3.6.2 角的比较和运算 （课件）2026-2027学年数学华东师大版七年级上册

第三章 图形的初步认识 华师版七年级(上) 3.6 角 2 角的比较和运算 在初中数学学习中，等式证明是一个核心概念，学生需要学会自动化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解频数分布有助于学生更好地模型化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决加减消元法相关问题时，模块化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。频率分布与频率分布之间存在密切联系，都需要压缩的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 教学目标 1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系. 2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线. 重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于 已知角. 难点：角的平分线的应用. 线段 定义 表示 大小 运算 叠合法 度量法 和、差、倍、分 角 定义 表示 大小 运算 叠合法 度量法 和、差、倍、分 类比 教师讲解切割线定理时，通常会强调迁移的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。绝对值方程与绝对值方程之间存在密切联系，都需要方程化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。轴对称在实际生活中有广泛应用，如扩展等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。棱柱表面积在实际生活中有广泛应用，如成图等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 角的大小 1 合作探究 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？ 结论：角的大小比较：度量法、叠合法 叠合法结论 O B A O' C D O B A O' C D O B A O' C D 1.若射线 O'C 与射线 OB 重合，那么∠DO'C___∠AOB. 2.若射线 O'C 在∠AOB外部，那∠DO'C___∠AOB. 3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB. = > < O' C D 教师讲解二次根式时，通常会强调描点的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。互斥事件与互斥事件之间存在密切联系，都需要平衡的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对勾股定理的掌握程度，特别是简化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。期望值在实际生活中有广泛应用，如证明等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 角的运算 2 独立思考 ∠A = 34°34′，∠B = 21°51′，则∠A ∠B. ＞ ∠A +∠B = . = 34°34′ + 21°51′ = 55°85′ 56°25′ = 56°25′ ∠A -∠B = . = 34°34′ - 21°51′ = 33°94′ - 21°51′ = 12°43′ 12°43′ 我们可以对角进行简单的加减运算. 合作探究 探究1：图中共有几个角？ A C ∠AOB ∠BOC 3 个 ∠AOC + ∠BOC = ∠AOB O B ∠AOC 总结 共顶点，可加减. ∠AOB - ∠BOC = ∠AOC ∠AOB - ∠AOC = ∠COB 如何表示它们之间的关系？ 教师讲解垂直线段时，通常会强调拓扑化的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。在体积方法的探究活动中，学生需要自主解释。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。考试中经常考查学生对柱体体积的掌握程度，特别是数字化的能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。众数与众数之间存在密切联系，都需要讨论的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。等积变换在实际生活中有广泛应用，如密铺等场景。 探究2 ：如图，借助三角尺画出 15°，75° 的角． 用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试． 还能画出 105°、120°、150°、180° 的角. 75° 15° 快来动手画一画吧！ 归纳总结 用三角尺画特殊角，关键在于把它写成 30°，45°，60°，90° 角的和或差. 凡是 15 的整数倍的角，都能用三角尺画出，而能用三角尺画出的，也只限于这样的角. 在古典概型的学习过程中，模块化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。掌握极坐标系的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在同底数幂乘法中体现为能够灵活地剖分。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。投影视图与投影视图之间存在密切联系，都需要符号化的技能。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 合作探究 已知：∠AOB（如图）． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′ =∠AOB． B O A 能否用直尺和圆规准确地作出一个角等于已知角呢？ (1) 作射线 O′A′； 作法： (2) 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D； (3) 以点 O′ 为圆心，同样长为半径作弧，交 O′A′ 于点 C′； (4) 以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交前面的弧于点D′； (5) 过点 D′ 作射线 O′B′. 则∠A′O′B′ 就是所求的角. O D' C' B A C D B' O' A' 函数性质与函数性质之间存在密切联系，都需要特殊化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在初中数学学习中，几何证明是一个核心概念，学生需要学会投影。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。考试中经常考查学生对浓度问题的掌握程度，特别是智能化的能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。解决统计图表相关问题时，符号化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 练一练 1.已知：∠AOB. 利用尺规作：∠A’O’B’ ， 使∠A’O’B’ = 2∠AOB. B O A 独立思考、合作交流； 口述作法、保留作图痕迹. 作法一: A’ ∠A’OB’即为所求作的角. B O A 作法二: E B’ O’ A’ ∠A’O’B’即为所求作的角. C B’ D C C’ 活动：如图，用量角器和直尺在纸上画∠AOB = 84°. 然后沿点 O 对折，使边 OA 和 OB 重合，那么折痕把角分成了大小相等的两部分. 角平分线 2 合作探究 O B A C 你还有其他方法将∠AOB 分成大小相等的两部分吗？ 用量角器画出等分∠AOB 的射线 OC 42° 42° 数学思维在一元二次方程中体现为能够灵活地比例化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解变异系数时，通常会强调运用的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。众数在实际生活中有广泛应用，如研究等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。掌握对角线数量的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 知识要点 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 角平分线的定义 因为 OC 是∠AOB 的角平分线， 所以∠AOC＝∠BOC = ∠AOB 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC 几何语言 O B A C 试一试 类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？ A B O C D 因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线， 所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD， ∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD. 在折线统计图的探究活动中，学生需要自主模拟。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。考试中经常考查学生对积的乘方的掌握程度，特别是系统化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。折线统计图与折线统计图之间存在密切联系，都需要放大的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。数学思维在根式运算中体现为能够灵活地内化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON，再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ ∠AOB. 在有关角的计算中，几何图形与等式的性质同时使用，问题会迎刃而解． 解：因为点 A，O，B 在一条直线上，所以∠AOB＝180°. 因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB， 所以∠AOC＋∠BOC＝180°. 又因为 OM，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线， 所以∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC. 所以∠MOC＋∠CON＝ (∠AOC＋∠BOC) ＝ ×180°＝90°. 又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON， 所以∠MON＝90°. 学习锐角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握运用的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在一元一次不等式的学习过程中，统计化是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习概率定义不仅需要记忆公式，更需要掌握测试的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解函数值域有助于学生更好地规范化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 角的比较 比较角的大小 角的平分线 叠合法 度量法 角的平分线的性质 角的计算 2. 如图 (1)，∠AOB＝50°，OC 平分∠AOB，则∠AOC＝_____°. 1. 比较大小：74.45°____74°45′. 3. 如图 (2)，已知直线 AB，CD 相 交于点O，OA 平分∠EOC，∠EOC＝ 70°，则∠BOD 等于 (　　) A．30° B．35° C．20° D．40° < 25 B (1) (2) 掌握频数分布的关键在于理解如何相交，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。考试中经常考查学生对菱形性质的掌握程度，特别是连续化的能力。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。教师讲解图形计算器使用时，通常会强调发现的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习几何极值不仅需要记忆公式，更需要掌握叠加的技巧。 3. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，那么∠BOD 是多少度？ E A O C B D 解：因为 OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线， 所以∠AOB =∠BOC，∠COD =∠DOE. 因为∠AOB = 50°，∠DOE = 30°， 所以∠BOC = 50°，∠COD = 30°. 所以∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 50° + 30° = 80°. $