第53讲 专题：带电粒子在叠加场和组合场中的运动（复习讲义）（北京专用）2027年高考物理一轮复习讲练测

第53讲 专题：带电粒子在叠加场和组合场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动 重 【思维建模】带电粒子在叠加场中的直线运动的规律 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 重 【思维建模】带电粒子在叠加场中的圆周运动的规律 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 重 考点二 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中的运动 考向1 电场与磁场的组合 重 【思维建模】带电粒子在电场与磁场的组合场中运动的常见情境 考向2 磁场与磁场的组合 【思维建模】带电粒子在磁场与磁场的组合场中运动的分析技巧 考点三 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 考向1 交变电场与磁场结合 考向2 交变磁场与电场结合 考点四 带电粒子在三维空间中的运动 知识点1 带电粒子在三维空间中的运动 考向1 带电粒子的螺旋线运动 考向2 带电粒子在立体空间中的偏转 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 带电粒子在叠加场中的运动 —— —— —— 带电粒子在组合场中的运动 北京，T19 —— 北京，T21 带电粒子在交变电磁场中的运动 —— —— —— 带电粒子在三维空间中的运动 —— —— —— 考情分析 题型与考向：题型多以选择题、计算题的形式出现，通常情况下难度较大，会以科技装置、粒子加速器等实例作为试题背景，考查对电场力、洛伦兹力的分析，粒子在组合场、叠加场中分阶段运动的轨迹分析，以及利用牛顿定律、圆周运动规律求解粒子运动半径、周期、偏转角等物理量。 情境与立意： 1.生活实践类：速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等。 2.学习探究类：带电粒子在组合场、叠加场及立体空间中的运动。 复习目标 1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律。 2.掌握带电粒子在叠加场中的运动规律。 3.会分析带电粒子在交变电、磁场中的运动问题。 4.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和在叠加场中的旋进运动。 5.掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 知●识●解●构 1.叠加场 在同一区域电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G=mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F=qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W=qU 静电力做功改变电势能 磁场 大小：F=qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 3.关于是否考虑粒子重力的三种情况 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 （2）在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 （3）不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 4.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 其他力的合力与洛伦兹力等大反向 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，其他力的合力为零 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 5.带电粒子在叠加场中运动的分析方法 考●向●破●译 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动 【重】 例1 (2026·北京一零一中学)如图所示，位于竖直面内的矩形区域内，存在相互正交且恒定的匀强电场和匀强磁场，其中磁场方向垂直于矩形平面。一带电粒子（不计重力）以初速度由点垂直左边界进入这个区域，带电粒子沿直线运动，并从点离开场区。如果撤去磁场，该粒子将从点离开场区；如果撤去电场，该粒子将从点离开场区。则下列判断正确的是（　　） A．该粒子由、、三点离开场区时的动能均不相同 B．该粒子由点运动到、、三点的时间均不相同 C．若电场方向竖直向下，则磁场方向垂直于纸面向外 D．电场和磁场都保留且不变，增加初速度则粒子可能从点下方离开区域 【答案】D 【解析】A．洛伦兹力不做功，不改变粒子的动能，而电场力做正功，粒子的动能增大，则粒子由C、D两点离开场区时的动能相同，小于从B点离开场区的动能，故A错误； B．粒子在正交的电磁场中与只有电场时运动时，水平速度都相同，则时间相等，为；粒子在磁场中运动时间为，则知粒子在磁场中运动时间最长，故B错误； C．若电场方向竖直向下，则粒子带负电，由左手定则判断得知，磁场方向垂直于纸面向里，故C错误； D．带电粒子进入相互垂直的匀强电场和匀强磁场做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，则 qE=qvB 电场和磁场都保留且不变，增加初速度则粒子受洛伦兹力增加，则粒子向下偏转，可能从点下方离开区域，故D正确。故选D。 【变式训练1·变载体】(2025·北京第二中学)如图所示为一个质量为m、电荷量为+q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，重力加速度为g，则圆环克服摩擦力做的功不可能为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】A．圆环克服摩擦力做的功，在数量上等于圆环的动能变化量，当圆环以初速度v0向右运动时，洛伦兹力的大小恰好等于圆环的重力，则圆环将不受摩擦力的作用，圆环克服摩擦力做的功为零，故A正确，不符合题意； B．当圆环以初速度v0向右运动时，洛伦兹力的大小小于圆环的重力，则圆环在摩擦力作用下做减速运动，最终完全停止，处于平衡状态，此过程中损失的动能为，即圆环克服摩擦力做的功为，故B正确，不符合题意； CD．当圆环以初速度v0向右运动时，洛伦兹力的大小大于圆环的重力，则圆环在摩擦力作用下做减速运动，当速度减小到某一值时，洛伦兹力与重力等大反向，则圆环将保持此时的速度匀速运动下去，设此时的速度为v，则 圆环克服摩擦力做的功为 解得 故C错误，符合题意，D正确，不符合题意。故选C。 【变式训练2·变情境】(2026·北京师范大学第二附属中学)如图所示，地面附近某真空环境中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面向里，一个带正电的油滴，沿着一条与竖直方向成角的直线MN运动，由此可以判断（　　） A．匀强电场方向一定是水平向右 B．油滴沿直线一定做匀加速运动 C．运动过程中电场力做正功 D．油滴一定是从点运动到点 【答案】D 【解析】AD．若粒子沿直线向右下角运动，则垂直直线的所有方向上，粒子所受合力为0，则电场力方向只能平行重力和洛伦兹力所在平面（纸面），又电场方向水平，则电场力方向水平向左或水平向右，为了使垂直直线的方向上，粒子所受合力为0，电场力方向只能水平向左，如图 若粒子沿直线向左上角运动，同理得粒子力图如下 显然，该情况不能保证直线方向上，粒子的合力为0。故A错误，D正确； B．垂直直线的方向上，电场力分力和重力分力的合力恒定，为保证垂直直线的方向上，粒子所受合力为0，所以洛伦兹力恒定，根据可知，粒子速度大小不变，可知直线方向上合力为0。所以粒子必定做匀速直线运动。故B错误； C．电场力方向与粒子速度方向的夹角大于90°，电场力做负功。故C错误。故选D。 思维建模 带电粒子在叠加场中的直线运动的规律 1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，静电力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 【重】 例2 （2025·北京第一零一中学·三模）如图所示的MNPQ区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀强磁场，现有两个带电微粒、均从边界的点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（　　） A．a、b两微粒均带正电 B．a、b两微粒在该区域运动周期一定相等 C．a、b两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等 D．仅增加磁场强度a、b一定都能做匀速圆周运动 【答案】C 【解析】A．电场方向竖直向上，重力与电场力平衡，即 电场力向上，故微粒带正电（正电荷受力与电场方向相同），A正确； B．圆周运动周期 由 得 则 （与微粒质量、电荷量无关），故a、b周期相等，B正确； C．圆周运动半径 定值，但v未知（两微粒初速度可能不同），故半径不一定相等，C错误； D．仅增加磁场强度B，重力与电场力仍平衡，洛伦兹力增大，但只要满足，微粒仍可做匀速圆周运动（洛伦兹力提供向心力 ），D正确。本题选错误的，故选C。 【变式训练1·变情境】(2026·北京第八中学)我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一电子从点沿轴正方向水平入射，当入射速度为时，电子沿轴做直线运动；当入射速度为时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。图示点为最高点，点为最低点，点与点相距。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子从点运动到最低点所用时间为 【答案】C 【解析】A．电子入射速度为时，电子沿x轴做直线运动，电子受到的电场力向上，由左手定则可知，洛伦兹力向下，有 解得，故A正确，不符合题意； B．电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中运动，由于洛伦兹力不做功，向上运动到最高点， 电场力做正功，由动能定理可知，电子的动能增加，故B正确，不符合题意； CD．入射速度为v（v<v0）时，可将电子的入射速度分解为水平向右的速度和水平向左的速度，电子运动可看成水平向右的匀速直线运动和顺时针的匀速圆周运动，所以电子从点运动到最低点，圆周运动部分恰好完成一个周期，水平方向分位移为零，故总水平位移 仅由速度 贡献，即，所用时间为 且在最高点两个分速度方向相同，则电子运动到最高点的速度大小为，故C错误，符合题意；D正确，不符合题意。故选C。 【变式训练2·变情境】(2026·北京中国人民大学附属中学)（多选）如图为空间站推进器的简化图，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场I，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面加有匀强磁场II和垂直圆环平面向里的匀强电场（图中未画出），磁场II与磁场I的磁感应强度大小相等。已知电子质量为m、电荷量为-e，若电子恰好可以在圆环内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，则（ ） A．电子沿逆时针方向运动 B．垂直环平面的磁场II方向为垂直圆环平面向里 C．电场强度大小为 D．质子也可以在圆环空间内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动 【答案】BC 【解析】A．电子由于带负电，故所受电场力垂直圆环平面向外，由平衡条件可知，电子受磁场Ⅰ的洛伦兹力方向垂直圆环平面向里，根据左手定则可知，电子在圆环内沿顺时针方向运动，A错误； B．电子在圆环内受到磁场Ⅱ的洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力，有 解得 由左手定则可知，磁场Ⅱ的方向为垂直圆环平面向里，B正确； C．电子在垂直环平面方向受力平衡，则有 解得，故C正确； D．质子带正电，不能在圆环内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，D错误。故选BC。 思维建模 带电粒子在叠加场中的圆周运动的规律 1.带电粒子做匀速圆周运动的隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动的解题方法相同。 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【重】 例3 （2026·北京顺义·一模）如图所示，平放在光滑水平面上的试管，其内壁光滑，底部有一个带电小球（可抽象为点电荷模型），小球直径略小于试管的直径，空间有竖直向下的匀强磁场。试管在外力的作用下向右匀速运动，带电小球最终从管口飞出。下列说法正确的是（ ） A．小球带负电 B．小球离开试管前，洛伦兹力对小球做正功 C．小球离开试管前的运动轨迹是一条抛物线 D．小球受到洛伦兹力的方向始终由试管底指向试管口 【答案】C 【解析】A．小球能从管口处飞出，说明小球受到指向管口的洛伦兹力，根据左手定则判断，小球带正电，故A错误； BD．由小球的水平方向的运动而产生的沿管方向的洛伦兹力分力，由沿管方向的运动而产生的垂直管向左的洛伦兹力分力，两个洛伦兹力分力与合运动方向垂直，故洛伦兹力不做功，小球受到洛伦兹力的方向不是始终由试管底指向试管口，故BD错误； C．设管子运动速度为v1，小球垂直于管子向右的分运动是匀速直线运动。小球沿管子方向受到洛伦兹力的分力F1=qv1B，q、v1、B均不变，F1不变，则小球沿管子做匀加速直线运动。与平抛运动类似，小球运动的轨迹是一条抛物线，故C正确。故选C。 【变式训练1·变情境】（2026·北京房山·一模）如图所示，两个带等量异种电荷的平行金属板，板间加垂直纸面向里的匀强磁场，一粒子以某一速度垂直电场方向和磁场方向进入，运动轨迹为图中实线。已知磁感应强度为B，电场强度为E，下列说法正确的是（　　） A．粒子运动轨迹是抛物线 B．粒子射入的速度一定大于 C．粒子射出时的速度一定大于射入时的速度 D．若粒子从右侧进入一定不能沿直线从左侧离开 【答案】D 【解析】ABC．假设粒子带正电，则电场力就向下，则由左手定则知所受洛伦兹力方向向上，由受力分析结合运动轨迹知 则 将速度沿水平方向和竖直方向正交分解，其中水平分速度满足 水平方向以此速度做匀速直线运动，同时粒子以的速率在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动（两板间距足够大），故合运动为螺旋线； 运动过程洛伦兹力不做功，电场力做负功，则粒子速度减少，粒子射出时的速度小于射入时的速度； 若粒子带负电，电场力向上，则由左手定则知所受洛伦兹力方向向下，由受力分析结合运动轨迹知 则,运动过程洛伦兹力不做功，电场力做正功，则粒子速度增加，粒子射出时的速度大于射入时的速度，故ABC 错误； D．若粒子从右侧进入，则不论粒子带正电还是负电，粒子受到的电场力和洛伦兹力都同向，不能满足二力平衡，故粒子不可能做直线运动，故D正确。故选D。 【变式训练2·变思维】(2026·北京铁路第二中学)如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子的运动轨迹是抛物线 B．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 C．乙粒子的运动轨迹在处对应圆周的半径为 D．乙粒子从进入板间运动至位置的过程中，在竖直方向上做减速运动 【答案】B 【解析】A．根据图像轨迹可知，乙粒子的运动轨迹不是抛物线，故A错误； B．根据配速法，可将乙粒子的速度看成向右的v和向左的，所以乙粒子的运动可看成水平向右的匀速直线运动和竖直平面内的圆周运动，且 所以 所以乙粒子偏离中轴线的最远距离为，故B正确； C．乙粒子运动到A处时速度为，则 所以在A处对应圆周的曲率半径为，故C错误； D．乙粒子从进入板间运动至位置的过程中，可看成是水平匀速直线运动和竖直匀速圆周运动的合运动，而位置是竖直圆周的最低点，初始位置是最高点，在竖直方向运动半圆过程中，竖直方向上先加速后减速，故D错误。故选B。 考点二 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中的运动 知●识●解●构 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律，x＝v0t，y＝ at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式，r＝，T＝，t＝ 3.电场与磁场的组合 （1）先电场后磁场 ①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图。 ②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图。 注意：进入磁场的速度是离开电场的末速度，而非进入电场的初速度。 （2）先磁场后电场 ①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)。 ②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)。 4.分析思路 （1）画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 （2）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键。 （3）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 5.常见粒子的运动及解题方法 考●向●破●译 考向1 电场与磁场的组合 【重】 例1 （2026·北京丰台·二模）如图所示，粒子发射源S向外释放质量为m、电荷量为q的带电粒子。粒子的初速度为零，经加速电场加速后，以速度v垂直于磁场方向，并垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ=60°，忽略重力对带电粒子运动的影响，求： (1)加速电场的电压U； (2)磁场的磁感应强度的大小B； (3)若在磁场区域再施加一匀强电场，使粒子做匀速直线运动。求匀强电场的电场强度E的大小和方向。 【答案】(1) (2) (3)，方向沿磁场边界方向向左 【解析】（1）对粒子，在加速电场中加速的过程中，根据动能定理 解得 （2）对粒子，在磁场中偏转的过程中，轨迹如图所示 由几何关系 解得 粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律 解得 （3）根据左手定则可知，该带电粒子带负电，若粒子做匀速直线运动，增加电场后粒子受力平衡，根据平衡条件可得 解得 方向沿磁场边界方向向左。 【变式训练1·变载体】（2026·北京顺义·一模）如图所示为一种质谱仪的工作原理图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器的四分之一圆弧通道中心线所在圆的半径为，通道内有径向电场，中心线处的电场强度大小为；磁分析器是以为圆心的四分之一圆形区域，其左边界与静电分析器的右边界平行，区域内有磁感应强度大小方向垂直于该区域所在平面的匀强磁场。由离子源发出质量为电荷量为的一个正离子经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线做匀速圆周运动，而后由点进入磁分析器中，最终经点沿垂直于方向进入收集器（不计离子离开离子源的初速度及离子重力）。 (1)求离子在静电分析器中运动的速度大小； (2)求加速电场的加速电压； (3)判断磁分析器中磁场的方向并计算离子在磁分析器中的运动时间。 【答案】(1) (2) (3)垂直纸面向外， 【解析】（1）离子在静电分析器中沿中心线做匀速圆周运动，电场力提供向心力。根据牛顿第二定律有 解得离子在静电分析器中运动的速度大小为 （2）离子在加速电场中从静止开始加速，根据动能定理有 解得加速电压为 （3）离子带正电，由点水平向右进入磁分析器，最终经点沿垂直于方向进入收集器，说明离子在磁场中向下偏转，洛伦兹力方向向下。根据左手定则可知，故磁场方向垂直纸面向外。离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，运动周期为 离子从点运动到点，速度方向由水平向右变为竖直向下，转过的圆心角为 ，即。故离子在磁分析器中的运动时间为 【变式训练2·变载体】（2025·北京西城·一模）图1为一种测量电子比荷（电荷量e与质量m之比）的实验装置。两块金属圆盘M、N平行放置，间距为d，照相底片环绕圆盘，距圆盘边缘的径向距离为L。整个装置放在真空中。在两圆盘中心连线的中央有一点状粒子源，向各个方向均匀发射速度大小不同的电子，由于d很小，只有速度方向平行圆盘的电子才能射出圆盘区域。 磁感应强度 M、N间电势差 模式1 0 0 模式2 B -U 模式3 -B U 装置所在空间的匀强磁场的磁感应强度和M、N间的电势差按表格所示的三种模式切换，表中B、U均为已知。以水平向右为磁场的正方向，电场只存在于圆盘间。图2为装置的俯视图，定义角度θ为底片上某点和圆盘中心的连线与磁感应强度正方向的夹角。 (1)判断在θ=90°和270°两个方向中，哪个方向在三种模式下均会有电子从圆盘区域射出，求在模式2、3情况下射出电子的速度大小v0. (2)在（1）中有电子射出的方向上，求在模式2、3情况下，电子打在底片上的位置间的距离y0与比荷的关系。 (3)经过三种模式的反复切换，取有曝光线条的一段底片进行分析，如图3所示。研究人员发现，电子在磁场中运动的轨迹半径远大于L，可将电子在偏转过程中受到的洛伦兹力视为恒力。为充分利用数据测出电子的比荷，测量不同角度θ及对应的上下两条曝光曲线间距y，获取多组数据。以y为纵坐标轴，合理选择横坐标轴，就能将数据拟合为一条过原点的直线，使其斜率等于电子的比荷。请写出横坐标轴的表达式。 【答案】(1)在模式二洛伦兹力向上，电场力向下，可以受力平衡直线运动，模式三洛伦兹力向上电场力向下，可以受力平衡，因此三种模式方向上均有电子射出；在模式二洛伦兹力向下，电场力向下不能受力平衡，不能射出， (2) (3) 【解析】（1）三种模式下，在模式二洛伦兹力向上，电场力向下，可以受力平衡直线运动，模式三洛伦兹力向上电场力向下，可以受力平衡，因此三种模式方向上均有电子射出 模式二洛伦兹力向下，电场力向下不能受力平衡，不能射出。 在模式2、3情况下，圆盘间电场的电场强度大小 电子在圆盘间做直线运动有 得 （2）在模式2、3情况下，电子从圆盘间射出后，在磁场中做匀速圆周运动，设圆周运动半径为R，根据牛顿第二定律有 得 由几何关系可知，在两种模式下，电子打在底片上的位置间的距离 （3）在模式2、3情况下，设从圆盘间沿θ角方向射出的电子速度的大小为v，则根据 得 电子射出后，由题意可知，电子的偏转可视为恒力作用下的运动，则电子从圆盘边缘运动到底片的时间 设电子加速度的大小为a，则 电子打在底片上的偏转距离 得 则以为横轴作出图像，图线的斜率即为电子的比荷。 思维建模 带电粒子在电场与磁场的组合场中运动的常见情景 1.带电粒子在匀强电场中做匀变速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 2.带电粒子在匀强电场中做类平抛（或类斜抛）运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 考向2 磁场与磁场的组合 例2(2025·北京通州区)MM50是新一代三维适形和精确调强的放射治疗尖端设备，其核心技术之一是多级能量跑道回旋加速器，其工作原理如图所示。两个匀强磁场区域I、II的边界平行，相距为，磁感应强度大小均为，方向垂直纸面向外。下方两条横向虚线之间的区域存在水平向左的匀强电场（两条横向虚线之间的区域宽度很窄，可忽略不计），方向与磁场边界垂直。某一质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经过多次的电场加速和磁场偏转后，电子从位于边界上的出射口处向左射出磁场并被收集。已知、之间的距离为，匀强电场的电场强度大小为，电子的重力不计，不考虑相对论效应。求： (1)该电子第一次加速至端时速度的大小； (2)该电子从端飘入电场到第一次回到端的过程中所用的时间； (3)为适应不同深度和类型的放射治疗需求，MM50设备在出射口处收集的高能电子的动能大小需要在一定范围内连续可调。有同学认为，在其他条件不变的情况下，可以通过只调节匀强电场的电场强度的大小或只调节两个匀强磁场区域边界的距离来实现。请你判断该同学的说法是否正确，并简要说明理由。 【答案】(1) (2) (3)不正确，根据，可知与匀强电场的电场强度和两个匀强磁场区域边界的距离无关 【解析】（1）第一次加速，由动能定理得 解得 （2）电子在加速电场中运动可看作初速度为零的匀加速直线运动，由牛顿第二定律可得 电子在电场中加速了1次，可得其运动的总路程为 根据位移与时间的关系可得 联立以上各式解得 电子在磁场中做圆周运动的洛伦兹力提供向心力有 则周期为 电子从点第一次加速至回到点过程中，其在磁场中运动的时间 无场区运动时间 电子从点第一次加速至回到点所用时间 解得 （3）不正确。 电子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力充当向心力有 可得 当该电子从处以最大速度射出时，最后一次做圆周运动的轨迹半径不能变，即 由此可知，从处出射的电子动能 该值与匀强电场的电场强度和两个匀强磁场区域边界的距离无关，所以该同学说法不正确。 【变式训练1·变情境】(2025·北京顺义区)如图所示，粒子源产生初速度不计的带电粒子。带电粒子经加速电场加速后，垂直射入由单碳原子层组成的石墨晶体，在每两个碳层之间有垂直纸面向里的匀强磁场，第一与第二碳层间的磁感应强度为2B，第二与第三碳层间的磁感应强度为3B，磁感应强度逐层递增。粒子从P点垂直射入第一碳层，并与该层一个静止的碳原子碰撞而结合形成一个新粒子。此后，新粒子每经过一层碳层都会再与一个碳原子碰撞而结合形成一个更新的粒子。上述所有碰撞过程动量守恒。已知带电粒子质量为m，带电量为，碳原子的质量也为m，加速电场电压为U。不计粒子和碳原子的重力及粒子间的相互作用，碳层厚度忽略不计。 (1)求粒子从加速电场射出时的速度大小； (2)求粒子在第一和第二碳层之间做圆周运动的半径大小R； (3)由于粒子在磁场中做曲线运动，恰好无法穿过第n层碳层，求从粒子进入第一至到达第n碳层所用的时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理有 解得 （2）由动量守恒可知 粒子在第一和第二碳层间做圆周运动 解得 （3）设穿过第层时速度为半径，粒子穿过石墨层时动量守恒，则有 由牛顿第二定律有 圆周运动的周期 可知，粒子在各层间运动时周期不变，若恰好未射出，则粒子运动时间 【变式训练2·变角度】如图所示，在水平面上建立平面直角坐标系，以坐标原点为圆心，半径的圆形区域内有竖直向下的匀强磁场，在轴负半轴且外有竖直向上的匀强磁场，其大小可调节。在坐标的点，有一粒子源，可向水平面上各个方向射出质量、电荷量、速率的带负电粒子，不计粒子重力和粒子相互作用。 (1)为使粒子不进入圆形区域，求匀强磁场应满足的条件； (2)若粒子在点沿轴正方向射出，恰能进入圆形磁场区域，求匀强磁场的大小； (3)若，现让粒子在点沿轴正方向射出，经过点时，速度沿轴正方向，求匀强磁场的大小。 【答案】(1)B1⩾0.4T (2) (3) 【解析】（1）在磁场B1中， 为使粒子不进入圆形区域，轨迹圆和磁场圆相切，临界状态如图1所示 由几何关系可知 联立解得 B1=0.4T 故B1应满足的条件为： B1⩾0.4T （2）若粒子在A点沿y轴正方向射出，恰能进入圆形磁场区域，临界状态如图2所示，在磁场中， 由几何关系可知 解得 联立解得 （3）若 B1=B2，现让粒子在A点沿y轴正方向射出，经过O点时，速度沿x轴正方向，轨迹如图3所示，在磁场中， 在磁场 B2中 ， 由几何关系可知， 联立解得 思维建模 带电粒子在磁场与磁场的组合场中运动的分析技巧 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 考点三 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 知●识●解●构 1.交变电、磁场的常见类型 2.解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路 考●向●破●译 考向1 交变电场与磁场结合 例1如图甲所示，在，的区域中，存在平行板电容器，板长，板间距也是，极板上加周期性电压如图乙所示，电容器右侧的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场，磁感应强度，电容器左侧的周围分布着垂直纸面向里的恒定匀强磁场。一个质量为，电荷量为的带正电粒子在时刻从点沿轴方向以进入极板间（不计粒子重力），从上极板边缘飞出电容器，粒子恰好能再次经过点完成周期性运动。求： (1)交流电的电压大小。 (2)磁场的磁感应强度的大小。 (3)交流电的周期。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子在电容器中做类平抛运动，从上极板边缘飞出电容器，运动时间为，竖直位移为，其中加速度为，联立可得 （2）根据题意易得，带电粒子以速度大小为，方向与水平成角进入右侧磁场，粒子做匀速圆周运动，解得 则带电粒子将从下极板右侧边缘返回电容器，在方向做匀减速运动，到上极板的左侧边缘竖直速度恰好减为零，粒子以水平速度打入左侧磁场，做逆时针偏转，根据题意可知，根据，得 解得 （3）根据题意，带电粒子以速度大小为、方向与水平成角进入右侧磁场，粒子做匀速圆周运动的偏转周期 粒子在磁场中实际偏转时间 粒子在返回电容器中，运动时间相同即 同理粒子进入左侧磁场的周期为 粒子在磁场中实际偏转时间 故交流电的周期为 【变式训练1·变情境】通过电磁场控制带电粒子的运动是现代化的重要技术。如图1所示，两块平行正对金属板水平放置，两侧分布着以虚线为边界垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为，左侧靠近下方金属板边缘有一个粒子输送管道，管道不仅可以屏蔽管外磁场的影响，而且可以对带电粒子起到匀加速作用。已知上、下两金属板间加上如图2所示矩形交变电压，电压大小为，周期为，一带电粒子在时从管道左侧无初速度释放，经管道加速后，在时刻离开管道进入金属板之间区域，在时刻离开金属板之间区域，又在时刻从下金属板右侧边缘水平向左进入金属板之间区域，粒子运动的部分轨迹如图1中虚线所示。已知金属板长度是板间距离的倍，忽略粒子所受的重力、管道直径大小和场的边缘效应和交变效应。 (1)判断带电粒子的电性，并求其比荷； (2)求管道的长度和金属板的长度； (3)求带电粒子回到下金属板左侧边缘的可能时刻； (4)若在右边磁场中增加竖直方向的匀强电场，使得带电粒子不从右侧磁场的左边界飞出，则：①请判定此匀强电场的方向； ②小明计算了满足此要求的电场强度大小的取值值范围为，请观察并论证这一结果是错误的（不要求写出具体范围）。 【答案】(1)正电， (2)， (3) (4)①增加竖直方向的匀强电场后，粒子将做曲线运动，此曲线运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直面内的匀速圆周运动。只有水平方向的匀速直线运动向右，粒子才不会返回两金属板之间区域，根据配速法可知，电场力方向向上，故电场强度方向应该向上。 ②根据前述计算可知 即小明的计算结果等价于令 则根据 即匀速直线运动分速度为 则匀速圆周运动的分速率为 即进入复合电磁场后，任何时刻粒子的垂直电磁场左边界的分速度，即粒子不会向左边界“回旋”，可见电场强度最小值还可以更小一些。 【解析】（1）在右侧磁场中，根据左手定则，可以判断粒子带正电。依题可知，粒子在磁场中运动的周期 又有 可计算 （2）粒子在金属板之间区域运动，分析其运动，可知是对称的匀变速曲线运动，进入或离开该区域的速度大小相同，设为，则有 又有 且 又有 结合给定条件，可计算 又有 可知 （3）分析粒子整个运动，运动轨迹如图所示，根据对称性和周期性，可知带电粒子回到下金属板左侧边缘的时刻 （4）①略。 ②略。 考向2 交变磁场与电场结合 例2在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在范围内存在竖直向下的匀强电场，在范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为(-R，0)，一质量为m、带电量为的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到(R，0)位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从(R，0)位置进入磁场中，不计粒子重力，则（ ） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 【答案】D 【解析】AB．粒子经过T时间到达(R，0)位置，由此可知，粒子在磁场中的圆周运动的半径 由 解得 粒子进入匀强电场中先匀减速运动，后匀加速运动，运动过程中加速度不变，故由动量定理可知： 解得 磁场的大小和电场的大小的比值为，AB错误； CD．粒子运动一个周期需要在磁场中完成4个半圆，在电场中完成两个匀减速和两个匀加速运动，在电场中匀加速运动的过程中，由动能定理可得： 解得 半个圆周运动的路程 故一个周期运动的轨迹长度 C错误，D正确。故选D。 【变式训练1·变思维】如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线和y轴之间有垂直纸面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向，磁感应强度的大小和方向变化规律如图乙所示；在直线（图中虚线）右侧有沿x轴负方向的匀强电场。t=0时，一带正电的粒子从y轴上的P点沿与y轴正方形成45°角射入匀强交变磁场，在t=3t0时垂直穿过x轴，一段时间后粒子恰好沿原路径回到P点。粒子可视为质点、重力不计，忽略由于磁场变化引起的电磁效应，求： (1)粒子的比荷； (2)粒子的初速度大小v0； (3)匀强电场的场强大小E。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子要沿原路返回到P点，则粒子在3t0时垂直穿过x轴时粒子必在磁场中，根据几何关系，此时粒子的速度方向沿y轴正方向，轨迹如图所示。 设在0~t0内粒子的速度偏转角为θ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据磁场变化的规律，则有， 粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有， 可得粒子在磁场中的运动周期 联立解得解得 （2）设粒子做圆周运动的半径为R，由几何关系有 粒子由洛伦兹力提供做圆周运动的向心力，则有 联立以上各式解得 （3）根据几何关系，则有 可知，粒子在t =5t0时沿x轴正方向进入电场。粒子要沿原路返回到P点，则粒子从电场回到磁场时，磁场方向应垂直纸面向里，即粒子最早应在t =9t0时返回磁场。设粒子在电场中运动的时间为t，考虑到周期性，则有 对粒子在电场中的运动，由动量定理，则有 联立以上各式，解得 【变式训练2·变情境】如图甲所示，两金属板M、N水平放置组成平行板电容器，在M板中央开有小孔O，再将两个相同的绝缘弹性挡板P、Q对称地放置在M板上方，且与M板夹角均为，两挡板的下端在小孔O左右两侧。现在电容器两板间加电压大小为U的直流电压，在M板上方加上如图乙所示的、垂直纸面的交变磁场，以方向垂直纸面向里为磁感应强度的正值，其值为，磁感应强度为负值时大小为，但未知。现有一质量为m、电荷量为+q、不计重力的带电粒子，从N金属板中央A点由静止释放，时刻，粒子刚好从小孔O进入上方磁场中，在时刻粒子第一次撞到左挡板P上，紧接着在时刻粒子撞到了右挡板Q上，然后粒子又从O点竖直向下返回平行金属板间，接着再返回磁场做前面所述的运动。粒子与挡板碰撞前后电量不变，沿板面的分速度不变，垂直于板面的分速度大小不变、方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的感应影响，（和未知）。求： (1)粒子第一次到达小孔O时的速度大小。 (2)图乙中磁感应强度的大小。 (3)两金属板M和N之间的距离d。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）粒子从板到板过程中，电场力做正功，根据动能定理有 解得粒子第一次到达点时的速率 （2）粒子进入上方后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 得粒子做匀速圆周运动的半径， 使其在整个装置中做周期性的往返运动，运动轨迹如图所示， 由图易知 所以 （3）在时间内，粒子做匀速圆周运动周期 在时间内，粒子做匀速圆周运动的周期 由轨迹图可知， 粒子在金属板和间往返时间为，有 且满足， 联立可得金属板和间的距离， 考点四 带电粒子在三维空间中的运动 知识点1 带电粒子在三维空间中的运动 知●识●解●构 1.如果带电粒子在磁场中运动的速度方向与磁感应强度方向不垂直时粒子的运动为螺旋线运动，则常见运动形式有两种情况： （1）空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。 （2）空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。 2.分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间中的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动（比如螺旋线运动和旋进运动）来求解。 考●向●破●译 考向1 带电粒子的螺旋线运动 例1如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ（）的空间分布着沿x轴正方向的匀强电场E（大小未知），在区域Ⅱ（）的空间分布着沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在区域Ⅲ（）的空间分布着沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为（大小未知）。在x轴上处有一带正电粒子，质量为m，电荷量为q，沿y轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过y轴上的P点进入区域Ⅱ，已知P点坐标为，从区域Ⅱ的Q点（图中未画出）穿出后，恰好不会从区域Ⅲ右边界穿出，不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)电场强度大小E。 (2)Q点的三维坐标。 (3)磁感应强度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）带电粒子进入电场后，做类平抛运动，方向做匀加速直线运动，方向做匀速直线运动，有， 且 联立得 （2）带电粒子在匀强磁场中做等距螺旋运动，可分解为沿轴正方向的匀速直线运动和垂直于轴的平面的匀速圆周运动，如图： 粒子在点的速度分量为， ①在垂直于轴的平面内，粒子做匀速圆周运动有 解得 周期 ②粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得 即带电粒子将螺旋转动1.5圈后从点离开区域Ⅱ，结合洛伦兹力方向（沿y轴正方向、B1沿x轴负方向，由左手定则可知初始洛伦兹力沿z轴正方向，所以点的方向坐标为 故点的三维坐标为。 （3）粒子在点速度 其方向分速度与点相同，方向分速度与点相反，设带电粒子在点的速度与轴负方向夹角为，有 所以 由牛顿第二定律得 由几何关系知 解得 联立解得 【变式训练1·变思维】（多选）如图所示，在空间直角坐标系中，的区域内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向沿z轴负向，的区域内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向与xOy平面平行且与y轴正向夹角为45°。在坐标为的P点发射一个质量为m、电荷量为（）的粒子，粒子的初速度沿x轴正向、y轴正向、z轴正向的分量分别为、、。一段时间后粒子从x轴上的M点（未画出）由的区域进入的区域，粒子速度第一次与M点速度相同时恰好经过y轴上的N点（未画出）。已知，不计粒子的重力，忽略场的边界效应，下列说法正确的是（　　） A．M点的坐标为 B．N点的坐标为 C． D． 【答案】AC 【解析】A．粒子的初速度在三个坐标轴方向都有分量，沿负方向，因此方向速度分量平行于磁场，做匀速直线运动，平面内速度分量垂直于磁场，做匀速圆周运动，在方向上，初始时，到达轴时 解得运动时间 平面内做匀速圆周运动，则 其中平面的合速度 解得 圆周运动周期 所以 平面的合速度初始时方向与轴正方向夹角为，所以到达轴上点时速度方向与轴正方向夹角依然为，与方向相反，由几何关系可知时刻， 因此点坐标为，A正确； CD．M点速度可分解为平行分量和垂直的分量，垂直的分量沿着轴正方向，故粒子做以反方向为轴线的螺旋运动，则转一周后速度第一次与点相同，粒子在中做圆周运动的周期 点在轴，则 因此 可得 解得 又 可得，C正确，D错误； B．N点坐标 故N点的坐标为，B错误。故选AC。 【变式训练2·变角度】如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ的空间分布着沿轴正方向的匀强电场，在区域Ⅱ的空间分布着沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，有一平行于平面的无限大荧光屏（图中未画出）。在平面内处正下方有速度大小为0的粒子源可发射带正电粒子进入大小可调的加速电场，质量为，电荷量为。当加速电压取最大值时，粒子沿轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过轴上的点进入区域Ⅱ，已知点坐标为，最终打到荧光屏上的点（图中未画出）。不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)最大加速电压和电场强度大小； (2)当荧光屏处于处时，求点的三维坐标； (3)当荧光屏处于处时，调加速电场的大小，则粒子打在荧光屏上的位置与的关系（可用表示）。 【答案】(1)； (2) (3) 【解析】（1）粒子在加速电场中运动，根据动能定理 可得加速电场的电压 带电粒子进入电场后，仅受电场力做类平抛运动，则 方向做匀速直线运动，可得运动时间 方向做匀加速直线运动，有 联立得 （2） 带电粒子在匀强磁场中做等距螺旋运动，可分解为沿轴正方向的匀速直线运动和垂直于轴的平面内的匀速圆周运动。粒子在点的速度分量为， 在垂直于轴的平面内，粒子做匀速圆周运动有 解得 周期 粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得，即带电粒子将螺旋转动圈后打到荧光屏上的点 则点x轴坐标，y轴坐标，z轴坐标 点的三维坐标为 （3）调加速电场后，设加速后粒子初速度为，加速过程 结合 可得 粒子在区域Ⅰ的方向位移恒为，加速度不变，因此运动时间恒为 到达y轴时方向位移为 在区域Ⅱ，粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得 因此带电粒子将螺旋转动1圈后打到荧光屏上的轴，粒子打荧光屏上的位置为 考向2 带电粒子在立体空间中的偏转 例2（多选）如图，在空间直角坐标系中，平面为一挡板，挡板左侧有沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。挡板右侧有沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。y轴上距离坐标原点O为L的P处有一粒子发射源，可向xOy平面内y轴左侧180°方向范围内不断发射带正电的粒子。粒子质量均为m，电荷量均为q，速度介于0到之间的任意值。挡板在坐标原点O处有一小孔，打到挡板上的粒子均被挡板吸收，从小孔穿出到达挡板右侧的所有粒子，速度的最大值是最小值的2倍，最终打在垂直x轴放置的接收屏上，形成亮斑。接收屏和挡板都足够大，不考虑粒子间的作用力。下列说法正确的是（　　） A． B．穿过小孔的粒子速度方向集中在120°的范围内 C．当接收屏到O点的距离为L时，亮斑为一个点 D．当接收屏到O点的距离为时，亮斑为一条长为的直线段 【答案】AB 【解析】A．粒子在挡板左侧磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 解得 粒子从出发经过，弦长为，由几何关系可知，即，故能穿过小孔的粒子最小速度为 已知从小孔穿出的粒子速度最大值是最小值的2倍，且发射速度最大为，故，故A正确； B．设粒子穿过小孔时速度方向与轴正方向夹角为，由几何关系可知 因为，即 所以，即 由于粒子可以向轴左侧范围发射，存在关于轴对称的两种轨迹，分别对应圆心在轴上方和下方，故穿过小孔的粒子速度方向分布在轴上下各范围内，总共，故B正确； C．粒子进入右侧磁场后，速度分解为沿轴的分量和垂直轴的分量。由前述分析，为定值。粒子在方向做匀速直线运动，在平面内做匀速圆周运动。运动时间 转过的圆心角 当时，，粒子未回到平面原点，亮斑不是点，故C错误； D．当时， 此时粒子在平面内转过半圆，坐标为0，坐标大小为，其中为右侧磁场中圆周运动半径。 当时，最大，为。故亮斑在轴上，范围为，长度为，故D错误。故选AB。 【变式训练1·变情境】（多选）在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 【答案】BC 【解析】A．整个长方体空间存在沿x轴正方向的匀强电场E，由ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入的离子向右运动经过Q点，可知离子所受电场力沿x轴正方向，因此离子带正电，A错误； B．离子在空间Ⅰ中做类平抛运动，离子从P点运动到Q点的过程中，由运动学公式有沿z轴方向 沿x轴方向 由牛顿第二定律有 联立解得：，B正确； C．离子由Q点进入空间Ⅱ，在yoz平面以速度v0做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 根据题意可知离子做匀速圆周运动的半径 联立解得，C正确； D．离子在整个长方体空间运动过程中，沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动，由运动学公式有 联立解得 因此该离子离开此区域时，速度与x轴正方向的夹角满足，D错误。故选BC。 【变式训练2·变载体】如图所示，在三维坐标系中存在一长方体，平面左侧存在沿轴负方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，右侧存在沿方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度从点沿平面进入磁场，经点垂直平面进入右侧磁场，此时撤去平面左侧的磁场，换上电场强度为（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在棱上。已知、，，粒子的电量为，质量为（重力不计）。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子经过平面的坐标； (3)电场强度的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）带电粒子在平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）在右侧磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得 则有， 即坐标为 （3）粒子在电场中做类平抛运动，轴方向上 轴方向上 解得 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·广西·高考）（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 【答案】AD 【解析】A．对M粒子在加速电场中 在速度选择器中 解得M的质量，故A正确； B．进入粒子速度选择器后因N粒子向下偏转，可知 即，故B错误； C．M粒子在磁场中运动半径为r1，则 解得 N粒子在磁场中运动的半径为r2，则 解得 其中 可得 由动能定理N粒子在选择器中 在加速电场中 解得， 则要想使得粒子N沿轴线OO＇通过选择器，则需满足 联立解得，故C错误； D．若N粒子沿直线通过选择器，则在磁场中运动的半径为r3，则 其中， 由AB选项分析可知，所以 则打在探测器的位移与调节前M打在探测器上的位置间距为 可得，故D正确。故选AD。 2．（2025·河北·高考）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 【答案】BCD 【解析】A．根据粒子在磁场中的偏转方向，根据左手定则可知粒子带负电，选项A错误； B．随着粒子不断打到N极板上，N极板带电量不断增加，向下的电场强度增加，粒子做减速运动，当粒子恰能到达N极板时满足， 解得 即d越大，板间所形成的最大电场强度越小，选项B正确； C．因粒子发射方向与OP夹角为60°时恰能垂直穿过M板Q点的小孔，则由几何关系 解得r=2L 可得 可得粒子从磁场上方，直接打在打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 当N极板吸收一定量的粒子后，粒子再从Q点射入极板，会返回再从在Q点射出，后继续做圆周运动，这时打M板在板上表面的位置 则粒子打在M板上表面的位置的最大距离为，选项C正确； D．因金属板厚度不计，当粒子在磁场中运动轨迹的弦长仍为PQ长度时，粒子仍可从Q点进入两板之间，由几何关系可知此时粒子从P点沿正上方运动，进入两板间时的速度方向与M板夹角为α=30°，则在两板间运动时间 其中 打到M板下表面距离Q点的最小距离 解得 选项D正确。 故选BCD。 3．（2025·山东·高考）（多选）如图甲所示的平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．区域I内电场强度大小，方向沿y轴正方向 B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径 C．区域Ⅱ内磁感应强度大小，方向垂直平面向外 D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标 【答案】AD 【解析】A．粒子在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，可以判断出粒子做类平抛运动，根据曲线轨迹可知，可知正粒子受到的电场力方向竖直向上，电场方向沿y轴正方向，设粒子初速度为 竖直方向有 水平方向有 由牛顿第二定律有 联立解得 A正确； B．粒子在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，可以判断粒子做匀速圆周运动， 运动轨迹如图所示，则粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径 B错误； C．粒子做类平抛运动进入匀强磁场时的速度 联立解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 C错误； D．如图所示， 设圆心为点，设粒子进入匀强磁场时的速度方向与竖直方向夹角为 由速度关系有 可得 由几何关系得 那么有 粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标 D正确。故选AD。 4．（2026·北京·高考）药物研发中常需要二级质谱分析。一级质谱分析只能检出与目标离子具有相同比荷的离子（母离子）。为进一步鉴别目标离子，需将母离子打碎成更小的离子（子离子），进行第二次质谱分析。某种二级串联质谱系统装置如图所示，假设离子均带正电。 (1)第一级质谱：A区中的离子由静止经电场加速后，垂直进入磁感应强度为的匀强磁场，比荷为的母离子做半径为的匀速圆周运动进入区。求加速电压。 (2)两级质谱连接：C区产生的子离子经聚焦、冷却后，由静止经电压加速后进入D区。为保证不同比荷的子离子均由小孔垂直进入第二级质谱的磁场，在区施加某种场，使这些子离子都做以点为圆心、半径为的匀速圆周运动。请设计区中的场： a．推导说明仅施加匀强磁场是否可行； b．推导说明仅施加电场是否可行。 【答案】(1) (2)a． 仅施加匀强磁场不可行子离子经电压加速，由动能定理得若仅加匀强磁场，洛伦兹力提供向心力，轨道半径满足： 可见轨道半径与子离子的比荷有关，不同比荷的子离子加速后速度不同，在同一匀强磁场中做圆周运动的半径各不相同，无法保证所有子离子都以固定半径做圆周运动，因此仅施加匀强磁场不可行。 b．仅施加电场 可行，需施加以为圆心的径向辐向电场 若仅施加电场，要让所有子离子都以为圆心、为半径做匀速圆周运动，电场力需完全提供向心力，且电场方向始终指向圆心。 设距离点处的电场强度大小为，对任意子离子有： 结合子离子的加速动能关系 代入得： 该结果与子离子的比荷无关，只要D区是辐向电场，在半径为的圆周上各处电场强度大小恒为、方向沿径向指向圆心，不同比荷的子离子就都能获得大小合适的向心力，完成半径为的匀速圆周运动，最终从S垂直射出，因此仅施加该种径向电场是可行的。 【解析】（1） 母离子在A区由静止经电场加速，由动能定理得： 母离子进入匀强磁场后，洛伦兹力提供匀速圆周运动的向心力： 联立可得 （2）a． 仅施加匀强磁场不可行 子离子经电压加速，由动能定理得 若仅加匀强磁场，洛伦兹力提供向心力，轨道半径满足： 可见轨道半径与子离子的比荷有关，不同比荷的子离子加速后速度不同，在同一匀强磁场中做圆周运动的半径各不相同，无法保证所有子离子都以固定半径做圆周运动，因此仅施加匀强磁场不可行。 b．仅施加电场 可行，需施加以为圆心的径向辐向电场 若仅施加电场，要让所有子离子都以为圆心、为半径做匀速圆周运动，电场力需完全提供向心力，且电场方向始终指向圆心。 设距离点处的电场强度大小为，对任意子离子有： 结合子离子的加速动能关系 代入得： 该结果与子离子的比荷无关，只要D区是辐向电场，在半径为的圆周上各处电场强度大小恒为、方向沿径向指向圆心，不同比荷的子离子就都能获得大小合适的向心力，完成半径为的匀速圆周运动，最终从S垂直射出，因此仅施加该种径向电场是可行的。 5．（2025·河南·高考）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有 解得 （2）根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间为 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有 联立解得 （3）若粒子从a点以竖直向下发射，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由于粒子在磁场中运动的速度大小仍为，粒子在磁场中运动的半径仍为，由几何关系可得，粒子进入电场时速度与虚线的夹角 结合小问2分析可知，粒子在电场中的运动时间为 间的距离为 由几何关系可得 则 粒子在磁场中的运动时间为 则有 综上所述可知，粒子每隔时间向右移动，则漂移速度大小 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第53讲 专题：带电粒子在叠加场和组合场中的运动 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 考点精讲·靶向突破 拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动 重 【思维建模】带电粒子在叠加场中的直线运动的规律 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 重 【思维建模】带电粒子在叠加场中的圆周运动的规律 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 重 考点二 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中的运动 考向1 电场与磁场的组合 重 【思维建模】带电粒子在电场与磁场的组合场中运动的常见情境 考向2 磁场与磁场的组合 【思维建模】带电粒子在磁场与磁场的组合场中运动的分析技巧 考点三 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 考向1 交变电场与磁场结合 考向2 交变磁场与电场结合 考点四 带电粒子在三维空间中的运动 知识点1 带电粒子在三维空间中的运动 考向1 带电粒子的螺旋线运动 考向2 带电粒子在立体空间中的偏转 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 带电粒子在叠加场中的运动 —— —— —— 带电粒子在组合场中的运动 北京，T19 —— 北京，T21 带电粒子在交变电磁场中的运动 —— —— —— 带电粒子在三维空间中的运动 —— —— —— 考情分析 题型与考向：题型多以选择题、计算题的形式出现，通常情况下难度较大，会以科技装置、粒子加速器等实例作为试题背景，考查对电场力、洛伦兹力的分析，粒子在组合场、叠加场中分阶段运动的轨迹分析，以及利用牛顿定律、圆周运动规律求解粒子运动半径、周期、偏转角等物理量。 情境与立意： 1.生活实践类：速度选择器、磁流体发电机、霍尔元件等。 2.学习探究类：带电粒子在组合场、叠加场及立体空间中的运动。 复习目标 1.掌握带电粒子在组合场中的运动规律。 2.掌握带电粒子在叠加场中的运动规律。 3.会分析带电粒子在交变电、磁场中的运动问题。 4.会处理带电粒子在匀强磁场中的螺旋线运动和在叠加场中的旋进运动。 5.掌握解决带电粒子在立体空间中的运动问题的解题思路和处理方法。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 考点精讲·靶向突破 ——拆解核心考点，归纳解题范式 考点一 带电粒子在叠加场中的运动 知识点1 带电粒子在叠加场中的运动 知●识●解●构 1.叠加场 在同一区域电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 2.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G=mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关 重力做功改变物体的重力势能 电场 大小：F=qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 静电力做功与路径无关 W=qU 静电力做功改变电势能 磁场 大小：F=qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能 3.关于是否考虑粒子重力的三种情况 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。 （2）在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 （3）不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。 4.带电粒子在叠加场中常见的几种运动形式 运动性质 受力特点 方法规律 匀速直线运动 其他力的合力与洛伦兹力等大反向 平衡条件 匀速圆周运动 除洛伦兹力外，其他力的合力为零 牛顿第二定律、圆周运动的规律 较复杂的曲线运动 除洛伦兹力外，其他力的合力既不为零，也不与洛伦兹力等大反向 动能定理、能量守恒定律 5.带电粒子在叠加场中运动的分析方法 考●向●破●译 考向1 带电粒子在叠加场中的直线运动 【重】 例1 (2026·北京一零一中学)如图所示，位于竖直面内的矩形区域内，存在相互正交且恒定的匀强电场和匀强磁场，其中磁场方向垂直于矩形平面。一带电粒子（不计重力）以初速度由点垂直左边界进入这个区域，带电粒子沿直线运动，并从点离开场区。如果撤去磁场，该粒子将从点离开场区；如果撤去电场，该粒子将从点离开场区。则下列判断正确的是（　　） A．该粒子由、、三点离开场区时的动能均不相同 B．该粒子由点运动到、、三点的时间均不相同 C．若电场方向竖直向下，则磁场方向垂直于纸面向外 D．电场和磁场都保留且不变，增加初速度则粒子可能从点下方离开区域 【变式训练1·变载体】(2025·北京第二中学)如图所示为一个质量为m、电荷量为+q的圆环，可在水平放置的粗糙细杆上自由滑动，细杆处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，圆环以初速度v0向右运动直至处于平衡状态，重力加速度为g，则圆环克服摩擦力做的功不可能为（　　） A．0 B． C． D． 【变式训练2·变情境】(2026·北京师范大学第二附属中学)如图所示，地面附近某真空环境中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面向里，一个带正电的油滴，沿着一条与竖直方向成角的直线MN运动，由此可以判断（　　） A．匀强电场方向一定是水平向右 B．油滴沿直线一定做匀加速运动 C．运动过程中电场力做正功 D．油滴一定是从点运动到点 思维建模 带电粒子在叠加场中的直线运动的规律 1.带电粒子在电场和磁场的叠加场中做直线运动，静电力和洛伦兹力一定相互平衡，因此可利用二力平衡解题。 2.带电粒子在电场、磁场、重力场的叠加场中做直线运动，则粒子一定处于平衡状态，因此可利用平衡条件解题。 考向2 带电粒子在叠加场中的圆周运动 【重】 例2 （2025·北京第一零一中学·三模）如图所示的MNPQ区域内有竖直向上的匀强电场和沿水平方向的匀强磁场，现有两个带电微粒、均从边界的点处先后沿水平方向进入该区域中，并都恰能做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（　　） A．a、b两微粒均带正电 B．a、b两微粒在该区域运动周期一定相等 C．a、b两微粒在该区域运动的圆周运动半径一定相等 D．仅增加磁场强度a、b一定都能做匀速圆周运动 【变式训练1·变情境】(2026·北京第八中学)我国空间站的霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。一电子从点沿轴正方向水平入射，当入射速度为时，电子沿轴做直线运动；当入射速度为时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。图示点为最高点，点为最低点，点与点相距。不计重力及电子间相互作用，下列说法错误的是（　　） A．电场强度的大小 B．电子向上运动的过程中动能逐渐增加 C．电子运动到最高点的速度大小为 D．电子从点运动到最低点所用时间为 【变式训练2·变情境】(2026·北京中国人民大学附属中学)（多选）如图为空间站推进器的简化图，在很窄的圆环空间内有沿半径向外的磁场I，其磁感应强度大小可近似认为处处相等；垂直圆环平面加有匀强磁场II和垂直圆环平面向里的匀强电场（图中未画出），磁场II与磁场I的磁感应强度大小相等。已知电子质量为m、电荷量为-e，若电子恰好可以在圆环内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动，则（ ） A．电子沿逆时针方向运动 B．垂直环平面的磁场II方向为垂直圆环平面向里 C．电场强度大小为 D．质子也可以在圆环空间内做半径为R、速率为v的匀速圆周运动 思维建模 带电粒子在叠加场中的圆周运动的规律 1.带电粒子做匀速圆周运动的隐含条件是必须考虑重力，且电场力和重力平衡。 2.洛伦兹力提供向心力和带电粒子只在磁场中做圆周运动的解题方法相同。 考向3 带电粒子在叠加场中的一般曲线运动 【重】 例3 （2026·北京顺义·一模）如图所示，平放在光滑水平面上的试管，其内壁光滑，底部有一个带电小球（可抽象为点电荷模型），小球直径略小于试管的直径，空间有竖直向下的匀强磁场。试管在外力的作用下向右匀速运动，带电小球最终从管口飞出。下列说法正确的是（ ） A．小球带负电 B．小球离开试管前，洛伦兹力对小球做正功 C．小球离开试管前的运动轨迹是一条抛物线 D．小球受到洛伦兹力的方向始终由试管底指向试管口 【变式训练1·变情境】（2026·北京房山·一模）如图所示，两个带等量异种电荷的平行金属板，板间加垂直纸面向里的匀强磁场，一粒子以某一速度垂直电场方向和磁场方向进入，运动轨迹为图中实线。已知磁感应强度为B，电场强度为E，下列说法正确的是（　　） A．粒子运动轨迹是抛物线 B．粒子射入的速度一定大于 C．粒子射出时的速度一定大于射入时的速度 D．若粒子从右侧进入一定不能沿直线从左侧离开 【变式训练2·变思维】(2026·北京铁路第二中学)如图所示，两平行极板水平放置，两板间有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁场的磁感应强度为。一束质量均为、电荷量均为的粒子，以不同速率沿着两板中轴线方向进入板间后，速率为的甲粒子恰好做匀速直线运动；速率为的乙粒子在板间的运动轨迹如图中曲线所示，为乙粒子第一次到达轨迹最低点的位置，乙粒子全程速率在和之间变化。研究一般的曲线运动时，可将曲线分割成许多很短的小段，这样质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，采用圆周运动的分析方法来处理。不计粒子受到的重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（　　） A．乙粒子的运动轨迹是抛物线 B．乙粒子偏离中轴线的最远距离为 C．乙粒子的运动轨迹在处对应圆周的半径为 D．乙粒子从进入板间运动至位置的过程中，在竖直方向上做减速运动 考点二 带电粒子在组合场中的运动 知识点1 带电粒子在组合场中的运动 知●识●解●构 1.组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场交替出现。 2．“磁偏转”和“电偏转”的比较 电偏转 磁偏转 偏转条件 带电粒子以v⊥E进入匀强电场(不计重力) 带电粒子以v⊥B进入匀强磁场(不计重力) 受力情况 只受恒定的电场力F＝Eq 只受大小恒定的洛伦兹力F＝qvB 运动情况 类平抛运动 匀速圆周运动 运动轨迹 抛物线 圆弧 求解方法 利用类平抛运动的规律，x＝v0t，y＝ at2，a＝，tan θ＝ 利用牛顿第二定律、向心力公式，r＝，T＝，t＝ 3.电场与磁场的组合 （1）先电场后磁场 ①带电粒子先在匀强电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，如图。 ②带电粒子先在匀强电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做匀速圆周运动，如图。 注意：进入磁场的速度是离开电场的末速度，而非进入电场的初速度。 （2）先磁场后电场 ①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反(如图甲所示)。 ②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图乙所示)。 4.分析思路 （1）画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图。 （2）找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度（包括大小和方向）是解决该类问题的关键。 （3）划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理。 5.常见粒子的运动及解题方法 考●向●破●译 考向1 电场与磁场的组合 【重】 例1 （2026·北京丰台·二模）如图所示，粒子发射源S向外释放质量为m、电荷量为q的带电粒子。粒子的初速度为零，经加速电场加速后，以速度v垂直于磁场方向，并垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ=60°，忽略重力对带电粒子运动的影响，求： (1)加速电场的电压U； (2)磁场的磁感应强度的大小B； (3)若在磁场区域再施加一匀强电场，使粒子做匀速直线运动。求匀强电场的电场强度E的大小和方向。 【变式训练1·变载体】（2026·北京顺义·一模）如图所示为一种质谱仪的工作原理图，此质谱仪由以下几部分构成：离子源、加速电场、静电分析器、磁分析器、收集器。静电分析器的四分之一圆弧通道中心线所在圆的半径为，通道内有径向电场，中心线处的电场强度大小为；磁分析器是以为圆心的四分之一圆形区域，其左边界与静电分析器的右边界平行，区域内有磁感应强度大小方向垂直于该区域所在平面的匀强磁场。由离子源发出质量为电荷量为的一个正离子经加速电场加速后进入静电分析器，沿中心线做匀速圆周运动，而后由点进入磁分析器中，最终经点沿垂直于方向进入收集器（不计离子离开离子源的初速度及离子重力）。 (1)求离子在静电分析器中运动的速度大小； (2)求加速电场的加速电压； (3)判断磁分析器中磁场的方向并计算离子在磁分析器中的运动时间。 【变式训练2·变载体】（2025·北京西城·一模）图1为一种测量电子比荷（电荷量e与质量m之比）的实验装置。两块金属圆盘M、N平行放置，间距为d，照相底片环绕圆盘，距圆盘边缘的径向距离为L。整个装置放在真空中。在两圆盘中心连线的中央有一点状粒子源，向各个方向均匀发射速度大小不同的电子，由于d很小，只有速度方向平行圆盘的电子才能射出圆盘区域。 磁感应强度 M、N间电势差 模式1 0 0 模式2 B -U 模式3 -B U 装置所在空间的匀强磁场的磁感应强度和M、N间的电势差按表格所示的三种模式切换，表中B、U均为已知。以水平向右为磁场的正方向，电场只存在于圆盘间。图2为装置的俯视图，定义角度θ为底片上某点和圆盘中心的连线与磁感应强度正方向的夹角。 (1)判断在θ=90°和270°两个方向中，哪个方向在三种模式下均会有电子从圆盘区域射出，求在模式2、3情况下射出电子的速度大小v0. (2)在（1）中有电子射出的方向上，求在模式2、3情况下，电子打在底片上的位置间的距离y0与比荷的关系。 (3)经过三种模式的反复切换，取有曝光线条的一段底片进行分析，如图3所示。研究人员发现，电子在磁场中运动的轨迹半径远大于L，可将电子在偏转过程中受到的洛伦兹力视为恒力。为充分利用数据测出电子的比荷，测量不同角度θ及对应的上下两条曝光曲线间距y，获取多组数据。以y为纵坐标轴，合理选择横坐标轴，就能将数据拟合为一条过原点的直线，使其斜率等于电子的比荷。请写出横坐标轴的表达式。 思维建模 带电粒子在电场与磁场的组合场中运动的常见情景 1.带电粒子在匀强电场中做匀变速直线运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 2.带电粒子在匀强电场中做类平抛（或类斜抛）运动，在匀强磁场中做匀速圆周运动，如图所示。 考向2 磁场与磁场的组合 例2(2025·北京通州区)MM50是新一代三维适形和精确调强的放射治疗尖端设备，其核心技术之一是多级能量跑道回旋加速器，其工作原理如图所示。两个匀强磁场区域I、II的边界平行，相距为，磁感应强度大小均为，方向垂直纸面向外。下方两条横向虚线之间的区域存在水平向左的匀强电场（两条横向虚线之间的区域宽度很窄，可忽略不计），方向与磁场边界垂直。某一质量为、电荷量为的电子从端飘入电场（初速度忽略不计），经过多次的电场加速和磁场偏转后，电子从位于边界上的出射口处向左射出磁场并被收集。已知、之间的距离为，匀强电场的电场强度大小为，电子的重力不计，不考虑相对论效应。求： (1)该电子第一次加速至端时速度的大小； (2)该电子从端飘入电场到第一次回到端的过程中所用的时间； (3)为适应不同深度和类型的放射治疗需求，MM50设备在出射口处收集的高能电子的动能大小需要在一定范围内连续可调。有同学认为，在其他条件不变的情况下，可以通过只调节匀强电场的电场强度的大小或只调节两个匀强磁场区域边界的距离来实现。请你判断该同学的说法是否正确，并简要说明理由。 【变式训练1·变情境】(2025·北京顺义区)如图所示，粒子源产生初速度不计的带电粒子。带电粒子经加速电场加速后，垂直射入由单碳原子层组成的石墨晶体，在每两个碳层之间有垂直纸面向里的匀强磁场，第一与第二碳层间的磁感应强度为2B，第二与第三碳层间的磁感应强度为3B，磁感应强度逐层递增。粒子从P点垂直射入第一碳层，并与该层一个静止的碳原子碰撞而结合形成一个新粒子。此后，新粒子每经过一层碳层都会再与一个碳原子碰撞而结合形成一个更新的粒子。上述所有碰撞过程动量守恒。已知带电粒子质量为m，带电量为，碳原子的质量也为m，加速电场电压为U。不计粒子和碳原子的重力及粒子间的相互作用，碳层厚度忽略不计。 (1)求粒子从加速电场射出时的速度大小； (2)求粒子在第一和第二碳层之间做圆周运动的半径大小R； (3)由于粒子在磁场中做曲线运动，恰好无法穿过第n层碳层，求从粒子进入第一至到达第n碳层所用的时间t。 【变式训练2·变角度】如图所示，在水平面上建立平面直角坐标系，以坐标原点为圆心，半径的圆形区域内有竖直向下的匀强磁场，在轴负半轴且外有竖直向上的匀强磁场，其大小可调节。在坐标的点，有一粒子源，可向水平面上各个方向射出质量、电荷量、速率的带负电粒子，不计粒子重力和粒子相互作用。 (1)为使粒子不进入圆形区域，求匀强磁场应满足的条件； (2)若粒子在点沿轴正方向射出，恰能进入圆形磁场区域，求匀强磁场的大小； (3)若，现让粒子在点沿轴正方向射出，经过点时，速度沿轴正方向，求匀强磁场的大小。 思维建模 带电粒子在磁场与磁场的组合场中运动的分析技巧 磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。 考点三 带电粒子在交变电磁场中的运动 知识点1 带电粒子在交变电磁场中的运动 知●识●解●构 1.交变电、磁场的常见类型 2.解决带电粒子在交变电磁场中的运动问题的基本思路 考●向●破●译 考向1 交变电场与磁场结合 例1如图甲所示，在，的区域中，存在平行板电容器，板长，板间距也是，极板上加周期性电压如图乙所示，电容器右侧的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场，磁感应强度，电容器左侧的周围分布着垂直纸面向里的恒定匀强磁场。一个质量为，电荷量为的带正电粒子在时刻从点沿轴方向以进入极板间（不计粒子重力），从上极板边缘飞出电容器，粒子恰好能再次经过点完成周期性运动。求： (1)交流电的电压大小。 (2)磁场的磁感应强度的大小。 (3)交流电的周期。 【变式训练1·变情境】通过电磁场控制带电粒子的运动是现代化的重要技术。如图1所示，两块平行正对金属板水平放置，两侧分布着以虚线为边界垂直纸面向里和向外的匀强磁场，磁感应强度大小均为，左侧靠近下方金属板边缘有一个粒子输送管道，管道不仅可以屏蔽管外磁场的影响，而且可以对带电粒子起到匀加速作用。已知上、下两金属板间加上如图2所示矩形交变电压，电压大小为，周期为，一带电粒子在时从管道左侧无初速度释放，经管道加速后，在时刻离开管道进入金属板之间区域，在时刻离开金属板之间区域，又在时刻从下金属板右侧边缘水平向左进入金属板之间区域，粒子运动的部分轨迹如图1中虚线所示。已知金属板长度是板间距离的倍，忽略粒子所受的重力、管道直径大小和场的边缘效应和交变效应。 (1)判断带电粒子的电性，并求其比荷； (2)求管道的长度和金属板的长度； (3)求带电粒子回到下金属板左侧边缘的可能时刻； (4)若在右边磁场中增加竖直方向的匀强电场，使得带电粒子不从右侧磁场的左边界飞出，则：①请判定此匀强电场的方向； ②小明计算了满足此要求的电场强度大小的取值值范围为，请观察并论证这一结果是错误的（不要求写出具体范围）。 考向2 交变磁场与电场结合 例2在未来太空粒子研究站“激光号”中，科学家利用环形装置研究高能粒子特性，其内部结构可简化为如图甲所示的模型，在xOy平面内存在一个半径为R的圆形匀强磁场区域，时磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度随时间变化如图乙所示，在范围内存在竖直向下的匀强电场，在范围内存在竖直向上的匀强电场，两处电场强度大小相同。已知A点坐标为(-R，0)，一质量为m、带电量为的粒子在A点以初速度v进入圆形磁场，经过T时间达到(R，0)位置，然后进入右侧的匀强电场中，在经过T时间后从(R，0)位置进入磁场中，不计粒子重力，则（ ） A．磁场的大小和电场的大小的比值为 B．磁场的大小和电场的大小的比值为 C．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 D．粒子运动一个周期，运动的轨迹长度为 【变式训练1·变思维】如图甲所示，在平面直角坐标系xOy中，在直线和y轴之间有垂直纸面的匀强交变磁场，磁场方向垂直纸面向外为正方向，磁感应强度的大小和方向变化规律如图乙所示；在直线（图中虚线）右侧有沿x轴负方向的匀强电场。t=0时，一带正电的粒子从y轴上的P点沿与y轴正方形成45°角射入匀强交变磁场，在t=3t0时垂直穿过x轴，一段时间后粒子恰好沿原路径回到P点。粒子可视为质点、重力不计，忽略由于磁场变化引起的电磁效应，求： (1)粒子的比荷； (2)粒子的初速度大小v0； (3)匀强电场的场强大小E。 【变式训练2·变情境】如图甲所示，两金属板M、N水平放置组成平行板电容器，在M板中央开有小孔O，再将两个相同的绝缘弹性挡板P、Q对称地放置在M板上方，且与M板夹角均为，两挡板的下端在小孔O左右两侧。现在电容器两板间加电压大小为U的直流电压，在M板上方加上如图乙所示的、垂直纸面的交变磁场，以方向垂直纸面向里为磁感应强度的正值，其值为，磁感应强度为负值时大小为，但未知。现有一质量为m、电荷量为+q、不计重力的带电粒子，从N金属板中央A点由静止释放，时刻，粒子刚好从小孔O进入上方磁场中，在时刻粒子第一次撞到左挡板P上，紧接着在时刻粒子撞到了右挡板Q上，然后粒子又从O点竖直向下返回平行金属板间，接着再返回磁场做前面所述的运动。粒子与挡板碰撞前后电量不变，沿板面的分速度不变，垂直于板面的分速度大小不变、方向相反，不计碰撞的时间及磁场变化产生的感应影响，（和未知）。求： (1)粒子第一次到达小孔O时的速度大小。 (2)图乙中磁感应强度的大小。 (3)两金属板M和N之间的距离d。 考点四 带电粒子在三维空间中的运动 知识点1 带电粒子在三维空间中的运动 知●识●解●构 1.如果带电粒子在磁场中运动的速度方向与磁感应强度方向不垂直时粒子的运动为螺旋线运动，则常见运动形式有两种情况： （1）空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就做螺旋线运动。这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。 （2）空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场方向的匀速圆周运动。 2.分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间中的位置关系。带电粒子依次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题。有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动（比如螺旋线运动和旋进运动）来求解。 考●向●破●译 考向1 带电粒子的螺旋线运动 例1如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ（）的空间分布着沿x轴正方向的匀强电场E（大小未知），在区域Ⅱ（）的空间分布着沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在区域Ⅲ（）的空间分布着沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为（大小未知）。在x轴上处有一带正电粒子，质量为m，电荷量为q，沿y轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过y轴上的P点进入区域Ⅱ，已知P点坐标为，从区域Ⅱ的Q点（图中未画出）穿出后，恰好不会从区域Ⅲ右边界穿出，不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)电场强度大小E。 (2)Q点的三维坐标。 (3)磁感应强度的大小。 【变式训练1·变思维】（多选）如图所示，在空间直角坐标系中，的区域内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向沿z轴负向，的区域内存在磁感应强度大小为的匀强磁场，方向与xOy平面平行且与y轴正向夹角为45°。在坐标为的P点发射一个质量为m、电荷量为（）的粒子，粒子的初速度沿x轴正向、y轴正向、z轴正向的分量分别为、、。一段时间后粒子从x轴上的M点（未画出）由的区域进入的区域，粒子速度第一次与M点速度相同时恰好经过y轴上的N点（未画出）。已知，不计粒子的重力，忽略场的边界效应，下列说法正确的是（　　） A．M点的坐标为 B．N点的坐标为 C． D． 【变式训练2·变角度】如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ的空间分布着沿轴正方向的匀强电场，在区域Ⅱ的空间分布着沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，有一平行于平面的无限大荧光屏（图中未画出）。在平面内处正下方有速度大小为0的粒子源可发射带正电粒子进入大小可调的加速电场，质量为，电荷量为。当加速电压取最大值时，粒子沿轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过轴上的点进入区域Ⅱ，已知点坐标为，最终打到荧光屏上的点（图中未画出）。不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)最大加速电压和电场强度大小； (2)当荧光屏处于处时，求点的三维坐标； (3)当荧光屏处于处时，调加速电场的大小，则粒子打在荧光屏上的位置与的关系（可用表示）。 考向2 带电粒子在立体空间中的偏转 例2（多选）如图，在空间直角坐标系中，平面为一挡板，挡板左侧有沿z轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。挡板右侧有沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B。y轴上距离坐标原点O为L的P处有一粒子发射源，可向xOy平面内y轴左侧180°方向范围内不断发射带正电的粒子。粒子质量均为m，电荷量均为q，速度介于0到之间的任意值。挡板在坐标原点O处有一小孔，打到挡板上的粒子均被挡板吸收，从小孔穿出到达挡板右侧的所有粒子，速度的最大值是最小值的2倍，最终打在垂直x轴放置的接收屏上，形成亮斑。接收屏和挡板都足够大，不考虑粒子间的作用力。下列说法正确的是（　　） A． B．穿过小孔的粒子速度方向集中在120°的范围内 C．当接收屏到O点的距离为L时，亮斑为一个点 D．当接收屏到O点的距离为时，亮斑为一条长为的直线段 【变式训练1·变情境】（多选）在半导体器件制造中，离子注入的角度控制是决定其性能的关键之一，其控制过程可简化为如图所示模型。空间直角坐标系o-xyz中有一个长为4L、高为2L的长方体区域，被正方形abcd等分成左右两个相等的正方体空间Ⅰ和空间Ⅱ，整个长方体空间（含边界）存在沿x轴正方向的匀强电场E，同时空间Ⅱ还存在沿x轴正方向的匀强磁场B（图中均未标出）。已知一个质量为m，电荷量为q的离子从ON边的中点P以速度v0平行于z轴正方向射入，一段时间后该离子经过正方形abcd的中心点Q，且离子在空间Ⅱ运动的过程中，恰好未从xoz面飞出，不计离子重力和空气阻力，不考虑其他影响，则（　　） A．该离子带负电 B．空间Ⅰ中匀强电场的电场强度大小 C．空间Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小 D．该离子离开此区域时速度与x轴正方向的夹角满足 【变式训练2·变载体】如图所示，在三维坐标系中存在一长方体，平面左侧存在沿轴负方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，右侧存在沿方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度从点沿平面进入磁场，经点垂直平面进入右侧磁场，此时撤去平面左侧的磁场，换上电场强度为（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在棱上。已知、，，粒子的电量为，质量为（重力不计）。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子经过平面的坐标； (3)电场强度的大小。 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2025·广西·高考）（多选）如图，带等量正电荷q的M、N两种粒子，以几乎为0的初速度从S飘入电势差为U的加速电场，经加速后从O点沿水平方向进入速度选择器（简称选择器）。选择器中有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。当选择器的电场强度大小为E，磁感应强度大小为B1，右端开口宽度为2d时，M粒子沿轴线OO′穿过选择器后，沿水平方向进入磁感应强度大小为B2、方向垂直纸面向外的匀强磁场（偏转磁场），并最终打在探测器上；N粒子以与水平方向夹角为θ的速度从开口的下边缘进入偏转磁场，并与M粒子打在同一位置，忽略粒子重力和粒子间的相互作用及边界效应，则（　　） A．M粒子质量为 B．刚进入选择器时，N粒子的速度小于M粒子的速度 C．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′穿过选择器，此时选择器的电场强度与磁感应强度大小之比为 D．调节选择器，使N粒子沿轴线OO′进入偏转磁场，打在探测器上的位置与调节前M粒子打在探测器上的位置间距为 2．（2025·河北·高考）（多选）如图，真空中两个足够大的平行金属板水平固定，间距为板接地。M板上方整个区域存在垂直纸面向里的匀强磁场。M板O点处正上方P点有一粒子源，可沿纸面内任意方向发射比荷、速度大小均相同的同种带电粒子。当发射方向与的夹角时，粒子恰好垂直穿过M板Q点处的小孔。已知，初始时两板均不带电，粒子碰到金属板后立即被吸收，电荷在金属板上均匀分布，金属板电量可视为连续变化，不计金属板厚度、粒子重力及粒子间的相互作用，忽略边缘效应。下列说法正确的是（　　） A．粒子一定带正电 B．若间距d增大，则板间所形成的最大电场强度减小 C．粒子打到M板上表面的位置与O点的最大距离为 D．粒子打到M板下表面的位置与Q点的最小距离为 3．（2025·山东·高考）（多选）如图甲所示的平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．区域I内电场强度大小，方向沿y轴正方向 B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径 C．区域Ⅱ内磁感应强度大小，方向垂直平面向外 D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标 4．（2026·北京·高考）药物研发中常需要二级质谱分析。一级质谱分析只能检出与目标离子具有相同比荷的离子（母离子）。为进一步鉴别目标离子，需将母离子打碎成更小的离子（子离子），进行第二次质谱分析。某种二级串联质谱系统装置如图所示，假设离子均带正电。 (1)第一级质谱：A区中的离子由静止经电场加速后，垂直进入磁感应强度为的匀强磁场，比荷为的母离子做半径为的匀速圆周运动进入区。求加速电压。 (2)两级质谱连接：C区产生的子离子经聚焦、冷却后，由静止经电压加速后进入D区。为保证不同比荷的子离子均由小孔垂直进入第二级质谱的磁场，在区施加某种场，使这些子离子都做以点为圆心、半径为的匀速圆周运动。请设计区中的场： a．推导说明仅施加匀强磁场是否可行； b．推导说明仅施加电场是否可行。 5．（2025·河南·高考）如图，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、带电量为q（）的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为。不计重力。 (1)求磁感应强度的大小； (2)求电场强度的大小； (3)若粒子从a点以竖直向下发射，长时间来看，粒子将向左或向右漂移，求漂移速度大小。（一个周期内粒子的位移与周期的比值为漂移速度） 1 / 19 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