专题08 锐角三角函数（3大题型）（期中真题汇编，福建专用）九年级数学上学期

专题08 锐角三角函数（3大题型） 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）在中，，如果，，那么的值是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）计算：． 3．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则　　　　　　　　． 4．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）（多选）如图，在中，，点在边BC上，连接，过点作射线． （1）在射线上求作点，使得，且点与点是对应点 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若， ，求的长 5．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成． 【问题提出】 部件由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图1将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图2，分别与，相切于点、．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求？（参考数据） （2）本次实践过程是借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，小组同学将上述两圆钢柱体换成底面边长为的两个正六边形钢柱（正六棱柱），示意图如图3，测得，通过计算说明当满足什么条件时，部件的长度符合要求． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（     ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 2．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，若，则的值为（       ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 8 3．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）在等腰三角形ABC中，AC=BC=2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  4．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 5．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·福建漳州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 菱形的面积为48 D. 点到的距离为 7．（25-26学年九上·福建漳州·期中）如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为 　　　　　． 8．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝　　　　　　． 9．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·福建漳州·期中）在中，，，，点D（不与C重合）是线段上的动点，将沿翻折得，当时，四边形的面积为　　　　　　． 11．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 12．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 13．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 14．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）在中，，，以为边作等边三角形，直线与直线相交于点，则　　　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在中，，，，点D是边上的一动点，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连接，则线段长度的最小值是　　　　　　． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝为，则迎水坡面的长度是　　　　　　． 2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如图，为的中点． 桥梁模型展示状态一（空水桶）状态二（水桶内加一定量的水） （1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________． A．三角形具有稳定性   B．两点确定一条直线   C．两点之间线段最短 （2）在图1的水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度． （参考数据：） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数（3大题型） 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）在中，，如果，，那么的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了正切，熟练掌握正切等于对边与邻边的比是解题的关键； 如图，根据代入求值即可． 【详解】 解：如图所示， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）计算：． 【答案】1 【分析】 原式根据特殊角三角函数值、绝对值的代数意义以及二次根式的除法法则代简各式后，再合并即可得到答案． 【详解】 解： = = =1 【点睛】 本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角函数值是解答本题的关键． 3．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】 解：如图，取的中点，连接，    ， ， 又点是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 4．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）（多选）如图，在中，，点在边BC上，连接，过点作射线． （1）在射线上求作点，使得，且点与点是对应点 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若， ，求的长 【答案】（1）如图点M即为所求． 解法一（作∠BAC＝∠DAM）： 解法二（作∠CAM＝∠BAD）： （2）9 【分析】 （1）根据尺规作图的要求作图即可． （2）根据△ADM∽△ABC得到，再根据Rt△ABD中， cos∠BAD＝，求出，即可求出DM． 【详解】 （1）略 （2）解：∵△ADM∽△ABC， ∴， ∵在Rt△ABD中， cos∠BAD＝， ∵cos∠BAD＝ ， ∴， ∴， ∵BC＝6， ∴DM＝9． 【点睛】 此题考查尺规作图，考生的动手能力，涉及到证明部分用到了三角形相似，和三角函数． 5．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成． 【问题提出】 部件由于的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图1将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图2，分别与，相切于点、．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求？（参考数据） （2）本次实践过程是借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，小组同学将上述两圆钢柱体换成底面边长为的两个正六边形钢柱（正六棱柱），示意图如图3，测得，通过计算说明当满足什么条件时，部件的长度符合要求． 