专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，江西专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知函数，且，若，则（     ） A.  B.  C. 10 D. 100 5．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）（多选）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 8．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）下列说法中正确的是（       ） A. 函数，表示的是同一函数 B. 已知函数，则 C. 的值域为 D. ，，，到的对应关系表示函数 9．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 已知，则 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 函数，则 D. 与是同一函数 11．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 12．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知函数的定义域为，，则（     ） A. 1 B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）函数的定义域是（       ）． A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）已知函数满足，则的值为 A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·江西宜春丰城第九中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）（多选）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·江西多校·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·江西多校·期中）（多选）与的对应关系如下表所示，则（       ） 100 200 300 400 A.  B. 的定义域是 C. 在定义域内单调递增 D. 的值域是 20．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）下列哪组中的两个函数是同一函数（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 21．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）已知函数满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）若，则当时，（     ） A.  B.  C.  D.  24．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  26．（25-26学年高一上·江西高安中学·期中）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·江西南昌外国语学校·期中）已知函数 则（　　） A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）（多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，则可能的解析式有（     ） A.  B.  C.  D.  29．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）（多选）已知函数 ，下列说法正确的是（       ） A.  B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 30．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）定义：表示不大于的最大整数，如，则函数的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  31．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）（多选）下列命题是真命题的是（　　） A. 函数是减函数 B. 已知函数，则函数 C. 已知，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 32．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数 ，则等于（     ） A.  B.  C. 3 D. 6 33．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）下列选项中，错误的是（       ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 集合真子集的个数是15 C. 在右图所示的Venn图中，阴影部分可表示为 D. 某超市一天的销售额与客流量之间的关系是函数关系 34．（25-26学年高一上·江西高安中学·期中）（多选）下列各选项给出的数学命题中，正确的是（       ） A. 函数与是相同函数 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的最小值为6 D. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为 35．（25-26学年高一上·江西吉安第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 已知，则 36．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）函数的值域为　　　　　　　　. 37．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）设函数 ，则　　　　　. 38．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的图象如图所示.        （1）求，； （2）求函数的定义域和值域. 39．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　　． 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 或1 2．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）已知幂函数为偶函数，则（       ） A. 4 B.  C. 2 D. 1 3．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）已知函数是幂函数，则（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 4．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）（多选）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（     ） A. m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B. m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C. m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D. 时，幂函数在上是增函数 6．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）已知函数 在上单调递增，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（       ） A. 为偶函数 B. 为增函数 C. 若，则 D. 若，则 8．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为　　　　　　　　　. 9．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）已知幂函数为偶函数，求函数的解析式． 10．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）若幂函数的图象过点，则它在上的最小值为　　　　． 11．（25-26学年高一上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知幂函数的图像经过点和点则　　　　　. 12．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 13．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）幂函数的图象经过点，则实数　　　　　　　　　　. 14．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求解析式； （2）若在上的最小值为，求m的值. 15．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）已知幂函数在上递减，则　　　　　　　　，不等式的解集为　　　　　　　　. 16．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）已知函数，. （1）若，求的值； （2）设且，若，证明：为奇数. 17．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知是幂函数，且在上单调递增. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 18．（25-26学年高一上·江西高安中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 19．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）函数是幂函数，且在上单调递增，则实数　　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年高一上·江西多校·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 21．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且 ．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 2．（25-26学年高一上·江西吉安第一中学·期中）2025.9.3日北京天安门广场隆重举行了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式，此次阅兵展示了大量我国自主研发的先进主战装备，其中某款先进的隐身无人机需要使用某高科技公司生产的一种电子元器件，已知该公司每月生产这种电子元器件的固定成本为20000元，每生产一个电子元器件需增加投入100元，公司每月生产量为（单位：台），已知总收入（单位：元）满足函数： （1）将每月利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入=总成本+利润） 3．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为 ，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 4．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．C 2．B 3．BD 4．A 5．D 6．AC 7．C 8．C 9．B 10．ABD 11．D 12．A 13．D 14．C 15．B 16．D 17．BD 18．C 19．ABD 20．C 21．D 22．D 23．A 24．C 25．D 26．C 27．B 28．AD 29．ABD 30．C 31．BD 32．A 33．AD 34．AD 35．AC 36．【答案】 【分析】 令，通过变形可得，即可求出值域. 【详解】 解：令，则，当时，不成立， 则，即，解得， 故答案为: . 【点睛】 本题考查了函数值域的求解，属于基础题. 37．【答案】 【分析】 先求出，再求出，即可得的值. 【详解】 由函数 ，知. 所以，. 故答案为： 38．【答案】（1），；     （2）定义域为，值域为 ；      【分析】 （1）由函数图象观察即可得到结果； （2）直接分析函数图象即可得到结果； (1) 小问详解： 由图象知：，； (2) 小问详解： 由图可知，函数的定义域为，值域为； 39．【答案】 【分析】 先对已知函数进行变形后换元得出函数的解析式，再代入求解． 【详解】 ，把替换为，则， ． 故答案为：． 考点02 幂函数 1．C 2．C 3．C 4．B 5．ABD 6．B 7．BCD 8．【答案】 【分析】 根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值. 【详解】 由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为. 故答案为： 9．【答案】 【分析】 根据幂函数的定义及幂函数的奇偶性即可判断. 【详解】 由为幂函数知，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． ∴函数的解析式为． 10．【答案】.25 【分析】 先求出解析式，利用单调性求出在上的最小值. 【详解】 设幂函数. 因为幂函数的图像过点，所以，解得：. 所以. 所以在上单调递减， 所以在上的最小值为. 故答案为： 11．【答案】3 【分析】 依次代入点和点即可求解. 【详解】 ， ， . 故答案为：3 12．【答案】（1）4     （2） 由题意可得，其在上单调递增， 证明如下：，令， 则 ， 因为，所以，，，即， 故，即，故在上单调递增．      【分析】 （1）由幂函数的定义及图象关于y轴对称，求解参数，得到的解析式，计算即可； （2）由题意可得，其在上单调递增，利用函数的单调性的定义证明即可. (1) 小问详解： 由幂函数的定义可得，解得或， 又因为图象关于y轴对称，所以；所以，故． (2) 小问详解： 略 13．【答案】-0.5 【分析】 根据幂函数图象所过的点计算求参即可. 【详解】 幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 14．【答案】（1）     （2）或3      【分析】 （1）根据幂函数的定义和单调性可得 ，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. (1) 小问详解： 由题意得， ，解得， 则. (2) 小问详解： 由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 15．【答案】①     ② 【分析】 根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】 为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 在上单调递增，且图象关于轴对称， 由得：且，解得：或， 的解集为. 故答案为：；. 16．【答案】（1）3     （2） 由，得. 又，得，所以， 所以，即. 因为，所以，所以，故. 又因为，所以为奇数.      【分析】 （1）由，得到，求解即可； （2）由和即可求证. (1) 小问详解： 由，可得， 解得； (2) 小问详解： 略 17．【答案】（1）；     （2） 在上单调递增，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，所以， 因为，所以，故， 故，在上单调递增；     （3） ，理由如下： 由（2）知，在上单调递增， 故，即， 即      【分析】 （1）根据幂函数定义和单调性得到方程和不等式，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）在（2）基础上，得到，故. (1) 小问详解： 由题意得，解得或， 在上单调递增，故，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 18．【答案】（1）     （2） 由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增.      【分析】 （1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. (2) 小问详解： 略 19．【答案】2 【分析】 利用幂函数的定义，图象和性质求解. 【详解】 是幂函数，，或， 当时，，满足在上单调递增， 当时，，不满足在上单调递增， 故. 故答案为：2 20．【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 21．【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）利用幂函数的性质结合新定义分析即可； （2）利用二次函数的图象与性质结合新定义建立方程组计算即可； （3）利用反比例函数的图象与性质结合图象变换作出函数大致图象，分类讨论将问题化为的解问题，根据一元二次方程根的分布计算即可. (1) 小问详解： 由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） (2) 小问详解： 因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则 ，解得，， 所以实数a的取值集合为. (3) 小问详解： 函数存在“k倍值区间”. 易知 ，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以 ， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以 ，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 考点03 函数的应用（一） 1．【答案】（1）     （2）20万人，最大利润是250万．      【分析】 （1）根据题意，得到利润，进而求得利润的解析式； （2）由（1）中的函数解析式，分三种情况讨论，结合函数的单调性、二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数最大值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由题意得，该景区一年的利润， 因为投入成本 ， 所以景区一年的利润为 . (2) 小问详解： 解：①当时，单调递增，此时； ②当时，， 可得函数的图象开口向下，对称轴， 所以当时，函数的最大值； ③当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，且， 综上可得，一年的游客为20万人时，该景区一年利润最大，且最大利润是万元． 2．【答案】（1）     （2）500台，5万元.      【分析】 （1）根据题意，写出分段函数的解析式即可； （2）由（1）的解析式，结合均值不等式求解最值即可. (1) 小问详解： 根据题意可得利润 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，， 则当时，利润取得最大值5000； 当时，， 当且仅当时，利润取得最大值50000，而， 所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元. 3．【答案】（1） ；     （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 4．【答案】（1）     （2）小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求      【分析】 （1）由题意，根据矩形的面积公式，建立方程，整理为函数，可得答案； （2）利用基本不等式，整理为关于的不等式，可得答案. (1) 小问详解： 由题意可知，， 所以，又，所以， 所以. (2) 小问详解： 法一：由，得， 解得，或（舍去），所以， 当且仅当时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 3大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 幂函数 考点03 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（25-26学年高一上·江西部分学校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用函数定义域的求法可得答案. 【详解】 由题意知 得且， 即定义域为. 故选：C 2．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）下列各组函数中是同一个函数的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【分析】 根据函数的定义域和对应法则是否相同逐项判断后可得正确的选项. 【详解】 对于A，的定义域为，而的定义域为， 两者相异，故A错误； 对于B，两个函数的定义域均为，且， 两个函数为同一函数，故B正确； 对于C，的定义域为，而的定义域为， 故两者相异，故C错误； 对于D，，两个函数对应法则相异，故D错误. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）（多选）下列各组函数中，表示同一函数的是（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BD 【分析】 由同一函数的对应法则、定义域都相同判断各项函数是否为同一函数. 【详解】 A：，与的对应法则不同，不为同一函数； B：，与对应法则、定义域都相同，是同一函数； C：的定义域为，与的定义域不同，不为同一函数； D：和的对应法则、定义域都相同，是同一函数. 故选：BD 4．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知函数，且，若，则（     ） A.  B.  C. 10 D. 100 【答案】A 【分析】 利用给定的函数解析式求出，再代入求得答案. 【详解】 依题意，由，得， 所以. 故选：A 5．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶次根式被开方数大于等于0及分母不为0，即可求得答案. 【详解】 由题意得 ，解得且， 所以定义域为. 故选：D 6．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）（多选）下列各组函数表示相同函数的是（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AC 【分析】 根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】 对于A项，，两函数定义域一样，对应关系一样，故A正确； 对于B项，两函数定义域不同，对应关系也不同，故B错误； 对于C项，两函数定义域一样，对应关系一样，故C正确； 对于D项， ，与对应关系不同，故D错误. 故选：AC 7．（25-26学年高一·江西南昌第五高级中学·期中）已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 【答案】C 【分析】 利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】 对于① ，，当时，，故① 不满足题意； 对于② ，，当时，，故② 不满足题意； 对于③ ，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③ 满足题意； 对于④ ，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④ 满足题意． 故选：C 8．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）下列说法中正确的是（       ） A. 函数，表示的是同一函数 B. 已知函数，则 C. 的值域为 D. ，，，到的对应关系表示函数 【答案】C 【分析】 运用相等函数的概念判断A，代入求值计算判断B，运用基本不等式计算值域判断C，运用函数概念判断D. 【详解】 的定义域为，的定义域为，A错误； ，，B错误； 当时，，当且仅当时等号成立，故函数的值域为，C正确； 当时，，D错误. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据已知得的定义域为，结合解析式及根式性质求其定义域. 【详解】 由题设，对于有，则，即的定义域为， 所以，对于有 ， 所以的定义域为. 故选：B 10．（25-26学年高一上·江西南昌外国语学校·期中）（多选）下列说法正确的有（       ） A. 已知，则 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 函数，则 D. 与是同一函数 【答案】ABD 【分析】 代入化简计算判断A；利用函数定义及表示法判断B；求出分段函数值判断C；利用同一函数的定义判断D. 【详解】 对于A，由，得，A正确； 对于B，由函数定义知函数的图象与直线的交点最多有1个，B正确； 对于C，由 ，得，则，C错误； 对于D，函数与定义域都为R，对应法则相同，它们是同一函数，D正确. 故选：ABD 11．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（       ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【分析】 根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 12．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）已知函数的定义域为，，则（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 借助赋值法，分别令及，可得求得答案. 【详解】 令，得① ； 令，得② ， 由得. 故选：A. 13．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）函数的定义域是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据分式、根式以及零次方的性质列式求解. 【详解】 由题意可得 ，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：D. 14．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）已知函数满足，则的值为 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】将换成得出关系式算出的表达式,再代入算. 【详解】由,将换成有, 即,故有 ,两式相减化简得 ,故. 故选C. 【点睛】已知,故可以考虑将换成再得出新的关系式,从而算得. 15．（25-26学年高一上·江西宜春丰城第九中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用给定函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】 由函数有意义，得 ，解得或， 所以所求定义域为. 故选：B 16．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据抽象函数定义域和被开方数大于等于以及分母不等于得到不等式组，解出即可. 【详解】 由题意得 ，解得，则其定义域为. 故选：D. 17．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）（多选）下列选项中，两个函数表示同一个函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 由两函数定义域，解析式是否相同可判断两函数是否相同. 【详解】 对于A，定义域为R，定义域为，则两函数不同，故A错误； 对于B，两函数定义域相同，都为R，又，则两函数相同，故B正确； 对于C，定义域为R，定义域为，则两函数不同，故C错误； 对于D，两函数定义域相同，都为R，又，则两函数相同，故D正确； 故选：BD 18．（25-26学年高一上·江西多校·期中）设函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据抽象函数的定义域求解即可. 【详解】 由，解得，所以函数的定义域为． 故选：C 19．（25-26学年高一上·江西多校·期中）（多选）与的对应关系如下表所示，则（       ） 100 200 300 400 A.  B. 的定义域是 C. 在定义域内单调递增 D. 的值域是 【答案】ABD 【分析】 结合表格数据分析求解即可. 【详解】 由题意知，，，则，故A正确； 的定义域是，故B正确； 在定义域内不单调，故C错误； 的值域是，故D正确． 故选：ABD 20．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）下列哪组中的两个函数是同一函数（       ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 定义域和对应法则均一致才为同一函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】 对于A，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 即两个函数不是同一函数； 对于C，，函数与函数的定义域和对应法则一致， 即两个函数是同一函数； 对于选项D，函数的定义域为， 函数的定义域为，即两个函数不是同一函数． 故选：C． 21．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）已知函数满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用方程组法求解出的解析式. 【详解】 因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 22．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据偶次方根被开方数大于等于以及分式分母不为，列出不等式组可求结果. 【详解】 由题意知 ，解得且， 故的定义域为， 故选：D. 23．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）若，则当时，（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用配凑法即可解答. 【详解】 因为，且， 所以. 故选：A 24．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据具体函数定义域及抽象函数定义域的求法列不等式，解不等式即可. 【详解】 由的定义域为， 在中 ，得， 则的定义域为. 故选：C. 25．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用给定函数有意义，列出不等式组求解即得. 【详解】 由函数，得 ，解得且， 所以的定义域为. 故选：D 26．（25-26学年高一上·江西高安中学·期中）已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用抽象函数定义域可得的定义域，结合分母不为零可得答案. 【详解】 因为的定义域为 ，所以的定义域为， 因为，所以的定义域为. 故选：C 27．（25-26学年高一上·江西南昌外国语学校·期中）已知函数 则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】 依题意，. 故选：B. 28．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）（多选）若函数的定义域为，对，，都有成立，则可能的解析式有（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】AD 【分析】 根据函数定义域和题中关系式两个方面逐项验证即可. 【详解】 对于选项A：因为的定义域为， 且，符合题意，故A正确； 对于选项B：因为，， 两者不恒相等，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不合题意，故C错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且，符合题意，故D正确； 故选：AD. 29．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）（多选）已知函数 ，下列说法正确的是（       ） A.  B. 函数的值域为 C. 函数的单调递增区间为 D. 设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 【答案】ABD 【详解】作出函数的图象，先计算，然后计算，判断A，根据图象判断BC，而利用参变分离可判断D． 【详解】 画出函数图象.如图， A项，，， B项，由图象易知，值域为 C项，有图象易知，区间内函数不单调 D项，当时，恒成立， 所以即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以. 当时，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 令 ， 当时，，当时，，故； 令 ， 当时，，当时，，故； 所以. 故在R上恒成立时，有. 故选：ABD． 【点睛】 关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围． 30．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）定义：表示不大于的最大整数，如，则函数的值域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 先利用常数分离法得到，再结合反比例函数的单调性，分类讨论与两种情况下的值域，从而求得的值域. 【详解】 因为， 当时，，所以，则，故，即，所以； 当时，，所以，则，故，即，所以； 综上：. 故选：C. 31．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）（多选）下列命题是真命题的是（　　） A. 函数是减函数 B. 已知函数，则函数 C. 已知，则 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【分析】 对于A：根据反比例函数的单调性判断；对于B：利用换元法求函数的解析式；对于C：代入求值进行判断；对于D：利用抽象函数求定义域的方法进行求解. 【详解】 对于A：函数在，上是减函数，故A选项错误； 对于B：设，则， 所以， 所以，故B正确； 对于C：，所以， 所以，故C错误； 对于D：因为函数的定义域为， 所以，所以，所以函数的定义域为， 故D选项正确； 故选：BD 32．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）已知函数 ，则等于（     ） A.  B.  C. 3 D. 6 【答案】A 【分析】 应用分段函数计算函数值即可. 【详解】 因为函数 ， 则. 故选：A. 33．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）（多选）下列选项中，错误的是（       ） A. 函数与函数是同一个函数 B. 集合真子集的个数是15 C. 在右图所示的Venn图中，阴影部分可表示为 D. 某超市一天的销售额与客流量之间的关系是函数关系 【答案】AD 【分析】 根据同一函数的定义域和对应法则相同判断A；由集合的真子集与元素个数的关系判断B；由韦恩图确定阴影部分的数学表达式判断C；根据相关关系与函数关系的区别判断D. 【详解】 A：的定义域为，的定义域为，不是同一函数，错； B：由共有4个元素，则其真子集有，对； C：由题图知，阴影部分在集合外部，则可表示为，对； D：由客流量相同的情况下，销售额不一定相同，反之亦然，但客流量越大，销售额相对较高， 所以超市一天的销售额与客流量之间的关系具有相关关系，不一定有函数关系，错. 故选：AD 34．（25-26学年高一上·江西高安中学·期中）（多选）下列各选项给出的数学命题中，正确的是（       ） A. 函数与是相同函数 B. 若是一次函数，满足，则 C. 函数的最小值为6 D. 关于的不等式的解集，则不等式的解集为 【答案】AD 【分析】 对于A：根据函数相等分析判断；对于B：利用待定系数法分析运算；对于C：利用基本不等式分析求解，注意等号成立的条件；对于D：根据三个二次之间的关系分析求解. 【详解】 对于选项A：显然两个函数的定义域均为R，与对应关系相同， 所以是同一函数，故A正确； 选项B，因为是一次函数，设， 则， 可得 ，解得 或 ， 所以或，故B错误； 对于选项C：令，则原式化为， 当且仅当，即时，取等号，但，故等号取不到， 所以函数的最小值不为6，故C错误； 对于选项D：关于的不等式的解集， 则方程 的两个解是 或 ，并且 ， 由韦达定理可得  ，解得， 则不等式转化为，由， 则，解得， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：AD. 35．（25-26学年高一上·江西吉安第一中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 若的定义域为，则的定义域为 B. 若定义在上的函数的值域为，则的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 已知，则 【答案】AC 【分析】 对于A，利用抽象函数的定义域知识解决；对于B，函数图象左右平移值域不变；对于C，利用构造方程组法求函数解析式解决；对于D，利用复合函数的定义域知识解决. 【详解】 对于A，若函数的定义域为，对于函数，则有， 解得，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，的函数图象可由向左平移一个单位得到，因此值域不变，故B错误； 对于C，因为定义在上的函数满足① ， 所以② ，由①+② ，得，所以，故C正确； 对于D，因为，因为，所以，故D错误. 故选：AC. 36．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）函数的值域为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 令，通过变形可得，即可求出值域. 【详解】 解：令，则，当时，不成立， 则，即，解得， 故答案为: . 【点睛】 本题考查了函数值域的求解，属于基础题. 37．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）设函数 ，则　　　　　. 【答案】 【分析】 先求出，再求出，即可得的值. 【详解】 由函数 ，知. 所以，. 故答案为： 38．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）函数的图象如图所示.        （1）求，； （2）求函数的定义域和值域. 【答案】（1），；     （2）定义域为，值域为 ；      【分析】 （1）由函数图象观察即可得到结果； （2）直接分析函数图象即可得到结果； (1) 小问详解： 由图象知：，； (2) 小问详解： 由图可知，函数的定义域为，值域为； 39．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）已知，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 先对已知函数进行变形后换元得出函数的解析式，再代入求解． 【详解】 ，把替换为，则， ． 故答案为：． 考点02 幂函数 1．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）已知幂函数为偶函数，则实数的值为（     ） A.  B.  C. 1 D. 或1 【答案】C 【分析】 由幂函数的定义：系数为1，再结合偶函数求参数的值. 【详解】 由题意，，即，解得或， 当时，是偶函数，满足题意， 当时，，，没有奇偶性，不合题意， 所以. 故选：C. 2．（25-26学年高一上·江西宜春中学·期中）已知幂函数为偶函数，则（       ） A. 4 B.  C. 2 D. 1 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用幂函数的定义及性质求解. 【详解】 由幂函数定义得，解得或， 当时，，定义域为，不为偶函数，不满足题意； 当时，，定义域为，且，故为偶函数. 故选：C 3．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）已知函数是幂函数，则（     ） A.  B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【分析】 利用幂函数的定义列方程组求得 ，代入求解即可. 【详解】 因为函数是幂函数，所以 ，解得 ， 所以，所以. 故选：C 4．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据一般幂函数的奇偶性、单调性，即可得. 【详解】 由、、为奇函数，为偶函数， 由在定义域上不单调，在R上单调递减，在R上单调递增. 综上，是在R上单调递减的奇函数. 故选：B 5．（25-26学年高一上·江西南昌第二中学·期中）（多选）已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（     ） A. m，n是奇数时，幂函数是奇函数 B. m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数 C. m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数 D. 时，幂函数在上是增函数 【答案】ABD 【分析】 对于ABC：根据幂函数的性质结合奇偶性的定义直接判断即可；对于D：根据幂函数的性质直接判断即可. 【详解】 对于选项A：若m，n是奇数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是奇函数，故A正确； 对于选项B：若m是奇数，n是偶数时，则， 此时的定义域为，且， 所以幂函数是偶函数，故B正确； 对于选项C：m是偶数，n是奇数时，则， 此时的定义域为，不关与原点对称， 所以幂函数不具有奇偶性，故C错误； 对于选项D：时，由幂函数性质可知：在上是增函数，故D正确； 故选：ABD. 6．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）已知函数 在上单调递增，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数以及幂函数的单调性，结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致列不等式求解即可. 【详解】 函数 在上单调递增， 当时，单调递增，当时，也需要单调递增， 所以 ，解得，故B正确. 故选：B. 7．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）（多选）已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（       ） A. 为偶函数 B. 为增函数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【分析】 先代点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质可判断ABC，利用，作差可判断D. 【详解】 将点代入函数得：，则， 所以， ∴的定义域为，所以不具有奇偶性，所以A不正确； 函数在定义域上为增函数，所以B正确； 当时，，即，所以C正确； 若时， = =. 即成立，所以D正确. 故选：BCD. 8．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值. 【详解】 由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为. 故答案为： 9．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）已知幂函数为偶函数，求函数的解析式． 【答案】 【分析】 根据幂函数的定义及幂函数的奇偶性即可判断. 【详解】 由为幂函数知，解得或． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． ∴函数的解析式为． 10．（25-26学年高一上·江西南昌大学附属学校·期中）若幂函数的图象过点，则它在上的最小值为　　　　． 【答案】.25 【分析】 先求出解析式，利用单调性求出在上的最小值. 【详解】 设幂函数. 因为幂函数的图像过点，所以，解得：. 所以. 所以在上单调递减， 所以在上的最小值为. 故答案为： 11．（25-26学年高一上·江西宜春丰城第九中学·期中）已知幂函数的图像经过点和点则　　　　　. 【答案】3 【分析】 依次代入点和点即可求解. 【详解】 ， ， . 故答案为：3 12．（25-26学年高一上·江西南昌第一中学·期中）已知幂函数的图象关于y轴对称，函数． （1）求的值； （2）判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 【答案】（1）4     （2） 由题意可得，其在上单调递增， 证明如下：，令， 则 ， 因为，所以，，，即， 故，即，故在上单调递增．      【分析】 （1）由幂函数的定义及图象关于y轴对称，求解参数，得到的解析式，计算即可； （2）由题意可得，其在上单调递增，利用函数的单调性的定义证明即可. (1) 小问详解： 由幂函数的定义可得，解得或， 又因为图象关于y轴对称，所以；所以，故． (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年高一上·江西石城中学·期中）幂函数的图象经过点，则实数　　　　　　　　　　. 【答案】-0.5 【分析】 根据幂函数图象所过的点计算求参即可. 【详解】 幂函数的图象经过点，则 则实数. 故答案为：. 14．（25-26学年高一上·江西南昌中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求解析式； （2）若在上的最小值为，求m的值. 【答案】（1）     （2）或3      【分析】 （1）根据幂函数的定义和单调性可得 ，进而求解即可； （2）根据二次函数的性质讨论求解即可. (1) 小问详解： 由题意得， ，解得， 则. (2) 小问详解： 由，对称轴为， 当时，，则，即； 当时，， 则，即（舍去）或（舍去）； 当时，，则，即. 综上所述，或3. 15．（25-26学年高一上·江西景德镇一中·期中）已知幂函数在上递减，则　　　　　　　　，不等式的解集为　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 根据幂函数定义可构造方程求得的值，结合单调性可确定的最终结果；根据奇偶性定义可得的奇偶性，结合定义域和单调性可得自变量大小关系，解不等式即可求得结果. 【详解】 为幂函数，，解得：或； 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 综上所述：； 的定义域为，， 为定义在上的偶函数， 在上单调递增，且图象关于轴对称， 由得：且，解得：或， 的解集为. 故答案为：；. 16．（25-26学年高一上·江西赣州市25校联考·期中）已知函数，. （1）若，求的值； （2）设且，若，证明：为奇数. 【答案】（1）3     （2） 由，得. 又，得，所以， 所以，即. 因为，所以，所以，故. 又因为，所以为奇数.      【分析】 （1）由，得到，求解即可； （2）由和即可求证. (1) 小问详解： 由，可得， 解得； (2) 小问详解： 略 17．（25-26学年高一上·江西景德镇·期中）已知是幂函数，且在上单调递增. （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性并用定义证明； （3）设，，，请比较a，b，c的大小并说明理由. 【答案】（1）；     （2） 在上单调递增，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，所以， 因为，所以，故， 故，在上单调递增；     （3） ，理由如下： 由（2）知，在上单调递增， 故，即， 即      【分析】 （1）根据幂函数定义和单调性得到方程和不等式，求出； （2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3）在（2）基础上，得到，故. (1) 小问详解： 由题意得，解得或， 在上单调递增，故，故； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 18．（25-26学年高一上·江西高安中学·期中）已知幂函数在上单调递增. （1）求的值； （2）若函数，判断在上的单调性并用定义法证明你的结论. 【答案】（1）     （2） 由（1）可知，则，故在上单调递增. 证明如下： 任取，，且， 则. 因为，所以. 因为，，所以，所以， 所以，即， 所以，即在上单调递增.      【分析】 （1）由幂函数的性质即可列方程求解； （2）由题意得，由对勾函数性质可判断在上单调递增，再结合定义法证明即可. (1) 小问详解： 因为是幂函数，所以， 解得或， 因为在上单调递增，所以，所以，则. (2) 小问详解： 略 19．（25-26学年高一上·江西赣州市十三校·期中）函数是幂函数，且在上单调递增，则实数　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 利用幂函数的定义，图象和性质求解. 【详解】 是幂函数，，或， 当时，，满足在上单调递增， 当时，，不满足在上单调递增， 故. 故答案为：2 20．（25-26学年高一上·江西多校·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 21．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）已知函数的定义域为D，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为（），则称为的一个“k倍值区间”. （1）若函数的一个“1倍值区间”为，且，请写出一个满足题意的的解析式； （2）若为函数的一个“4倍值区间”，求实数a的取值集合； （3）判断函数是否存在“k倍值区间”，若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）     （2）     （3）存在，      【分析】 （1）利用幂函数的性质结合新定义分析即可； （2）利用二次函数的图象与性质结合新定义建立方程组计算即可； （3）利用反比例函数的图象与性质结合图象变换作出函数大致图象，分类讨论将问题化为的解问题，根据一元二次方程根的分布计算即可. (1) 小问详解： 由新定义，不妨取，该函数R上单调递增， 即当时，， 所以满足题意的的解析式可以为.（答案不唯一，满足题意即可） (2) 小问详解： 因为为函数的一个“4倍值区间”， 所以当时，的值域为， 又的图象开口向下，对称轴为，所以， 所以，所以. 所以在上单调递增，则 ，解得，， 所以实数a的取值集合为. (3) 小问详解： 函数存在“k倍值区间”. 易知 ，作出的大致图象如下， 显然的定义域为， 在上单调递减，在，上单调递增，且. 不妨设的“k倍值区间”为（）， 则当时，的值域为（）. 由的定义域可知，所以，即，所以， 显然在的单调增区间内，即，或， 所以 ， 所以c，d为方程，即关于x的方程的两个不同的实数根， 因为，对称轴， 所以关于x的方程在上有两个不同的实数根， 所以 ，解得. 所以函数存在“k倍值区间”，且k的取值范围是. 考点03 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·江西鹰潭部分学校·期中）红色旅游是一种将爱国教育与自然景观结合起来的新型主题旅游形式，受到了越来越多游客的欢迎．某旅游公司今年开发了一处红色旅游景区，该景区一年需投入固定成本300万元，若该景区在一年内有x万游客，则另需投入成本万元，且 ．已知该景区门票售价为70元/人，当地政府为鼓励该景区更好发展，每年给该旅游公司财政补贴10x万元． （1）求该景区一年利润（万元）关于人数x（万人）的函数解析式； （2）一年的游客为多少万人时，该景区一年利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）     （2）20万人，最大利润是250万．      【分析】 （1）根据题意，得到利润，进而求得利润的解析式； （2）由（1）中的函数解析式，分三种情况讨论，结合函数的单调性、二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数最大值，即可求解. (1) 小问详解： 解：由题意得，该景区一年的利润， 因为投入成本 ， 所以景区一年的利润为 . (2) 小问详解： 解：①当时，单调递增，此时； ②当时，， 可得函数的图象开口向下，对称轴， 所以当时，函数的最大值； ③当时，， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，所以， 因为，且， 综上可得，一年的游客为20万人时，该景区一年利润最大，且最大利润是万元． 2．（25-26学年高一上·江西吉安第一中学·期中）2025.9.3日北京天安门广场隆重举行了纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式，此次阅兵展示了大量我国自主研发的先进主战装备，其中某款先进的隐身无人机需要使用某高科技公司生产的一种电子元器件，已知该公司每月生产这种电子元器件的固定成本为20000元，每生产一个电子元器件需增加投入100元，公司每月生产量为（单位：台），已知总收入（单位：元）满足函数： （1）将每月利润表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？（总收入=总成本+利润） 【答案】（1）     （2）500台，5万元.      【分析】 （1）根据题意，写出分段函数的解析式即可； （2）由（1）的解析式，结合均值不等式求解最值即可. (1) 小问详解： 根据题意可得利润 . (2) 小问详解： 由（1）知，当时，， 则当时，利润取得最大值5000； 当时，， 当且仅当时，利润取得最大值50000，而， 所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元. 3．（25-26学年高一上·江西南昌行知中学·期中）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为 ，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； （2）当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） ；     （2）当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元.      【分析】 （1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. (1) 小问详解： 当时，， 当时，， 所以 . (2) 小问详解： 当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 4．（25-26学年高一上·江西吉水中学·期中）为宣传村镇特点，助力乡村振兴，设计专业的大学生小王应某村委会要求，设计一个长为米，宽为米的矩形广告牌，使得该广告牌的面积等于一个长为米，宽为1米的矩形的面积. （1）求关于的函数； （2）若村委会要求广告牌的面积最小，小王应如何设计该广告牌？ 【答案】（1）     （2）小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求      【分析】 （1）由题意，根据矩形的面积公式，建立方程，整理为函数，可得答案； （2）利用基本不等式，整理为关于的不等式，可得答案. (1) 小问详解： 由题意可知，， 所以，又，所以， 所以. (2) 小问详解： 法一：由，得， 解得，或（舍去），所以， 当且仅当时，取得等号. 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 法二：， 当且仅当，即时等号成立， 此时， 故小王设计的广告牌是长为10米，宽为米的矩形，满足村委会要求. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $