．【问题初探】 (1)与的位置如图1所示，点在边上，，，． ①试说明； ②若，则的度数为___________． 【问题解决】 (2)如图2，某种植基地内有一块形状为的空地，是的边上的高，的平分线交于点，、是空地内的两条沟壑，于点，点在上，且，连接、，点在上，连接、，，将、、规划为人行小径，判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．（沟壑、人行小径的宽度均忽略不计） 一、单选题 1．如图，点是的平分线上一点，于点，于点，则利用证明就可得到，那么在“，，，，”这五种依据中，能作为上述全等三角形证明依据的有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是（     ） A．12 B．16 C．24 D．30 3．如图，在中，，平分交于点，，点到的距离为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，线段分别是的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是（     ） A．点D到和的距离相等 B． C． D． 5．如图，在中，P为上一点，，垂足为R，，垂足为S，，，下面的结论：①；②；③．其中正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 7．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，在中，，是的高，是的边上的中线，是的角平分线．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，平分于点的面积为，则的长是___________ 10．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 11．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 12．如图，在中，是的角平分线，于点，若的面积等于，，，则_____． 13．如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 三、解答题 14．如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 15．如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． (1)求的长； (2)求的长． 16．在中，平分平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，连接，过点作于点，求的面积． 17．在四边形中，点F在边上，，连接，于E，连接交于点M． (1)求证：； (2)若，，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求． 18．在与中，，，． (1)如图1，A，C，D三点共线，连接，，延长交于点F，则与的数量关系为 ；位置关系为 ． (2)如图2，A，C，D不共线时，连接，交于点F，试探究，的关系． (3)如图3，在（2）条件下连接，延长线交于点G，若，试用的表达式表示． 19．综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $第2讲：角的平分线 题型归纳 题型一：角平分线的性质定理3 题型二：作角平分线（尺规作图）… 题型三：角平分线的判定定理… 6 题型四：角平分线的实际应用…。 8 题型五：角平分线模型 题型六：角平分线的综合性问题16 知识梳理 ===,==一--4=一==--一 【知识梳理】 知识点一：角平分线 ∠BAD=∠CAD=2∠BAC (1)三角形三条内角平分线的交点为 三角形的内心； D AD是角平分线 (②)内心到三角形三边距离相等 知识点二：角平分线的辅助线类型 类型1过角平分线上的点作一边的垂线 原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等： 2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等. 作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B. 结论：AP=BP;Rt△AOP≌Rt△BOP 类型二过角平分线上的点作角平分线的垂线 原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等： 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”） 作法：如图，过点P作PB⊥OP,交ON于点B. M 力 B N 结论：△OAB是等腰三角形 类型三1.过角平分线上的点作边的平行线： 2.过边上的点作角平分线的平行线 原理：(1)两直线平行，内错角相等： (2)两直线平行，同位角相等： (3)等角对等边. 作法：(1)过点P作PQ∥ON,交OM于点Q: M N (2)过点P作PQ∥OB,交NO的延长线于点Q. M B N 结论：△OPQ为等腰三角形 类型四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段； 2.延长被平分的角的短边至与长边相等 原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 作法一：截长法 在AC上截取ABE=AB,连接DE, 结论：△ABD≌△AED: 作法二：补短法 延长AB至点F,使AF=AC,连接DF, B 结论：△AFD≌△ACD 【题型探究】 题型一：角平分线的性质定理 【例1】.如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点 P到BC的距离是() B A.8 B.6 C.4 D.2 【答案】C 【详解】解：过点P作PE⊥BC于E,如图所示： B A E 0、 P 和 分别平分 和 D AB∥CDPA⊥AB∴.PD⊥CDBP CP ∠ABC ∠DCB ..PA=PE,PD=PE,..PE=PA=PD, PA+PD=AD=8, :PA=PD=4, PE=4. 【变式1】.如图，D是△4BC的角平分线，DE1MB于点E,8=9,DE=2,MB=5,则4C的长是 3 A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【详解】解：过D作DF⊥AC于F, F B A E :AD是a1Bc的角￥分线DE1ABDE=Dr=2:S8m号BDE-X5x2=5. 1C的白积为g:5m=Sm-5m-方4C0Fp时4Cx2=9-5,解：AC-4 2 【变式2】.如图，在△ABD中，∠ADB=90°，AC平分∠BAD交BD于点C,过点C作CG⊥AB于点G,延长 GC交AD的延长线于点E.若AB=5,则AE的长为() E D G B A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【详解】解：AC平分∠DAB,∠ADB=90°，CG⊥AB,.CD=CG」 ∠CDE=∠CGB=90 CD=CG 在 和 中，f ,和 ACDE ACGB ∠DCE=∠GCB CDE≥aCGB(MS4:DE=GB·在 Rt△ADC“RIAAGC 中， AC=AC CD=CG :RtAADC=RtAAGC(HIL).:AD=AG.:AD+DE=AG+GB,AE=AB.AB=5,:.AE=5. 题型二：作角平分线（尺规作图） 【例2】.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC<BC C B (I)尺规作图：分别作∠A、∠B的平分线相交于点P: (2)在(1)的条件下，求∠APB的度数. 【答案】(1)解：如图，点P即为所求作： B (2)解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB+∠CBA=90°， :∠A、∠B的平分线相交于点P, P8-CMB,∠Pa4-4c4 ∠PAB+∠PBA=)(∠CMB+∠CBA)=45°， .LAPB=180°-(LPAB+∠PBA)=135 【变式1】.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=8. A B (I)请用尺规作出∠ABC的平分线，交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)若AD=4,求△BCD的面积. 【答案】(1)所作图形如图所示： A D B F A P (2)解：过点D作 如图所示： DH⊥BC B 由作图可知：BD平分∠ABC, ∠A=90°，DH⊥BC, ∴.DH=AD=4, .5.m-BC.DH-x8x4-16 2 【变式2】.如图，在△ABC中，AC=BC,∠C=90°， E B (I)尺规作图：过点A作射线AD平分∠CAB交BC于点D,保留作图痕迹. (2)过点D作DE⊥AB交AB于点E,求证：CD=BE (3)在(2)的条件下求证：AB=AC+CD 【答案】(I)如图，射线AD即为所求； E明：在A4BC中，AC=BC,∠C=90P,、ZB=LBAC=,=45°：DE 2 .∠BDE=90°-45°=45°，.∠BDE=∠B,.BE=DE, :AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,.CD=DE,CD=BE: AD=AD (3)证明：在RtAACD和Rt△AED中，CD=ED,:.RIAACD≌Rt△AED(HL),·AE=AC, 由(2)得CD=BE,.AB=AE+BE=AC+CD 题型三：角平分线的判定定理 【例3】.如图，BP为∠MBN的平分线，点A、C分别在MB、BN上，连接AC、AP,AP恰为∠MAC的平分 线，过P作PE⊥BM于E,PF⊥AC于F,PG⊥BN于G.求证：点P在∠ACN的平分线上. M D G 【答案】证明：：BP为∠MBN的平分线，AP恰为∠MAC的平分线， :PE=PG,PE=PF, ..PF =PG, PF⊥AC,PG⊥BN, 点P在∠ACN的平分线上. 【变式1】，已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P.求证：∠A的平分线经过点P. A 【答案】证明：过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC, 是 的角平分线， B BM △ABC PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)· 同理，PE=PF. .PD=PE=PF ∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即∠A的平分线经 过点P 【变式2】，如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花 坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（) A.三角形最长的边的中点处 B.三角形三条中线的交点处 C.三角形三条高线的交点处 D.三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处 题型四：角平分线的实际应用 【例4】.某小区计划在绿化区域增设3条绿化带，如图所示，绿化带AB∥CD,绿化带MN交AB于点M,交 CD于点W，若要建一喷灌处，喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有() B D A.1处 B.2处 C.3处 D.4处 【答案】B 【详解】解：作N和∠CM的平分线相交于，过P作PE1B于R,FLW于R,RG D于G, M A 力 B P D PE=PF=PG 即∠AMN和∠CNM的平分线的交点到AB、MN、CD距离相等， ∴，这两个角的平分线的交点满足条件；同理：∠BMN和∠DNM的平分线的交点到AB、MN、CD距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件：∴满足这条件的点有2个： 故选：B 【变式1】.计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥P№，小路AB与MW,PQ均相交，若要在 小路MW上修建一个凉亭O,使其到小路AB,PQ的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确 的是() M -N B 甲方案 乙方案 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 【答案】B 【详解】解：甲方案：O在AB的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到AB和PQ的距离相等， 乙方案：OB平分∠AB吧，由角平分线的性质定理得到O到小路AB,PO的距离相等. .甲、乙两个方案，只有乙对. 故选：B 【变式2】.如图，在△ADF中，∠F=90°，点B、C分别在边AF、DF上，连接AC、BC,CB=CD, LD=LCBF,在边AD上截取DE=BF,连接CE.求证：AC平分∠DAB. 9 B 【详解】证明：在△CDE与△CBF中， .DE=BF,∠D=∠CBF,CD=CB」 △CDE≌ACBF(SAS) .∠DEC=∠F=90°，CE=CF CE⊥AD,CF⊥AF .AC平分∠DAB 题型五：角平分线模型 【例5】，【模型解读】角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法. (1)【模型证明】 常见模型1 条件：如图，OC为∠AOB的角平分线，CA⊥OA,垂足为点A,CB⊥OB,垂足为点B. B 结论：CA=CB,AOAC2AOBC」 常见模型2 条件：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的角平分线，过点DE⊥AB,垂足为点E. 0 结论：DC=DE,且△DAC≌△DAE (当△ABC是等腰直角三角形时，有AB=AC+CD). 常见模型3 条件：如图，OC是∠AOB的角平分线，∠OAC=∠CBN,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E. 10 A D ◇ 结论：AC=BC 根据模型3的条件，请证明上述结论AC=BC. (2)【模型运用】 如图，BE,CE分别为∠ABC和∠BCD的平分线，AB∥CD,求证：AB+CD=BC. E B (3)【解决问题】 如图，ABCD是一个四边形人工湖，AB=AD,BC=80米，CD=60米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿CB 方向以2米秒的速度前进，乙沿CD方向以1米秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E,F处，此时测得 EAF=BADB+D89,此时甲、乙两人的距离为为 D E 【答案】(I)证明：OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA,CE⊥OB, .CD=CE,∠CDA=∠CEB=90°， :∠OAC=∠CBN. △CAD≌ACBE(AAS) .CA=CB, (2)证明：如图，在BC上截取点F,使得CD=CF,连接EF, 11 E 分 ,CE平分∠BCD, .LECF=∠ECD. .CE=CE,CD=CF, △CED≌ACEF(SAS) ∴∠CFE=∠D ABII CD .∠A+∠D=180°， :∠BFE+∠CFE=180°， ∴.∠BFE=∠A, :BE平分∠ABC, 六∠ABE=∠FBE, .BE =BE, △ABE≌AFBE(AAS) .AB=BF, ..BF+CF=BC, .AB+CD=BC: (3)解：由题意可得：CE=60米，CF=30米，BC=80米，CD=60米， ∴.BE=BC-CE=80-60=20米，DF=CD-CF=60-30=30米， 如图，延长CD至点G,使得DG=BE,连接AG, G D .∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180° 12 .∠B=∠ADG, AB=AD,DG=BE, △ABE≌△ADG(SAS） .DG=BE=20米，∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∠BAD :∠EAF=2 ∠BAD=∠BAE+∠EAF+∠DAF=∠DAG+∠EAF+∠DAF=∠EAF+∠GAF, :∠B4=BAF+ZGF). .∠EAF=∠GAF. 又AF=AF, 、△AEF≌△AGF(SAS) .EF=GF=GD+DF=20+30=50米， 即此时甲、乙两人的距离为50米. 【变式1】，数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题， 事半功倍 A A E E E BB D B B 图① 图② 图③ 图④ 【问题提出】 (I)尺规作图：如图①，用直尺和圆规作己知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的依据是△AFD≌△AED 这两个三角形全等的判定条件是一· 【问题探究】 (2)①巧翻折，造全等 如图②，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C 13 小明在AC上截取AE=AB.连接DE,则 ABD≌AAED(SAS) 请继续完成小明的解答： ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=9O°，∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于点E.过点E作 EF⊥AD于点F,若BC=12Cm,求点E到AD的距离： 【问题解决】 (3)如图④，在△ABC中，∠A=60°，BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P.请判断PE与 P℉之间的数量关系，并说明理由， 【详解】解：(1)证明： D E B 根据作图可得1E=A,FD=FD,又AD=AD,:△MFD≌aABD(SS) .∠FAD=∠EAD,即∠CAD=∠DAB;故答案为：SSS: (2)①在AC上截取AE=AB.连接DE, ,AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠EAD,又：AD=AD, △ABD2△AED(SMS).:∠B=∠AED>∠C; (3)PE=PF,理由如下：∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P. .∠CBE+∠BCF=60°， ∴.∠BPC=180°-∠CBE+∠BCF=120°： 在BC上截取BD=BF,连接PD,则 BFP≌ABDP(SAS) E P B C∴.PF=PD∠BPF=∠BPD 14 .∠BPC=120°， :∠BPE=60°， ∠BPD=60°， .∠CPD=60° 又∠CPE=LBPF=60°， ∴.∠CPD=∠CPE, :CF是△ABC的角平分线， .∠DCP=∠ECP, .CP=CP, :.aCDP≌aCEP(ASA) .PD=PE, .PE=PF ②如图：过点E作EF⊥AD,垂足为点F, D C F 和 的平分线， 交于点， B.·∠BAD ∠CDA AE DE BC E BE=EF=BC,即BE=)BC=6 ∴.EF=6,即点E到AD的距离是6cm: 【变式2】，数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题. 利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍 (I)尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明∠CAD=∠DAB的依据是三角形全等的 判定」 D VSDX E 15 【模型构造】 (2)方法一：巧翻折，造全等 如图O,在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，则∠B一∠C.(填“>、“=或“<) D E VSDX B D 图① 图② 在AC上截取AE=AB,连接DE,则 ABD≌△AED(SAS) 方法二：构距离，造全等 如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于点E. 若BC=12cm,则点E到AD的距离是 cm】 过点E作EF⊥AD,垂足为点F. ABE≌△AFE(AAS) 则 【模型应用】 (3)如图③，在△ABC中，∠A=60°，BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P.试猜想PE与 P℉之间的数量关系，并说明理由 P 图③ 【详解】解：(1)证明： 6 B 根据作图可得AE=AF,FD=FD, 又AD=AD, ∴.△AFD2AAED, ∴.∠FAD=∠EAD. 即∠CAD=∠DAB: (2)①AB<AC .∠B大于∠C: 故答案为>： ②如图：过点E作EF⊥AD,垂足为点F, '∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交BC于点E ∴BE=EF=EC,即BE=2BC=6 .EF=6,即点E到AD的距离是6Cm 故答案为6： (3)PE=PF,理由如下： ∠A=60° .∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°」 BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P. ∴.∠CBE+∠BCF=60° .∠BPC=180°-∠CBE+∠BCF=120°： 在BC上截取BD=BF,连接PD,则△BPP2ABDP(SMS) ∴.PF=PD,∠BPF=∠BPD, .∠BPC=120° .∠BPE=60°， 17 .∠BPD=60° .∠CPD=60° 又·∠CPE=∠BPF=60°， .∠CPD=∠CPE. CF是△ABC的角平分线， .∠DCP=∠ECP. .CP=CP :△CDP≌aCEP(ASM) .PD=PE, .PE=PF. A E B D 题型六：角平分线的综合性问题 【例6】.数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题， 事半功倍. C B E 图1 图2 图3 图4 【问题提出】(I)尺规作图：如图1，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明∠CAD=∠DAB的依据是 △AFD2△AED,这两个三角形全等的判定条件是 【问题探究】(2)①构距离，造全等 如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD,∠B=90°，∠BAD和∠CDA的平分线AE,DE交于边BC上一点E.过点E 作EF⊥AD于点F.若BC=I2cm,则EF=cm; ②巧翻折，造全等 18 如图3，在△ABC中，AB<AC,AD是△ABC的角平分线，请说明∠B>∠C;小明在AC上截取AE=AB.连接 DE,则△1BD2a1BD(SMS).诗继续完成小明的解答。 【问题解决】(3)如图4，在△ABC中，∠A=60°，BE,CF是△ABC的两条角平分线，且BE,CF交于点P.请判断 PE与PF之间的数量关系，并说明理由， 【详解】解：(I)证明：根据作图可得AE=AF,FD=ED,又AD=AD, E B.△AFD≌△AED(SS) ∠FAD=∠EAD, 即∠CAD=∠DAB: 故答案为：SSS: (2)①如图：过点E作EF⊥AD,垂足为点F, 和 的平分线 交于点， B:∠BAD ∠CDA AE,DE BC E ·BE=EF=EC,即BE 2BC=6 .EF=6; ②如图：在AC上截取AE=AB.连接DE, E ® 的角平分线， D C:AD△ABC .∠BAD=∠EAD, 又：AD=AD, 19 :.AABD≌△AED(SAS) ∴∠B=∠AED, 又：∠AED=∠C+∠CDE. ·.∠AED>∠C :.LB>ZC; A F P B (3)PE=PF,理由如下： :∠A=60° .∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°， :BE,CF△ABC BE,CF P 是 的两条角平分线，且 交于点”· .∠CBE+∠BCF=60° ∴.∠BPC=180°-∠CBE+∠BCF=120°： 在BC上截取BD=BF,连接PD,则△BFP≌ABDP(SMS) ∴.PF=PD,∠BPF=∠BPD :∠BPC=120° ∴·∠BPF=180°-∠BPC=60° .∠BPD=60° ∴.∠CPD=120°-∠BPD=60° 又：∠CPE=∠BPF=60°. ∴.∠CPD=∠CPE CF是△ABC的角平分线， ∴.∠DCP=∠ECP, ·CP=CP,ACDP≌aCEP(ASA) :PD=PE, 20 .PE=PF 【变式1】，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD. D D 图1 图2 图3 1如图1，当点D是BC边的中点时， S△MBD:SAACD= 2划图2，当4D平分∠B4C时，若48=m,4C=n,求amSa0的值《用合孤、m的式子表示)： (创如图3，D平分∠BMC,延长D到2使得D=DE,连接E,若4C=3,B=5,8a=10,求5m ，求 的值， 【详解】(1)解：如图1，过点A作AE⊥BC于点E, D 图1 有D是C边L的点，n-X,5成a-(传0-他)居D4)1l (2)解：如图2，过点D作DE⊥AB交AB于点E,作DF⊥AC交AC于点F, E 图2 :AD为∠BAC的角平分线， .DE=DF, :AB=m,4C=m,: wa-传40e64cra 21 (3)解：D=DE,由)知： S.4BD S.ERD=1:1.S.mDE=10 ,S△ABD=10 :AC=3,AB=5,AD平分∠CAB, .由(2)知： SAAMD SAACD=AB:AC=5:3 .Sm=6 SAABC=10+6=16 【变式2】.【问题初探】 E B D H 图1 图2 (I)△ABC与△ADE的位置如图1所示，点E在BC边上，DE=BC,∠B=∠D,∠DAB=∠EAC. ①试说明△ABC≌△ADE: ②若∠DAB=40°，则∠AED的度数为. 0 【问题解决】 (②)如图2，某种植基地内有一块形状为△ABC的空地，AD是△ABC的边BC上的高，∠ACB的平分线交AD于点E, AD、CE是空地内的两条沟壑，EF⊥AC于点F,点G在FC上，且FG=BD,连接BE、EG,点H在CD上， 接、G:∠EG)DEF,将FG、D、G规划为人行小径，判断线段FG、D、G之间 关系，并说明理由.（沟壑、人行小径的宽度均忽略不计） 【答案】(I)①：∠DAB=∠EAC,.∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE ∠DME=∠BAC,又：∠B=∠D,BC=DE,△MBC≌△MDE(AAS) (2)HG=FG+DH,理由如下：：AD是△ABC的边BC上的高，.AD⊥BC, .∠ADC=∠ADB=90°，EF⊥AC,CE是∠ACB的平分线，ED=EF,∠EFG=90°=∠EDB, 又，FG=DB, 22 △EFG≌△EDB(SAS) .∠FEG=∠DEB,EG=EB, :∠HEG=)∠DEF, 21 .∠HEG=∠FEG+∠DEH=∠DEB+∠DEH=∠BEH, 又，EG=EB,EH=EH, △EGH≌△EBH(SAS) ∴.HG=BH=BD+DH=FG+DH ②：∠DAB=40°，∠DAB=∠EAC, .∠EAC=40°， :△ABC≌△ADE, .AE=AC,∠AED=∠C, :∠4Bc=∠C=80-∠B4C)-×180-40r)=70, .∠AED=∠C=70°： 高分精练 一、单选题 1.如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,则利用证明△POD≌△POE就 可得到PD=PE,那么在“SSS,AAS,SAS,ASA,HL”这五种依据中，能作为上述全等三角形证明依据的 有() 23 A C E B A.4种 B.3种 C.2种 D.1种 【答案】A 【详解】解：由题意知，在△POD和△POE中，I=∠2，∠PD0=∠PE0=90°，OP=OP,符合判定定理“ AAS”；因为已有两组角对应相等，则第三组角也一定对应相等，于是又符合“ASA”;由角平分线的性质得 PD=PE,所以由判定定理“HL”和“SAS”可证明△PDO2aPEO;剩下判定定理“SSS”条件不够，不能作 为全等三角形的证明依据，所以能作为全等三角形证明依据的有四种， 2.如图，在△ABC中，点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，AB+BC+AC=12,过O作OD⊥BC于点D, 且OD=2,则△ABC的面积是() A.12 B.16 C.24 D.30 【答案】A 【详解】解：如图所示，作OE⊥AB于点E,作OF⊥AC于点F,连接AO, B :点O是∠ABC,∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于点D,且OD=2, ∴.OD=OE=2,OD=OF=2, AB+BC+AC=12 So+8..=AB-OEBC-OD AC.OF 2 2 2 .5.ow+8.moc+S.oc-24B2BC24C 2 2 2 AB+BC+4C=12,SAAWC=SA40R+SAnoc+SA40 S.ABC =12 24 3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,BC=10,点D到AC的距离为4，则CD的长 为() B D A.3 B.4 c.6 D.10 【答案】C 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E, B D C 点D到AC的距离为4，即DE=4, AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=90°， .'BD=DE=4, ..CD=BC-BD=BC-DE=10-4=6. 4.如图，线段AD,AE,AF分别是△ABC的角平分线、中线和高线，则下列结论中错误的是() B ED FC A.点D到AB和AC的距离相等 B.∠BAC=2∠BAD C. SAABC=2AACE D.AF>AD 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质，三角形的中线平分面积，以及垂线段最短，进行判断即可。 【详解】解：：线段AD,AE,AF分别是△ABC的角平分线、中线和高线， 25 ∴点D到B和1C的距离相等，∠BAC=2∠BAD.Sac=2mAF<AD ∴错误的是选项D 5.如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB,垂足为R,PS⊥AC,垂足为S,∠CAP=∠APO,PR=PS ,下面的结论：①AS=AR;②QP∥AR;③△BRP≌△CSP.其中正确的是(） B A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】A 【详解】解：：PR⊥AB,PS⊥AC,PR=PS, AP平分∠BAC, .∠BAP=∠CAP, ∠CAP=∠APg, 、∠BAP=∠APg, OP∥AR, 故②正确： 在△RAP和△SAP中， ∠RAP=∠SAP ∠ARP=∠ASP=90° AP=AP .∴△RAP2△SAP(AAS) .AS=AR,故①正确： ,△BRP和△CSP中，仅一组对边相等，一组对角相等， ∴，现有条件不能够证明△BRP≌△CSP,故③错误； 综上，正确的是①②. 26 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC 于M、N两点：②分别以M、N为图心，以大于方N的长为半径作弧，两弧相交于点P:③作射线B,交4C 于D点.若AB=10,BC=6,AC=8,则线段CD的长为() D B M 16 A.3 B.5 C.3 D.6 【答案】A 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,根据基本作图，得∠CBD=∠ABD,设CD=DE=x,根据三角形的面积不变， 得)B-DE+号BCDC=BCAC,求解即可： 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,根据基本作图，得∠CBD=∠ABD, :DC⊥BC,DE⊥AB :DC=DE, 设CD=DE=x,根据三角形的面积不变，得)4B-DE+号BC-DCBC,AC, AB=10,BC=6,AC=8, 1 1 -×10x+-×6·x=-×6×8 2 2 解得x=3； B EM 故线段CD的长为3； 7.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,点E,G分别在边AB,AC上，连接DEDG,过D作 27 DF1B于R已知DE=DG,S=24,Sm=16于 16,则△DEF的面积为() E A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC于点H, E B :AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, [∠AFD=∠AHD ∠FAD=∠HAD 六∠FMD=∠HAD,∠AFD=∠AHD=90·在 和 中， ADF△ADH AD=AD 、△ADF≌△ADH(AAS) SADF=S.ADH AD平分∠BAC,DF⊥AB,DH⊥AC, .DF=DH, DE=DG 在Rt△DEF和RtADHG中， DF=DH, Rt△DEF≌Rt△DGH(HL) SADEF =SDHG S.AED=S.4DF-S.DEF =16,S.4DG=S.ADH+S.DGH =24 28 .S.4DF-S.DEF =16,S.4DG=S.ADF+S.DEF=24 解得了r=4 8.如图，在△ABC中，∠ABC=9O°，BD是△ABC的高，DE是△BCD的边BC上的中线，DF是△ABD的角平分 线.下列结论错误的是（) D A.∠ABD=∠C B.∠ADF=45° BC=2BE D SAADE SABDE 【答案】D 【详解】解：：∠ABC=90°，BD是△ABC的高，即∠ADB=∠CDB=90°， .∠A+∠C=∠A+∠ABD=90° ∠ABD=∠C,故A选项结论正确，不符合题意； :∠ADB=90°，DF是△ABD的角平分线， ∠ADF=2 ∠ADB=45°，故B选项结论正确，不符合题意： :DE是△BCD的边BC上的中线， ∴.BC=2BE,故C选项结论正确，不符合题意； :△ADF和△BDF有相等的高，但底边AF、BF不一定相等， SAF不一定等于 m,故D选项结论错误，符合题意. 二、填空题 9.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB,DE⊥BC于点E,△ABC的面积为28，DE=4,BC=9,则AC的长是 29 【答案】5 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F, :CD平分∠ACB,DE⊥BC,DE=4, ∴.DF=DE=4, 1 SMBc=S4Am+SD=2×4AC+与×4BC, 2 2 .S△MBC=28BC=9 .28=2AC+18. .2AC=10, .AC=5 10.如图，在∠AOB的平分线上取一点P,过点P作PC⊥OA于点C,在射线OB上取一点D,连接PD,若 OD=6,△POD的面积为21，则PC的长为一 DB 【答案】7 【详解】解：如下图所示，过点P作PE⊥OB于点E, S.rOD =21 20DPE=21 :0D=6, PE=7, :OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA, .PC=PE=7 30 OE DB 11.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB,AC于点M,N: ②分别以点M,N为圆心，大于2N的长为半径作弧，两弧交于点P:®作射线AP交BC于点D,若 AB:AC=3:5:△ABD的面积为6，则△ABC的面积为， D 【答案】16 【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, A M E 由作图可得AD平分∠BAC, .DE=DF, S4BDE,及n方4Ce,A0:AC=3:5 1 S.ABD=2 1 AB.DE AB 3 SACD 2AC.DF AC-5. 1 :△ABD的面积为6， .△ACD的面积为I0, .:4BC S.4BD+S.CD=6+10=16 的面积为 12.如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E,若△ABC的面积等于10，AB=6,DE=2, 则AC=一. 31 B D 【答案】4 【详解】解：过点D作DF⊥AB于F, F B D :AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC, ∴.DF=DE=2, mm DF+4CDE6x2+C2 解得AC=4】 13.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，BE是△ABC的中线，CF平分∠ACB,CF交AD于点G, 交BE于点：，给出以下结论：①BF=4F,②ACF+ZAFC=90:®∠AG=∠4GF:④Sam=S,上述 结论中，所有正确结论的序号是一 A E G H D 【答案】②③④ 【详解】解：如图，作FM⊥BC于点M, :CF平分∠ACB, ∴.AF=FM, BF>FM, .BF>AF,故①错误； 32 A G E H ■ B MD C.∠BAC=90° ∴在Rt△ACF中，∠ACF+∠AFC=90°，故②正确： :AD⊥BC, .∠ADC=90°， .∠CGD+∠BCF=90°， .∠BAC=90° .∴∠AFC+∠ACF=90°， CF平分∠ACB, .∠ACF=∠BCF, .∠CGD=∠AFC, .∠AGF=∠CGD. .∠AFG=∠AGF,故③正确； :BE是△ABC的中线， ..AE=CE, SADE=S.OCE 故④正确： 综上所述，正确的结论是②③④. 三、解答题 14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上，且BD=DF. A E D (I)求证：CF=EB (2)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系，并说明理由. 33 【答案】(I)证明：，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,∠C=90° ..DC=DE, DF=DB 在RtAFCD和Rt△BED中，DC=DE,:Rt△FCD≌Rt△BED(HL), :.CF=EB; (2)解：AB=AF+2EB,理由如下： 「AD=AD 在RtAACD和Rt△AED中，( DC=DE,∴.Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ..AC=AE .AB=AE+EB=AF+FC+EB=AF+2EB 15.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,AG是△ABC的高， 交BC于点G.已知：DE=3,AB=6,BC=8. G (I)求DF的长； (2)求AG的长. 【详解】(I)解：：BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=3, .'DF=DE=3. (2解：m号4B0E-x6x3=9, C:DFx8x32 1 S.ABC=S.ABD+SRCD=9+12=21 又，AG是△ABC的高， 1 :. BC·AG=21」 即2×8.4G=21 34 解得4G=21 4 16.在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB. B 图① 图② ()如图①，若∠ABC=60,∠ACB=40°，求∠BDC的度数： (2)如图②，连接AD,过点D作DE⊥AB于点E,DE=2,AC=4,求△ADC的面积. 【详解】(I)解：：BD平分∠ABC, ∠D8c=A0c=x60=30. :CD平分∠ACB, DCB-/ACB2 ∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB =180°-30°-20° =130° (2)解：过点D作DF⊥AC于F,DH⊥BC于H, A F E 平分 D BD ∠ABC DE⊥ABDH⊥BC :DH DE=2, :CD平分∠ACB,DH⊥BC,DF⊥AC, .DH DF=2, -Sm-0r4c-x2x4=4 I7.在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF,DE⊥CF于E,连接AD交CF于点M. 35 B F D M (I)求证：FE=CE； (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: 3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 【答案】(I)证明：：DF=CD,DE⊥CF, :.FE=CE (2)证明：作DN⊥AC于点N, B M C:∠DNC=∠DBF=90° :∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180 .LBFD=∠DCN. .DF=CD, ∴.aDBF≌aDNC(AAS) :DB=DN, :DN⊥AC,∠B=90°， .AD平分∠BAC, ∠DAB=∠DAC; (3)解：作MP⊥AB于点P,作MQ⊥AC于点O, 36 夕 F P D M Q N :AD平分∠BAC, SAME= 1 AF.MP AF ∴.MP=Mg S.AMC 1 AC,同理： S.AME_FM, .AF FM, AC·MQ 2 S.AMC CM AC CM 由(2)知， ADBFSADNC(AAS)BF=NC AC=6BF .AC=6NC, .AN =5NC,AN_5 AC-6 :∠DAB=∠DAC,∠B=∠AND=90°，AD=AD ,∴.△ADB≌△ADN(AAS) .AN=AB=5NC,AF=AB-BF=5NC-NC=4NC. AF 42 FM AC 6 3 CM' 设FM=2k,CM=3k 则CF=5k .FE=CE=2.5k ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1, k=2, MF=2k=4. 18.在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° 37 B E E ▣ D A D D 图1 图2 图3 (I)如图1，A,C,D三点共线，连接BD,CE,延长CE交BD于点F,则CE与BD的数量关系为_；位置关系为_ (2)如图2，A,C,D不共线时，连接BD,CE交于点F,试探究CE,BD的关系. (3)如图3，在(2)条件下连接AF,AF延长线交BE于点G,若∠ADB=a,试用Q的表达式表示∠EAG 【详解】(1)解：：∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE=90°， .AB=AC,AD=AE, △BAD≌△CAE(SAS) ∴.CE=BD,∠ABD=∠ACE, :∠FEB=∠AEC, ∴.∠BFE=∠CAE=90°， CE⊥BD: (2)解：设CE与AB交于点H, B F .∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=90°+∠EAB=∠CAE, AD=AE,AB=AC, △BAD≌△CAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE,CE=BD 38 .∠FHB=∠AHC, .∠BFH=∠CAB=90°， ∴.CE⊥BD 故CE=BD,CE⊥BD: (3)解：过点A作BD和CE的垂线，垂足分别为M和N, B G M D 由(2)知CE=BD,△BAD≌△CAE, SABAD=SACAE 1CE·AN=)BD·AM, .2 ∴.AM=AN, ∴.AF是∠DFC的角平分线， .CE⊥BD, .∠DFC=90°， .∠DFA=45°， ,∠ADB=a, .∠DAF=180°-45°-a=135°-a, .∠DAE=90° .∠EAG=135°-a-90°=45°-a 19.,综合与实践 如图1，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB,在判断CD和CE的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种 思路： 39 A D 小强 A 我从角平分线性质的角度出 发：如图2，过点C分别作 CM⊥OA,CN⊥OB,垂 B 足分别为M,N,然后通过 证明三角形全等进而得出 图1 结论. 图2 C 小颖 我从平分90°的条件 出发：如图3，过C D E 作CF⊥OC,交OB 于点F,然后通过证 明三角形全等进而 得出结论. E B 图3 图4 图5 (①)①在图2中，与∠MCD相等的角是： ②请你按照小颖的思路进行解答： (2)如图4，∠AOB=120°，∠DCE=60°，OC平分∠AOB,求证：CD=CE 3)如图5，在△ABC中，AB=AC,∠A=60°，D是BC边的中点，∠EDF=120°，BE=3,CF=I,DE与AB 边相交于点E,DF与AC边相交于点F.请直接写出线段BC的长 【详解】(1)①解：：CM1OA,CN⊥OB,∠AOB=∠DCE=90°， .∠MCN=∠DCE=90°， :.∠MCD+∠DCN=∠ECN+∠DCN=90°， .∠MCD=∠ECN: ②证明：过点C作CF⊥OC,交OB于点F, .∠FCE+∠0CE=90°， .∠DCE=90°， .∠0CD+∠OCE=90°」 .∠OCD=∠FCE, 又：0C平分∠A0B,∠40B=90,∠D0C=∠B0C=)∠A0B=4S0, ∴.∠EFC=90°-∠C0E=45° .∠DOC=∠EFC,∠BOC=∠EFC, ..CO=CF, 0 △DOC≌AEFC(ASA) ..CD=CE; (2) 证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M,CN⊥OB于点N, M D NE -B ∠CMD=∠CNE=90° 又：OC平分∠AOB, ..CM=CN, 在四边形CDOE中，∠AOB=120°，∠DCE=60°， .∠CD0+∠CEO=360°-∠AOB-∠DCE=180°， 又：∠CD0+∠CDM=180°， .∠CDM=∠CEO, ACMD≌aCNE(AAS) ..CD=CE, (3)解：取AB中点G,连接DG, G E B D AB=AC,∠A=60°， .△ABC是等边三角形， .AB=BC=AC,∠A=∠B=∠C=60°， :点D、G分别是BC、AB边上的中点， .GB=AB=BC=BD 2 41 又，∠B=60°， △BDG是等边三角形， ∴.∠BGD=∠BDG=∠C=60°，DG=BD=CD, ,∠EDF=120° ∴.∠EDG+∠GDF=∠GDF+∠FDC=120°， .∠EDG=∠FDC, △EDG≌AFDC(ASA) .EG=FC, .BE+EG=BG, BE+CF-BG-1AB-BC, 2 2 .BE=3,CF=1. BC=2×(3+1)=8 42