第一章特殊平行四边形单元质量检测卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第一章特殊平行四边形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含着深厚的文化意义和美好的祝福．如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线，则它的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，计算菱形的边长即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线，， ∴， ∴菱形的边长为． 2．如图，直线，于点B，于点D，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】首先利用平行线的性质得到，然后证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 3．如图，在正方形中，点E在边上，若，，则正方形的对角线的长为（    ） A． B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，点E在边上，若，， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形的对角线的长为4． 4．如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的性质得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 5．如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，． 在中，，， ， ∴． 6．如图，在菱形中，点E在边上，连接、，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得，，由等边对等角得，， 结合平行线的性质可推出，进而即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 7．如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，且对角线，则纸条的宽度是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，证明四边形是菱形；设的交点为O，利用勾股定理，菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵两张等宽度的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠部分为四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴． 过点A作于点E，过点A作于点F， ∴， ∵在和中 ∵， ∴， ∴． ∴四边形是菱形； ∴， 设的交点为O， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， 故纸条的宽度是． 8．如图，在中，，是的角平分线，，垂足为，点是的中点．已知，的周长为12，则长为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】证明，得出，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，结合的周长为12，得出， 在中，勾股定理求出，即可解答； 【详解】解：是的角平分线，， ∴， 又， ∴， ， ， ， 点是的中点， ， 的周长为， ， ， ， ∵在中，， ． 9．如图，在中，，高，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将、沿、翻折，构造出正方形，利用勾股定理建立关于的方程求解即可． 【详解】解：分别作关于的对称图形、作关于的对称图形，得到、，延长、相交于点． 是的高， ， 由对称的性质可得：，，，，，，， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形， ， ， 设，则，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 10．如图，正方形的边长为，点，，，分别为边，，，上的点，若，且，给出以下四个结论： ①四边形为正方形；②； ③四边形的面积等于；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】通过证明得出四边形为正方形，利用角度关系证明，进而结合全等得出四边形为正方形，通过构造等腰直角三角形计算线段长度验证结论． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 延长交于点， ， ， ， ， 在中，， ， ， 同理可得， 四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴，， ∴， 即， 四边形是正方形，①正确； 在中，， ， ∵在中，，， ， ，②正确； 延长交于点， ， ， 在上，， ， 在中，， ∴， ∵， ， ， ，③正确； 若， 则或， ，， ， 则， 即， 解得，非恒成立， ④错误． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素．某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不计），则其透光面积为__________． 【答案】2400 【分析】根据勾股定理以及菱形的性质求出菱形的另一条对角线的长，再根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，则， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 即其透光面积为． 12．一个菱形的两条对角线长分别为，，这个菱形的边长为_______，面积______． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算边长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，已知两条对角线长分别为，， ∴两条对角线长度的一半分别为，． 根据勾股定理得菱形的边长为． ∵菱形面积等于两条对角线乘积的一半， ∴． 13．如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质推出，进而推出，即得出阴影部分的面积等于的面积，即大正方形面积的一半． 【详解】解：如图，连接， 四边形和右侧四边形均为正方形， 、分别为正方形的对角线， ， ， ， 大正方形的面积为， ，即阴影部分的面积为． 14．如图，在矩形中，，，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕的长为______． 【答案】 【分析】首先由折叠的性质知，，可得是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再在中，利用勾股定理算出的长，再在中利用勾股定理计算出的长，进而得到的长，再次利用勾股定理计算出的长，然后证明，继而得到，从而得到的长． 【详解】解：连接，交于点G， 由折叠的性质知，，， 则是等腰三角形， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， 在中：， 则， 解得：， 则， 在中：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在矩形中，，，的平分线交于点，于点．点为的中点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质以及勾股定理可得，再证明可得，，即；设，则，利用勾股定理列方程可得，即；如图：取的中点H，则，利用三角形中位线定理可得，，即；如图：过G作于I，连接,易得四边形是矩形，即，，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图：取的中点H，连接,则， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 如图：过G作于I，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． 16．如图，在矩形中，，，点P是对角线上一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作于点E，过点P作于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理得出，证明四边形是矩形，从而得到，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后根据，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 矩形， ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， ， ， ， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，是正方形的对角线上一点，连接．求证：． 【答案】证明：四边形是正方形，是正方形的对角线， ，． 在和中， ， ， ∴． 【分析】利用正方形的性质和全等三角形的判定证明． 【详解】略． 18．如图，在菱形中，点分别在边上，且． (1)求证：； (2)设与交于点，则___________°． 【答案】(1)证明：四边形为菱形， ， ∵， ，即． 在和中，， ； (2)26 【分析】（1）利用即可证明； （2）利用全等三角形的性质求得，利用菱形的性质求得，再根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ， ． 19．如图所示，长方形沿折叠后，点恰好与边上的点重合，已知，，求的长． 【答案】 【分析】由折叠可知利用勾股定理求解即可. 【详解】解：∵在长方形中，，，， ∴， 设， 由折叠可知：，， ∵，， ∴， 即， 解得：. 20．如图，平行四边形的面积为24，点E、F、G分别是边的中点，连接，，垂足为E，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的长． 【答案】(1)证明：连接交于点O，如图 ∵点E、F、G分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． (2)5 【分析】（1）连接交于点O，推导出是的中位线，是的中位线，得到，，继而推导出，则平行四边形是菱形，即可解答； （2）设，，得到，推导出，根据菱形的面积公式，得到，求出，继而根据菱形的性质，得到，，再根据勾股定理得到，代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设，， ∴， ∵是的中位线，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴． 21．如图，在菱形中，对角线与相交于点O．过点C作，过点D作，与相交于点E，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先由菱形的性质得到，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可证明其为矩形； （2）先根据菱形的性质，结合直角三角形的性质求解，再由矩形的性质求出，最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 22．如图，点在的对角线的延长线上，，于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，证明，得出，从而可得四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）设，则，由菱形的性质可得，，，，求出，由平行四边形的性质可得，结合勾股定理求出，最后由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：设，则， 由（1）可得四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积为． 23．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，，．若，，求的长． 【答案】 【分析】先证明，结合平行四边形的性质证明，可得，得出平行四边形是菱形，再利用菱形的性质得出，，四边形是矩形，从而得出答案． 【详解】解：平分， ． ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ∴平行四边形是菱形， ，，， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ． 24．如图，在矩形中，，相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为20，设长为，菱形的面积为． ①求关于的表达式，以及自变量的取值范围； ②当时，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：为的中点， ． ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． ． 平行四边形是菱形 (2)①关于x的函数表达式为，自变量x的取值范围为．② 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果； （2）①先利用矩形的性质得到，是的中位线，进而可得到，再利用进而可求解；②当时，四边形是正方形，进而求出，然后代入的表达式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①四边形是矩形，矩形的周长为20，设长为， 是的中点， 是的中点， 是的中位线． ． 四边形是菱形， ． ． ． ， ， 关于x的函数表达式为，自变量x的取值范围为． ②当时，四边形是正方形， 四边形的周长为20， ， 将代入得： 此时，菱形的面积为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $第一章特殊平行四边形单元质量检测卷 一、单选题（每题3分，共30分) 1.以红色和金色的丝线精心编织的菱形中国结装饰，不仅展现了中国传统手工艺的精细与复杂，也蕴含 着深厚的文化意义和美好的祝福.如图1是一个中国结，图2是其菱形示意图，若菱形的对角线 AC=32cm,BD=24c ”,则它的边长MB为() 图1 图2 A.8cm B.20cm C.25cm D.40cm 2.如图，直线AD∥BC,AB⊥BC于点B,CD⊥AD于点D,若AB=4,则CD的长为() B A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，若BE=3,AE=1,则正方形ABCD的对角线的长为 () E 4.2V2 B.4 C.8 D.8V2 4.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为EF,则 试卷第1页（共3页） △BEF的面积为() E A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.7.5cm2 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,连接AC,BD,若∠BCA=30°，则BD的长为() A.3 B.2V5 C.6 D.35 6.如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连接AE、DE,若DE=DC,∠C=7O°，则∠DAE的度 数为() B A.40° B.45° C.50° D.55 7.如图，两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD,且对角线AC=8,BD=6, 则纸条的宽度是() A.9.6 B.5 C.4.8 D.2.4 8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,垂足为E,点F是DA的中 试卷第2页（共3页） 点.已知BC=5,△DEF的周长为12，则AE长为() B A.7 B.8 C.9 D.10 9.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，高AD=5,CD=3,则BD的值为() B D 4 5 A.4 B.5 C.1 D.4 10.如图，正方形ABCD的边长为a,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD上的点，若 E=D-cG=BF=b0<b<号 且∠DEP=∠CHN=∠BGM=∠AF见=45°，给出以下四个结论： A E D H M B G C ①四边形MQPN为正方形：②g、 a 2 ③四边形MQPN的面积等于2b2:④△AEF≌△QEF 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 试卷第3页（共3页） 二、填空题（每题3分，共18分） 11.菱形空窗是中国古典园林里极具代表性的造景元素.某菱形空窗的尺寸如图所示（边框厚度忽略不 计)，则其透光面积为 cm2. 50cm 60cm 12.一个菱形的两条对角线长分别为4cm,6cm,这个菱形的边长为一，面积S=】 13.如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为0，小正方形的面积为6，则阴影部分的面 积为 14.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为 E D 15.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,∠DBC的平分线BE交CD于点E,EF⊥BD于点F. 点G为BE的中点，连接AG,则AG的长为 D E 16.如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=9,点P是对角线AC上一个动点（点P与点A、C不重 合)，过点P作PE⊥AD于点E,过点P作PF⊥CD于点F,连接EF,则EF的最小值为一 试卷第4页（共3页） 三、解答题（每题9分，共72分） 17.如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接AE,CE.求证：∠AEB=∠CEB D E B 18.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，且AE=CF. D A (I)求证：△ABF≌ACBE: (2)设AF与CE交于点0，∠D=130°，∠BAF=12°，则∠A0E=°. 19.如图所示，长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰好与BC边上的F点重合，己知AB=8,BC=10, 求EF的长 20.如图，平行四边形ABCD的面积为24，点E、F、G分别是边AB、BC、AD的中点，连接EF、EG EF⊥EG,垂足为E,且EF+EG=7. 试卷第5页（共3页） D (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)求AB的长. 21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.过点C作CE∥OD,过点D作DE∥OC, CE与DE相交于点E,连接BE, B (I)求证：四边形OCED是矩形： (2)若AB=2,∠ABC=60°，求BE的长. 22.如图，点E在口ABCD的对角线DB的延长线上，AE=AD,AF⊥BD于点F,EG川BC交AF的延 长线于点G,连接DG, D B (①)求证：四边形AEGD是菱形： (2)若AF=BE,DF=2AF,CD=4,求菱形AEGD的面积 23.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC平分∠BAD,DP∥AC,CP∥BD 若AC=4,BD=8,求OP的长 24.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,E为AB的中点，连接OE并延长至点F,使 试卷第6页（共3页） FE=EO,连接AF,BF E B (1)求证：四边形AOBF是菱形； (2)若矩形ABCD的周长为20，设AB长为x,菱形AOBF的面积为S. ①求S关于x的表达式，以及自变量x的取值范围： ②当AC⊥BD时，求菱形AOBF的面积. 试卷第7页（共3页）