【答案】（1）符合要求     （2）      【分析】 本题考查了切线的性质，解正切三角函数值，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，解含有的直角三角形，不等式的性质，解决本题的关键是求解出与的长度． （1）根据切线的性质可得，利用圆的半径可求解的值，即可求解的长度，再根据的长度即可判断． （2）根据正六边形的性质可得，由此可得，为等边三角形，即可求解，再由的长度解不等式即可． (1) 小问详解： 解：∵分别与，相切于点，， ∴，， ∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵， ∴， 所以， 同理， ∴， ∵的长度要求是． ∴该部件的长度符合要求； (2) 小问详解： 解：∵底面边长为的两个正六边形， ∴， ∴，为等边三角形， ∴中，， 且， ∴， 同理可得， ∴， ∵的长度要求是． ∴， 解得， ∴当满足时，部件的长度符合要求． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·福建宁德·期中）如图，在中，，点D是边的中点，，则的长是（     ） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】B 【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】 解：∵在中，，点D是边的中点， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·福建福州台江区福州华伦中学·期中）在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程（，）的图解法是：如图，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，若，则的值为（       ） A. 10 B. 12 C. 9 D. 8 【答案】C 【分析】 本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是设，得到x与a的数量关系，再由勾股定理求解． 设，由，可得，由此可得的长度，再由勾股定理求解即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程的图解，如图， 根据题意可得，，， 设， ∵，即， 解得， ∴， 在中，， 即， 整理可得， 解得． 故选：C ． 3．（25-26学年九上·福建福州三牧中学·期中）在等腰三角形ABC中，AC=BC=2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（　　） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】B 【分析】 连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，∠A＝∠ACO，推出∠COB＝2∠B，根据切线的性质得到∠OCB＝90°，求得∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到结论． 【详解】 解：如图，连接OC， ∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A， ∴∠COB＝2∠B， ∵⊙O与BC相切于点C， ∴∠OCB＝90°， ∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴OC＝BC＝， ∴OB＝2OC＝， ∴BD＝OB﹣OD＝， 故选：B． 【点睛】 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（       ） A.  B.  C. 3 D. 2 【答案】C 【分析】 如图，过作于 求解 结合旋转：证明 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案． 【详解】 解：如图，过作于 由， 结合旋转： 为等边三角形， ∴A到的距离为3． 故选C 【点睛】 本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 5．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则阴影部分的面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用矩形的性质求出，利用余弦求出BE，利用阴影部分的面积，求出各部分面积作差即可． 【详解】 解：四边形是矩形，， ，， ， ， ，， ， 阴影部分的面积 ． 故选：． 【点睛】 本题考查矩形性质，余弦，扇形面积，解题的关键是熟练掌握矩形性质和利用余弦解三角形，理解阴影部分的面积． 6．（25-26学年九上·福建漳州·期中）如图，在菱形中，对角线相交于点，点是的中点，连接，若，则下列结论错误的是（     ） A.  B.  C. 菱形的面积为48 D. 点到的距离为 【答案】C 【分析】 由菱形性质，结合勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】 解：A、在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， 故该选项正确，不符合题意； B、在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， 点是斜边的中点， ， 故该选项正确，不符合题意； C、在菱形中，，则菱形的面积为， 故该选项错误，符合题意； D、过点作于点，如图所示： 由等面积可知， 在菱形中，对角线相交于点， ，且，， 则在中，，，由勾股定理可知， ，解得， 则点到的距离为， 故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查菱形的性质综合，涉及勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、菱形面积公式、等面积法求线段长等知识，熟记菱形性质是解决问题的关键． 7．（25-26学年九上·福建漳州·期中）如图，在中，，，点为斜边上的中点，则为 　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【详解】 解：在中，，，点为斜边上的中点， ， 故答案为：3． 8．（25-26学年九上·福建三明列东中学·期中）在Rt中，∠C＝90°，点D是AB边的中点，若AB＝8，则CD＝　　　　　　． 【答案】4． 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得． 【详解】 ∵，D是AB的中点， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 9．（九上·福建厦门湖里中学·期中）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·福建漳州·期中）在中，，，，点D（不与C重合）是线段上的动点，将沿翻折得，当时，四边形的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 由翻折知，再根据平行线的性质证明，再证明是等边三角形，然后证明，根据中线的性质得即可． 【详解】 解：如图，，， ， 由翻折知：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了翻折变换折叠问题，含角直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是证明是等边三角形． 11．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）综合与探究 问题情境 如图1，在矩形中，，延长至点．使得．点是边上一点，且，连接，． 操作发现 （1）若，则的长为________，的长为________． 拓展探索 （2）如图2，将绕点逆时针旋转，点的对应点为，使点在矩形内部．若，分别与，相交于点，． ①请判断和的数量关系，并说明理由． ②如图3，在旋转过程中，若点恰好在矩形对角线上．请探索并直接写出图3中所有与图1中相等的线段． 【答案】（1）；； （2）①，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 连接，如图： 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②、 【分析】 （1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解； （2）① 连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解； ② 由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由① 可得：，即可得解． 【详解】 解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为，； （2）① 略 ② 由（1）可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， 连接，如图： ， ∵，， ∴， ∴， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由① 可得：， ∴图3中所有与图1中相等的线段为、． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．（25-26学年九上·福建厦门湖滨中学·期中）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若点B是的中点，且，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线．      （2）      【分析】 本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 13．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”． 【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求： ①与的位置关系为：__________： ②_____．（填“>”，“”或“”） 【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形． ②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】问题解决：① 互相平行；②=； 【方法应用】① 证明：为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②或或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：① 根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ② 证明得出，即，由可得结论； 方法应用：① 根据双等四边形的定义进行证明；② 分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：[问题解决]① ∵， ∴， ∴， ∴； ② ∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：① 平行；② ＝； 方法应用：① 略 ② 作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 14．（25-26学年九上·福建安溪第一中学·期中）在中，，，以为边作等边三角形，直线与直线相交于点，则　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分两种情况求解：① 当点D与点B在AC的同侧时，② 当点D与点B在AC的两侧时． 【详解】 解：① 当点D与点B在AC的同侧时，作交CE于N，如图1， ∵， ∴∠ABC=45°， ∴BN=NE， 设BN=NE=x ， ， ， ． 为等边三角形， ， ， ∵tan30°=， ∴， ∴AC=BC=CN+BN=， ， ， ． ② 当点D与点B在AC的两侧时，作交CE于M，如图2， ， ， ， ． 为等边三角形， ， ， ． ， ， 即：， 则， ， ， ， ． 综上可知，或． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的知识，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15．（25-26学年九上·福建福州·期中）如图，在中，，，，点D是边上的一动点，连接，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段，连接，则线段长度的最小值是　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点A作于点F，在上取点N，使，连接，过点N作点于点M，证明，求出，得出当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当点D与点M重合时，最小，则最小，求出最小结果即可． 【详解】 解：过点A作于点F，在上取点N，使，连接，过点N作点于点M，如图所示： 根据旋转可知，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点D与点M重合时，最小，则最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）如图，某水库堤坝横截面迎水坡的坡度是，堤坝为，则迎水坡面的长度是　　　　　　． 【答案】P米 【分析】 根据题意可得，把，代入即可算出的长，再利用勾股定理算出的长即可． 【详解】 解：∵堤坝横断面迎水坡的坡比是， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，解题的关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l之比． 2．（25-26学年九上·福建泉州第七中学·期中）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如图，为的中点． 桥梁模型展示状态一（空水桶）状态二（水桶内加一定量的水） （1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________． A．三角形具有稳定性   B．两点确定一条直线   C．两点之间线段最短 （2）在图1的水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度． （参考数据：） 【答案】（1）A     （2）      【分析】 本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）根据题意可证是等腰直角三角形，则可以设，再在中利用锐角三角函数的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性． 故选A． (2) 小问详解： 解：根据题意知，，是的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 此时水桶下降的高度为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 锐角三角函数（3大题型） 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．A 2．【答案】1 【分析】 原式根据特殊角三角函数值、绝对值的代数意义以及二次根式的除法法则代简各式后，再合并即可得到答案． 【详解】 解： = = =1 【点睛】 本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则和特殊角函数值是解答本题的关键． 3．【答案】 【分析】 取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】 解：如图，取的中点，连接，    ， ， 又点是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 4．【答案】（1）如图点M即为所求． 解法一（作∠BAC＝∠DAM）： 解法二（作∠CAM＝∠BAD）： （2）9 【分析】 （1）根据尺规作图的要求作图即可． （2）根据△ADM∽△ABC得到，再根据Rt△ABD中， cos∠BAD＝，求出，即可求出DM． 【详解】 （1）略 （2）解：∵△ADM∽△ABC， ∴， ∵在Rt△ABD中， cos∠BAD＝， ∵cos∠BAD＝ ， ∴， ∴， ∵BC＝6， ∴DM＝9． 【点睛】 此题考查尺规作图，考生的动手能力，涉及到证明部分用到了三角形相似，和三角函数． 5．【答案】（1）符合要求     （2）      【分析】 本题考查了切线的性质，解正切三角函数值，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，解含有的直角三角形，不等式的性质，解决本题的关键是求解出与的长度． （1）根据切线的性质可得，利用圆的半径可求解的值，即可求解的长度，再根据的长度即可判断． （2）根据正六边形的性质可得，由此可得，为等边三角形，即可求解，再由的长度解不等式即可． (1) 小问详解： 解：∵分别与，相切于点，， ∴，， ∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵， ∴， 所以， 同理， ∴， ∵的长度要求是． ∴该部件的长度符合要求； (2) 小问详解： 解：∵底面边长为的两个正六边形， ∴， ∴，为等边三角形， ∴中，， 且， ∴， 同理可得， ∴， ∵的长度要求是． ∴， 解得， ∴当满足时，部件的长度符合要求． 考点02 解直角三角形 1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．C 7．【答案】3 【分析】 本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线性质，即可解答． 【详解】 解：在中，，，点为斜边上的中点， ， 故答案为：3． 8．【答案】4． 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得． 【详解】 ∵，D是AB的中点， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 9．【答案】6 【分析】 本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴， ∴是等边三角形； ∴； ∵， ∴， 故答案为：． 10．【答案】 【分析】 由翻折知，再根据平行线的性质证明，再证明是等边三角形，然后证明，根据中线的性质得即可． 【详解】 解：如图，，， ， 由翻折知：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了翻折变换折叠问题，含角直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是证明是等边三角形． 11．【答案】（1）；； （2）①，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， 连接，如图： 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； ②、 【分析】 （1）由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，由垂直平分线的性质可得，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得解； （2）① 连接，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，从而得出，推出，，证明，即可得解； ② 由（1）可得：，解直角三角形得出，由题意结合旋转的性质可得为等腰直角三角形，，证明，得出，由① 可得：，即可得解． 【详解】 解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 故答案为，； （2）① 略 ② 由（1）可得：， ∵四边形为矩形， ∴，， 连接，如图： ， ∵，， ∴， ∴， 由题意结合旋转的性质可得：为等腰直角三角形，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由① 可得：， ∴图3中所有与图1中相等的线段为、． 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 12．【答案】（1） 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，即， ． 为的半径， 是的切线．      （2）      【分析】 本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证； （2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：点B是的中点， ． ， ． ， ． 又， ． ． 在中． ． 即半径为． 13．【答案】问题解决：① 互相平行；②=； 【方法应用】① 证明：为旋转得到， ， 令，则，， ， 由旋转得，， 又， ∴， ， ， ， 四边形为双等四边形； ②或或 【分析】 本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 问题解决：① 根据等腰三角形的性质得出，从而可得； ② 证明得出，即，由可得结论； 方法应用：① 根据双等四边形的定义进行证明；② 分，或，或，三种情况讨论求解即可． 【详解】 解：[问题解决]① ∵， ∴， ∴， ∴； ② ∵，， ∴， ， ， ， ； 故答案为：① 平行；② ＝； 方法应用：① 略 ② 作于点， ，， ，， 设，则： ， 在中，，即， 解得：， ，， 若，时，， 若，时， ， 作于点， ∴， ， ， 若，时，如图， ， ， ， ， ． 综上所述：满足条件时，或或． 14．【答案】 【分析】 分两种情况求解：① 当点D与点B在AC的同侧时，② 当点D与点B在AC的两侧时． 【详解】 解：① 当点D与点B在AC的同侧时，作交CE于N，如图1， ∵， ∴∠ABC=45°， ∴BN=NE， 设BN=NE=x ， ， ， ． 为等边三角形， ， ， ∵tan30°=， ∴， ∴AC=BC=CN+BN=， ， ， ． ② 当点D与点B在AC的两侧时，作交CE于M，如图2， ， ， ， ． 为等边三角形， ， ， ． ， ， 即：， 则， ， ， ， ． 综上可知，或． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的知识，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 15．【答案】 【分析】 过点A作于点F，在上取点N，使，连接，过点N作点于点M，证明，求出，得出当最小时，最小，根据垂线段最短，得出当点D与点M重合时，最小，则最小，求出最小结果即可． 【详解】 解：过点A作于点F，在上取点N，使，连接，过点N作点于点M，如图所示： 根据旋转可知，，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当点D与点M重合时，最小，则最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 考点03 应用举例 1．【答案】P米 【分析】 根据题意可得，把，代入即可算出的长，再利用勾股定理算出的长即可． 【详解】 解：∵堤坝横断面迎水坡的坡比是， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，解题的关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l之比． 2．【答案】（1）A     （2）      【分析】 本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）根据题意可证是等腰直角三角形，则可以设，再在中利用锐角三角函数的关系即可求解． (1) 小问详解： 解：综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性． 故选A． (2) 小问详解： 解：根据题意知，，是的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得， ， 此时水桶下降的高度为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $