5.3 诱导公式专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上学期 第五章 三角函数 专项训练 5.3 诱导公式（六大题型）专项训练 人教A版必修第一册数学高一上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第五章 三角函数 5.3） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．全卷分六个考点，每个考点的题目按基础、中档、难排列，建议先读考点归纳再动笔。 2．用诱导公式前先把角改写成2kπ＋α、π±α、－α、±α的形式，再对照相应的公式写出函数名和符号。 3．给值求值题先找已知角与所求角的和或差是否为或π的整数倍，开方时依据角的范围定号。 内容速览　六考点39题（选16·填16·解7）｜解析版 17 页：速查表、答案、详解｜配图 2 幅 　考点归纳 1．公式二、三、四的化简与求值：π＋α、－α、π－α型的求值，负角、大角化为锐角，含这三组公式的分式化简 2．公式五、六的应用：±α型的正余弦互化，互余角的条件求值，单位圆中关于直线y＝x的对称 3．诱导公式的综合化简：多组公式连用的化简，特殊角的混合求值，配对求和与求积，含整数k的分类化简 4．给值求值与象限讨论：由一个三角函数值求另一个式子的值，互补、互余角的整体代换，依据范围或象限定号 5．诱导公式与同角关系的综合：先用诱导公式化名再用商数关系，齐次式求值，sinα±cosα与sinαcosα的转化 6．综合应用：三角形内角和与诱导公式，含参数的函数值，循环出现的函数值求和，压轴2题 　考点01　公式二、三、四的化简与求值 1．cos210°的值是(____)。 A．－ B． C．－ D． 2．利用诱导公式求值：sin(－)＝________。 3．把－600°角的正切化为锐角的三角函数再求值，tan(－600°)等于(____)。 A．－ B． C．－ D． 4．把化简（式中各项均有意义），所得结果为________。 5．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)的值为(____)。 A．－1 B． C．－ D．1 6．如图，角α的终边与单位圆交于点P(－，)，点Q与点P关于x轴对称，则sin(－α)－cos(π+α)＝________。 7．已知f(α)＝。 (1)化简f(α)； (2)若α＝－，求f(α)的值； (3)若α是第三象限角，且sin(α－3π)＝，求f(α)的值。 　考点02　公式五、六的应用 8．设M＝cos(－α)，N＝sin(+α)，当N≠0时，化简后等于(____)。 A．1 B．tanα C．－tanα D．－1 9．已知sinα＝，则cos(+α)＋sin(π+α)＝________。 10．角α的终边落在第四象限，并且sin(+α)＝，由此求出的sin(π+α)是(____)。 A．－ B． C．－ D． 11．已知sin(x+)＝，且＜x＜，则sin(－x)＝________。 12．下列等式中，对任意使式子有意义的角α都成立的是(____)。 A．sin(α－)＝cosα B．cos(－α)＝sinα C．tan(π－α)＝tanα D．sin(+α)＝－cosα 13．如图，角α的终边与单位圆交于点P(，)，点Q与点P关于直线y＝x对称，点R与点Q关于y轴对称。 (1)求点Q，R的坐标； (2)以OQ为终边的角记为β，求sinβ，cosβ的值，并写出β与α之间的关系式； (3)以OR为终边的角记为γ，求tanγ的值，并求sin(+α)－cos(+α)的值。 　考点03　诱导公式的综合化简 14．记U＝sin(π+α)cos(－α)，V＝sin(－α)cos(+α)，当V≠0时，分式化简的结果是(____)。 A．－1 B．1 C．－tanα D．tanα 15．式子sin(α－π)＋cos(－α)＋2sin(π－α)化简后的结果是________。 16．一个分式的分子是sin(2π－α)cos(π+α)cos(+α)，分母是cos(π－α)sin(3π+α)sin(－α－)（分母不为0），利用诱导公式把它化成最简形式，结果为(____)。 A．tanα B．1 C．－tanα D．－1 17．求和：sin²1°＋sin²2°＋sin²3°＋…＋sin²88°＋sin²89°＝________。 18．cos()＋tan(－)＋sin()的值为(____)。 A．1 B．1－ C．－1 D．1＋ 19．求正切值的连乘积：tan5°·tan10°·tan15°·…·tan80°·tan85°＝________。 20．已知k∈Z，E＝。 (1)求使E有意义的角α的取值集合； (2)当k为偶数时，化简E； (3)当k为奇数时，化简E。 　考点04　给值求值与象限讨论 21．设α∈(－，0)，若cos(π－α)＝－，那么tan(π+α)的值是(____)。 A．－ B． C． D．－ 22．已知cos(α+π)＝，且α∈(，π)，则sin(3π－α)＝________。 23．已知cos(－α)＝，则cos(+α)－sin²(α－)的值为(____)。 A．－1 B．－ C．－ D． 24．已知cos(π+α)＝，则tan(π－α)的所有可能取值为________。 25．已知cos(40°+α)＝，且－130°＜α＜－40°，则cos(50°－α)的值为(____)。 A．－ B．－ C． D． 26．已知sin(α－)＝－，且0＜α＜，则sin(+α)·cos(－α)＝________。 27．已知cos(θ+)＝，且－＜θ＜－。 (1)求sin(θ+)的值； (2)求cos(－θ)的值； (3)求tan(θ+)的值。 　考点05　诱导公式与同角关系的综合 28．已知tan(π+α)＝3，某分式的分子是2sin(π－α)－cos(π+α)，分母是sin(+α)＋sin(－α)，则这个分式的值为(____)。 A．－ B． C．－ D．－ 29．已知tan(α－π)＝－，令m＝cos(+α)＋sin(－α)，n＝cos(π－α)，则的值为________。 30．若sin(π－α)与cos(π+α)的差等于，则乘积sin(－α)cos(2π－α)的值为________。 31．已知cos(－α)＋sin(+α)＝－，且α∈(0，π)，则tan(π－α)的值等于(____)。 A． B． C．－ D．－ 32．已知tan(－α)＝－4，则sin(π+α)cos(+α)＋2sin(－α)cos(π－α)＝________。 33．已知＝。 (1)求tanα的值； (2)求sin(－α)cos(π－α)＋cos²(+α)的值； (3)若α是第三象限角，求sin(α+)＋cos(α－)的值。 　考点06　综合应用 34．在△ABC中，下列关系式一定成立的是(____)。 A．cos(A+C)＝cosB B．tan(A+B)＝tanC C．sin(2A+B+C)＝sinA D．cos()＝sin() 35．在△ABC中，cos(B+C)＝，则sinA＝________。 36．设f(n)＝cos()（n∈N*），则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2027)＝________。 37．已知f(x)＝asin(πx+α)＋bcos(πx+β)＋3，其中a，b，α，β都是非零实数。若f(2026)＝5，则f(2027)的值是(____)。 A．－2 B．1 C．－5 D．5 38．在△ABC中，sin(3π－A)＝cos(－B)，cos(－A)＝－cos(π－B)。 (1)利用诱导公式，把两个已知等式化成角A，B的正弦、余弦之间的关系式； (2)求cosA的值； (3)求角A，B，C的大小，并判断△ABC的形状。 39．在△ABC中，sin(π－A)＋cos(B+C)＝。 (1)求sinAcosA的值； (2)求sinA＋cosA的值； (3)求tan(B+C)的值。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 C － A cosα D － B 题号 9 10 11 12 14 15 16 答案 － B － D A 0 C 题号 17 18 19 21 22 23 24 答案 A 1 D C 或－ 题号 25 26 28 29 30 31 32 答案 B － C － A 题号 34 35 36 37 答案 D －1 B 　考点01　公式二、三、四的化简与求值 1．【答案】C 【解析】210°＝180°＋30°，由公式二，cos210°＝cos(180°+30°)＝－cos30°＝－。 所以选C。 A项：把余弦错当成正弦，得－sin30°，按此错法真算得－；B项：用公式二时漏掉了负号，写成cos(180°+30°)＝cos30°，按此错法真算得；D项：既漏掉负号又把余弦错当成正弦，得sin30°，按此错法真算得。 2．【答案】－ 【解析】由公式三，sin(－)＝－sin()。 ＝2π＋，由公式一，sin()＝sin()；由公式四，sin()＝sin(π－)＝sin()＝。 所以sin(－)＝－。 3．【答案】A 【解析】由公式三，tan(－600°)＝－tan600°。 600°＝360°＋240°，由公式一，tan600°＝tan240°；240°＝180°＋60°，由公式二，tan240°＝tan60°＝。 所以tan(－600°)＝－。 所以选A。 B项：用公式三时漏掉了负号，把tan(－600°)当成tan600°，按此错法真算得；C项：把正切记成余弦与正弦的比，得－，按此错法真算得－；D项：把正切错当成正弦，得－sin240°，按此错法真算得。 4．【答案】cosα 【解析】sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－sinα（公式三、公式四），cos(π－α)＝－cosα（公式四）， tan(－α)＝－tanα（公式三），cos(α+π)＝cos(π+α)＝－cosα（公式二）。 所以原式＝＝＝sinα·＝cosα。 5．【答案】D 【解析】sin(－1200°)＝－sin1200°＝－sin(3×360°+120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－； cos1290°＝cos(3×360°+210°)＝cos210°＝－cos30°＝－； cos(－1020°)＝cos1020°＝cos(3×360°－60°)＝cos(－60°)＝； sin(－1050°)＝－sin1050°＝－sin(3×360°－30°)＝－sin(－30°)＝。 所以原式＝(－)×(－)＋×＝＋＝1。 所以选D。 A项：把公式三记成sin(－α)＝sinα，两处正弦都没有变号，按此错法真算得－1；B项：把公式三记成cos(－α)＝－cosα，cos(－1020°)变了号，按此错法真算得；C项：化到cos210°后漏掉公式二的负号，把cos1290°算成，按此错法真算得－。 6．【答案】－ 【解析】点Q与点P关于x轴对称，所以Q(－，－)，以OQ为终边的角是－α，由三角函数的定义，sin(－α)＝－（这正是公式三：sin(－α)＝－sinα＝－）。 由三角函数的定义，cosα＝－，由公式二，cos(π+α)＝－cosα＝。 所以sin(－α)－cos(π+α)＝－－＝－。 7．【答案】（1）f(α)＝－cosα；（2）－；（3） 【解析】【解答】(1)cos(π－α)＝－cosα（公式四），sin(2π+α)＝sinα（公式一），tan(－α+π)＝tan(π－α)＝－tanα（公式四）， sin(－π－α)＝－sin(π+α)＝sinα（公式三、公式二），tan(－α)＝－tanα（公式三）。 所以f(α)＝＝－cosα。 (2)α＝－时，f(α)＝－cos(－)＝－cos()（公式三），＝10π＋，由公式一，cos()＝cos()＝，所以f(α)＝－。 (3)sin(α－3π)＝sin(α－π－2π)＝sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－sinα，所以－sinα＝，sinα＝－。 α是第三象限角，cosα＜0，所以cosα＝－＝－，f(α)＝－cosα＝。 　考点02　公式五、六的应用 8．【答案】B 【解析】cos(－α)＝sinα（公式五），sin(+α)＝cosα（公式六）， 所以＝＝tanα。 所以选B。 A项：用公式五时函数名没换，把cos(－α)化成cosα，按此错法真算得1；C项：把公式六记成sin(+α)＝－cosα，按此错法真算得－tanα；D项：用公式五时函数名没换且符号记错，把cos(－α)化成－cosα，按此错法真算得－1。 9．【答案】－ 【解析】cos(+α)＝－sinα（公式六），sin(π+α)＝－sinα（公式二）， 所以原式＝－sinα－sinα＝－2sinα＝－2×＝－。 10．【答案】B 【解析】sin(+α)＝sin(2π+(+α))＝sin(+α)＝cosα（公式一、公式六），所以cosα＝。 α是第四象限角，sinα＜0，所以sinα＝－＝－。 由公式二，sin(π+α)＝－sinα＝。 所以选B。 A项：用公式六时函数名没换，把sin(+α)化成sinα，得sinα＝，再得sin(π+α)＝－sinα，按此错法真算得－；C项：用公式二时漏掉了负号，把sin(π+α)化成sinα，按此错法真算得－；D项：把公式二与公式六混用，把sin(π+α)写成cosα，按此错法真算得。 11．【答案】－ 【解析】(－x)＋(x+)＝，所以sin(－x)＝sin[－(x+)]＝cos(x+)（公式五）。 由＜x＜得＜x＋＜π，所以cos(x+)＜0， cos(x+)＝－＝－，即sin(－x)＝－。 12．【答案】D 【解析】sin(+α)＝sin[π＋(+α)]＝－sin(+α)＝－cosα（公式二、公式六），所以sin(+α)＝－cosα恒成立。 所以选D。 A项错误，实际上sin(α－)＝－sin(－α)＝－cosα；B项错误，实际上cos(－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－sinα；C项错误，实际上由公式四，tan(π－α)＝－tanα。 13．【答案】（1）Q(，)，R(－，)；（2）sinβ＝，cosβ＝，β＝－α＋2kπ（k∈Z）；（3）tanγ＝－， 【解析】【解答】(1)点P(x，y)关于直线y＝x的对称点是(y，x)，所以Q(，)；点Q关于y轴的对称点横坐标变号，所以R(－，)。 (2)由三角函数的定义，sinβ＝，cosβ＝。 射线OQ与OP关于直线y＝x对称，以OQ为终边的角都与角－α的终边相同，所以β＝－α＋2kπ（k∈Z）。 此时sinβ＝sin(－α)＝cosα＝，cosβ＝cos(－α)＝sinα＝，与(1)算出的坐标一致（公式五）。 (3)由定义，tanγ＝＝÷(－)＝－。 由公式六，sin(+α)＝cosα＝，cos(+α)＝－sinα＝－， 所以sin(+α)－cos(+α)＝－(－)＝。（R的坐标(－，)恰为(－sinα，cosα)，γ可取＋α。） 　考点03　诱导公式的综合化简 14．【答案】A 【解析】sin(π+α)＝－sinα（公式二），cos(－α)＝sinα（公式五），sin(－α)＝－sinα（公式三），cos(+α)＝－sinα（公式六）， 所以U＝(－sinα)·sinα＝－sin²α，V＝(－sinα)(－sinα)＝sin²α，＝－1。 所以选A。 B项：把公式六记成cos(+α)＝sinα，漏掉了负号，按此错法真算得1；C项：用公式六时函数名没换，把cos(+α)化成－cosα，按此错法真算得－tanα；D项：用公式六时既没换函数名又漏掉负号，把cos(+α)化成cosα，按此错法真算得tanα。 15．【答案】0 【解析】sin(α－π)＝－sin(π－α)＝－sinα（公式三、公式四），cos(－α)＝cos[π＋(－α)]＝－cos(－α)＝－sinα（公式二、公式五），sin(π－α)＝sinα（公式四）， 所以原式＝－sinα－sinα＋2sinα＝0。 16．【答案】C 【解析】分子：sin(2π－α)＝－sinα（公式一、公式三），cos(π+α)＝－cosα（公式二），cos(+α)＝cos[π＋(+α)]＝－cos(+α)＝sinα（公式二、公式六）； 分母：cos(π－α)＝－cosα（公式四），sin(3π+α)＝sin(π+α)＝－sinα（公式一、公式二），sin(－α－)＝－sin(+α)＝－cosα（公式三、公式六）。 所以分子＝(－sinα)(－cosα)sinα＝sin²αcosα，分母＝(－cosα)(－sinα)(－cosα)＝－sinαcos²α，分式＝－＝－tanα。 所以选C。 A项：化sin(－α－)时漏掉公式三的负号，写成cosα，按此错法真算得tanα；B项：把cos(+α)化成－cosα（函数名没换，符号也错），按此错法真算得1；D项：用公式六时函数名没换，把cos(+α)化成cosα，按此错法真算得－1。 17．【答案】 【解析】由公式五，sin(90°－α)＝cosα，所以sin²89°＝cos²1°，sin²88°＝cos²2°，…，sin²46°＝cos²44°。 把sin²k°与sin²(90－k)°配成一对（k＝1，2，…，44），每对的和为sin²k°＋cos²k°＝1，共44对； 中间剩下一项sin²45°＝＝，所以原式＝44＋＝。 18．【答案】A 【解析】cos()＝cos(4π+)＝cos()＝（公式一）； tan(－)＝－tan()＝－tan(4π－)＝－tan(－)＝tan()＝1（公式三、公式一、公式三）； sin()＝sin(2π－)＝sin(－)＝－sin()＝－（公式一、公式三）。 所以原式＝＋1－＝1。 所以选A。 B项：把cos()按－cos()计算，多加了负号，按此错法真算得1－；C项：化简tan(－)时两次用公式三只变了一次号，得－1，按此错法真算得－1；D项：把sin()化成sin()，漏掉了负号，按此错法真算得1＋。 19．【答案】1 【解析】由公式五，sin(90°－α)＝cosα，cos(90°－α)＝sinα，所以当α为锐角时，tan(90°－α)＝＝， 于是tanα·tan(90°－α)＝·＝1。 把tan5°与tan85°、tan10°与tan80°、…、tan40°与tan50°配成8对，每对的积都是1，中间剩下tan45°＝1，所以原式＝1。 20．【答案】（1）{α|α≠，m∈Z}；（2）－1；（3）－1 【解析】【解答】(1)由公式一、公式二，sin[(k+1)π＋α]与cos(kπ+α)分别等于±sinα与±cosα， 所以E有意义当且仅当sinα≠0且cosα≠0，即α的终边不在坐标轴上，α的取值集合为{α|α≠，m∈Z}。 (2)设k＝2n（n∈Z）。sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα，cos[(2n－1)π－α]＝cos(－π－α)＝cos(π+α)＝－cosα， sin[(2n+1)π＋α]＝sin(π+α)＝－sinα，cos(2nπ+α)＝cosα，所以E＝＝－1。 (3)设k＝2n＋1（n∈Z）。sin[(2n+1)π－α]＝sin(π－α)＝sinα，cos(2nπ－α)＝cos(－α)＝cosα， sin[(2n+2)π＋α]＝sinα，cos[(2n+1)π＋α]＝cos(π+α)＝－cosα，所以E＝＝－1。 综上，不论k为奇数还是偶数，E的值都是－1。 　考点04　给值求值与象限讨论 21．【答案】D 【解析】由公式四，cos(π－α)＝－cosα，所以cosα＝。 α∈(－，0)，sinα＜0，所以sinα＝－＝－。 由公式二，tan(π+α)＝tanα＝＝－。 所以选D。 A项：把商数关系记反，按计算，按此错法真算得－；B项：既漏掉公式四的负号，又把商数关系记反，按此错法真算得；C项：把cos(π－α)化成cosα（漏掉负号），得cosα＝－，再按α∈(－，0)取sinα＝－，按此错法真算得。 22．【答案】 【解析】由公式二，cos(α+π)＝－cosα，所以cosα＝－。 α∈(，π)，sinα＞0，所以sinα＝＝。 sin(3π－α)＝sin(2π+(π－α))＝sin(π－α)＝sinα＝（公式一、公式四）。 23．【答案】C 【解析】(+α)＋(－α)＝π，所以cos(+α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－（公式四）。 sin(α－)＝－sin(－α)（公式三），所以sin²(α－)＝sin²(－α)＝1－cos²(－α)＝1－＝。 所以原式＝－－＝－。 所以选C。 A项：把sin²(α－)算成1－，漏掉了平方，按此错法真算得－1；B项：把sin²(α－)当成cos²(－α)，按此错法真算得－；D项：用公式四时漏掉负号，把cos(+α)化成cos(－α)，按此错法真算得。 24．【答案】或－ 【解析】由公式二，cos(π+α)＝－cosα，所以cosα＝－＜0，α是第二或第三象限角。 由公式四，tan(π－α)＝－tanα。 若α是第二象限角，sinα＝＝，tanα＝－，tan(π－α)＝； 若α是第三象限角，sinα＝－，tanα＝，tan(π－α)＝－。 所以tan(π－α)＝或－。 25．【答案】B 【解析】(40°+α)＋(50°－α)＝90°，所以cos(50°－α)＝cos[90°－(40°+α)]＝sin(40°+α)（公式五）。 由－130°＜α＜－40°得－90°＜40°＋α＜0°，所以sin(40°+α)＜0， sin(40°+α)＝－＝－，即cos(50°－α)＝－。 所以选B。 A项：把公式五记成cos(90°－θ)＝－cosθ，按此错法真算得－；C项：开方后没有根据40°＋α的范围定号，取了正值，按此错法真算得；D项：用公式五时函数名没换，把cos(50°－α)化成cos(40°+α)，按此错法真算得。 26．【答案】－ 【解析】由0＜α＜得－＜α－＜，所以cos(α－)＞0，cos(α－)＝＝。 ＋α＝＋(α－)，由公式六，sin(+α)＝cos(α－)＝； －α＝－(α－)，由公式五，cos(－α)＝sin(α－)＝－。 所以sin(+α)·cos(－α)＝×(－)＝－。 27．【答案】（1）；（2）－；（3）－ 【解析】【解答】(1)θ＋＝＋(θ+)，由公式六，sin(θ+)＝cos(θ+)＝。 (2)－θ＝π－(θ+)，由公式四，cos(－θ)＝－cos(θ+)＝－。 (3)θ＋＝π＋(θ+)，由公式二，tan(θ+)＝tan(θ+)。 由－＜θ＜－得－＜θ＋＜0，所以sin(θ+)＜0，sin(θ+)＝－＝－， 所以tan(θ+)＝(sin(θ+))/(cos(θ+))＝－÷＝－。 　考点05　诱导公式与同角关系的综合 28．【答案】C 【解析】由公式二，tan(π+α)＝tanα＝3。 sin(π－α)＝sinα（公式四），cos(π+α)＝－cosα（公式二），sin(+α)＝cosα（公式六），sin(－α)＝－sinα（公式三）， 所以分式＝，cosα≠0，分子、分母同除以cosα，得＝＝－。 所以选C。 A项：把公式二记成tan(π+α)＝－tanα，得tanα＝－3，按此错法真算得－；B项：把sin(－α)化成sinα，漏掉了负号，按此错法真算得；D项：把cos(π+α)化成cosα，漏掉了负号，按此错法真算得－。 29．【答案】－ 【解析】tan(α－π)＝－tan(π－α)＝tanα（公式三、公式四），所以tanα＝－。 cos(+α)＝－sinα（公式六），sin(－α)＝－sinα（公式三），cos(π－α)＝－cosα（公式四）， 所以m＝－2sinα，n＝－cosα，＝2tanα＝2×(－)＝－。 30．【答案】 【解析】由公式四、公式二，sin(π－α)＝sinα，cos(π+α)＝－cosα，所以已知条件即sinα＋cosα＝。 两边平方得1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－。 由公式三、公式一，sin(－α)cos(2π－α)＝－sinαcosα＝。 31．【答案】A 【解析】由公式五、公式六，cos(－α)＝sinα，sin(+α)＝cosα，所以sinα＋cosα＝－。 平方得1＋2sinαcosα＝289/2809，sinαcosα＝－1260/2809＜0。α∈(0，π)，sinα＞0，所以cosα＜0，sinα－cosα＞0。 ＝1－2sinαcosα＝5329/2809，sinα－cosα＝，与sinα＋cosα＝－联立得sinα＝，cosα＝－， tanα＝－，由公式四，tan(π－α)＝－tanα＝。 所以选A。 B项：开方时没有定号，取了sinα－cosα＝－，解得sinα＝－，cosα＝，按此错法真算得；C项：把公式四记成tan(π－α)＝tanα，按此错法真算得－；D项：开方没有定号，又把tan(π－α)化成tanα，按此错法真算得－。 32．【答案】 【解析】由公式三，tan(－α)＝－tanα，所以tanα＝4。 sin(π+α)＝－sinα（公式二），cos(+α)＝－sinα（公式六），sin(－α)＝cosα（公式五），cos(π－α)＝－cosα（公式四）， 所以原式＝sin²α－2cos²α＝＝＝＝。 33．【答案】（1）3；（2）；（3）－ 【解析】【解答】(1)sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sinα，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα，cos(－α)＝cosα，sin(π+α)＝－sinα， 所以已知式即＝。由题意cosα≠0，分子、分母同除以cosα得＝， 解得tanα＝3。 (2)sin(－α)＝－sinα，cos(π－α)＝－cosα，cos(+α)＝－sinα，所以原式＝sinαcosα＋sin²α＝ ＝＝＝。 (3)sin(α+)＝sin[π＋(+α)]＝－sin(+α)＝－cosα，cos(α－)＝cos(－α)＝sinα，所以原式＝sinα－cosα。 由tanα＝3得sinα＝3cosα，代入sin²α＋cos²α＝1得cos²α＝。α是第三象限角，cosα＜0，所以cosα＝－，sinα＝－， 原式＝－－(－)＝－。 　考点06　综合应用 34．【答案】D 【解析】A＋B＋C＝π，所以＝－，由公式五，cos()＝cos(－)＝sin()。 所以选D。 A项错误，实际上A＋C＝π－B，cos(A+C)＝cos(π－B)＝－cosB；B项错误，实际上A＋B＝π－C，tan(A+B)＝tan(π－C)＝－tanC；C项错误，实际上2A＋B＋C＝π＋A，sin(2A+B+C)＝sin(π+A)＝－sinA。 35．【答案】 【解析】在△ABC中，B＋C＝π－A，由公式四，cos(B+C)＝cos(π－A)＝－cosA，所以cosA＝－。 0＜A＜π，sinA＞0，所以sinA＝＝。 36．【答案】－1 【解析】f(1)＝cos()＝，f(2)＝cos()＝cos(π－)＝－，f(3)＝cosπ＝－1， f(4)＝cos()＝cos(π+)＝－，f(5)＝cos()＝cos(2π－)＝cos()＝，f(6)＝cos2π＝1， 所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0。又由公式一，f(n+6)＝cos(+2π)＝cos()＝f(n)，每连续6项的和都是0。 2027＝6×337＋5，所以原式＝f(1)＋f(2)＋…＋f(5)＝－1。 37．【答案】B 【解析】f(2026)＝asin(2026π+α)＋bcos(2026π+β)＋3＝asinα＋bcosβ＋3（公式一），由f(2026)＝5得asinα＋bcosβ＝2。 f(2027)＝asin(2027π+α)＋bcos(2027π+β)＋3＝asin(π+α)＋bcos(π+β)＋3＝－(asinα+bcosβ)＋3（公式一、公式二）， 所以f(2027)＝－2＋3＝1。 所以选B。 A项：求出asinα＋bcosβ＝2后变号，却忘了加上常数3，按此错法真算得－2；C项：没有单独处理常数项，直接认为f(2027)＝－f(2026)，按此错法真算得－5；D项：把sin(2027π+α)当成sinα，认为f(2027)＝f(2026)，按此错法真算得5。 38．【答案】（1）sinA＝sinB，cosB＝cosA；（2）cosA＝；（3）A＝，B＝，C＝，△ABC是直角三角形 【解析】【解答】(1)sin(3π－A)＝sin(π－A)＝sinA（公式一、公式四），cos(－B)＝sinB（公式五），所以sinA＝sinB； cos(－A)＝cosA（公式三），cos(π－B)＝－cosB（公式四），所以cosA＝cosB。 (2)由(1)得sinB＝，cosB＝cosA，代入sin²B＋cos²B＝1，得＋3cos²A＝1， 即＋3cos²A＝1，整理得cos²A＝，所以cosA＝或cosA＝－。 若cosA＝－，则cosB＝cosA＝－，A，B都是钝角，A＋B＞π，与三角形内角和为π矛盾，舍去。所以cosA＝。 (3)0＜A＜π，cosA＝，所以A＝；cosB＝×＝，0＜B＜π，所以B＝； C＝π－A－B＝，所以△ABC是直角三角形。 39．【答案】（1）；（2）；（3）－ 【解析】【解答】(1)sin(π－A)＝sinA（公式四）；B＋C＝π－A，cos(B+C)＝cos(π－A)＝－cosA（公式四），所以已知条件即sinA－cosA＝。 两边平方得1－2sinAcosA＝，所以sinAcosA＝。 (2)0＜A＜π，sinA＞0，又sinAcosA＝＞0，所以cosA＞0，从而sinA＋cosA＞0。 sinA＋cosA的平方等于1＋2sinAcosA＝，所以sinA＋cosA＝。 (3)与sinA－cosA＝联立得sinA＝，cosA＝，tanA＝。 tan(B+C)＝tan(π－A)＝－tanA＝－（公式四）。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期 第五章 三角函数 专项训练 5.3 诱导公式（六大题型）专项训练 人教A版必修第一册数学高一上学期 （建议用时：100分钟　测试范围：第五章 三角函数 5.3） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．全卷分六个考点，每个考点的题目按基础、中档、难排列，建议先读考点归纳再动笔。 2．用诱导公式前先把角改写成2kπ＋α、π±α、－α、±α的形式，再对照相应的公式写出函数名和符号。 3．给值求值题先找已知角与所求角的和或差是否为或π的整数倍，开方时依据角的范围定号。 内容速览　六考点39题（选16·填16·解7）｜解析版 17 页：速查表、答案、详解｜配图 2 幅 　考点归纳 1．公式二、三、四的化简与求值：π＋α、－α、π－α型的求值，负角、大角化为锐角，含这三组公式的分式化简 2．公式五、六的应用：±α型的正余弦互化，互余角的条件求值，单位圆中关于直线y＝x的对称 3．诱导公式的综合化简：多组公式连用的化简，特殊角的混合求值，配对求和与求积，含整数k的分类化简 4．给值求值与象限讨论：由一个三角函数值求另一个式子的值，互补、互余角的整体代换，依据范围或象限定号 5．诱导公式与同角关系的综合：先用诱导公式化名再用商数关系，齐次式求值，sinα±cosα与sinαcosα的转化 6．综合应用：三角形内角和与诱导公式，含参数的函数值，循环出现的函数值求和，压轴2题 　考点01　公式二、三、四的化简与求值 1．cos210°的值是(____)。 A．－ B． C．－ D． 2．利用诱导公式求值：sin(－)＝________。 3．把－600°角的正切化为锐角的三角函数再求值，tan(－600°)等于(____)。 A．－ B． C．－ D． 4．把化简（式中各项均有意义），所得结果为________。 5．sin(－1200°)cos1290°＋cos(－1020°)sin(－1050°)的值为(____)。 A．－1 B． C．－ D．1 6．如图，角α的终边与单位圆交于点P(－，)，点Q与点P关于x轴对称，则sin(－α)－cos(π+α)＝________。 7．已知f(α)＝。 (1)化简f(α)； (2)若α＝－，求f(α)的值； (3)若α是第三象限角，且sin(α－3π)＝，求f(α)的值。 　考点02　公式五、六的应用 8．设M＝cos(－α)，N＝sin(+α)，当N≠0时，化简后等于(____)。 A．1 B．tanα C．－tanα D．－1 9．已知sinα＝，则cos(+α)＋sin(π+α)＝________。 10．角α的终边落在第四象限，并且sin(+α)＝，由此求出的sin(π+α)是(____)。 A．－ B． C．－ D． 11．已知sin(x+)＝，且＜x＜，则sin(－x)＝________。 12．下列等式中，对任意使式子有意义的角α都成立的是(____)。 A．sin(α－)＝cosα B．cos(－α)＝sinα C．tan(π－α)＝tanα D．sin(+α)＝－cosα 13．如图，角α的终边与单位圆交于点P(，)，点Q与点P关于直线y＝x对称，点R与点Q关于y轴对称。 (1)求点Q，R的坐标； (2)以OQ为终边的角记为β，求sinβ，cosβ的值，并写出β与α之间的关系式； (3)以OR为终边的角记为γ，求tanγ的值，并求sin(+α)－cos(+α)的值。 　考点03　诱导公式的综合化简 14．记U＝sin(π+α)cos(－α)，V＝sin(－α)cos(+α)，当V≠0时，分式化简的结果是(____)。 A．－1 B．1 C．－tanα D．tanα 15．式子sin(α－π)＋cos(－α)＋2sin(π－α)化简后的结果是________。 16．一个分式的分子是sin(2π－α)cos(π+α)cos(+α)，分母是cos(π－α)sin(3π+α)sin(－α－)（分母不为0），利用诱导公式把它化成最简形式，结果为(____)。 A．tanα B．1 C．－tanα D．－1 17．求和：sin²1°＋sin²2°＋sin²3°＋…＋sin²88°＋sin²89°＝________。 18．cos()＋tan(－)＋sin()的值为(____)。 A．1 B．1－ C．－1 D．1＋ 19．求正切值的连乘积：tan5°·tan10°·tan15°·…·tan80°·tan85°＝________。 20．已知k∈Z，E＝。 (1)求使E有意义的角α的取值集合； (2)当k为偶数时，化简E； (3)当k为奇数时，化简E。 　考点04　给值求值与象限讨论 21．设α∈(－，0)，若cos(π－α)＝－，那么tan(π+α)的值是(____)。 A．－ B． C． D．－ 22．已知cos(α+π)＝，且α∈(，π)，则sin(3π－α)＝________。 23．已知cos(－α)＝，则cos(+α)－sin²(α－)的值为(____)。 A．－1 B．－ C．－ D． 24．已知cos(π+α)＝，则tan(π－α)的所有可能取值为________。 25．已知cos(40°+α)＝，且－130°＜α＜－40°，则cos(50°－α)的值为(____)。 A．－ B．－ C． D． 26．已知sin(α－)＝－，且0＜α＜，则sin(+α)·cos(－α)＝________。 27．已知cos(θ+)＝，且－＜θ＜－。 (1)求sin(θ+)的值； (2)求cos(－θ)的值； (3)求tan(θ+)的值。 　考点05　诱导公式与同角关系的综合 28．已知tan(π+α)＝3，某分式的分子是2sin(π－α)－cos(π+α)，分母是sin(+α)＋sin(－α)，则这个分式的值为(____)。 A．－ B． C．－ D．－ 29．已知tan(α－π)＝－，令m＝cos(+α)＋sin(－α)，n＝cos(π－α)，则的值为________。 30．若sin(π－α)与cos(π+α)的差等于，则乘积sin(－α)cos(2π－α)的值为________。 31．已知cos(－α)＋sin(+α)＝－，且α∈(0，π)，则tan(π－α)的值等于(____)。 A． B． C．－ D．－ 32．已知tan(－α)＝－4，则sin(π+α)cos(+α)＋2sin(－α)cos(π－α)＝________。 33．已知＝。 (1)求tanα的值； (2)求sin(－α)cos(π－α)＋cos²(+α)的值； (3)若α是第三象限角，求sin(α+)＋cos(α－)的值。 　考点06　综合应用 34．在△ABC中，下列关系式一定成立的是(____)。 A．cos(A+C)＝cosB B．tan(A+B)＝tanC C．sin(2A+B+C)＝sinA D．cos()＝sin() 35．在△ABC中，cos(B+C)＝，则sinA＝________。 36．设f(n)＝cos()（n∈N*），则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2027)＝________。 37．已知f(x)＝asin(πx+α)＋bcos(πx+β)＋3，其中a，b，α，β都是非零实数。若f(2026)＝5，则f(2027)的值是(____)。 A．－2 B．1 C．－5 D．5 38．在△ABC中，sin(3π－A)＝cos(－B)，cos(－A)＝－cos(π－B)。 (1)利用诱导公式，把两个已知等式化成角A，B的正弦、余弦之间的关系式； (2)求cosA的值； (3)求角A，B，C的大小，并判断△ABC的形状。 39．在△ABC中，sin(π－A)＋cos(B+C)＝。 (1)求sinAcosA的值； (2)求sinA＋cosA的值； (3)求tan(B+C)的值。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $