专题02 运算律（计算专项讲义）数学北师大版四年级上册(新教材)

专题02 运算律（计算专项讲义） 题型01 带有括号的运算律 题型02 ‌加法交换律和‌乘法交换律 题型03 加法结合律 题型04 乘法结合律 题型05 乘法分配律 题型01 带有括号的运算律 一、核心运算优先级规则 教材明确了带多层括号的标准化运算顺序，是所有计算的底层依据： 基础优先级：没有括号的常规算式，先算乘除、后算加减；如果加号或减号两侧同时有乘除运算，两侧的乘除可以同步计算，提升运算效率。 小括号规则：算式里有小括号时，必须先算小括号内部的所有运算，再计算小括号外部的部分。 中括号规则：算式里同时存在小括号和中括号时，严格按照「先算小括号里面的 → 再算中括号里面的 → 最后算中括号外面的」顺序运算，括号内部依然遵循先乘除后加减的规则。 二、带括号的简便运算核心技巧 依托五大基础运算律，结合括号的规则，可以大幅简化复杂算式的计算步骤： ‌去括号变号规则‌ 括号前是加号/乘号时，去掉括号后括号内的运算符号不需要改变。 括号前是减号/除号时，去掉括号后括号内的加号要变减号、减号要变加号，乘号要变除号、除号要变乘号。 ‌乘法分配律带括号展开‌ 把括号外的数字分别乘括号内的每一个数字，再把乘积相加/相减，避免先算括号内的复杂加减运算。 ‌反向提取公因数带括号‌ 把多个乘法项中共同添加小括号、中括号让等式成立，的公因数提取出来，剩余部分用括号括起来先相加/相减凑整。 三、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 常规脱式计算：包含小括号、中括号的多层混合运算，严格按优先级分步计算，是单元考试的必考题。 括号添改题型：给定固定数字和运算符号，通过锻炼逻辑推理能力。 简便运算题型：结合去括号变号、乘法分配律等技巧，对带括号的复杂算式进行凑整简算，大幅降低计算出错概率。 生活应用题：列带括号的综合算式解决实际问题，比如先算总人数差、再算平均分配的数量，用括号明确运算顺序，避免分步列式的繁琐。 纠错改错题：找出带括号混合运算中运算顺序错误的步骤，重新按正确规则计算，强化优先级规则的记忆。 四、高频易错点避坑 顺序颠倒：同时有小括号和中括号时，错误先算中括号内部，再算小括号内部，完全颠倒多层括号的运算优先级。 去括号忘变号：括号前是减号或除号时，去掉括号后括号内的运算符号没有同步变号，导致结果完全错误，这是本部分最常见的错误。 分配律漏乘：用乘法分配律展开带括号的算式时，括号外的数字只乘括号内的第一个数，忘记乘括号内的第二个数，导致结果偏差。 括号内跳步：小括号内部的运算没有按“先乘除后加减”的规则计算，直接从左往右硬算，导致括号内的中间结果出错。 【典例1】计算下面各题。 （126＋49）÷5        33×（86－54）        58＋12×14 【答案】35；1056；226 【分析】一个算式中，有小括号的，要先算小括号里面的加法，再算小括号外面的除法； 一个算式中，有小括号的，要先算小括号里面的减法，再算小括号外面的乘法； 一个算式中既有乘法，又有加法，要先算乘法，再算加法； 【详解】（126＋49）÷5 ＝175÷5        ＝35             33×（86－54） ＝33×32        ＝1056         58＋12×14 ＝58＋168        ＝226 【专项训练1】计算下面各题。 （337＋194）÷9    576÷（2×3）    756÷2÷3 【答案】59；96；126 【分析】先算小括号里的加法，再算小括号外的除法；先算小括号里的乘法，再算小括号外的除法；从左到右按顺序计算。 【详解】（337＋194）÷9 ＝531÷9 ＝59 576÷（2×3） ＝576÷6 ＝96 756÷2÷3 ＝378÷3 ＝126 【专项训练2】脱式计算。 436－（118＋24）        5×（81÷9）        87×5＋13×5 【答案】294；45；500 【分析】436－（118＋24），先算小括号内的加法，再算小括号外的减法； 5×（81÷9），先算小括号内的除法，再算小括号外的乘法； 87×5＋13×5，先算乘法，再算加法。 【详解】436－（118＋24） ＝436－142 ＝294 5×（81÷9） ＝5×9 ＝45 87×5＋13×5 ＝435＋65 ＝500 【专项训练3】脱式计算。 63÷（44－37）             （593－238）×5    164×（80－75） （82－78）×705                  280＋40÷5    125－29×3 【答案】9；1775；820   2820；288；38 【分析】63÷（44－37），有小括号，先算括号内减法，再算除法。 （593－238）×5、164×（80－75）、（82－78）×705，先算括号内减法，再算乘法 280＋40÷5，先算除法，后算加法。 125－29×3，先算乘法，后算减法。 【详解】63÷（44－37） ＝63÷7 ＝9 （593－238）×5 ＝355×5 ＝1775 164×（80－75） ＝164×5 ＝820 （82－78）×705 ＝4×705 ＝2820 280＋40÷5 ＝280＋8 ＝288 125－29×3 ＝125－87 ＝38 【专项训练4】用递等式计算下面各题。 85－（17＋240÷80）          9×[160÷（28－20）] 【答案】65；180 【分析】（1）四则混合运算，有小括号先算小括号内部，小括号里面先算除法，再算加法，最后计算括号外面的减法。 （2）四则混合运算，既有小括号又有中括号，先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后计算括号外面的乘法。 【详解】（1）85－（17＋240÷80） ＝85－（17＋3） ＝85－20 ＝65 （2）9×[160÷（28－20）] ＝9×[160÷8] ＝9×20 ＝180 【专项训练5】脱式计算。 （1）56×25－720÷24    （2）（587－135＋15）×13    （3）[630－（160＋110）]÷15 【答案】（1）1370；（2）6071；（3）24 【分析】（1）先计算减号左右两边的乘法和除法，再计算减法； （2）先计算括号里面的减法，再计算括号里面的加法，最后计算括号外面的乘法； （3）先计算小括号里面的，再计算中括号里面的，最后计算括号外面的。 【详解】（1）56×25－720÷24 ＝1400－30 ＝1370 （2）（587－135＋15）×13 ＝（452＋15）×13 ＝467×13 ＝6071 （3）[630－（160＋110）]÷15 ＝[630－270]÷15 ＝360÷15 ＝24 【专项训练6】脱式计算。                   【答案】120；72； 【分析】（1）在四则混合运算中，有括号时要先计算括号内的运算，所以先计算括号里的减法，再计算括号外的除法即可； （2）同（1），第一步先计算括号里的加法运算，再计算括号外的除法，即可得到结果； （3）同（1），第一步先计算括号里的除法，然后计算括号外的除法即可求得结果； 【详解】（1） （2） （3） 【专项训练7】计算下面各题。 45×（135＋90÷18）        960÷[（172－148）×5] 【答案】6300；8 【分析】45×（135＋90÷18）先算小括号内的除法，再算小括号内的加法，最后算小括号外的乘法； 960÷[（172－148）×5] 先算小括号内的减法，再算中括号内的乘法，最后算中括号外的除法。 【详解】45×（135＋90÷18） ＝45×（135＋5） ＝45×140 ＝6300 960÷[（172－148）×5] ＝960÷[24×5] ＝960÷120 ＝8 【专项训练8】脱式计算。 72÷（72－68）        27×（112÷8）    （546－210）÷6        230－246÷6 【答案】18；378； 56； 189 【分析】先计算小括号内的减法，再计算小括号外的除法； 先计算小括号内的除法，再计算小括号外的乘法； 先计算小括号内的减法，再计算小括号外的除法； 先计算除法，再计算减法。 【详解】72÷（72－68） ＝72÷4 ＝18 27×（112÷8） ＝27×14 ＝378 （546－210）÷6 ＝336÷6 ＝56 230－246÷6 ＝230－41 ＝189 【专项训练9】脱式计算。 408÷（32÷8）    107×（15＋56）    310－280÷7 【答案】102；7597；270 【分析】先算括号里的除法，再算括号外面的除法； 先算括号里的加法，再算乘法； 先算除法，再算减法。 【详解】408÷（32÷8） ＝408÷4 ＝102 107×（15＋56） ＝107×71 ＝7597 310－280÷7 ＝310－40 ＝270 【专项训练10】递等式计算。 （387＋373）÷4                            296÷（2×4） 【答案】 190；37 【分析】（1）先算小括号里的加法，再算除法。 （2）先算小括号里的乘法，再算除法。 【详解】（387＋373）÷4 ＝760÷4 ＝190 296÷（2×4） ＝296÷8 ＝37 题型02 ‌加法交换律和‌乘法交换律 一、核心基础定义 ‌加法交换律‌：两个数相加，交换两个加数的位置，最终的和完全不变。用字母表示为a+b=b+a，其中a和b可以是任意整数、小数、分数。 ‌乘法交换律‌：两个数相乘，交换两个乘数的位置，最终的积完全不变。用字母表示为a×b=b×a，其中a和b可以是任意整数、小数、分数。 二者核心异同点：相同点是都只交换参与运算的数的位置，最终运算结果完全不变；不同点是一个针对加法运算生效，一个针对乘法运算生效。 二、教材经典验证场景 北师大版教材通过贴近生活的真实案例，从底层逻辑验证两个交换律的合理性，避免死记硬背公式： 加法交换律场景：从学校走到电影院的距离是350米+420米，反过来从电影院走回学校的距离是420米+350米，两段路程完全相等，直接验证350+420=420+350成立。 乘法交换律场景：横着数椅子，每排6把共5排，总数是6×5；竖着数椅子，每列5把共6列，总数是5×6，两种数法得到的椅子总数量完全一致，直接验证6×5=5×6成立。 三、三大核心实用功能 这两个交换律不是单纯的概念考点，而是能直接提升计算效率和准确率的实用工具： ‌凑整简便运算‌：在连加、连乘的同级运算中，把能凑成整十、整百、整千的数字通过交换位置放到一起优先计算，大幅降低运算难度。 ‌标准验算方法‌：加法竖式计算完成后，交换两个加数的位置重新计算，两次结果一致就能确认加法计算正确；乘法竖式计算完成后，交换两个乘数的位置重新列竖式计算，两次结果一致就能确认乘法计算正确，这是教材要求掌握的标准化验算手段。 ‌多数字连算提速‌：多个数字连加或连乘时，不需要死板从左往右硬算，通过交换位置两两凑整，大幅减少进位出错的概率。 四、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：直接补全交换律的等式，考察对交换律基础形式的掌握。 等式说明题型：结合生活场景解释等式为什么成立，比如说明16+12=12+16对应的牛的总数场景、20×6=6×20对应的珠子总数场景，考察对规律底层逻辑的理解。 验算实操题型：计算多位数加法、两位数乘法，并用交换律交换位置重新计算完成验算，是单元考试的必考题。 简便运算题型：在连加、连乘算式中，灵活运用交换律调整运算顺序凑整，快速算出结果。 规律判断题型：判断给出的等式是否符合交换律，区分加法、乘法交换律和减法、除法的区别。 五、高频易错点避坑 范围混淆：误以为减法和除法也满足交换律，比如错误认为10−5=5−10、10÷2=2÷10成立，实际上只有加法和乘法支持交换数的位置结果不变，减法和除法完全不支持。 概念误解：误以为交换律只能用于两个数的运算，实际上多个数连加、连乘时，任意交换其中任意两个数的位置，最终的和或积依然保持不变。 验算形式化：验算加法和乘法时，只是在原式上重新描一遍数字，没有真正交换两个数的位置重新计算，完全起不到验算纠错的作用。 凑整无效：交换数字位置时，没有优先选择能凑成整十整百的组合，反而把原本简单的运算变得更复杂，失去简便运算的意义。 符号遗漏：用字母表示交换律时，漏掉乘号，错误把a×b=b×a写成ab=ba，不符合四年级阶段的书写规范。 【典例2】用简便方法计算下面各题。                           【答案】13200；64000； 4998；1200 【分析】两个乘法部分都有相同的因数44，符合乘法分配律的形式，利用乘法分配律进行简算。 25与40相乘可得1000，便于计算，利用乘法交换律和结合律进行简算。 102接近100，可拆分为100＋2，利用乘法分配律进行简算。 413与287相加、178与322相加可凑成整百数，利用加法交换律和结合律进行简算。 【详解】 【专项训练1】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 725＋267＋433＋375         64×125×25       6800÷25÷4       154×98＋154×2 【答案】1800；200000；68；15400 【分析】（1）利用加法交换律和结合律，观察发现725和375相加能凑成整千数，267和433相加能凑成整百数，通过交换位置、分组相加，让计算更简便。 （2）利用乘法结合律，看到125想到和8相乘凑整千，看到25想到和4相乘凑整百。因此把64拆分成，再分别和125、25 结合相乘，简便计算。 （3）利用除法的性质，一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积。因为，可以先把除数相乘，再用被除数除以它们的积。 （4）逆用乘法分配律，提取公因数154，凑整（），简便计算。 【详解】（1） （2） （3） （4） 【专项训练2】用简便方法计算。 61＋412＋39＋388    740－297    49×199＋49 2700÷45    125×88    （123＋64）×25＋（177＋36）×25 【答案】 900；443；9800 60；11000；10000 【分析】（1）利用加法交换律和加法结合律进行简便计算。 （2）将297看成300，740－300比原式多减3，所以再加上3进行简便计算。 （3）利用“添1法”将算式变成49×199＋49×1，再利用乘法分配律进行简便计算。 （4）先将45转化成乘法算式（9×5），利用除法的性质进行简便计算。 （5）将88转化成乘法算式（8×11），再利用乘法结合律进行简便计算。 （6）先计算括号里面，再利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】61＋412＋39＋388 ＝（61＋39）＋（412＋388） ＝100＋800 ＝900 740－297 ＝740－300＋3 ＝440＋3 ＝443 49×199＋49 ＝49×199＋49×1 ＝49×（199＋1） ＝49×200 ＝9800 2700÷45 ＝2700÷（9×5） ＝2700÷9÷5 ＝300÷5 ＝60 125×88 ＝125×（8×11） ＝125×8×11 ＝1000×11 ＝11000 （123＋64）×25＋（177＋36）×25 ＝187×25＋213×25 ＝（187＋213）×25 ＝400×25 ＝10000 【专项训练3】下面的题怎样算简便就怎样算。 399＋87    489－175－25    172＋363＋128 【答案】486；289；663 【分析】（1）将87看成1＋86，所以算式写成399＋（1＋86），即399＋1＋86，先计算399＋1＝400，再计算400＋86即可； （2）运用减法的性质，一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。据此计算即可。 （3）运用加法交换律将算式写成172＋128＋363，然后按从左往右的顺序依次计算即可。 【详解】（1）399＋87 ＝399＋（1＋86） ＝399＋1＋86 ＝400＋86 ＝486 （2）489－175－25 ＝489－（175＋25） ＝489－200 ＝289 （3）172＋363＋128 ＝172＋128＋363 ＝300＋363 ＝663 【专项训练4】下面的题怎样算简便就怎样算。 452＋362＋48    761－199    957－561－39 【答案】862；562；357 【分析】452＋362＋48，根据加法交换律，将原式变为452＋48＋362，再按照从左到右的顺序计算即可简算； 761－199，将199变为200－1，将原式变为761－（200－1），再将式子变为761－200＋1，进行简便运算即可； 957－561－39根据减法的性质，先将原式变为957－（561＋39），再算括号里面的加法，然后计算括号外面的减法，即可简算。 【详解】452＋362＋48 ＝452＋48＋362 ＝500＋362 ＝862 761－199 ＝761－（200－1） ＝761－200＋1 ＝561＋1 ＝562 957－561－39 ＝957－（561＋39） ＝957－600 ＝357 【专项训练5】观察下面算式的特点，用自己喜欢的方法计算。                        【答案】1286；6900；11000 【分析】253＋886＋147，利用加法交换律a＋b＝b＋a，变式为253＋147＋886进行简算； 25×69×4，利用乘法交换律a×b＝b×a，变式为25×4×69进行简算； 125×88，先把88拆分成80＋8，再利用乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变式为125×80＋125×8进行简算。 【详解】253＋886＋147 ＝253＋147＋886 ＝400＋886 ＝1286 25×69×4 ＝25×4×69 ＝100×69 ＝6900 125×88 ＝125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 【专项训练6】下面各题怎样简便就怎样算。 25×38×4        32×78＋68×78 57×101－57        540÷15÷6 【答案】3800；7800； 5700；6； 【分析】25×38×4，利用乘法交换律a×b＝b×a，变算式为：25×4×38进行简算； 32×78＋68×78，根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，变式为78×（32＋68）进行简算； 57×101－57，根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，变式为57×（101－1）进行简算； 540÷15÷6，根据除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c），变式为540÷（15×6）进行简算。 【详解】25×38×4 ＝25×4×38 ＝100×38 ＝3800 32×78＋68×78 ＝78×（32＋68） ＝78×100 ＝7800 57×101－57 ＝57×101－57×1 ＝57×（101－1） ＝57×100 ＝5700 540÷15÷6 ＝540÷（15×6） ＝540÷90 ＝6 【专项训练7】用简便方法计算。 125×88                99×36＋36                25×34×4                630÷45 【答案】11000；3600；3400；14 【分析】125×88，把88拆分成80＋8，再利用乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c），变式为125×80＋125×8进行简算； 99×36＋36，利用乘法分配律a×b＋a×c＝a×（b＋c），变式为36×（99＋1）进行简算； 25×34×4，利用乘法交换律a×b＝b×a，变式为25×4×34进行简算； 630÷45，把45拆分成9×5，再运用除法的性质a÷b÷c＝a÷（b×c），变式为630÷9÷5进行简算。 【详解】125×88 ＝125×（80＋8） ＝125×80＋125×8 ＝10000＋1000 ＝11000 99×36＋36 ＝36×（99＋1） ＝36×100 ＝3600 25×34×4 ＝25×4×34 ＝100×34 ＝3400 630÷45 ＝630÷（9×5） ＝630÷9÷5 ＝70÷5 ＝14 【专项训练8】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 518－184－116            40×76×25              99×99＋99 【答案】218；76000；9900 【分析】（1）根据减法的性质进行简算，原式等于518－（184＋116）； （2）利用乘法交换律进行简算，原式等于40×25×76； （3）利用乘法分配律进行简算，原式等于99×（99＋1）。 【详解】518－184－116 ＝518－（184＋116） ＝518－300 ＝218 40×76×25 ＝40×25×76 ＝1000×76 ＝76000 99×99＋99 ＝99×（99＋1） ＝99×100 ＝9900 【专项训练9】用简便方法计算。 86×99＋86    197×74－97×74 125×94×8    875＋196＋125＋10＋1 【答案】8600；7400 94000；1207 【分析】86×99＋86把86看作86×1，利用乘法分配律简算a×c＋b×c＝（a＋b）×c； 197×74－97×74利用乘法分配律简算a×c－b×c＝（a－b）×c； 125×94×8利用乘法交换律把94与8交换后，让125与8组合简算； 875＋196＋125＋10＋1把196与125交换后，让875与125组合简算。 【详解】86×99＋86 ＝86×99＋86×1 ＝86×（99＋1） ＝86×100 ＝8600 197×74－97×74 ＝74×（197－97） ＝74×100 ＝7400 125×94×8 ＝125×8×94 ＝1000×94 ＝94000 875＋196＋125＋10＋1 ＝875＋125＋196＋10＋1 ＝1000＋196＋10＋1 ＝1196＋10＋1 ＝1207 【专项训练10】计算下面各题，并应用乘法交换律进行验算。 78×46    65×39    27×94 【答案】3588；2535；2538 【分析】笔算两位数乘两位数的进位乘法时，用第二个乘数每一位上的数分别去乘第一个乘数，用哪一位上的数去乘，积的末尾就和那一位对齐，哪一位乘得的积满几十，就要向前一位进几，再把两次乘得的积相加；再根据乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，进行验算，即可解题。 【详解】由分析可知： 78×46＝3588                                  65×39＝2535                                    验算：      验算：   27×94＝2538 验算： 题型03 加法结合律 一、核心基础定义 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，最终的和完全保持不变，这就是加法结合律。用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)，其中a、b、c可以是任意整数、小数、分数。 通俗来说，连加算式中可以通过添加小括号，把任意两个能凑整的数字优先分组计算，最终的总和不会发生任何改变。 二、和加法交换律的核心区别与搭配 很多同学考试丢分，就是分不清两条定律的作用边界，二者搭配使用是简便运算的万能组合拳： 加法交换律：核心作用是‌换位置‌，调整数字的前后排列顺序，把能凑整的数字放到一起。 加法结合律：核心作用是‌打分组‌，通过添加小括号改变计算的先后顺序，让凑整的组合优先运算。 三、两大必考解题模型 教材覆盖的所有考试题型，都可以归为这两类标准化解题模型： ‌直接分组模型‌ 算式中后两个加数的末尾数字刚好互补，能直接凑成整十、整百、整千，不需要交换位置，直接用小括号把后两个数括起来优先计算。 ‌交换+结合混合模型‌ 多个数字连加时，先通过加法交换律调整数字顺序，把多组能凑整的数字两两配对，再用加法结合律分别分组，一次性凑出多个整百数。 四、配套延伸减法性质 教材同步拓展了和加法结合律配套的减法运算性质，是减法简便运算的核心依据： 一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个减数的和，用字母表示为a−b−c=a−(b+c)。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：补全符合加法结合律的等式，比如160+(39+40)=(160+__)+39，考察对结合律基础形式的掌握。 定律判断题型：判断给定等式是否正确运用了加法结合律，区分结合律和交换律的不同作用。 简便运算题型：在多数字连加、连减算式中，灵活运用加法结合律和减法性质分组凑整，快速算出结果，是单元考试的必考题。 生活应用题：计算多个班级的总人数、多件商品的总价、多段路程的总长度等场景，用结合律简化求和步骤。 定律辨析题型：判断一个混合算式同时用到了哪些加法运算律，明确交换律和结合律的不同作用。 六、高频易错点避坑 概念混淆：误以为加法结合律就是随便加括号，忽略加括号的核心目的是凑整简化计算，乱加括号反而把运算变复杂。 范围误解：误以为减法也完全支持结合律，忽略减法的结合必须满足“连续减两个数等于减两个数的和”的特定规则，不能直接照搬加法结合律的形式。 定律误判：把只用到加法交换律的算式，错误判定为用到了加法结合律，没有区分“换位置”和“改运算顺序”的本质区别。 分组无效：分组时没有选择能凑成整十整百的数字组合，反而把原本简单的运算变得更复杂，失去简便运算的意义。 符号遗漏：运用减法性质去括号时，忘记括号内的加号要变减号，导致最终计算结果完全错误。 【典例3】计算。 1＋4＋7＋10＋13＋16＋19＋22＋25 21＋22＋23＋…＋39＋40 【答案】117；610 【分析】①首先观察数列各项的特征，判定该数列为等差数列，再分别确定其首项、末项与项数，最后依据等差数列求和公式：，代入相应数值进行计算即可。 ②先观察数列中各项的数值特征，判断该数列属于等差数列，明确可采用等差数列求和公式进行计算，确定该等差数列的首项、末项与公差，根据项数公式：，计算出数列的项数。最后根据等差数列求和公式：，代入等差数列求和公式，完成求和运算。    【详解】①观察这个式子，确定这是等差数列。 观察可知，该数列首项，末项，项数＝9。 根据等差数列求和公式： ②观察这个式子，确定这个也是等差数列。 观察可知，该数列首项，末项，公差＝1， 根据项数公式：，代入计算得， 项数 根据等差数列求和公式： 【专项训练1】用简便方法计算。 262＋375＋138        782－143－257        398＋254        456－198 【答案】775； 382； 652； 258 【分析】运用加法交换律简算； 运用减法的性质简算； 398接近400，把398看作400计算，多加了2再减去2； 198接近200，把198看作200计算，多减了2再加上2。 【详解】262＋375＋138 ＝262＋138＋375 ＝400＋375 ＝775 782－143−257 ＝782－（143＋257） ＝782－400 ＝382 398＋254 ＝400＋254－2 ＝654－2 ＝652 456－198 ＝456－200＋2 ＝256＋2 ＝258 【专项训练2】脱式计算，能简算的要简算。 50－6.25－3.75    199×34    126×8＋74×8 【答案】40；6766；1600 【分析】（1）根据减法的性质：，先把6.25和3.75结合起来，再进行简便计算； （2）先把199写成，再根据乘法分配律：进行简便计算； （3）根据乘法分配律：先把8提出来，再进行简便计算。 【详解】 【专项训练3】选择最适合自己的方法，写出递等式计算的过程。 （517＋26）＋（83＋74）        573－（173＋68）    222＋333＋555 【答案】700；332；1110 【分析】（1）用加法交换律＋结合律，把能凑成整百的数分组计算。 （2）根据减法的性质：减去两个数的和，等于连续减去这两个数，进行简便计算。 （3）先算前两个加数，刚好凑成555，直接相加得到最终结果。 【详解】（517＋26）＋（83＋74） ＝517＋26＋83＋74 ＝ （517＋83）＋（26＋74） ＝600＋100 ＝700 573－（173＋68） ＝573－173－68 ＝400－68 ＝332 222＋333＋555 ＝（222＋333）＋555 ＝555＋555 ＝1110 【专项训练4】用简便方法计算。 59＋（269＋41）            102×54 347－（47＋68）            16×247－16×47 【答案】 369；5508； 232；3200 【分析】（1）根据加法交换律：a＋b＝b＋a和加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），先计算59＋41，再与269相加。 （2）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：（100＋2）×54，再进行计算。 （3）根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c），变算式为：347－47－68，再进行计算。 （4）根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，变算式为：16×（247－47），再进行计算。 【详解】59＋（269＋41） ＝59＋41＋269 ＝100＋269 ＝369 102×54 ＝（100＋2）×54 ＝100×54＋2×54 ＝5400＋108 ＝5508 347－（47＋68） ＝347－47－68 ＝300－68 ＝232 16×247－16×47 ＝16×（247－47） ＝16×200 ＝3200 【专项训练5】怎样算简便就怎样算。 100＋175＋225            569－112－28            439－（16＋39） 235＋43＋357＋65         165＋（627＋35）        68＋47＋32＋53 【答案】500；429；384； 700；827；200 【分析】观察算式可知，175＋225＝400，因此根据加法结合律进行简算即可； 根据减法的性质，将算式改写为569－（112＋28），然后先算小括号里面的加法，再算减法即可； 根据加法交换律交换39与16的位置，再根据减法的性质，将算式改写为439－39－16，最后从左往右依次计算即可； 观察算式可知，235＋65＝300，43＋357＝400，因此根据加法交换律交换43与65的位置，然后再根据加法结合律进行简算即可； 观察算式可知，165＋35＝200，因此根据加法交换律交换627与35的位置，再根据加法结合律进行简算即可； 观察算式可知，68＋32＝100，47＋53＝100，因此根据加法交换律交换47与32的位置，然后再根据加法结合律进行简算即可。 【详解】100＋175＋225 ＝100＋（175＋225） ＝100＋400 ＝500             569－112－28 ＝569－（112＋28） ＝569－140 ＝429             439－（16＋39） ＝439－（39＋16） ＝439－39－16 ＝400－16 ＝384 235＋43＋357＋65 ＝235＋65＋357＋43 ＝（235＋65）＋（357＋43） ＝300＋400 ＝700          165＋（627＋35） ＝165＋（35＋627） ＝（165＋35）＋627 ＝200＋627 ＝827         68＋47＋32＋53 ＝68＋32＋47＋53 ＝（68＋32）＋（47＋53） ＝100＋100 ＝200 【专项训练6】用简便方法计算。 67＋58＋42＋33    36×52＋48×36    79×101 【答案】200；3600；7979 【分析】67＋58＋42＋33根据加法交换律a＋b＝b＋a和加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）把算式改写成（67＋33）＋（58＋42），再进一步计算。 36×52＋48×36根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式改写成36×（52＋48），再进一步计算。 79×101根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c把算式改写成79×（100＋1）＝79×100＋79×1，再进一步计算。 【详解】67＋58＋42＋33 ＝（67＋33）＋（58＋42） ＝100＋100 ＝200 36×52＋48×36 ＝36×（52＋48） ＝36×100 ＝3600 79×101 ＝79×（100＋1） ＝79×100＋79×1 ＝7900＋79 ＝7979 【专项训练7】计算下面各题。 49999＋4999＋499＋49＋4 1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 【答案】55550 10000 【分析】（1）将49999看成50000－1，4999看成5000－1，499看成500－1，49成50－1；然后利用加法交换律，减法的性质，加法结合律进行计算； （2）将1998看成2000－2，1997看成2000－3，1996看成2000－4，1995看成2000－5，1994看成2000－6，再利用加法交换律，加法结合律，减法的性质进行简算。 【详解】（1）49999＋4999＋499＋49＋4 ＝（50000－1）＋（5000－1）＋（500－1）＋（50－1）＋4 ＝50000＋5000＋500＋50－1－1－1－1＋4 ＝（50000＋5000＋500＋50）－（1＋1＋1＋1）＋4 ＝55550－4＋4 ＝55550 （2）1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20 ＝（2000－2）＋（2000－3）＋（2000－4）＋（2000－5）＋（2000－6）＋20 ＝2000＋2000＋2000＋2000＋2000－2－3－4－5－6＋20 ＝（2000＋2000＋2000＋2000＋2000）－（2＋3＋4＋5＋6）＋20 ＝10000－20＋20 ＝10000 【专项训练8】用简便方法计算。（要求写出简算主要过程） 264＋85＋115＋136           368＋74－168＋126 128×173－173×29＋173           25×719×4 【答案】600；400 17300；71900 【分析】（1） 整数的加减法凑整，加法利用尾数互补凑整。利用加法交换律交换85和136的位置，264和136可以凑整，85和115可以凑整； （2）整数的加减法凑整，加法利用尾数互补凑整，减法利用尾数相凑整。利用利用加法交换律和结合律，带符号搬家规则交换＋74和－168的位置， 368－168可以凑整，74＋126可以凑整； （3）128×173－173×29＋173可以当作128×173－173×29＋173 ×1，根据乘法分配律，变原式为：进行简便计算； （4）乘法中利用凑整进行巧算，，利用乘法交换律，交换719和4的位置，先计算25乘4，再乘719。 【详解】（1） （2） （3） （4） 【专项训练9】怎样简便就怎样算。 248＋307＋152    103×15 38×17＋17×62    50×26×4 【答案】707；1545 1700；5200 【分析】（1）根据加法交换律，交换307和152的顺序，先计算248＋152更简便。 （2）根据乘法分配律，将103看成100＋3，将它们分别和15相乘再相加更简便。 （3）根据乘法分配律，先计算38＋62的和，再和17相乘更简便。 （4）根据乘法交换律，交换26和4的位置，先计算50×4更简便。 【详解】248＋307＋152 ＝248＋152＋307 ＝400＋307 ＝707 103×15 ＝（100＋3）×15 ＝100×15＋3×15 ＝1500＋45 ＝1545 38×17＋17×62 ＝（38＋62）×17 ＝100×17 ＝1700 50×26×4 ＝50×4×26 ＝200×26 ＝5200 【专项训练10】用简便方法计算。 247＋841＋153    45＋（155＋67）    199＋285 46＋78＋154＋122    56＋89＋111    362＋（38＋147） 【答案】1241；267；484 400；256；547 【分析】（1）根据加法交换律和结合律，式子可写为841＋（247＋153），然后再计算即可； （2）根据加法结合律，式子可写为（45＋155）＋67，然后再计算即可； （3）将199写成200－1，再计算即可； （4）根据加法交换律和结合律，式子可写为（46＋154）＋（78＋122），然后再计算即可； （5）根据加法结合律，式子可写为56＋（89＋111），然后再计算即可； （6）根据加法结合律，式子可写为（362＋38）＋147，然后再计算即可。 【详解】247＋841＋153 ＝841＋（247＋153） ＝841＋400 ＝1241 45＋（155＋67） ＝（45＋155）＋67 ＝200＋67 ＝267 199＋285 ＝200＋285－1 ＝485－1 ＝484 46＋78＋154＋122 ＝（46＋154）＋（78＋122） ＝200＋200 ＝400 56＋89＋111 ＝56＋（89＋111） ＝56＋200 ＝256 362＋（38＋147） ＝（362＋38）＋147 ＝400＋147 ＝547 题型04 乘法结合律 一、核心基础定义 三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，最终的积完全保持不变，这就是乘法结合律。用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)，其中a、b、c可以是任意整数、小数、分数。 通俗来说，连乘算式中可以通过添加小括号，把任意两个能凑整的数字优先分组计算，最终的乘积不会发生任何改变。 二、和乘法交换律的核心区别与搭配 二者搭配使用是连乘简便运算的万能组合拳，考试中90%的连乘简算题都会同时用到这两条定律： 乘法交换律：核心作用是‌换位置‌，调整乘数的前后排列顺序，把能凑整的数字放到一起。 乘法结合律：核心作用是‌打分组‌，通过添加小括号改变计算的先后顺序，让凑整的组合优先运算。 三、两大必考解题模型 教材覆盖的所有考试题型，都可以归为这两类标准化解题模型： ‌直接分组模型‌ 算式中后两个乘数的乘积刚好能凑成整十、整百、整千，不需要交换位置，直接用小括号把后两个数括起来优先计算。 ‌交换+结合混合模型‌ 多个数字连乘时，先通过乘法交换律调整数字顺序，把多组能凑整的数字两两配对，再用乘法结合律分别分组，一次性凑出多个整百数。 四、配套延伸除法性质 教材同步拓展了和乘法结合律配套的除法运算性质，是连除简便运算的核心依据： 一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个除数的乘积，用字母表示为a÷b÷c=a÷(b×c)。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：补全符合乘法结合律的等式，比如(42×4)×25=42×(__×25)，考察对结合律基础形式的掌握。 定律判断题型：判断给定等式是否正确运用了乘法结合律，区分结合律和交换律的不同作用。 简便运算题型：在多数字连乘、连除算式中，灵活运用乘法结合律和除法性质分组凑整，快速算出结果，是单元考试的必考题。 生活应用题：计算长方体的总小正方体数量、多箱饮料的总价格、多个书架的总藏书量等场景，用结合律简化连乘步骤。 定律辨析题型：判断一个连乘混合算式同时用到了哪些乘法运算律，明确交换律和结合律的不同作用。 六、高频易错点避坑 概念混淆：误以为乘法结合律就是随便加括号，忽略加括号的核心目的是凑整简化计算，乱加括号反而把运算变复杂。 范围误解：误以为除法也完全支持结合律，忽略除法的结合必须满足“连续除以两个数等于除以两个数的积”的特定规则，不能直接照搬乘法结合律的形式。 定律误判：把只用到乘法交换律的算式，错误判定为用到了乘法结合律，没有区分“换位置”和“改运算顺序”的本质区别。 分组无效：分组时没有选择能凑成整十整百的数字组合，比如强行把13和25分组，反而把原本简单的运算变得更复杂，失去简便运算的意义。 符号遗漏：运用除法性质去括号时，忘记括号内的乘号要变除号，导致最终计算结果完全错误。 【典例4】用简便方法计算。 15×7×2       25×18×4       50×17×4       （125×25）×（4×8） 【答案】210；1800；3400；100000 【分析】乘法交换律：两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变； 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 观察各个算式的特点，可以用乘法交换律和乘法结合律进行简便计算。 【详解】15×7×2 ＝（15×2）×7 ＝30×7 ＝210 25×18×4 ＝（25×4）×18 ＝100×18 ＝1800 50×17×4 ＝（50×4）×17 ＝200×17 ＝3400 （125×25）×（4×8） ＝（125×8）×（25×4） ＝1000×100 ＝100000 【专项训练1】用简便方法计算。 125×（9×8）        25×64×125 【答案】9000；200000 【分析】（1）根据乘法交换律和结合律，先算125×8，再乘9即可； （2）64＝8×8，根据乘法结合律，式子可写为：（25×8）×（8×125），然后计算。 【详解】125×（9×8） ＝125×（8×9） ＝（125×8）×9 ＝1000×9 ＝9000 25×64×125 ＝25×（8×8）×125 ＝（25×8）×（8×125） ＝200×1000 ＝200000 【专项训练2】用简便方法计算。 32×25        72×125×3 【答案】800；27000 【分析】（1）把32拆成8×4，根据乘法结合律，先算4×25，再乘8即可； （2）把72拆成9×8，根据乘法结合律，式子可写为；（9×3）×（8×125），据此计算。 【详解】32×25 ＝（8×4）×25 ＝8×（4×25） ＝8×100 ＝800 72×125×3 ＝（9×8）×125×3 ＝（9×3）×（8×125） ＝27×1000 ＝27000 【专项训练3】用简便方法计算。 125×64×8        72×25×4 【答案】64000；7200 【分析】125×64×8，此题运用乘法交换律，交换64与8的位置，即可简算； 72×25×4，此题运用乘法结合律，先计算（25×4）。 【详解】125×64×8 ＝125×8×64 ＝1000×64 ＝64000 72×25×4 ＝72×（25×4） ＝72×100 ＝7200 【专项训练4】用自己喜欢的方法巧算。 　　　　　　　　　 【答案】100000；36000 【分析】25×32×125先将32写成4×8的形式，即25×（4×8）×125，然后根据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c），将算式25×（4×8）×125变成（25×4）×（8×125），最后按照运算顺序计算即可； 75×96×5将96写成8×12的形式，即75×（8×12）×5，然后根据乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c），将算式75×（8×12）×5变成（75×8）×（12×5），最后按照运算顺序计算即可。 【详解】25×32×125 ＝25×（4×8）×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 75×96×5 ＝75×（8×12）×5 ＝（75×8）×（12×5） ＝600×60 ＝36000 【专项训练5】认真算一算，怎样简便就怎样算。 25×398×40     247×95＋247×5    [800－（317－285）]÷64 【答案】398000；24700；12 【分析】（1）根据乘法交换律进行计算。 （2）根据乘法分配律进行计算。 （3）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的减法，最后算除法。 【详解】25×398×40 ＝25×40×398 ＝1000×398 ＝398000 247×95＋247×5 ＝247×（95＋5） ＝247×100 ＝24700 [800－（317－285）]÷64 ＝[800－32]÷64 ＝768÷64 ＝12 【专项训练6】脱式计算。（能简算的要简算） 25×28    375＋319＋125－119    25×32×125 【答案】700；700；100000 【分析】25×28，先把28拆分成4×7，再根据乘法结合律进行简便计算； 375＋319＋125－119，根据加法交换律和结合律进行简便计算； 25×32×125，先把32拆分成4×8，再根据乘法结合律进行简便计算。 【详解】25×28 ＝25×4×7 ＝100×7 ＝700 375＋319＋125－119 ＝375＋125＋319－119 ＝（375＋125）＋（319－119） ＝500＋200 ＝700 25×32×125 ＝25×4×8×125 ＝（25×4）×（8×125） ＝100×1000 ＝100000 【专项训练7】用简便方法计算下面各题。 （1）120×9×5        （2）25×13×40         （3）20×（128×50）        （4）24×4×250×5 【答案】（1）5400；（2）13000；（3）128000；（4）120000 【分析】观察各题特点，可利用乘法交换律和结合律进行简便运算，优先将能凑成整十、整百、整千的数结合相乘； （1）优先计算120乘5，再计算乘9得出结果； （2）用乘法交换律优先计算25乘40，再计算乘13； （3）去括号优先计算20乘128，再计算乘50； （4）用乘法结合律计算，优先计算4乘250及24乘5，最后将两者相乘即可。 【详解】（1） （2） （3） （4） 【专项训练8】怎样简便就怎样算。 4×19×25    125×6×4    25×125×2×8 【答案】1900；3000；50000 【分析】第一题：根据乘法交换律，交换19和25的位置，先计算，再得出结果； 第二题：根据乘法交换律，交换6和4的位置，先计算，再得出结果； 第三题：根据乘法交换律和结合律，将25和2结合，125和8结合，据此计算即可。 【详解】 【专项训练9】能简便的用简便方法计算。 125×32×25                87×3－37×3                  34×2×5 105＋76＋95                35×21＋21×65                [497－（38－21）]÷8 【答案】100000；150；340     276；2100；60 【分析】将32看成8×4，再利用乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c），将算式变成（125×8）×（4×25）； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成（87－37）×3； 利用乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c），将算式变成34×（2×5）再计算； 利用加法交换律：a＋b＝b＋a，将算式变成105＋95＋76再计算； 利用乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c的逆运算，将算式变成（35＋65）×21； [497－（38－21）]÷8，先计算小括号内减法，再计算中括号内减法，最后计算括号外除法。 【详解】125×32×25 ＝125×（8×4）×25 ＝（125×8）×（4×25） ＝1000×100 ＝100000 87×3－37×3 ＝（87－37）×3 ＝50×3 ＝150 34×2×5 ＝34×（2×5） ＝34×10 ＝340 105＋76＋95 ＝105＋95＋76 ＝200＋76 ＝276 35×21＋21×65 ＝（35＋65）×21 ＝100×21 ＝2100 [497－（38－21）]÷8 ＝[497－17]÷8 ＝480÷8 ＝60 【专项训练10】怎样简便就怎样算。 58×27＋27×42    98×25 25×125×32    19×111＋999×9 【答案】2700；2450； 100000；11100 【分析】（1）根据乘法分配律的逆运算，将算式变为（58＋42）×27，先计算括号里的加法，再乘27即可。 （2）将98拆分成100与2的差，将算式变为（100－2）×25，根据乘法分配律，将算式变为100×25－2×25，先计算乘法，最后将两个乘积相减即可。 （3）将32拆分成4与8的乘积，将算式变为25×125×4×8，根据乘法结合律和交换律，将算式变为（25×4）×（125×8），先计算括号里的乘法，再将两个乘积相乘即可。 （4）先把999写成111×9，将算式变为19×111＋111×9×9，根据乘法分配律的逆运算，将算式变为111×（19＋9×9），先计算括号里的乘法，再加上19，最后再用括号里的结果乘111即可。 【详解】（1）58×27＋27×42 ＝（58＋42）×27 ＝100×27 ＝2700 （2）98×25 ＝（100－2）×25 ＝100×25－2×25 ＝2500－50 ＝2450 （3）25×125×32 ＝25×125×4×8 ＝（25×4）×（125×8） ＝100×1000 ＝100000 （4）19×111＋999×9 ＝19×111＋111×9×9 ＝111×（19＋9×9） ＝111×（19＋81） ＝111×100 ＝11100 题型05 乘法分配律 一、核心基础定义 教材通过“贴瓷砖”的真实生活场景引入，从底层逻辑验证规律的合理性：两面墙的瓷砖总数量，既可以按“白色瓷砖+灰色瓷砖”分开计算求和，也可以按“每排总块数×总排数”合并计算，两种方法得到的总数量完全相等。 标准加法形式：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个乘积相加，结果完全不变。用字母表示为(a+b)×c=a×c+b×c 。 拓展减法形式：两个数的差与一个数相乘，可以把被减数和减数分别与这个数相乘，再把两个乘积相减，结果完全不变。用字母表示为(a−b)×c=a×c−b×c 。 二、两大核心应用方向 乘法分配律是所有运算律中唯一同时覆盖两级运算的定律，既可以正向展开，也可以反向合并，适配几乎所有复杂简便运算场景： ‌正向展开（拆括号）‌ 当括号内的两个数分别和括号外的数字相乘，都能得到整十、整百、整千的凑整结果时，把括号外的数字分别乘括号内的每一个数，再把乘积相加/相减，完全避开先算括号内复杂加减的步骤。 ‌反向合并（提取公因数）‌ 当多个乘法项中存在完全相同的公因数时，把这个公共的数字提取出来，剩余的不同数字用括号括起来先相加/相减，凑出整十、整百的结果后再和公因数相乘。 三、三类必考特殊题型 教材配套的高频培优题型，是单元考试的拉分考点，全部依托乘法分配律的变形技巧实现： ‌凑整拆数题型‌：遇到接近整十、整百的乘数时，把它拆成整十/整百数和一个小数字的和或差，再用乘法分配律展开计算。 ‌隐形公因数题型‌：算式中没有直接写出公因数，需要把单独的数字补成“数字×1”的形式，构造出公因数后再提取。 ‌反向凑差题型‌：两个数的差乘一个数，展开后两个乘积刚好能凑整。 四、和乘法结合律的核心区别 很多同学考试丢分，就是混淆了这两条定律的适用场景，二者的边界非常清晰： 乘法结合律：只适用于全是乘法的连乘算式，核心是通过分组改变运算顺序，所有数字之间只有乘号。 乘法分配律：算式中必须同时出现乘号和加号/减号，核心是实现“乘法对加法/减法的分配”，是两级混合运算的专属简便工具。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：补全符合乘法分配律的等式，考察对分配律基础形式的掌握。 定律判断题型：判断给定等式是否正确运用了乘法分配律，区分分配律和其他运算律的不同作用。 生活应用题：计算合唱队买服装的总费用、水果的总销售额等场景，用分配律简化求和步骤，比如(46+54)×28快速算出28套服装的总花费 。 简便运算题型：覆盖正向展开、反向提取、凑整拆数等所有变形场景，是单元考试的必考题，占比超过60%。 定律辨析题型：判断一个混合算式同时用到了哪些运算律，明确分配律和交换律、结合律的不同作用。 六、高频易错点避坑 漏乘数字：正向展开带括号的算式时，括号外的数字只乘括号内的第一个数，忘记乘括号内的第二个数，导致结果直接偏差，这是本部分最常见的错误。 定律混淆：把乘法分配律和乘法结合律搞混，在全是乘法的连乘算式里强行套用分配律，运算步骤完全错误。 符号错误：用减法形式的分配律展开时，括号内的减号展开后忘记同步作用到第二个乘积，导致符号出错结果偏差。 提取无效：反向提取公因数时，剩余部分的数字计算错误，没有凑出整十整百的结果，失去简便运算的意义。 概念误解：误以为乘法分配律只能用于两个数的和乘一个数，实际上多个数的和/差乘一个数，依然可以把所有数字分别乘这个数，再把乘积对应相加/相减。 【典例5】计算下列各题。           2004×25               125×792 【答案】6000；2400； 50100；99000 【分析】（1）把125分别乘括号里的40和8，然后先分别算乘法，最后算加法； （2）把25分别乘括号里的100和4，然后先分别算乘法，最后算减法： （3）把2004拆成2000＋4，即（2000＋4）×25，然后括号里的数分别与25相乘，即2000×25＋4×25，先分别算乘法，最后算加法； （4）把792拆成800－8，即125×（800－8），然后括号里的数分别与125相乘，即125×800－125×8，先分别算乘法，最后算减法。 【详解】（1）125×（40＋8） ＝125×40＋125×8 ＝5000＋1000 ＝6000 （2）（100－4）×25 ＝100×25－4×25 ＝2500－100 ＝2400 （3）2004×25 ＝（2000＋4）×25 ＝2000×25＋4×25 ＝50000＋100 ＝50100 （4）125×792 ＝125×（800－8） ＝125×800－125×8 ＝100000－1000 ＝99000 【专项训练1】计算下面各题，能简算的要简算。 686－225－175    193×38－28×193    125×32 【答案】286；1930；4000 【分析】（1）用减法的性质：一个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个数的和。进行简便计算。 （2）用乘法分配律：两个数分别和同一个数相乘再相减，可以先把两个数相减，再乘这个相同的数。 进行简便计算。 （3）把32拆成8×4，根据乘法结合律进行简便计算。 【详解】686－225－175 ＝686－（225＋175） ＝686－400 ＝286 193×38－28×193 ＝193×（38－28） ＝193×10 ＝1930 125×32 ＝125×8×4 ＝1000×4 ＝4000 【专项训练2】用简便方法计算。 （25＋7）×4    110×（9＋2）    （125＋7）×8    69×48＋48×31 【答案】128；1210；1056；4800 【分析】（25＋7）×4、110×（9＋2）、（125＋7）×8，运用乘法分配律计算； 69×48＋48×31，逆用乘法分配律计算。 乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 【详解】（25＋7）×4 ＝25×4＋7×4 ＝100＋28 ＝128 110×（9＋2） ＝110×9＋110×2 ＝990＋220 ＝1210 （125＋7）×8 ＝125×8＋7×8 ＝1000＋56 ＝1056 69×48＋48×31 ＝48×（69＋31） ＝48×100 ＝4800 【专项训练3】用简便方法计算。 303×21    25×（32×4）    321－75－25    22×131－31×22 【答案】6363；3200；221；2200 【分析】（1）把303转化为300＋3，再根据乘法分配律进行简便运算； （2）根据乘法交换律和结合律，把算式转化为，再从左往右计算； （3）根据减法的性质，把算式转化为进行简便运算； （4）根据乘法分配律的逆运算，进行简便运算。 【详解】 25×（32×4） ＝25×4×32 ＝100×32 ＝3200 321－75－25 ＝321－（75＋25） ＝321－100 ＝221 22×131－31×22 ＝22×（131－31） ＝22×100 ＝2200 【专项训练4】简便计算。 17×25×4         12×63－12×53       101×34 【答案】 1700；120；3434 【分析】（1）17×25×4：观察到25和4相乘得整百数，运用乘法结合律，先算25×4； （2）12×63－12×53：观察到两个乘法算式都有公因数 12，运用乘法分配律的逆运算，提取公因数12，先算（63－53）； （3）101×34：观察到101接近整百数，把101写成100＋1，运用乘法分配律进行简算。 【详解】（1）17×25×4 ＝17×（25×4） ＝17×100 ＝1700 （2）12×63－12×53 ＝12×（63－53） ＝12×10 ＝120 （3）101×34 ＝（100＋1）×34 ＝100×34＋1×34 ＝3400＋34 ＝3434 【专项训练5】用简便方法计算。 401×267        128×101 【答案】107067；12928 【分析】401×267，此题可以运用乘法分配律，将401看成（400＋1）来进行简算； 128×101，此题可以运用乘法分配律，将101看成（100＋1）来进行简算。 【详解】401×267 ＝（400＋1）×267 ＝400×267＋1×267 ＝106800＋267 ＝107067 128×101 ＝128×（100＋1） ＝128×100＋128×1 ＝12800＋128 ＝12928 【专项训练6】怎样算简便就怎样算。 8×75－8×25                748＋39＋61                4×68×25 【答案】 400；848；6800 【分析】（1）观察算式发现两个乘法算式中都有相同的因数8，利用乘法分配律进行简算. （2）观察发现39和61相加能凑成整百数，利用加法结合律先算后两个数的和. （3）观察发现4和25相乘能凑成整百数，利用乘法交换律交换68和25的位置，再先算前两个数的积。 【详解】 【专项训练7】认真算一算，怎样简便就怎样算。 8×（125＋30）    50×398×2    [1000－（48＋16）]÷12 【答案】 1240；39800；78 【分析】利用乘法分配律简便计算； 利用乘法交换律交换后两个数的位置，再从左往右计算即可； 按照四则运算顺序，先算小括号，再算中括号，最后算括号外面的除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【专项训练8】计算下面各题，能简算的要简算。 72×55＋45×72          25×37×2×4          340－240÷20×5 【答案】7200；7400；280 【分析】第一题用乘法分配律提取公因数72进行简算； 第二题用乘法交换律和结合律，将25和4、37和2分别结合凑整计算； 第三题按四则混合运算顺序，先算除法再算乘法最后算减法。 【详解】72×55＋45×72 ＝72×（55＋45） ＝72×100 ＝7200 25×37×2×4 ＝（25×4）×（37×2） ＝100×74 ＝7400 340-240÷20×5 ＝340-12×5 ＝340-60 ＝280 【专项训练9】脱式计算，能简算的要简算。 125×23×8          34×72＋72×66         [12×（42－27）]÷36 【答案】 23000；7200；5 【分析】（1）利用乘法交换律进行简便计算； （2）利用乘法分配律的逆运算提取公因数 72 进行简算； （3）按照四则混合运算顺序，先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算括号外的除法。 【详解】（1）125×23×8 ＝125×8×23 ＝1000×23 ＝23000 （2）34×72＋72×66 ＝72×（34＋66） ＝72×100 ＝7200 （3）[12×（42－27）]÷36 ＝[12×15]÷36 ＝180÷36 ＝5 【专项训练10】脱式计算，能简算的要合理简算。 53×88＋88×47        39×102－78        25×126×4        522÷[（101－95）×3] 【答案】8800；3900；12600；29 【分析】（1）根据乘法分配律：a×c＋b×c＝（a＋b）×c，进行简算； （2）78＝39×2，39×102－39×2，根据乘法分配律进行简算即可； （3）根据乘法交换律进行简算，126和4交换位置进行简算； （4）先算小括号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法。 【详解】53×88＋88×47 ＝（53＋47）×88 ＝100×88 ＝8800 39×102－78 ＝39×102－39×2 ＝39×（102－2） ＝39×100 ＝3900 25×126×4 ＝25×4×126 ＝100×126 ＝12600 522÷[（101－95）×3] ＝522÷[6×3] ＝522÷18 ＝29 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02运算律（计算专项讲义) 题型01带有括号的运算律 题型02加法交换律和乘法交换律 题型03加法结合律 题型04乘法结合律 题型05乘法分配律 题型01带有括号的运算律 知识积累 核心运算优先级规则 教材明确了带多层括号的标准化运算顺序，是所有计算的底层依据： 基础优先级：没有括号的常规算式，先算乘除、后算加减：如果加号或减号两侧同时有乘除运 算，两侧的乘除可以同步计算，提升运算效率。 小括号规则：算式里有小括号时，必须先算小括号内部的所有运算，再计算小括号外部的部分。 中括号规则：算式里同时存在小括号和中括号时，严格按照「先算小括号里面的→再算中括号 里面的→最后算中括号外面的」顺序运算，括号内部依然遵循先乘除后加减的规则。 二、带括号的简便运算核心技巧 依托五大基础运算律，结合括号的规则，可以大幅简化复杂算式的计算步骤： 去括号变号规则 括号前是加号/乘号时，去掉括号后括号内的运算符号不需要改变。 第1页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 括号前是减号/除号时，去掉括号后括号内的加号要变减号、减号要变加号，乘号要变除号、除 号要变乘号。 乘法分配律带括号展开 把括号外的数字分别乘括号内的每一个数字，再把乘积相加/相减，避免先算括号内的复杂加减 运算。 反向提取公因数带括号 把多个乘法项中共同添加小括号、中括号让等式成立，的公因数提取出来，剩余部分用括号括起 来先相加/相减凑整。 三、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 常规脱式计算：包含小括号、中括号的多层混合运算，严格按优先级分步计算，是单元考试的必 考题。 括号添改题型：给定固定数字和运算符号，通过锻炼逻辑推理能力。 简便运算题型：结合去括号变号、乘法分配律等技巧，对带括号的复杂算式进行凑整简算，大幅 降低计算出错概率。 生活应用题：列带括号的综合算式解决实际问题，比如先算总人数差、再算平均分配的数量，用 括号明确运算顺序，避免分步列式的繁琐。 纠错改错题：找出带括号混合运算中运算顺序错误的步骤，重新按正确规则计算，强化优先级规 则的记忆。 四、高频易错点避坑 顺序颠倒：同时有小括号和中括号时，错误先算中括号内部，再算小括号内部，完全颠倒多层括 号的运算优先级。 第2页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 去括号忘变号：括号前是减号或除号时，去掉括号后括号内的运算符号没有同步变号，导致结果 完全错误，这是本部分最常见的错误。 分配律漏乘：用乘法分配律展开带括号的算式时，括号外的数字只乘括号内的第一个数，忘记乘 括号内的第二个数，导致结果偏差。 括号内跳步：小括号内部的运算没有按“先乘除后加减”的规则计算，直接从左往右硬算，导致 括号内的中间结果出错。 典型例题●》》 【典例1】计算下面各题。 (126+49)÷5 33×(86-54) 58+12×14 专项训练●》】 【专项训练1】计算下面各题。 (337+194)÷9576:(2×3)756:2÷3 【专项训练2】脱式计算。 436-(118+24) 5×(81÷9) 87×5+13×5 【专项训练3】脱式计算。 63÷（44-37) (593-238)×5164×(80-75) (82-78)×705 280+40÷5125-29×3 【专项训练4】用递等式计算下面各题。 85-（17+240÷80) 9×[160÷(28-20)] 【专项训练5】脱式计算。 (1)56×25-720÷24(2)(587-135+15)×13(3)[630-(160+110)]÷15 第3页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【专项训练6】脱式计算。 960÷(42-34) (216+432)÷9 800÷(42÷7） 【专项训练7】计算下面各题。 45×(135+90:18) 960÷[(172-148)×5] 【专项训练8】脱式计算。 72÷(72-68) 27×(112÷8) (546-210)÷6 230-246÷6 【专项训练9】脱式计算。 408÷(32÷8)107×(15+56)310-280÷7 【专项训练10】递等式计算。 (387+373)÷4 296:(2×4) 题型02加法交换律和乘法交换律 知识积累 核心基础定义 加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，最终的和完全不变。用字母表示为 a+b=b什a,其中a和b可以是任意整数、小数、分数。 乘法交换律：两个数相乘，交换两个乘数的位置，最终的积完全不变。用字母表示为 axb=bxa,其中a和b可以是任意整数、小数、分数。 二者核心异同点：相同点是都只交换参与运算的数的位置，最终运算结果完全不变；不同点是 个针对加法运算生效，一个针对乘法运算生效。 第4页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、 教材经典验证场景 北师大版教材通过贴近生活的真实案例，从底层逻辑验证两个交换律的合理性，避免死记硬背公 式： 加法交换律场景：从学校走到电影院的距离是350米+420米，反过来从电影院走回学校的距离 是420米+350米，两段路程完全相等，直接验证350+420=420+350成立。 乘法交换律场景：横着数椅子，每排6把共5排，总数是6×5：竖着数椅子，每列5把共6列， 总数是5×6，两种数法得到的椅子总数量完全一致，直接验证6×5=5×6成立。 三、三大核心实用功能 这两个交换律不是单纯的概念考点，而是能直接提升计算效率和准确率的实用工具： 凑整简便运算：在连加、连乘的同级运算中，把能凑成整十、整百、整千的数字通过交换位置放 到一起优先计算，大幅降低运算难度。 标准验算方法：加法竖式计算完成后，交换两个加数的位置重新计算，两次结果一致就能确认加 法计算正确：乘法竖式计算完成后，交换两个乘数的位置重新列竖式计算，两次结果一致就能确 认乘法计算正确，这是教材要求掌握的标准化验算手段。 多数字连算提速：多个数字连加或连乘时，不需要死板从左往右硬算，通过交换位置两两凑整， 大幅减少进位出错的概率。 四、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：直接补全交换律的等式，考察对交换律基础形式的掌握。 等式说明题型：结合生活场景解释等式为什么成立，比如说明16+12=12+16对应的牛的总数场 景、20×6=6×20对应的珠子总数场景，考察对规律底层逻辑的理解。 第5页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 验算实操题型：计算多位数加法、两位数乘法，并用交换律交换位置重新计算完成验算，是单元 考试的必考题。 简便运算题型：在连加、连乘算式中，灵活运用交换律调整运算顺序凑整，快速算出结果。 规律判断题型：判断给出的等式是否符合交换律，区分加法、乘法交换律和减法、除法的区别。 五、高频易错点避坑 范围混淆：误以为减法和除法也满足交换律，比如错误认为10-5=5-10、10-2=2÷10成立，实 际上只有加法和乘法支持交换数的位置结果不变，减法和除法完全不支持。 概念误解：误以为交换律只能用于两个数的运算，实际上多个数连加、连乘时，任意交换其中任 意两个数的位置，最终的和或积依然保持不变。 验算形式化：验算加法和乘法时，只是在原式上重新描一遍数字，没有真正交换两个数的位置重 新计算，完全起不到验算纠错的作用。 凑整无效：交换数字位置时，没有优先选择能凑成整十整百的组合，反而把原本简单的运算变得 更复杂，失去简便运算的意义。 符号遗漏：用字母表示交换律时，漏掉乘号，错误把a×b-b×a写成ab=ba,不符合四年级阶段 的书写规范。 典型例题 【典例2】用简便方法计算下面各题。 226×44+74×44 25×64×40 102×49 413+178+322+287 专项训练。》 【专项训练1】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 第6页共19页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 725+267+433+375 64×125×25 6800÷25÷4 154×98+154×2 【专项训练2】用简便方法计算。 61+412+39+388740-29749×199+49 2700÷45125×88(123+64)×25+(177+36)×25 【专项训练3】下面的题怎样算简便就怎样算。 399+87489-175-25172+363+128 【专项训练4】下面的题怎样算简便就怎样算。 452+362+48761-199957-561-39 【专项训练5】观察下面算式的特点，用自己喜欢的方法计算。 253+886+147 25×69×4 125×88 【专项训练6】下面各题怎样简便就怎样算。 25×38×4 32×78+68×78 57×101-57 540÷15÷6 【专项训练7】用简便方法计算。 125×88 99×36+36 25×34×4 630÷45 【专项训练8】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 518-184-116 40×76×25 99×99+99 【专项训练9】用简便方法计算。 86×99+86197×74-97×74 第7页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 125×94×8875+196+125+10+1 【专项训练10】计算下面各题，并应用乘法交换律进行验算。 78×46 65×3927×94 题型03加法结合律 知识积累 核心基础定义 三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，最终 的和完全保持不变，这就是加法结合律。用字母表示为（叶b)十c=+(b+c),其中a、b、c可以是 任意整数、小数、分数。 通俗来说，连加算式中可以通过添加小括号，把任意两个能凑整的数字优先分组计算，最终的总 和不会发生任何改变。 二、和加法交换律的核心区别与搭配 很多同学考试丢分，就是分不清两条定律的作用边界，二者搭配使用是简便运算的万能组合拳： 加法交换律：核心作用是换位置，调整数字的前后排列顺序，把能凑整的数字放到一起。 加法结合律：核心作用是打分组，通过添加小括号改变计算的先后顺序，让凑整的组合优先运 算。 三、两大必考解题模型 教材覆盖的所有考试题型，都可以归为这两类标准化解题模型： 直接分组模型 算式中后两个加数的末尾数字刚好互补，能直接凑成整十、整百、整千，不需要交换位置，直接 第8页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 用小括号把后两个数括起来优先计算。 交换+结合混合棋型 多个数字连加时，先通过加法交换律调整数字顺序，把多组能凑整的数字两两配对，再用加法结 合律分别分组，一次性凑出多个整百数。 四、配套延伸减法性质 教材同步拓展了和加法结合律配套的减法运算性质，是减法简便运算的核心依据： 个数连续减去两个数，等于这个数减去这两个减数的和，用字母表示为-b-c=-(b叶c)。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：补全符合加法结合律的等式，比如160+(39+40)=(160+)+39，考察对结合律基 础形式的掌握。 定律判断题型：判断给定等式是否正确运用了加法结合律，区分结合律和交换律的不同作用。 简便运算题型：在多数字连加、连减算式中，灵活运用加法结合律和减法性质分组凑整，快速算 出结果，是单元考试的必考题。 生活应用题：计算多个班级的总人数、多件商品的总价、多段路程的总长度等场景，用结合律简 化求和步骤。 定律辨析题型：判断一个混合算式同时用到了哪些加法运算律，明确交换律和结合律的不同作 用。 六、高频易错点避坑 概念混淆：误以为加法结合律就是随便加括号，忽略加括号的核心目的是凑整简化计算，乱加括 号反而把运算变复杂。 第9页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 范围误解：误以为减法也完全支持结合律，忽略减法的结合必须满足“连续减两个数等于减两个 数的和”的特定规则，不能直接照搬加法结合律的形式。 定律误判：把只用到加法交换律的算式，错误判定为用到了加法结合律，没有区分“换位 置”和“改运算顺序”的本质区别。 分组无效：分组时没有选择能凑成整十整百的数字组合，反而把原本简单的运算变得更复杂，失 去简便运算的意义。 符号遗漏：运用减法性质去括号时，忘记括号内的加号要变减号，导致最终计算结果完全错误。 典型例题 》 【典例3】计算。 1+4+7+10+13+16+19+22+25 21+22+23+.+39+40 专项训练●》】 【专项训练1】用简便方法计算。 262+375+138 782-143-257 398+254 456-198 【专项训练2】脱式计算，能简算的要简算。 50-6.25-3.75199×34126×8+74×8 【专项训练3】选择最适合自己的方法，写出递等式计算的过程。 (517+26)+(83+74) 573-(173+68) 222+333+555 【专项训练4】用简便方法计算。 59+(269+41) 102×54 347-(47+68) 16×247-16×47 第10页共19页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【专项训练5】怎样算简便就怎样算。 100+175+225 569-112-28 439-(16+39) 235+43+357+65 165+(627+35) 68+47+32+53 【专项训练6】用简便方法计算。 67+58+42+3336×52+48×3679×101 【专项训练7】计算下面各题。 49999+4999+499+49+4 1998+1997+1996+1995+1994+20 【专项训练8】用简便方法计算。（要求写出简算主要过程） 264+85+115+136 368+74-168+126 128×173-173×29+173 25×719×4 【专项训练9】怎样简便就怎样算。 248+307+152103×15 38×17+17×6250×26×4 【专项训练10】用简便方法计算。 247+841+15345+(155+67)199+285 46+78+154+12256+89+111362+(38+147) 题型04乘法结合律 第11页共19页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识积累 核心基础定义 三个数相乘，先把前两个数相乘，再同第三个数相乘：或者先把后两个数相乘，再同第一个数相 乘，最终的积完全保持不变，这就是乘法结合律。用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c),其中a、b、c 可以是任意整数、小数、分数。 通俗来说，连乘算式中可以通过添加小括号，把任意两个能凑整的数字优先分组计算，最终的乘 积不会发生任何改变。 二、和乘法交换律的核心区别与搭配 二者搭配使用是连乘简便运算的万能组合拳，考试中90%的连乘简算题都会同时用到这两条定 律： 乘法交换律：核心作用是换位置，调整乘数的前后排列顺序，把能凑整的数字放到一起。 乘法结合律：核心作用是打分组，通过添加小括号改变计算的先后顺序，让凑整的组合优先运 算。 三、两大必考解题模型 教材覆盖的所有考试题型，都可以归为这两类标准化解题模型： 直接分组模型 算式中后两个乘数的乘积刚好能凑成整十、整百、整千，不需要交换位置，直接用小括号把后两 个数括起来优先计算。 交换+结合混合棋型 多个数字连乘时，先通过乘法交换律调整数字顺序，把多组能凑整的数字两两配对，再用乘法结 合律分别分组，一次性凑出多个整百数。 第12页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四、配套延伸除法性质 教材同步拓展了和乘法结合律配套的除法运算性质，是连除简便运算的核心依据： 个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个除数的乘积，用字母表示为b:c=忙(b×c)。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：补全符合乘法结合律的等式，比如(42×4)×25=42×(×25)，考察对结合律基础 形式的掌握。 定律判断题型：判断给定等式是否正确运用了乘法结合律，区分结合律和交换律的不同作用。 简便运算题型：在多数字连乘、连除算式中，灵活运用乘法结合律和除法性质分组凑整，快速算 出结果，是单元考试的必考题。 生活应用题：计算长方体的总小正方体数量、多箱饮料的总价格、多个书架的总藏书量等场景， 用结合律简化连乘步骤。 定律辨析题型：判断一个连乘混合算式同时用到了哪些乘法运算律，明确交换律和结合律的不同 作用。 六、高频易错点避坑 概念混淆：误以为乘法结合律就是随便加括号，忽略加括号的核心目的是凑整简化计算，乱加括 号反而把运算变复杂。 范围误解：误以为除法也完全支持结合律，忽略除法的结合必须满足“连续除以两个数等于除以 两个数的积”的特定规则，不能直接照搬乘法结合律的形式。 定律误判：把只用到乘法交换律的算式，错误判定为用到了乘法结合律，没有区分“换位 置”和“改运算顺序”的本质区别。 第13页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分组无效：分组时没有选择能凑成整十整百的数字组合，比如强行把13和25分组，反而把原本 简单的运算变得更复杂，失去简便运算的意义。 符号遗漏：运用除法性质去括号时，忘记括号内的乘号要变除号，导致最终计算结果完全错误。 典型例题 》 【典例4】用简便方法计算。 15×7×2 25×18×4 50×17×4 (125×25)×(4×8) 专项训练●》》 【专项训练1】用简便方法计算。 125×(9×8) 25×64×125 【专项训练2】用简便方法计算。 32×25 72×125×3 【专项训练3】用简便方法计算。 125×64×8 72×25×4 【专项训练4】用自己喜欢的方法巧算。 25×32×125 75×96×5 【专项训练5】认真算一算，怎样简便就怎样算。 25×398×40 247×95+247×5[800-(317-285)]÷64 【专项训练6】脱式计算。（能简算的要简算） 25×28375+319+125-11925×32×125 第14页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【专项训练7】用简便方法计算下面各题。 (1)120×9×5 (2)25×13×40 (3)20×(128×50) (4)24×4×250×5 【专项训练8】怎样简便就怎样算。 4×19×25125×6×425×125×2×8 【专项训练9】能简便的用简便方法计算。 125×32×25 87×3-37×3 34×2×5 105+76+95 35×21+21×65 [497-(38-21)]÷8 【专项训练10】怎样简便就怎样算。 58×27+27×4298×25 25×125×3219×111+999×9 题型05乘法分配律 知识积累 、 核心基础定义 教材通过“贴瓷砖”的真实生活场景引入，从底层逻辑验证规律的合理性：两面墙的瓷砖总数 量，既可以按“白色瓷砖+灰色瓷砖”分开计算求和，也可以按“每排总块数×总排数”合并计 算，两种方法得到的总数量完全相等。 标准加法形式：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个乘积相 加，结果完全不变。用字母表示为（叶b)×c=a×c+b×c。 第15页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展减法形式：两个数的差与一个数相乘，可以把被减数和减数分别与这个数相乘，再把两个乘 积相减，结果完全不变。用字母表示为(a-b)×c=a×c-b×c。 二、两大核心应用方向 乘法分配律是所有运算律中唯一同时覆盖两级运算的定律，既可以正向展开，也可以反向合并， 适配几乎所有复杂简便运算场景： 正向展开（拆括号） 当括号内的两个数分别和括号外的数字相乘，都能得到整十、整百、整千的凑整结果时，把括号 外的数字分别乘括号内的每一个数，再把乘积相加/相减，完全避开先算括号内复杂加减的步 骤。 反向合并（提取公因数） 当多个乘法项中存在完全相同的公因数时，把这个公共的数字提取出来，剩余的不同数字用括号 括起来先相加/相减，凑出整十、整百的结果后再和公因数相乘。 三、三类必考特殊题型 教材配套的高频培优题型，是单元考试的拉分考点，全部依托乘法分配律的变形技巧实现： 凑整拆数题型：遇到接近整十、整百的乘数时，把它拆成整十整百数和一个小数字的和或差， 再用乘法分配律展开计算。 隐形公因数题型：算式中没有直接写出公因数，需要把单独的数字补成“数字×1的形式，构造 出公因数后再提取。 反向凑差题型：两个数的差乘一个数，展开后两个乘积刚好能凑整。 四、和乘法结合律的核心区别 很多同学考试丢分，就是混淆了这两条定律的适用场景，二者的边界非常清晰： 第16页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 乘法结合律：只适用于全是乘法的连乘算式，核心是通过分组改变运算顺序，所有数字之间只有 乘号。 乘法分配律：算式中必须同时出现乘号和加号/减号，核心是实现“乘法对加法减法的分配”， 是两级混合运算的专属简便工具。 五、核心应用题型 教材覆盖的高频考试题型，全部依托上述规则展开： 基础填空题型：补全符合乘法分配律的等式，考察对分配律基础形式的掌握。 定律判断题型：判断给定等式是否正确运用了乘法分配律，区分分配律和其他运算律的不同作 用。 生活应用题：计算合唱队买服装的总费用、水果的总销售额等场景，用分配律简化求和步骤，比 如(46+54)×28快速算出28套服装的总花费。 简便运算题型：覆盖正向展开、反向提取、凑整拆数等所有变形场景，是单元考试的必考题，占 比超过60%。 定律辨析题型：判断一个混合算式同时用到了哪些运算律，明确分配律和交换律、结合律的不同 作用。 六、高频易错点避坑 漏乘数字：正向展开带括号的算式时，括号外的数字只乘括号内的第一个数，忘记乘括号内的第 二个数，导致结果直接偏差，这是本部分最常见的错误。 定律混淆：把乘法分配律和乘法结合律搞混，在全是乘法的连乘算式里强行套用分配律，运算步 骤完全错误。 第17页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 符号错误：用减法形式的分配律展开时，括号内的减号展开后忘记同步作用到第二个乘积，导致 符号出错结果偏差。 提取无效：反向提取公因数时，剩余部分的数字计算错误，没有凑出整十整百的结果，失去简便 运算的意义。 概念误解：误以为乘法分配律只能用于两个数的和乘一个数，实际上多个数的和/差乘一个数， 依然可以把所有数字分别乘这个数，再把乘积对应相加/相减。 典型例题 ●》 【典例5】计算下列各题。 125×(40+8) (100-4)×25 2004×25 125×792 专项训练一》> 【专项训练1】计算下面各题，能简算的要简算。 686-225-175193×38-28×193125×32 【专项训练2】用简便方法计算。 (25+7)×4110×(9+2)′（125+7)×869×48+48×31 【专项训练3】用简便方法计算。 303×2125×(32×4)321-75-2522×131-31×22 【专项训练4】简便计算。 17×25×4 12×63-12×53 101×34 【专项训练5】用简便方法计算。 401×267 128×101 第18页共19页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【专项训练6】怎样算简便就怎样算。 8×75-8×25 748+39+61 4×68×25 【专项训练】认真算一算，怎样简便就怎样算。 8×(125+30)50×398×2[1000-(48+16)]:12 【专项训练8】计算下面各题，能简算的要简算。 72×55+45×72 25×37×2×4 340-240÷20×5 【专项训练9】脱式计算，能简算的要简算。 125×23×8 34×72+72×66 [12×(42-27)÷36 【专项训练10】脱式计算，能简算的要合理简算。 53×88+88×47 39×102-78 25×126×4 522÷[(101-95)×3] 第19页共19页