专题06 二次根式（期中真题汇编，广东专用）八年级数学上学期

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06二次根式 3大高频考点概览 考点01二次根式及其性质 考点02二次根式的乘法与除法 考点03二次根式的加法与减法 》 考点01二次根式及其性质 1. (25-26学年八上·广东佛山三水区·期中)若式子口在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ) A.X≠1 B.x>1 C.x≥1 D.X≤1 2.（25:26学年八上：广东揭阳榨城区·期中)在平面直角坐标系中，点Am口所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中)已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简a+口 ) a b 0 A.a+b-c B.2b+2c-a C.2c-a D.2b-a 4.(25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中)若式子V叵在实数范围内有意义，则x的取值范围是 5. (25-26学年八上：广东揭阳揭东区·期中)若式子2有意义，则×的取值范围是一 6.(25-26学年八上·广东茂名化州·期中)已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简a-1川- 石的结果是 a 0 2 7.(25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中)阅读下列材料. 材料一：化莆：-口P 116 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：由V叵可知，有隐含条件1-3x≥0， 解得x≤，·1一>0，原式 =1-3x-1-x=1-3x-1+x=-2x. 材料二：若代数式*V叵的值是2，求a的取值范围. 解：.+2oe石 当a<1时，a-1=1-a,a-3=3-a, ∴.1-a+3-a=4-2a=2,解得a=1(舍去)： 当1≤a≤3时，a-1=a-1,a-3=3-a, ∴.a-1+3-a=2,符合条件： 当a>3时，a-1=a-1,la-3=a-3, ∴.a-1+a-3=2a-4=2,解得a=3(舍去). .a的取值范围是1≤a≤3. (1)按照上面的解法，化简：如石： (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则化简*口的结果是 0b→ (3)若*口，求x的取值范围。 ①考点02二次根式的乘法与除法 1.(25-26学年八上广东茂名化州期中)计算口的结果为( ) A.V▣ B.2 c.2▣ D.▣ ▣ 2.（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中)下列根式中，是最简二次根式的是( A. B.V▣ c.V▣ D.7 3.(25-26学年八上·广东茂名电白区·期中)下列各式运算正确的是( ) 2 A.00 B e婴 D.▣ 4.(25-26学年八上·广东佛山南海区·期中)下列根式中的最简二次根式是( ) 216 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A./▣ B.V▣ c.▣ D.叵 5.(25-26学年八上·广东佛山三水区·期中)下列运算正确的是( ) A2口 B.+阿石 C.石 D.×石 6.(25-26学年八上广东揭阳揭东区期中)若，石，则V万可以表示为() A.▣ B.a/▣ C.ab D.ab 7.(25-26学年八上·广东佛山三水区·期中)已知最简二次根式口与二次根式口是同类二次根式，则 X= 8.(25-26学年八上·广东茂名高州·期中)若回与最简二次根式叵是同类二次根式，则a= 》 考点03二次根式的加法与减法 1.(25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中)下列计算正确的是( A.×河石 B.4如□ C.1=3+20口P D.1-9石 2.(25-26学年八上广东清远连州·期中)下列二次根式中，不能与V石合并的是( ) A.▣ 2 B. c.V▣ D.V▣ 3.（25-26学年八上·广东茂名高州期中)计算： (1)-吧▣ (2)22o 4.（25-26学年八上广东揭阳榕城区·期中)计算： 1 1+0 5.(25-26学年八上·广东清远英德·期中)计算： (1)+和回 (2)3+6- 3/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(25-26学年八上广东茂名电白区·期中)计算： (1)石： (2)石 7。(25-26学年八上广东清远连州期中)计算：÷啊口 8.(25-26学年八上广东佛山南海区·期中)计算： (1）÷阿口 (2)6h阿0 9.（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中)计算： 1)|-2+3-8--120259 Q 1 1 10.(2526学年八上广东揭阳揭东区：期中)已知x=2+厅，y=2厅 (1)求x+y2+3xy的值： (2)若x的小数部分是m,y的小数部分是n,求m+nPo4-R厅的值. 11.(25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中)如图，有一块长方形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面 积分别为12dm和27dm的正方形木板，求原长方形木板的面积. 27dm2 12dm2 12.(25-26学年八上·广东茂名高州期中)阅读下面计算过程： 1 +1=1xF9G一： 1 +2=12阳 416 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 试求： 1一的值为 (1) (2)比较大小：阿□ 口. 1 1 (3)求 的值. 1+ a▣ 1 (4)若a=-行， 求a3-4a2+a+4的值. 13.(25-26学年八上广东佛山三水区期中)先化简，后求值：a+ba-b+b1a+2b-a-b,其中 a=2+b=2-09石】 14.(25-26学年八上广东佛山三水区·期中)阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理 化因式. 例如：xa, 口：我们称口的一个有理化因式是，9口的一个有理化因式是阿口 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中 不含根号，这种变形叫作分母有理化、 1 例如： 1× ▣ 何 1 材料三：因为a= 1题，所以a-1=0 所以a-12=2所以a2-2a+1=2所以a-2a=1 所以3a2-6a=3,所以3a2-6a-1=2 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)V叵的有理化因式为 +阿口的有理化因式为】 (均写一个即可)石 (2)计算：（要求写出计算过程） 516 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 1+ 阿口 2 (3)利用上述方法：若a=3万求-2d+12a+3的值。 15.(25-26学年八上广东揭阳榕城区·期中)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子 可以写成另一个式子的平方，如：3+21如石，善于思考的小明进行了以下探索： 设。+bn加口（其中abm均为整数），则有a+b3:22mn阿口 ∴.a=m+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分a+b口的式子化为平方式的方法.请你仿照小 明的方法探索并解决下列问题： (1)当abmn均为正整数时，若a+-m口：用含mn的式子分别表示ab则a= b= (2)7+4口的算术平方根为 (3)若a+6mn加口：且gmn均为正整数，求a的值： (4)化简：+石. 616 专题06 二次根式 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．C 2．D 3．B 4．【答案】 【详解】 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 5．【答案】 【分析】 本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负求解即可． 【详解】 解：要使式子有意义，需满足分母且被开方数， 由得，即； 由得， 所以x的取值范围是， 故答案为：． 6．【答案】2a-3 -3+2a 【分析】 根据a在数轴上的位置判断出其符号及a−1和a-2的符号，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】 解：由数轴可得，1＜a＜2，则a−1>0，a-2<0， ∴|a﹣1|﹣=(a﹣1)﹣=(a-1)-(2-a)=2a-3， 故答案为∶ 2a-3． 【点睛】 本题考查了绝对值和二次根式的化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及． 7．【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，实数与数轴等知识，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次格式的性质化简即可； （2）先根据数轴得出，， ，，然后根据二次格式的性质化简即可； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得． (1) 小问详解： 解：由可知：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：由数轴知：，， ，， ； (3) 小问详解： 解： ， ， 当时，，， ， （舍去）； 当时，，， ，符合条件； 当时，，， ， （舍去）； x的取值范围为． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．B 2．C 3．A 4．A 5．D 6．C 7．【答案】3 【分析】 本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】 解：， 又最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3 ． 8．【答案】5 【分析】 本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】 解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．C 2．C 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算减法即可得； （2）先计算零指数幂、化简绝对值、乘方，再计算加减法即可得． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 4．【答案】4 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据分母有理化，二次根式的乘法、二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【详解】 解： ． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】 ． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算乘除，再计算加减； （2）先去绝对值，并化简各项，再计算加减． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 原式 ． 9．【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）去绝对值，进行开方和乘方运算，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的运算法则，二次根式的性质，进行计算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 10．【答案】（1）17     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算． （1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值； （2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 由（1）知， ， 又∵的小数部分为的小数部分为， ． 11．【答案】 【分析】 根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案． 【详解】 ∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， 由题图可知，原长方形的长为，宽为， ∴原长方形的面积为：． 【点睛】 本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．【答案】（1）     （2）     （3）44     （4）      【分析】 此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）利用分子有理化，再比较即可得到结果； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （4）先化简a，然后代入所求式子计算即可． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 13．【答案】，3 【分析】 本题考查整式的化简求值，二次根式的运算，根据乘法公式，单项式乘以多项式的法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】 解：原式 ； 当时， 原式． 14．【答案】（1），，     （2）9     （3）7      【分析】 本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行合并即可； （3）先进行分母有理化，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴的有理化因式为，的有理化因式为； ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．【答案】（1）；     （2）     （3）的值为或     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：∵， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； (4) 小问详解： 解：∵ ， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式 3大高频考点概览 考点01 二次根式及其性质 考点02 二次根式的乘法与除法 考点03 二次根式的加法与减法 考点01 二次根式及其性质 1．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式的概念，被开方数不小于0，进而得出答案． 【详解】 解：式子在实数范围内有意义，则， 解得：． 故选：C． 2．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（       ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【分析】 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据非负数的性质确定出，，则，然后根据各象限内点的坐标特征解答，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴点在第四象限， 故选：． 3．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了数轴，二次根式的性质，绝对值的性质； 先根据数轴判断出，，，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简． 【详解】 解：由数轴得：，， ∴，，， ∴原式， 故选：B． 4．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　　　　． 【答案】 【详解】 根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 5．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）若式子有意义，则x的取值范围是　　　　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件； 根据分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负求解即可． 【详解】 解：要使式子有意义，需满足分母且被开方数， 由得，即； 由得， 所以x的取值范围是， 故答案为：． 6．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是　　　　　　　　　　　　 【答案】2a-3 -3+2a 【分析】 根据a在数轴上的位置判断出其符号及a−1和a-2的符号，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】 解：由数轴可得，1＜a＜2，则a−1>0，a-2<0， ∴|a﹣1|﹣=(a﹣1)﹣=(a-1)-(2-a)=2a-3， 故答案为∶ 2a-3． 【点睛】 本题考查了绝对值和二次根式的化简，解题的关键是熟知负数的绝对值等于它的相反数，非负数的绝对值等于它本身以及． 7．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）阅读下列材料． 材料一：化䈒：． 解：由可知，有隐含条件，解得原式． 材料二：若代数式的值是2，求的取值范围． 解：． 当时，， ，解得（舍去）； 当时，， ，符合条件； 当时，， ，解得（舍去）． 的取值范围是． （1）按照上面的解法，化简：； （2）实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）1     （2）     （3）      【分析】 本题考查了二次根式的性质，绝对值的性质，实数与数轴等知识，掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据二次格式的性质化简即可； （2）先根据数轴得出，， ，，然后根据二次格式的性质化简即可； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可得． (1) 小问详解： 解：由可知：， ， ， ； (2) 小问详解： 解：由数轴知：，， ，， ； (3) 小问详解： 解： ， ， 当时，，， ， （舍去）； 当时，，， ，符合条件； 当时，，， ， （舍去）； x的取值范围为． 考点02 二次根式的乘法与除法 1．（25-26学年八上·广东茂名化州·期中）计算的结果为（       ） A.  B. 2 C.  D.  【答案】B 【分析】 直接根据二次根式的除法计算法则求解即可得到答案． 【详解】 解：原式． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了二次根式的乘除计算，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘除计算法则． 2．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了最简二次根式的判断，熟练掌握二次根式的定义，是解题的关键．根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，且分母不含根式），逐一判断各选项．选项D为立方根，非二次根式；选项A被开方数含分母；选项B可化简为整数；选项C满足所有条件． 【详解】 解：A. 的被开方数含分母，不是最简二次根式，故A不符合题意； B. ，可化简为整数，不是最简二次根式，故B不符合题意； C. 被开方数15不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故C符合题意； D. 是三次根式，非二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 3．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）下列各式运算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查二次根式的化简与运算，解题的关键是掌握二次根式的化简和运算法则． 根据二次根式的性质逐一判断，注意算术平方根的非负性和分母有理化． 【详解】 解：∵ 对于选项A：， ∴ 正确，符合题意； 对于选项B：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项C：， ∴ 错误，不符合题意； 对于选项D：， ∴ 错误，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）下列根式中的最简二次根式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；逐个进行判断即可． 【详解】 解：A．符合最简二次根式的定义，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：A． 5．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）下列运算正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次根式的运算法则逐项判断． 【详解】 解：，故选项A错误，不符合题意； 与不是同类二次根式，不能合并，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】 本题考查二次根式的运算，解题是关键是掌握二次根式相关的运算法则． 6．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）若，则可以表示为（   ） A.  B.  C.  D. ab 【答案】C 【详解】∵ ， ∴. 故选C. 7．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则　　　　　　　　　　． 【答案】3 【分析】 本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】 解：， 又最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3 ． 8．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）若与最简二次根式是同类二次根式，则　　　　　　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握“同类最简二次根式的被开方数相同”是解题的关键． 根据同类最简二次根式的定义，令被开方数相等，列方程求解的值． 【详解】 解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点03 二次根式的加法与减法 1．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）下列计算正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】 解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；        B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；        D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）下列二次根式中，不能与合并的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的判断，分母有理化，分别化简和计算出四个选项中式子的值，若被开方数是3则可以与合并，据此可得答案． 【详解】 解：A、能与合并，不符合题意； B、能与合并，不符合题意； C、不能与合并，符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算、零指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算减法即可得； （2）先计算零指数幂、化简绝对值、乘方，再计算加减法即可得． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 解：原式 ． 4．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）计算： 【答案】4 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，二次根式的性质，先根据分母有理化，二次根式的乘法、二次根式的性质化简，再运算加减，即可作答． 【详解】 解： ． 5．（25-26学年八上·广东清远英德·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 6．（25-26学年八上·广东茂名电白区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 7．（25-26学年八上·广东清远连州·期中）计算：． 【答案】 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】 ． 8．（25-26学年八上·广东佛山南海区·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先计算乘除，再计算加减； （2）先去绝对值，并化简各项，再计算加减． (1) 小问详解： 解：原式 ． (2) 小问详解： 原式 ． 9．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1     （2）      【分析】 本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）去绝对值，进行开方和乘方运算，再进行加减运算即可； （2）根据二次根式的运算法则，二次根式的性质，进行计算即可． (1) 小问详解： 解：原式； (2) 小问详解： 原式． 10．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）已知， （1）求的值； （2）若x的小数部分是m，y的小数部分是n，求的值． 【答案】（1）17     （2）      【分析】 本题考查了分母有理化、二次根式的混合运算以及无理数的小数部分，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，以及利用公式和小数部分的定义进行计算． （1）先对、进行分母有理化，再利用完全平方公式和平方差公式计算的值； （2）先确定的范围，从而得到、的范围，进而确定它们的小数部分、，再代入式子计算． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： 由（1）知， ， 又∵的小数部分为的小数部分为， ． 11．（25-26学年八上·广东揭阳揭东区·期中）如图，有一块长方形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，求原长方形木板的面积． 【答案】 【分析】 根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案． 【详解】 ∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， 由题图可知，原长方形的长为，宽为， ∴原长方形的面积为：． 【点睛】 本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键． 12．（25-26学年八上·广东茂名高州·期中）阅读下面计算过程： ； ； ． 试求： （1）的值为                    ． （2）比较大小：               ． （3）求的值． （4）若，求的值． 【答案】（1）     （2）     （3）44     （4）      【分析】 此题考查了分母有理化、二次根式的化简求值，弄清分母有理化的方法是解本题的关键． （1）原式根据阅读材料中的方法变形即可得到结果； （2）利用分子有理化，再比较即可得到结果； （3）原式各项变形后，抵消合并即可得到结果； （4）先化简a，然后代入所求式子计算即可． (1) 小问详解： 解：； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：原式 ； (4) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 13．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】，3 【分析】 本题考查整式的化简求值，二次根式的运算，根据乘法公式，单项式乘以多项式的法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】 解：原式 ； 当时， 原式． 14．（25-26学年八上·广东佛山三水区·期中）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化． 例如： 材料三：因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式为_________，的有理化因式为________．（均写一个即可）________． （2）计算：（要求写出计算过程） （3）利用上述方法：若，求的值． 【答案】（1），，     （2）9     （3）7      【分析】 本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行合并即可； （3）先进行分母有理化，再代入求值即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴的有理化因式为，的有理化因式为； ； (2) 小问详解： 原式 ； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（25-26学年八上·广东揭阳榕城区·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中、、、均为整数），则有． ，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，则_______，_________； （2）的算术平方根为_________________； （3）若，且、、均为正整数，求的值； （4）化简：． 【答案】（1）；     （2）     （3）的值为或     （4）      【分析】 本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式． （1）利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、； （2）直接利用完全平方公式，变形得出答案； （3）直接利用完全平方公式，变形化简即可； （4）先计算，再利用完全平方公式，变形化简即可． (1) 小问详解： 解：∵， ∴，， 故答案为：；； (2) 小问详解： 解：∵， 故答案为：； (3) 小问详解： 解：∵， ∴，，即， ∵、、均为正整数， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，； ∴的值为或； (4) 小问详解： 解：∵ ， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $