精品解析：内蒙古自治区赤峰市松山区赤峰二中国际实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

赤峰二中国际实验学校2024-2025学年第一学期 九年级第一次月考 数学 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．本试卷测试范围：第二十一章~第二十二章（人教版） 一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在四个选项中，只有一项符合要求．） 1. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答． 【详解】①，是二次函数； ②，分母中含有字母，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数. 则二次函数共2个， 故选：B 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，由题意又知，联立不等式组，求解可得答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得． 故选：A． 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．把代入，得，然后把所求式子化为代入计算即可作答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， ∴， 故选：D． 5. 某班数学兴趣小组的同学互发微信，每两名同学都互相发一条．小明统计全组共互发了72次，设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据每两名同学都互相发一条，共发了72次，列方程即可． 【详解】由题意得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． 6. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象．根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由一次函数的图象可知，， 则抛物线与轴的交点在原点上方，故排除AB选项； ∵，， ∴， ∴抛物线的对称轴直线， 即对称轴位于轴左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 7. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 8. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据二次项系数不等于零且列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， ∴且． 故答案为：且． 10. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 【答案】3.75 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接计算即可． 【详解】解：∵的对称轴为（min）， 故：最佳加工时间为3.75min， 故答案为：3.75． 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 11. 将抛物线：向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线：，则的值为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：依题意，向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到： ， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：15． 12. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 13. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的简单应用.建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标. 【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系， 由题意可知各点坐标为，，， 设抛物线解析式为把B、D两点代入解析式， ∴， 解得：， ∴解析式为， 则顶点， 所以这个门洞内部顶端离地面的距离为， 故答案为：. 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质．根据抛物线经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点B的坐标． 【详解】解：抛物线的解析式为， 该抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 抛物线经过点， ， ， ，，， ， ， 点在轴正半轴上， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本题共6小题，共58分．第15-17题每题8分，第18题每题10分，第19-20题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 下面是小米同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助她补充完整． 解方程： 解： 第一步 第二步 第三步 （1）分析：第________步开始出现错误． （2）按照小李同学的思路，写出改正的解法的全部步骤过程： （3）反思：此方程除了本种解法外，其它解法可以有________．（写出两种名称） （4）分别写出第（3）问的解法二和解法三 【答案】（1）一 （2） 解：按照小李同学的思路改正： ， ， 或， ，； （3）公式法和因式分解法 （4） 解：解法二：公式法： ， ∴， 则， ∴， 则， ∴， ∴，； 解法三：因式分解法： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 【解析】 【分析】（1）第一步开始出现错误； （2）按照小李同学的思路改正：利用直接开平方法求解； （3）可以有公式法和因式分解法． （4）分别运用公式法和因式分解法进行解方程，即可作答． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，第一步开始出现错误； 则第一步正确的是 ，   故答案为：一； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：此方程除了本种解法外，其它解法可以有公式法和因式分解法； 故答案为：公式法和因式分解法． 【小问4详解】 略 16. 已知二次函数的图象经过、、， （1）求二次函数解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在上图中画出该二次函数图象（要求至少画5个点）； （3）当时，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1） （2） 描点，画图如下： （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象，求二次函数的最值等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）设出交点式，待定系数法求解析式即可； （2）通过列表，描点，连线，画出函数图象即可； （3）图象法，得到的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过、、， ∴设，把，代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 1 2 3 4 3 0 0 3 【小问3详解】解：由图可知：当时，时，取最小值为；时，取最小值为； ∴的取值范围为． 故答案为：． 17. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平． （1）求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 （2）购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 【答案】（1）每月的增长率是． （2）使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 【解析】 【分析】本题主要考查理一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为，三月份的生产收入为，根据1至3月份的生产收入累计可达364万元可列方程求解即可； （2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据不等关系可列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每月的增长率为x，由题意得：， 解得或（不合题意舍去）． 答：每月的增长率是． 【小问2详解】 解：设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有， 解得． 答：使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润． 18. 如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）________米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长． （3）围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】（1） （2）栅栏的长为14米 （3） 解：不能，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ， 方程没有实数根， 自行车棚的面积不能为平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可知且有，整理即可得出用含的代数式表示矩形的长的式子； （2）根据矩形场地面积为平方米列出方程，解出此时的值然后求出栅栏的长即可； （3）根据矩形场地面积为平方米列出方程，再根据一元二次方程的根的判别式即可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意得：，， 米， 故答案为：； 【小问2详解】 解： 根据图形，可列方程：， 解得：，， 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 栅栏的长为14米； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 19. 某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元（毛利润销售额生产费用） （1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润． 【答案】（1）， （2） （3）今年最多可获得毛利润万元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是正确求出一次函数和二次函数的解析式． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据毛利润销售额生产费用求出解析式即可； （3）首先求出的取值范围，再由二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：图①可得函数经过点， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 故y与x之间的关系式为， 图②可得：函数经过点，， 设，则， 解得：， 故z与x之间的关系式为； 【小问2详解】 解：， ∴w与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：令，得， 解得：（负值舍去）， 由图象可知，当时， ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值， 答：今年最多可获得毛利润万元． 20. 综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）设线段的长度为，求的最大值及其此时点的坐标． （3）设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1），； （2）的最大值是，点D的坐标为； （3）的最大值为，此时． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）设，可得，根据二次函数性质得的最大值和点的坐标； （3）求出点坐标，利用，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数与直线交于、两点， ∴，解得：； ，解得， ∴，； 【小问2详解】 解：设，其中，则：，∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为， 此时； ∴的最大值是，点D的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，当时，， 解得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， 即：， ∴当时，取得最大值为，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰二中国际实验学校2024-2025学年第一学期 九年级第一次月考 数学 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 3．本试卷测试范围：第二十一章~第二十二章（人教版） 一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分．在四个选项中，只有一项符合要求．） 1. 下列函数中是二次函数的有（ ） ①；②；③；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　） A. B. 2 C. 2或 D. 4或 3. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于的方程的一个根，则的值是（ ） A. 2026 B. 2025 C. 2023 D. 2022 5. 某班数学兴趣小组的同学互发微信，每两名同学都互相发一条．小明统计全组共互发了72次，设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 6. 直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 8. 如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． 10. 加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：）满足函数表达式，则最佳加工时间为________． 11. 将抛物线：向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线：，则的值为________． 12. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______． 13. 如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为_______________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为______． 三、解答题（本题共6小题，共58分．第15-17题每题8分，第18题每题10分，第19-20题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 下面是小米同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助她补充完整． 解方程： 解： 第一步 第二步 第三步 （1）分析：第________步开始出现错误． （2）按照小李同学的思路，写出改正的解法的全部步骤过程： （3）反思：此方程除了本种解法外，其它解法可以有________．（写出两种名称） （4）分别写出第（3）问的解法二和解法三 16. 已知二次函数的图象经过、、， （1）求二次函数解析式； （2）按照列表、描点、连线的步骤，在上图中画出该二次函数图象（要求至少画5个点）； （3）当时，直接写出的取值范围__________． 17. 某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3月份的水平． （1）求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率 （2）购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费） 18. 如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2米宽的门（门用其他材料），设栅栏的长为x米，解答下列问题： （1）________米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的自行车棚的面积为平方米，求栅栏的长． （3）围成的自行车棚的面积能为平方米吗？请说明理由． 19. 某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元（毛利润销售额生产费用） （1）求出y与x以及z与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润． 20. 综合与探究 如图二次函数与直线交于、两点，已知：、，二次函数的图象与轴的另一个交点为点，点在直线上方的抛物线上运动，过点作轴的平行线交于点． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）设线段的长度为，求的最大值及其此时点的坐标． （3）设四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $