4.2.2 课时2 二次函数y = a(x-h)²＋k的图象和性质 课件--2026-2027学年湘教版数学九年级上册

4.2 二次函数的图象与性质 4.2.2 课时2 二次函数y = a(x-h)²＋k的图象和性质 向上k 个单位 向下k 个单位 抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2是由抛物线y=ax2怎样平移得到的? y=ax2 y=ax2+k y=ax2-k y=a(x+h)2 向左h个单位 y=a(x-h)2 向右h个单位 上加下减常数项 括号内左加右减 注：假设k＞0，h＞0. 思考：抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2怎样平移得到的呢? 探究 作出y=a(x-h)2+k 的图象,理解抛物线y=a(x-h)2+k 与y = ax2 的关系 活动1：用描点法画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. … … … … 2 1 0 -1 -2 x 解：先列表 7.5 5 3.5 3 3.5 -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 描点，连线得 的函数图象． 直线x＝1 开口方向向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，3). 活动2：画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性. 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1； 顶点坐标是(-1，-1)； x＜-1时，y随x的增大而增大； x＞-1时，y随x的增大而减小. 2 4 x -2 -4 -6 -8 1 y O -2 -4 直线x=-1 思考：通过这两个活动，小组交流讨论，尝试归纳二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质. 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质 抛物线y=a(x-h)2+k 对称轴 顶点坐标 开口方向 性质 在对称轴左边 在对称轴右边 a＞0 x=h (h，k) 向上 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 a＜0 向下 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( 　　) D A　　　 　 B　　　 C 　 　　 D 活动3：思考二次函数 的图象与 的图象之间有什么关系，小组讨论并尝试归纳二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系. -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 向右平移 1个单位 向上平移 3个单位 y = ax2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 y = ax2 + k 方法1： 平移规律： 方法2： 向右平移 1个单位 向上平移 3个单位 左右平移 上下平移 y = ax2 y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 平移规律： -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 二次函数y=ax2 与y=a(x-h)2+k的关系 互相平移得到 y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下平移 左右平移 简记为： 上下平移，（k）上加下减 左右平移，（h）左加右减 二次项系数a不变. 左右平移 上下平移 将抛物线y=2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=2（x-4）2-1 B．y=2（x+4）2+1 C．y=2（x-4）2+1 D．y=2（x+4）2-1 B 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+k 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 向右(h>0)[或向左(h<0)]平移|h|个单位 向上(k>0)[或向下(k<0)]平移|k|个单位 y=ax2 y=a(x-h)2+k h k y O x 1.将抛物线y＝5（x﹣1）2+1向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为（　　） A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x﹣4）2﹣1 C．y＝5（x﹣4）2+3 D．y＝5（x﹣3）2+4 C 随堂小练 2. 若二次函数，当时，随 的增大而减小，则 的 取值范围为( ) A A. B. C. D. 3.已知二次函数 ，当时，的最小值为 ，则 的值为_ ____ _______. 或4 4.指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标. （1）y=5(x+2)2+1； （2）y=-7(x-2)2-1； （3）y=(x-4)2+3； （4）y=-(x+2)2-3. 开口向上 对称轴为x=-2 顶点坐标为（-2，1） 开口向下 对称轴为x=2 顶点坐标为（2，-1） 开口向上 对称轴为x=4 顶点坐标为（4，3） 开口向下 对称轴为x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 5.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，得0＝4a－4，解得a＝1. (2)法1：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2，∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2. 法2：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点 (1，－4)，且平行于y轴的直线， $