专题01 一元二次方程（期中真题汇编，青海专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．C 3．A 4．A 5．A 6．D 7．A 8．D 9．A 10．C 11．A 12．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】 解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 13．【答案】2 【分析】 根据一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝2，一元二次方程的根是指使方程成立的未知数的值． 【详解】 解：∵m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 14．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义可得，，据此解答即可． 【详解】 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 15．【答案】 【分析】 根据一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程的定义求参数的取值范围．熟练掌握一元二次方程的二次项的系数不为0，是解题的关键． 16．【答案】2 【分析】 直接把代入方程中，求解关于k的方程即可. 【详解】 把代入方程中，得1+k-3=0，k=2，故答案为：2 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 17．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 18．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∴， 又∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 19．【答案】-2 【分析】 根据一元二次方程未知数最高次为2，二次项系数不为零即可求解． 【详解】 ∵是关于x的一元二次方程 ∴ 解得 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查一元二次方程的定义，熟记未知数最高次为2，二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 20．【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 21．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】 解：根据题意得 且， 解得：， 故答案为：． 22．【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义把代入一元二次方程，得到，然后将其整体代入所求的代数式进行求值． 【详解】 解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ∴ 故答案为：8． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，再将方程转化为的形式即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 24．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）根据一元二次方程的概念进行求解即可； （）根据一元一次方程的概念进行求解即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； (2) 小问详解： 解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 考点02 配方法 1．C 2．C 3．C 4．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用配方法求解即可． 【详解】 解： 或， ∴，． 5．【答案】 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，运用代数变形思想，易错点是配方时的常数项计算或开方后的符号失误；解题思路是通过移项、配方、开方求解，解题关键是准确配方（加一次项系数一半的平方）． 【详解】 解： 移项：将常数项移到等号右边； 配方：在等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 变形：左边写成完全平方式； 开方：对等式两边开平方; 求解：， 即; 故答案为． 6．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 7．【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】 本题考查了完全平方公式、因式分解的应用； （1）根据完全平方公式，添加一次项系数一半的平方，即可求解； （2）仿照阅读材料用配方法因式分解即可； （3）设长方形的边，则，根据长方形的面积公得出羊圈的面积，根据配方法得出最值，即可求解； 【详解】 （1）∵， 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （3）解：设长方形的边，则 ∴ ∵ ∴当时，羊圈的面积取得最大值， 8．【答案】 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．把方程配方为，即可得到答案． 【详解】 解：， 移项得，， 方程两边都加上16得，， 配方得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．【答案】，， 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时加上进行配方，进而解方程即可． 【详解】 解：， ， ， ， ∴， ，． 考点03 公式法 1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．【答案】（1）m＝－1     （2） 证明：由得：， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 （1）把x＝2代入方程，即可求出m的值； （2）求出的值，再根据根的判别式的意义判断即可． (1) 小问详解： 解：把x＝2代入方程得：， 解得：m＝－1； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程解的定义，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程变形为，再利用配方法解方程即可得； （2）先求出方程中的，再利用公式法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， ． (2) 小问详解： 解：方程中的， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即方程的解为． 11．【答案】k≤4且k≠1 【分析】由一元二次方程的定义知：，由一元二次方程有实数根知： ，从而通过解不等式组得到答案． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实数根 所以 由得 ，解 得 所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的逆定理，熟练掌握逆定理是关键，防止学生考虑问题不全面． 12．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ 解得，． 13．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，关键是掌握求根公式，一元二次方程，若，则方程的两个实数根为，据此求解即可． 【详解】 解： ，，， ∴， 解得，． 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴ 解得：． (2) 小问详解： ∴ ∴ ∴ 解得：． 15．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有实数根． 【详解】 解：方程的判别式为， 由题意得，即， 解得． 故答案为：． 16．【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 17．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 18．【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 19．【答案】证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由证明作答即可． 【详解】 略 20．【答案】（1） 证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．                           （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】 （1）略         （2）解：由根与系数的关系，得．                                 ， ，即，解得． 考点04 因式分解法 1．B 2．C 3．【答案】（1），     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． (1) 小问详解： ， ， 则， 或， 解得，； (2) 小问详解： ， ， 则，即， ， ，． 4．【答案】或 【分析】 运用因式分解法求一元二次方程的根，再根据等腰三角形的性质判定边长大小，最后计算周长． 【详解】 解： 因式分解得，， ∴当时，；当时，； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴． 6．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或， ∴，， 故答案为：，． 7．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴ ∴或， 解得：． 8．【答案】6 【分析】 本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】 解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 9．【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理方程，再利用配方法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 10．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∵ ∴， ∴． (2) 小问详解： 解： ， ， 或， 解得：． 11．【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12．【答案】（1）降次     （2），      【分析】 本题考查换元法解高次方程，通过换元达到降次的目的，将一元四次方程转化为一元二次方程求解． （1）根据材料，换元是为了降低方程的次数； （2）仿照材料方法，设，将方程转化为，解出后回代求解． (1) 小问详解： 解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次． (2) 小问详解： 解：， 设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，解得，； 当时，，此方程无实数解， ∴原方程的解为，． 13．【答案】（1） ,      （2） ,       【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法． （1）用公式法，先确定系数再代入求根公式； （2）用因式分解法，先整理方程再分解因式求解． (1) 小问详解： 解：对于， ，，， ， ， 即，． (2) 小问详解： 解：整理，得， 因式分解得， 即， 解得，． 14．【答案】（1）或     （2）或     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）根据公式法计算可以得解； （2）根据公式法计算可以得解； （3）根据因式分解法计算可以得解； （4）根据直接开平方法计算可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，， ，，， ， ， 解得或； (2) 小问详解： 解：由题意，， ，，， ， ， 解得或； (3) 小问详解： 解： 解得或； (4) 小问详解： 解：由题意， 或， 解得或． 15．【答案】 【分析】 本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【详解】 解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 16．【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得，； (2) 小问详解： ， 整理，得：， ， 解得． 17．【答案】8 【分析】 本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】 解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 18．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）两边同时除以4，根据直接开平方法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得：，； (2) 小问详解： 解： 或 解得：， 19．【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、公式法、因式分解法是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式求解； （2）利用一元二次方程的求根公式求解； （3）通过因式分解将方程转化为两个一次因式的乘积求解； （4）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， 解得，； (4) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． 20．【答案】（1）10     （2），菱形的边长是2．      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法解一元二次方程，得或，再结合题意得，即可求出平行四边形的周长； （2）由（1）得的两个根是或，结合菱形的四边相等得，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴ 解得或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且的长为3， ∴， ∴平行四边形的周长是． (2) 小问详解： 解：由（1）得的两个根是或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且四边形是菱形， ∴， 解得．四边形是菱形， 此时菱形的边长是2． 21．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法是解题的关键． （1）观察方程特点，可通过移项后因式分解求解； （2）先将方程化为一般形式，再用公式法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴，，， ∴， ∴， 解得，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．D 2．A 3．B 4．A 5．【答案】 【分析】 设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得到-2m=1，然后解一元一次方程即可． 【详解】 解：设方程的另一个根为m， 根据题意得-2m=1，解得m=，即方程的另一个根是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 6．【答案】2 【分析】 先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 7．【答案】16 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接应用公式求解即可． 【详解】 在方程 中，二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：16． 8．【答案】2 【分析】 根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】 解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 9．【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 10．【答案】0 【分析】 本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意可得到，，进而求解即可． 【详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：0． 11．【答案】2035 【分析】 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的含义．利用a是方程的根，得到，结合两根之和，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴且， 即， ∴ 代入，得， 故答案为：2035 12．【答案】另一个根为，k的值为 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，将该方程的一个根为1代入方程即可求出k的值，再由根与系数的关系得，即可求解． 【详解】 解：根据题意得，， 解得：， 设另一个根为， ∴， 解得， 故它的另一个根为，k的值为． 13．【答案】（1） 证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 14．【答案】16 【详解】 解：设矩形的长和宽分别为，根据题意得； 所以矩形的周长=． 故答案为16． 15．【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 （1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 16．【答案】（1） ∵ ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．     （2），．      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，是方程的两根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：，． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 17．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】 解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根， ∴， 解得：； （2）由关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，可知： ， ∴， 即为， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 18．【答案】（1） 解：满足和，理由如下： 解方程， ， ∴或， 解得，， 计算根的和：， 由根与系数的关系，，，则， 计算根的积：， 由根与系数的关系，，，则， ∴满足和；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的解法、判别式的应用，熟练掌握根与系数的关系和判别式的意义是解题的关键． （1）先解一元二次方程求出根，再分别计算根的和、积以及利用根与系数关系计算的和、积，进而验证是否满足． （2）根据根与系数的关系，由已知根求出一次项系数和常数项，从而写出一元二次方程的一般形式． （3）先根据根与系数的关系表示出和，再将展开并代入，得到关于的方程，同时结合方程有实数根的条件（判别式）确定的取值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两个根为，，二次项系数， ∴由根与系数的关系，，即，解得， ，即，解得， ∴这个一元二次方程的一般形式为； (3) 小问详解： 解：∵方程， ∴由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ， ， 整理得： 解得或 又∵方程有两个实数根， ∴判别式 解得， ∴不符合条件，舍去， ∴． 19．【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． (1) 小问详解： 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为且． (2) 小问详解： 解：设方程两根为，则：， 代入得， 解得：或， 经检验，或是方程的解， 当时，判别式，不符合实数根条件． 当时，判别式，符合条件． 综上，． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．C 2．A 3．B 4．A 5．C 6．B 7．B 8．D 9．【答案】x2+x+1＝73 【分析】 根据题意1个主干长出x个支干，x个支干长出x2个小支干，再根据总数是73 得出方程即可． 【详解】 根据题意，得 ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了列一元二次方程，确定等量关系是解题的关键． 10．【答案】平均每次降价的百分数为 【分析】设平均每次降价的百分数为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1－降价的百分比）列出方程求解即可 【详解】解：设平均每次降价的百分数为x 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：平均每次降价的百分数为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中增长率或下降率的实际运用，根据题意列出方程是关键 11．【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长为米、宽为米的矩形，根据草坪的面积为1800平方米，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长为米、宽为米的矩形， 根据题意得：． 故答案为：． 12．【答案】或 【分析】 当运动时间为时，利用三角形的面积计算公式，结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值. 【详解】 解：当运动时间为时， 依题意得 整理得 ， 解得 ； ∴当为或时, 的面积等于. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 13．【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 14．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．设平均每个月的下降率为，根据公司月份的生产成本及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设平均每个月的下降率为， 根据题意得：， 故答案为：． 15．【答案】7． 【分析】设每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是57，列出方程，即可求解. 【详解】设每个支干长出x个小分支， 根据题意得：， 解得：,(不符题意，舍去). 答：每个支干长出7个小分支． 答案是：7. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系，是解题的关键. 16．【答案】6 【分析】 本题考查一元二次方程的实际运用．设参赛球队有x个队，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设参赛球队有x个队，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：参赛球队有6个队． 故答案为：6 17．【答案】20 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系． 设每件商品应降价元，根据利润列出方程求解即可． 【详解】 解：设每件商品应降价元，根据题意得， 解得或， 为了尽快减少库存， ， 所以，每件商品应降价20元． 18．【答案】（1）；     （2）每千克应涨价5元，详见解析      【分析】 本题考查的是列代数式及一元二次方程的应用， （1）根据涨的价格+原来的盈利=现在的盈利，每天的销量=原来的销量-减少的销量就可以求出结论； （2）设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克，由总利润=每个利润×数量建立方程求出其解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：涨价后的每千克盈利为：元，每天的销量为：千克， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克， 由题意，得：， 解得：， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 19．【答案】（1）     （2）12米      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，理清各量之间的关系、列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式化简即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：若设菜地的宽为x米， 由题意可得：(米)． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由（1）可知：，， 由题意可得：， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 所以，此时的宽为12米． 20．【答案】6 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可． 【详解】 解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： ，即， 解得：或（舍去） 故答案为：6． 21．【答案】 【分析】 本题考查了列一元二次方程． 单循环赛的总比赛场数公式为，总比赛场数为6，由此列方程即可． 【详解】 解：赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，所以总比赛场数为， 参赛的每两个队之间都要比赛一场，因此总比赛场数为， 即． 故答案为：． 22．【答案】2秒或4秒后的面积等于 【分析】 本题考查了动点问题，三角形面积公式及一元二次方程的建立与求解，先分析点P、Q的运动情况，表示出和的长度，根据三角形面积公式列出方程并求解方程即可． 【详解】 解：设x秒后的面积等于， 在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动， ，， ， ， 解得：，， 即2秒或4秒后的面积等于． 23．【答案】（1）；     （2）每千克应涨价5元      【分析】 本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据涨价后每千克的盈利等于涨价前每千克的盈利与上涨的价格之和；涨价后每天销售量等于涨价前每天销售量减去涨价造成的销售减少量即可得； （2）根据每天盈利每千克的盈利每天销售量建立方程，解方程可得的值，再根据要使顾客得到实惠确定的值，由此即可得． (1) 小问详解： 解：设每千克应涨价元， 由题意得：涨价后，每千克的盈利为元，每天销售量为千克， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得或， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 24．【答案】任务：；任务：元/件 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解； 任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】 解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为． 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件． 25．【答案】（1）     （2）2元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为，得到，再解方程即可； （2）设每个玩偶降价为y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率， 则，即， 解得，（舍去）， 答：7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元时，当日总利润可达到5940元， 则此时售价为每个（元），可销售个， 则利润为， ， 化简得， ，解得或（舍去）， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 26．【答案】（16－2x)(9－x)＝112 【详解】 设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m， 根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112， 故答案为（16-2x）（9-x）=112. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是 （       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D. 2，10 6．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（       ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 9．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）将一元二次方程化为一般形式后，的值为（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）下列关于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）将一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）已知m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值为　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）当　　　　　　　　　　时，关于的方程是一元二次方程． 15．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是　　　　　　． 16．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）已知关于的方程的一个根为，则 　　　　　． 17．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是　　　　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　． 19．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值为　　　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　． 21．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为　　　　　　． 23．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）一元二次方程化为一般形式是　　　　　　． 24．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）一元二次方程配方后可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）解方程： 5．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）用配方法解方程：． 6．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）用配方法解一元二次方程： 7．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解： ， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 8．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）把方程配方为的形式，则　　　　　　． 9．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）用配方法解一元二次方程：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）一元二次方程根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 2．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 3．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  5．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  6．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  7．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根，则的周长为（       ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 8 8．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D.  9．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求m的值； （2）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 10．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 11．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为　　　　　． 12．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）用公式法解方程：． 13．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）用公式法解方程： 14．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 15．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　． 16．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 17．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）用公式法解方程：． 18．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 20．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C.  D.  3．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）解方程： （1）； （2）． 4．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长．则等腰三角形的周长为　　　　　　 5．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 6．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）方程的根为　　　　　　　　　　 7．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）解方程： （1）； （2）． 8．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）若，则　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）解方程： （1） （2）． 10．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）解下列方程： （1） （2） 11．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）方程的解是　　　　　　． 12．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： 13．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 14．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 15．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 16．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）解方程 （1）； （2） 17．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）若实数，满足，则的值为　　　　　　　　． 18．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）解方程 （1） （2） 19．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）解方程 （1） （2） （3） （4）． 20．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知，平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 21．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）用合适的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）； 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）关于x的方程有两个根为、，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  2．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）已知是方程 的两个根， 则的值为(   ) A. 2 B.  C. 3 D.  3．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 5．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是　　　　　　　　　　　． 6．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=　　　． 7．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）若，是方程的两根，则的值是　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为　　　　　　． 9．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 10．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　  ． 12．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知关于x的一元二次方程．若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值． 13．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根； （2）若该方程的两个实数根、满足，求的值． 14．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）若矩形的长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 16．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 17．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值． 18．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 19．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是   （       ） A. 168（1+a%）2=128 B. 168（1-a%）2=128 C. 168（1-2a%）2=128 D. 168（1-a2%）=128 4．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(       ) A. 或 B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）有一个人患流感，经过两轮感染后共有64人患流感，则第三轮传染后共有（       ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 9．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数． 11．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）如图，在矩形中，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间（），那么当t为何值时，的面积等于？ 13．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有　　　　　　　　人． 14．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为　　　　　　　　． 15．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出　　　　　　　个小分支． 16．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）某校九年级准备以单循环（每两个班之间都进行一次比赛）的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有　　　　　　个队． 17．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）超市销售某商品，每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过调研发现，每降低1元，每天可多卖出2件．为了尽快减少库存，并使每天的利润达到1200元，则每件商品应降价多少元？ 18．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 19．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）某校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_____米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 20．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则　　　　　　． 21．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为　　　　　　． 22．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 23．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 24．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 25．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． （1）求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． （2）为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 26．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐个判断即可，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】 A、当时，故本选项错误，不符合题意； B、由原方程化简得到，不是一元二次方程，不符合题意； C、未知数最高次数是3，故本选项错误，不符合题意； D、符合一元二次方程的定义，符合题意； 故选：D． 2．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，表示形式，掌握其定义及表示方法是关键． 根据一元二次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程”及形式“”判定即可． 【详解】 解：A、不是方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次是2次的整式方程，是一元二次方程，符合题意； D、不是整式，不符合题意； 故选：C ． 3．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是 （       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 逐一分析四个选项中的方程，结合一元二次方程的定义逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】 解：A、为关于x的一元二次方程，故本选项正确； B、，当时，该方程为关于x的一元一次方程，故本选项错误； C、中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，故本选项错误； D、中，当时，该方程为关于x的一元一次方程，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】 本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 4．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】 解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：． 5．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（     ） A.  B.  C.  D. 2，10 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】 解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 6．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握“一元二次方程需满足只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”是解题的关键．判断方程是否为一元二次方程，需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程．逐一分析各选项即可． 【详解】 A项，∵ 中， 可能为0，当 时不是二次方程，∴ 不一定是一元二次方程． B项，∵ 中含有分式，不是整式方程，∴ 不是一元二次方程． C项，∵ 中含有两个未知数 和 ，∴ 不是关于 的一元方程． D项，∵ 化简得 ，整理得 ，是关于 的一元二次方程． 故选：D． 7．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）下列方程是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】 解：A、，整理得，是一元二次方程，符合题意； B、是二元一次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 8．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（       ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 【答案】D 【分析】 把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 9．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）将一元二次方程化为一般形式后，的值为（       ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握“通过移项、合并同类项将方程化为的形式”是解题的关键．将方程通过移项、合并同类项化为一般形式，再确定、、的值． 【详解】 解：∵ 原方程为， ∴ 移项得， 合并同类项得， ∴与一般形式对比，得，，， 故选：A． 10．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）下列方程中，一定是一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】 解：A：是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B：可变形为，是一元一次方程，故选项错误； C：符合一元二次方程的定义，故选项正确； D：中，当时，不是一元二次方程，故选项错误； 故选：C． 11．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）下列关于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（       ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；一般地，形如、、都是常数的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】 解：① 当时，不是一元二次方程； ②不是整式方程，也不是一元二次方程； ③不是一元二次方程； ④是一元二次方程； 一元二次方程的个数为个， 故选：A 12．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）将一元二次方程化成一般形式为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 通过移项将原方程化成一元二次方程的一般形式即可． 【详解】 解：由可得． 所以将一元二次方程化成一般形式． 故答案为：． 13．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）已知m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣2m的值为　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据一元二次方程根的定义得到m2﹣2m＝2，一元二次方程的根是指使方程成立的未知数的值． 【详解】 解：∵m是方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根， ∴m2﹣2m﹣2＝0， ∴m2﹣2m＝2， 故答案为：2． 【点睛】 此题考查了一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 14．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）当　　　　　　　　　　时，关于的方程是一元二次方程． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义可得，，据此解答即可． 【详解】 解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】 解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程的定义求参数的取值范围．熟练掌握一元二次方程的二次项的系数不为0，是解题的关键． 16．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）已知关于的方程的一个根为，则 　　　　　． 【答案】2 【分析】 直接把代入方程中，求解关于k的方程即可. 【详解】 把代入方程中，得1+k-3=0，k=2，故答案为：2 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解. 17．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）已知关于x的一元二次方程：的一个根是2，则k的值是　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值，掌握此概念是解题的关键；由题意，把一元二次方程的根代入方程中，即可求解． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的一个根是2， ∴， 解得：； 故答案为：2． 18．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列出条件求解． 【详解】 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∴， 又∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值为　　　　　　　　　　． 【答案】-2 【分析】 根据一元二次方程未知数最高次为2，二次项系数不为零即可求解． 【详解】 ∵是关于x的一元二次方程 ∴ 解得 故答案为：-2． 【点睛】 本题考查一元二次方程的定义，熟记未知数最高次为2，二次项系数不为0的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 20．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）若是关于的一元二次方程，则的值为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查一元二次方程的定义，解答的关键是熟知一元二次方程的定义：方程中未知数x的最高次数为2，且二次项系数不能为零．据此求解即可． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，解得或， ∵二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】 解：根据题意得 且， 解得：， 故答案为：． 22．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，则代数式的值为　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查了一元二次方程的解的定义，根据方程的解的定义把代入一元二次方程，得到，然后将其整体代入所求的代数式进行求值． 【详解】 解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ∴ 故答案为：8． 23．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）一元二次方程化为一般形式是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，再将方程转化为的形式即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）已知关于的方程． （1）当为何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当为何值时，该方程是一元一次方程？ 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 （）根据一元二次方程的概念进行求解即可； （）根据一元一次方程的概念进行求解即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． (1) 小问详解： 解：根据题意，， 解得：， 故当时，该方程是一元二次方程； (2) 小问详解： 解根据题意，且， 解得：， 故当时，该方程是一元一次方程． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）一元二次方程配方后可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， ∴， 故选：C． 2．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程——配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加16，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】 解：原方程为 ， 移项得 ， 配方：一次项系数为，一半为，平方为 16， 添加 16 到两边：， 左边化为完全平方：． 故配方后方程为 ， 故选C． 3．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】 解：， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）解方程： 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用配方法求解即可． 【详解】 解： 或， ∴，． 5．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，运用代数变形思想，易错点是配方时的常数项计算或开方后的符号失误；解题思路是通过移项、配方、开方求解，解题关键是准确配方（加一次项系数一半的平方）． 【详解】 解： 移项：将常数项移到等号右边； 配方：在等式两边同时加上一次项系数一半的平方； 变形：左边写成完全平方式； 开方：对等式两边开平方; 求解：， 即; 故答案为． 6．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）用配方法解一元二次方程： 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，． 7．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解： ， ， ，即的最小值为． 【应用】请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添一个常数项使之成为完全平方式：___________． （2）代数式的最小值为___________． 【拓展】（3）如图1，乐乐想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个长方形羊圈．并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设长方形的边，当取多少米时，羊圈的面积取得最大值？ 【答案】（1）；（2）；（3）米 【分析】 本题考查了完全平方公式、因式分解的应用； （1）根据完全平方公式，添加一次项系数一半的平方，即可求解； （2）仿照阅读材料用配方法因式分解即可； （3）设长方形的边，则，根据长方形的面积公得出羊圈的面积，根据配方法得出最值，即可求解； 【详解】 （1）∵， 故答案为：． （2）解： ， ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． （3）解：设长方形的边，则 ∴ ∵ ∴当时，羊圈的面积取得最大值， 8．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）把方程配方为的形式，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．把方程配方为，即可得到答案． 【详解】 解：， 移项得，， 方程两边都加上16得，， 配方得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）用配方法解一元二次方程：． 【答案】，， 【分析】 本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．先把方程两边同时除以2，再把方程两边同时加上进行配方，进而解方程即可． 【详解】 解：， ， ， ， ∴， ，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）一元二次方程根的情况是（     ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程根的判别式，运用代数计算思想，解题关键是准确计算，易错点是判别式公式记忆或计算失误；通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况． 【详解】 解：∵ , , ， ∴ ， ∴ 方程没有实数根； 故选A． 2．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 以上都不对 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，进行解答即可． 【详解】 解：， ，，， ， 故该二次函数没有实数根， 故选：C． 3．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（       ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】D 【分析】 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根．将方程化为标准形式后，计算判别式并解不等式即可确定a的取值范围．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】 解：对于方程 ，其判别式为 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， 解得． 故选：D． 4．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是判别式大于零，据此得到，再结合选项选择． 【详解】 解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意， 故选：D． 5．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（       ） A. 2 B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根，计算判别式并解不等式，确定m的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，或（）， ∴选项中只有D选项满足， 故选：D． 6．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（       ） A.  B. 且 C. 且 D.  【答案】C 【分析】 利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后解不等式组即可． 【详解】 解：根据题意得且， 解得且． 故选：C． 【点睛】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根，则的周长为（       ） A. 6.5 B. 7 C. 6.5或7 D. 8 【答案】B 【分析】 先根据题意可得关于x的方程有两个相等的实数根，再根据一元二次方程根的判别式求出k的值，然后求出方程的根，最后根据三角形的周长公式即可得． 【详解】 由题意得：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 则其根的判别式， 解得， 则方程为， 整理得：， 解得， 因此，等腰的三边长分别为， 则的周长为， 故选：B． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的定义、一元二次方程根的判别式等知识点，利用一元二次方程根的判别式求出k的值是解题关键． 8．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A.  B. 且 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据题意可得 再解不等式组，从而可得答案； 【详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：且 故选：B． 9．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为2，求m的值； （2）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）m＝－1     （2） 证明：由得：， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．      【分析】 （1）把x＝2代入方程，即可求出m的值； （2）求出的值，再根据根的判别式的意义判断即可． (1) 小问详解： 解：把x＝2代入方程得：， 解得：m＝－1； (2) 小问详解： 略 【点睛】 本题考查了一元二次方程解的定义，根的判别式的意义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）解方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程变形为，再利用配方法解方程即可得； （2）先求出方程中的，再利用公式法解方程即可得． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ， 或， ． (2) 小问详解： 解：方程中的， 方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即方程的解为． 11．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为　　　　　． 【答案】k≤4且k≠1 【分析】由一元二次方程的定义知：，由一元二次方程有实数根知： ，从而通过解不等式组得到答案． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实数根 所以 由得 ，解 得 所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的逆定理，熟练掌握逆定理是关键，防止学生考虑问题不全面． 12．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 ，， ∴ 解得，． 13．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）用公式法解方程： 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，关键是掌握求根公式，一元二次方程，若，则方程的两个实数根为，据此求解即可． 【详解】 解： ，，， ∴， 解得，． 14．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）解方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴ 解得：． (2) 小问详解： ∴ ∴ ∴ 解得：． 15．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式非负时，方程有实数根． 【详解】 解：方程的判别式为， 由题意得，即， 解得． 故答案为：． 16．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 17．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的公式法是解题的关键． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 18．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个实数根，所以二次项系数不为零，且根的判别式为非负数，由此得到不等式组，求解即可． 【详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， 解得 ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 19．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由证明作答即可． 【详解】 略 20．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：， 无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．                           （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，理解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）先求求出一元二次方程根的判别式，然后进行配方判断判别式的符号即可求解； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系求出，再整理，最后将代入整理后的方程求解即可． 【详解】 （1）略         （2）解：由根与系数的关系，得．                                 ， ，即，解得． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知一元二次方程的两根是，，则这个方程可以是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法求解方程是解题的关键． 根据因式分解法可直接进行求解． 【详解】 解：A、由方程解得，，故不符合题意； B、由方程解得，，故符合题意； C、由方程解得，，故不符合题意； D、由方程解得，，故不符合题意； 故选：B． 2．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A. 或 B. 或 C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】 解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 3．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），．      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． (1) 小问详解： ， ， 则， 或， 解得，； (2) 小问详解： ， ， 则，即， ， ，． 4．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）一元二次方程的两根是等腰三角形的两边长．则等腰三角形的周长为　　　　　　 【答案】或 【分析】 运用因式分解法求一元二次方程的根，再根据等腰三角形的性质判定边长大小，最后计算周长． 【详解】 解： 因式分解得，， ∴当时，；当时，； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 当等腰三角形的边长为：时，等腰三角形的周长为：； 故答案为：或． 【点睛】 本题主要考查因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 5．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， 解得； (2) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴． 6．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）方程的根为　　　　　　　　　　 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解： 或， ∴，， 故答案为：，． 7．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴ ∴或， 解得：． 8．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）若，则　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了换元法解一元二次方程．解答该题时，注意中的t的取值范围：． 设．则原方程转化为关于t的一元二次方程，即；然后解关于t的方程即可． 【详解】 解：设，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 故． 故答案为：6． 9．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）解方程： （1） （2）． 【答案】（1）      （2）       【分析】 本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）先整理方程，再利用配方法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解： ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 10．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∵ ∴， ∴． (2) 小问详解： 解： ， ， 或， 解得：． 11．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）方程的解是　　　　　　． 【答案】 【分析】 可通过移项将方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 12．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）【阅读材料】方程是一个一元四次方程，我们可以把看成一个整体，设，则原方程可化为① 解方程①可得． 当时，； 当时，； 原方程的解为． 【解决问题】 （1）在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到___________的目的（填“降次”或“消元”），体现了数学的转化思想． （2）请仿照材料的方法，解下列方程： 【答案】（1）降次     （2），      【分析】 本题考查换元法解高次方程，通过换元达到降次的目的，将一元四次方程转化为一元二次方程求解． （1）根据材料，换元是为了降低方程的次数； （2）仿照材料方法，设，将方程转化为，解出后回代求解． (1) 小问详解： 解：利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． 故答案为：降次． (2) 小问详解： 解：， 设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，解得，； 当时，，此方程无实数解， ∴原方程的解为，． 13．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ,      （2） ,       【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择合适的解法． （1）用公式法，先确定系数再代入求根公式； （2）用因式分解法，先整理方程再分解因式求解． (1) 小问详解： 解：对于， ，，， ， ， 即，． (2) 小问详解： 解：整理，得， 因式分解得， 即， 解得，． 14．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）或     （2）或     （3）或     （4）或      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）根据公式法计算可以得解； （2）根据公式法计算可以得解； （3）根据因式分解法计算可以得解； （4）根据直接开平方法计算可以得解． (1) 小问详解： 解：由题意，， ，，， ， ， 解得或； (2) 小问详解： 解：由题意，， ，，， ， ， 解得或； (3) 小问详解： 解： 解得或； (4) 小问详解： 解：由题意， 或， 解得或． 15．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）阅读材料：解方程，我们可以将看做一个整体，然后设，则原方程化为解得：，． 当时，，， 当时，，， ∴原方程的解为：，，， 在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程．利用换元法解方程：． 【答案】 【分析】 本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． 设，则原方程化为，用因式分解法解方程求出y的值，再求出x的值． 【详解】 解：， 设， ∴原方程化为 或 解得或， 当时， 或 ∴； 当时， ，此时，此时无实数根， ∴原方程的根为． 16．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）解方程 （1）； （2） 【答案】（1），     （2）      【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， 解得，； (2) 小问详解： ， 整理，得：， ， 解得． 17．（25-26学年九上·青海西宁虎台中学·期中）若实数，满足，则的值为　　　　　　　　． 【答案】8 【分析】 本题考查的是解一元二次方程．将看成一个整体，令，转换成一个关于的一元二次方程，利用因式分解法求出的值，再结合平方的非负性，即可得到答案． 【详解】 解：令， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴(不合题意，舍去)，， ∴的值为8． 故答案为：8． 18．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）解方程 （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程． （1）两边同时除以4，根据直接开平方法求解即可； （2）先移项，再根据因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解： 解得：，； (2) 小问详解： 解： 或 解得：， 19．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）解方程 （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、公式法、因式分解法是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式求解； （2）利用一元二次方程的求根公式求解； （3）通过因式分解将方程转化为两个一次因式的乘积求解； （4）利用因式分解法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， ， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； (3) 小问详解： 解：， ， ， ∴或， 解得，； (4) 小问详解： 解：， ， ∴或， 解得，． 20．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知，平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）10     （2），菱形的边长是2．      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法解一元二次方程，得或，再结合题意得，即可求出平行四边形的周长； （2）由（1）得的两个根是或，结合菱形的四边相等得，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ ∴ 解得或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且的长为3， ∴， ∴平行四边形的周长是． (2) 小问详解： 解：由（1）得的两个根是或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且四边形是菱形， ∴， 解得．四边形是菱形， 此时菱形的边长是2． 21．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）用合适的方法解下列一元二次方程： （1）． （2）； 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和公式法是解题的关键． （1）观察方程特点，可通过移项后因式分解求解； （2）先将方程化为一般形式，再用公式法求解． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， ， ∴，，， ∴， ∴， 解得，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）关于x的方程有两个根为、，则（       ） A. 1 B.  C. 2 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键 根据一元二次方程根与系数的关系，即“”直接计算两根之和即可 【详解】 解：由根与系数的关系，两根之和为：． 故选：D ． 2．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）已知是方程 的两个根， 则的值为(   ) A. 2 B.  C. 3 D.  【答案】A 【分析】 根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】 解：∵是方程 的两个根， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 3．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程的另一个根为t，则根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而问题可求解． 【详解】 解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选B． 4．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则b+c的值是（　　） A. ﹣10 B. 10 C. ﹣6 D. ﹣1 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，    ∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c， 解得b=﹣2，c=﹣8 ∴b+c=﹣10． 故选A． 【点睛】熟练掌握根与系数的关系，并会灵活运用是解本题的关键. 5．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）已知关于的方程的一个根是－2，则另一个根是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设方程的另一个根为m，利用根与系数的关系得到-2m=1，然后解一元一次方程即可． 【详解】 解：设方程的另一个根为m， 根据题意得-2m=1，解得m=，即方程的另一个根是． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 6．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=　　　． 【答案】2 【分析】 先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 7．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）若，是方程的两根，则的值是　　　　　　　　． 【答案】16 【分析】 本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接应用公式求解即可． 【详解】 在方程 中，二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，两根之和． 故答案为：16． 8．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）若关于的一元二次方程的两个根互为相反数，则的值为　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据原方程的两个根互为相反数，利用根与系数的关系，可得出，解之即可得出的值． 本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 【详解】 解：关于的一元二次方程的两个根互为相反数， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 9．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】（1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【分析】 （1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】 解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】 此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 10．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于　　　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．根据题意可得到，，进而求解即可． 【详解】 解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：0． 11．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）设a，b是方程的两个实数根，则的值为　　　　　　  ． 【答案】2035 【分析】 本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解的含义．利用a是方程的根，得到，结合两根之和，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】 解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴且， 即， ∴ 代入，得， 故答案为：2035 12．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知关于x的一元二次方程．若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值． 【答案】另一个根为，k的值为 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，将该方程的一个根为1代入方程即可求出k的值，再由根与系数的关系得，即可求解． 【详解】 解：根据题意得，， 解得：， 设另一个根为， ∴， 解得， 故它的另一个根为，k的值为． 13．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根； （2）若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根；     （2）      【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 14．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）若矩形的长和宽是方程（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为　　　　　　　． 【答案】16 【详解】 解：设矩形的长和宽分别为，根据题意得； 所以矩形的周长=． 故答案为16． 15．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】（1） ， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根；     （2）      【分析】 （1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． 16．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）已知关于x的一元二次方程， （1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1） ∵ ∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．     （2），．      【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程即可求出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵，是方程的两根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得：，． 【点睛】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． 17．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）若满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】 解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根， ∴， 解得：； （2）由关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，可知： ， ∴， 即为， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】 本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 18．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1） 解：满足和，理由如下： 解方程， ， ∴或， 解得，， 计算根的和：， 由根与系数的关系，，，则， 计算根的积：， 由根与系数的关系，，，则， ∴满足和；     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的解法、判别式的应用，熟练掌握根与系数的关系和判别式的意义是解题的关键． （1）先解一元二次方程求出根，再分别计算根的和、积以及利用根与系数关系计算的和、积，进而验证是否满足． （2）根据根与系数的关系，由已知根求出一次项系数和常数项，从而写出一元二次方程的一般形式． （3）先根据根与系数的关系表示出和，再将展开并代入，得到关于的方程，同时结合方程有实数根的条件（判别式）确定的取值． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：∵方程的两个根为，，二次项系数， ∴由根与系数的关系，，即，解得， ，即，解得， ∴这个一元二次方程的一般形式为； (3) 小问详解： 解：∵方程， ∴由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ， ， 整理得： 解得或 又∵方程有两个实数根， ∴判别式 解得， ∴不符合条件，舍去， ∴． 19．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且     （2）      【分析】 本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据题意可得，再解关于m的不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值． (1) 小问详解： 解：∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：， 综上，的取值范围为且． (2) 小问详解： 解：设方程两根为，则：， 代入得， 解得：或， 经检验，或是方程的解， 当时，判别式，不符合实数根条件． 当时，判别式，符合条件． 综上，． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·青海西宁大通县东峡民族中学·期中）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2020年投入3000万元，预计2022年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（       ）． A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可． 【详解】 解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2021的教育经费为：万元， 2022的教育经费为：万元， ∴可得方程：． 故选C． 【点睛】 本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意，找出等量关系，列出等式是解题关键． 2．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为，则可得方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量．设平均每年的增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】 解：设平均每年的增长率为x，根据题意得， 故选：A． 3．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是   （       ） A. 168（1+a%）2=128 B. 168（1-a%）2=128 C. 168（1-2a%）2=128 D. 168（1-a2%）=128 【答案】B 【分析】 根据增长率公式a(1+x)n =b求解即可． 【详解】 解：168元降价a%后的价格为168（1-a%）元， 再降价a%后为168（1-a%）（1-a%）元， 根据题意可列方程168（1-a%）2=128． 故选：B． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用--增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率． 4．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得每瓶盈利元，销售量为瓶，再根据总盈利等于每瓶的盈利乘以销售量列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：A． 5．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）喜迎国庆佳节，某商品搞促销活动两次降价后，售价由81元降至64元，若两次降价的百分率相同均为x，可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了平均变化率与一元二次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程； 【详解】 解：由题意可列方程为：， 故选：C． 6．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程与增长率问题，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．根据题意每月的增长率为，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【详解】 解：根据题意可知，二、三月份平均每月的增长率为， 则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 又第一季度共生产零件182万个， 则得：． 故选：B． 7．（25-26学年九上·青海西宁城北区朝阳学校·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(       ) A. 或 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】 解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 8．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）有一个人患流感，经过两轮感染后共有64人患流感，则第三轮传染后共有（       ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每轮一个人传染个人，第一轮后共有（）个人，第一轮后共有个人，即可求解；找出其中等量关系式是解题的关键． 【详解】 解：设每轮一个人传染个人，由题意得 ， 解得：， 则第三轮传染后共有（人）， 故选：D． 9．（25-26学年九上·青海西宁第七中学·期中）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为　　　　　　　　　． 【答案】x2+x+1＝73 【分析】 根据题意1个主干长出x个支干，x个支干长出x2个小支干，再根据总数是73 得出方程即可． 【详解】 根据题意，得 ． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了列一元二次方程，确定等量关系是解题的关键． 10．（25-26学年九上·青海西宁青海师范大学附属第二实验中学·期中）一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至48.6元，求平均每次降价的百分数． 【答案】平均每次降价的百分数为 【分析】设平均每次降价的百分数为x，根据降价后的价格=降价前的价格×（1－降价的百分比）列出方程求解即可 【详解】解：设平均每次降价的百分数为x 根据题意得：， 解得：，（舍去）． 答：平均每次降价的百分数为. 【点睛】本题主要考查了一元二次方程中增长率或下降率的实际运用，根据题意列出方程是关键 11．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长为米、宽为米的矩形，根据草坪的面积为1800平方米，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长为米、宽为米的矩形， 根据题意得：． 故答案为：． 12．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）如图，在矩形中，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动，点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间（），那么当t为何值时，的面积等于？ 【答案】或 【分析】 当运动时间为时，利用三角形的面积计算公式，结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值. 【详解】 解：当运动时间为时， 依题意得 整理得 ， 解得 ； ∴当为或时, 的面积等于. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 13．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有　　　　　　　　人． 【答案】11 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 14．（25-26学年九上·青海西宁二中·期中）某公司一月份的生产成本为万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，月份的生产成本是万元，设平均每个月的下降率为，则可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意找出等量关系列出一元二次方程是解题的关键．设平均每个月的下降率为，根据公司月份的生产成本及月份的生产成本，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：设平均每个月的下降率为， 根据题意得：， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出　　　　　　　个小分支． 【答案】7． 【分析】设每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是57，列出方程，即可求解. 【详解】设每个支干长出x个小分支， 根据题意得：， 解得：,(不符题意，舍去). 答：每个支干长出7个小分支． 答案是：7. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系，是解题的关键. 16．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）某校九年级准备以单循环（每两个班之间都进行一次比赛）的形式组织一次篮球比赛，这样共有15场比赛，则参赛球队有　　　　　　个队． 【答案】6 【分析】 本题考查一元二次方程的实际运用．设参赛球队有x个队，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】 解：设参赛球队有x个队，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：参赛球队有6个队． 故答案为：6 17．（25-26学年九上·青海海东平安区·期中）超市销售某商品，每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过调研发现，每降低1元，每天可多卖出2件．为了尽快减少库存，并使每天的利润达到1200元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】20 【分析】 本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系． 设每件商品应降价元，根据利润列出方程求解即可． 【详解】 解：设每件商品应降价元，根据题意得， 解得或， 为了尽快减少库存， ， 所以，每件商品应降价20元． 18．（25-26学年九上·青海格尔木市三校·期中）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该批发商要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 【答案】（1）；     （2）每千克应涨价5元，详见解析      【分析】 本题考查的是列代数式及一元二次方程的应用， （1）根据涨的价格+原来的盈利=现在的盈利，每天的销量=原来的销量-减少的销量就可以求出结论； （2）设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克，由总利润=每个利润×数量建立方程求出其解即可． (1) 小问详解： 解：由题意得：涨价后的每千克盈利为：元，每天的销量为：千克， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：设每千克应涨价x元，则现在的利润为元，销量为千克， 由题意，得：， 解得：， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 19．（25-26学年九上·青海西宁海湖中学·期中）某校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为22米），用长为40米的篱笆，围成一个封闭的矩形菜地，供同学们进行劳动实践，若设菜地的宽为x米． （1）_____米（用含x的代数式表示）； （2）若围成的菜地面积为192平方米，求此时的宽． 【答案】（1）     （2）12米      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，理清各量之间的关系、列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式化简即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可． (1) 小问详解： 解：若设菜地的宽为x米， 由题意可得：(米)． 故答案为：． (2) 小问详解： 解：由（1）可知：，， 由题意可得：， 解得：或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 所以，此时的宽为12米． 20．（25-26学年九上·青海西宁第十一中学·期中）某种传染病，若有一人感染，经过两轮传染后将共有49人感染，设这种传染病每轮传染中平均一个人传染了x个人，则　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了个人， 经过一轮传染之后有人感染流感，两轮感染之后的人数为49人，依此列出一元二次方程即可． 【详解】 解： 设每一轮传染中平均每人传染了x个人，，依题可得： ，即， 解得：或（舍去） 故答案为：6． 21．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了列一元二次方程． 单循环赛的总比赛场数公式为，总比赛场数为6，由此列方程即可． 【详解】 解：赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，所以总比赛场数为， 参赛的每两个队之间都要比赛一场，因此总比赛场数为， 即． 故答案为：． 22．（25-26学年九上·青海西宁七一中学·期中）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 【答案】2秒或4秒后的面积等于 【分析】 本题考查了动点问题，三角形面积公式及一元二次方程的建立与求解，先分析点P、Q的运动情况，表示出和的长度，根据三角形面积公式列出方程并求解方程即可． 【详解】 解：设x秒后的面积等于， 在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动， ，， ， ， 解得：，， 即2秒或4秒后的面积等于． 23．（25-26学年九上·青海海西州格尔木市三校·期中）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （1）设每千克应涨价x元，根据问题中的数量关系，用含x的代数式填表： 每千克盈利（元） 每天销售量（千克） 每天盈利（元） 涨价前 10 500 5000 涨价后 ______ ______ 6000 （2）列出方程，并求问题的解． 【答案】（1）；     （2）每千克应涨价5元      【分析】 本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据涨价后每千克的盈利等于涨价前每千克的盈利与上涨的价格之和；涨价后每天销售量等于涨价前每天销售量减去涨价造成的销售减少量即可得； （2）根据每天盈利每千克的盈利每天销售量建立方程，解方程可得的值，再根据要使顾客得到实惠确定的值，由此即可得． (1) 小问详解： 解：设每千克应涨价元， 由题意得：涨价后，每千克的盈利为元，每天销售量为千克， 故答案为：；． (2) 小问详解： 解：由题意得：， 解得或， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每千克应涨价5元． 24．（25-26学年九上·青海西宁七中优质教育集团中华校区·期中）根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务：；任务：元/件 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解； 任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】 解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为． 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件． 25．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． （1）求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． （2）为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1）     （2）2元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为，得到，再解方程即可； （2）设每个玩偶降价为y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率， 则，即， 解得，（舍去）， 答：7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每个玩偶降价元时，当日总利润可达到5940元， 则此时售价为每个（元），可销售个， 则利润为， ， 化简得， ，解得或（舍去）， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 26．（25-26学年九上·青海西宁第十二中学·期中）如图，某小区规划在一个长为16m、宽为9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为112m2，求小路的宽度．若设小路的宽度为xm，则x满足的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】（16－2x)(9－x)＝112 【详解】 设小路的宽度为xm， 那么草坪的总长度和总宽度为（16-2x）m，（9-x）m， 根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112， 故答案为（16-2x）（9-x）=112. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $